{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n\n Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n \n
\n\n

Jeu de dés

(Corrigé)

\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n### Sommaire\n\n1. Calculs de l'espérance, de la variance et de l'écart-type d'une variable aléatoire
\n2. Applications
\n\n

"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 1. Calculs de l'espérance, de la variance et de l'écart-type d'une variable aléatoire"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Dans cette partie, on considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces.
\nOn considère la variable aléatoire $X$ qui donne la valeur ainsi obtenue."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1. Recopier et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\n
\n\n
$x_k$
$p_k$
\n\n
\n
$x_k$$1$$2$$3$$4$$5$$6$
$p_k$$\\frac{1}{6}$$\\frac{1}{6}$$\\frac{1}{6}$$\\frac{1}{6}$$\\frac{1}{6}$$\\frac{1}{6}$
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2. Créer une liste Python nommée x qui contient les valeurs $x_k$.
\n$\\;\\;\\;$Créer de la même façon une liste Python nommée p qui contient les valeurs $p_k$."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Créer ici les listes x et p\n\nx = [1,2,3,4,5,6]\np = [1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]","execution_count":1,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"3. La fonction esperance fournie ci-dessous permet de calculer l'espérance d'une variable aléatoire à partir de listes x et p contenant respectivement les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités associées.

\nExécuter les deux cellules Python pour obtenir l'espérance de la variable aléatoire définie précédemment.
\nDonner une interprétation concrète du résultat obtenu.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour mettre la fonction esperance en mémoire\n\ndef esperance(x,p):\n \"fonction qui renvoie l'espérance d'une variable aléatoire\"\n E=0\n for k in range(len(x)):\n E = E + x[k]*p[k]\n return E\n ","execution_count":2,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour effectuer un appel à la fonction esperance\nesperance(x,p)","execution_count":3,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":3,"data":{"text/plain":"3.5"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"4. a. Écrire une fonction variance qui permet de calculer la variance d'une variable aléatoire à partir de listes x et p contenant respectivement les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités associées.\n
\nAide : On pourra s'inspirer de l'écriture de la fonction esperance donnée précédemment.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction variance\n\ndef variance(x,p):\n \"fonction qui renvoie la variance d'une variable aléatoire\"\n V=0\n for k in range(len(x)):\n V = V + (x[k]-esperance(x,p))**2*p[k]\n return V\n\n#OU\n\ndef variance(x,p):\n \"fonction qui renvoie la variance d'une variable aléatoire\"\n E=esperance(x,p) # Ceci permet de ne calculer qu'une seule fois l'espérance\n V=0\n for k in range(len(x)):\n V = V + (x[k]-E)**2*p[k]\n return V \n ","execution_count":4,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\;\\;$ b. Effectuer un appel à la fonction variance pour calculer la variance de la variable aléatoire précédemment définie.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction variance\nvariance(x,p) ","execution_count":5,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":5,"data":{"text/plain":"2.9166666666666665"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"5. a. Écrire une fonction ecart_type qui permet de calculer l'écart-type d'une variable aléatoire à partir de listes x et p contenant respectivement les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités associées.\n
\nAide : La syntaxe from math import sqrt permet d'utiliser la fonction Python sqrt pour le calcul d'une racine carrée."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction ecart_type\nfrom math import sqrt\n\ndef ecart_type(x,p):\n \"fonction qui renvoie l'écart type d'une variable aléatoire\"\n return sqrt(variance(x,p))\n","execution_count":6,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\;\\;$ b. Effectuer un appel à la fonction ecart_type pour calculer l'écart-type de la variable aléatoire précédemment définie.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction ecart_type\necart_type(x,p)","execution_count":7,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":7,"data":{"text/plain":"1.707825127659933"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n \n
\n\n## 2. Applications\n\nTrois joueurs s'affrontent à un jeu de dés, où le but est d'obtenir la plus grande somme possible.\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.1.a. On note $X_A$ la variable aléatoire donnant la somme obtenue par Adrien lors du lancer de ses dés.
\n$\\quad\\quad$Dresser un tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_A$.\n\n
\n
$x_k$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$$11$$12$
$p_k$$\\frac{1}{36}$$\\frac{2}{36}$$\\frac{3}{36}$$\\frac{4}{36}$$\\frac{5}{36}$$\\frac{6}{36}$$\\frac{5}{36}$$\\frac{4}{36}$$\\frac{3}{36}$$\\frac{2}{36}$$\\frac{1}{36}$
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$b. Définir deux listes x_A et p_A pour modéliser la variable aléatoire $X_A$."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Créer ici les listes x_A et p_A\nx_A = [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]\np_A = [1/36,2/36,3/36,4/36,5/36,6/36,5/36,4/36,3/36,2/36,1/36]","execution_count":8,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$c. Effectuer des appels aux fonctions Python définies dans la partie 1 pour obtenir l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $X_A$."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction esperance\nesperance(x_A,p_A)","execution_count":9,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":9,"data":{"text/plain":"6.999999999999999"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction ecart_type\necart_type(x_A,p_A)","execution_count":10,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":10,"data":{"text/plain":"2.41522945769824"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.2. Obtenir de la même façon l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $X_B$ donnant la somme obtenue par Béatrice lors du lancer de son dé.\n\n
\n
$x_k$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$$11$$12$
$p_k$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$$\\frac{1}{12}$
"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Créer ici les listes x_B et p_B\nx_B = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]\np_B = [1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12]","execution_count":11,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false,"scrolled":true},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction esperance\nesperance(x_B,p_B)","execution_count":12,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":12,"data":{"text/plain":"6.5"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction ecart_type\necart_type(x_B,p_B)","execution_count":13,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":13,"data":{"text/plain":"3.452052529534663"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.3. Obtenir de la même façon l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $X_C$ donnant la somme obtenue par Corentin lors du lancer de ses dés.\n\n
\n
$x_k$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$$11$$12$
$p_k$$\\frac{1}{32}$$\\frac{2}{32}$$\\frac{3}{32}$$\\frac{4}{32}$$\\frac{4}{32}$$\\frac{4}{32}$$\\frac{4}{32}$$\\frac{4}{32}$$\\frac{3}{32}$$\\frac{2}{32}$$\\frac{1}{32}$
"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Créer ici les listes x_C et p_C\nx_C = [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]\np_C = [1/32,2/32,3/32,4/32,4/32,4/32,4/32,4/32,3/32,2/32,1/32]","execution_count":14,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false,"scrolled":true},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction esperance\nesperance(x_C,p_C)","execution_count":15,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":15,"data":{"text/plain":"7.0"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction ecart_type\necart_type(x_C,p_C)","execution_count":16,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":16,"data":{"text/plain":"2.5495097567963922"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.4.a. Quels sont les joueurs qui obtiennent en moyenne les plus grands résultats ?
\n$\\quad\\;$b. Pour quel joueur peut-on considérer qu'il obtient les résultats les plus \"réguliers\" ?\n\n
\nEn comparant les espérances, on conclut que les joueurs qui obtiennent en moyenne les plus grands résultats sont Adrien et Corention.
En comparant les écart-types, on conclut que le joueur qui obtient les résultats les plus réguliers est Adrien."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n

\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}