Pour tout $c \\in \\mathbb{C}$ et tout $a \\in \\mathbb{C}$, on considère la suite de nombres complexes $(z_n)_{n \\geq 0}$ définie par :\n
\n
$z_0=a$ ;
\n
$\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $\\displaystyle z_{n+1}=z_n^2+c$.
\n
\net on pose :
\n$\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $r_n = \\lvert z_n \\rvert$.
\n
\n
\nOn considère que $c$ est fixé. \nPour chaque valeur de $a$, la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ est soit bornée soit non bornée.
\nL'ensemble de Julia $\\mathcal{J}_c$ est l'ensemble des nombres complexes $a$ tels que la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ est bornée.\n
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 1. Algorithme de calcul des termes de la suite $(z_n)_{n \\geq 0}$ et applications directes"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.1. Écrire une fonction Python z qui reçoit en arguments n,a,c (dans cet ordre) et qui renvoie le terme $z_n$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Python z\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.2. Dans cette question, on fixe $c=0,25+0,5i$.__ \n$\\quad\\;$__Exécuter la cellule suivante. Que représentent les valeurs obtenues dans la liste ?__ \n$\\quad\\;$__Le nombre $a=i$ semble-t-il appartenir à $\\mathcal{J}_{0,25+0,5i}$ ? Justifier.__ \n$\\quad\\;$Aide : La fonction Python abs permet de calculer le module d'un nombre complexe.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"c = 0.25+0.5j\na = 1j\n\n[abs(z(n,a,c)) for n in range(21)]","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.3. Effectuer une(des) saisie(s) permettant de conjecturer si le nombre $a=0,25$ appartient à $\\mathcal{J}_{0,25+0,5i}$.__ \n$\\quad\\;\\;$__Faire de même pour conjecturer si $a=0,9i$ appartient à $\\mathcal{J}_{0,25+0,5i}$.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Effectuer ici les saisies\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 2. Représentation graphique d'un ensemble de Julia."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Dans cette partie, on souhaite représenter dans le plan complexe un ensemble de Julia $\\mathcal{J}_c$.__ \n__Pour cela, pour chaque valeur de $a$, on calcule $M=r_{20}=\\lvert z_{20} \\rvert$.__ \n\n__On fait l'approximation que plus la valeur $M$ est élevée, plus la probabilité que $a$ appartienne à $\\mathcal{J}_c$ est faible.__"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.1. Dans cette question, on pose $c=0,25+0,5i$.__ \n$\\quad\\;\\;$__Effectuer une saisie Python pour calculer $M$ dans le cas où $a=0,2+0,3i$.__ \n$\\quad\\;\\;$__Le nombre $a=0,2+0,3i$ semble-t-il appartenir à $\\mathcal{J}_{0,25+0,5i}$ ?__ \n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Effectuer ici la saisie\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.2. Écrire une fonction Python M qui reçoit en arguments a,c (dans cet ordre) et renvoie la valeur de $M=r_{20}$ correspondante. Effectuer un appel à cette fonction pour retrouver la valeur de $M$ de la question 2.1.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Python M\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Tester ici la fonction M\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.3. Exécuter la cellule ci-dessous. La fonction Python graph_Julia ci-dessous permettra la représentation graphique d'un ensemble de Julia (elle utilise les valeurs fournies par la fonction Python M).__"},{"metadata":{"scrolled":false,"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#import des modules nécessaires\nfrom PIL import Image, ImageDraw\n\ndef graph_Julia(c,M=M,xmin=-2,xmax=2,ymin=-2,ymax=2,pix_unite=150,couleur_fond=(240,245,255),couleur_figure=(80,0,80),couleur_axes=(50,10,10)):\n \"\"\"\n REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UN ENSEMBLE DE COMPLEXES\n M: fonction booléenne qui indique si un complexe appartient à l'ensemble représenté\n xmin, xmax, ymin, ymax : paramètres de réglage de la fenêtre de visualisation\n pix_unite: nombre de pixels par unité\n couleur_figure: couleur de l'ensemble représenté\n couleur_axes: couleur des axes\n \"\"\"\n # fonction pour le dégradé de couleur de la figure\n def couleur(t,r,g,b,rmax,gmax,bmax,coeff=100):\n degrad=int(t*coeff)\n return min(degrad+r,rmax),min(degrad+g,gmax),min(degrad+b,bmax)\n \n # création du graphique\n largeur=pix_unite*(xmax-xmin)+1 ; hauteur=pix_unite*(ymax-ymin)+1 \n Graphique = Image.new('RGB', (largeur,hauteur) , color=couleur_fond ) \n Curseur = ImageDraw.Draw(Graphique)\n \n # tracé de l'ensemble M\n for X in range(largeur):\n for Y in range(hauteur):\n # création des coordonnées mathématiques correspondant aux coordonnées de l'image\n x,y = xmin+X*(xmax-xmin)/largeur,ymin+(hauteur-Y)*(ymax-ymin)/hauteur\n # construction du complexe a\n a = complex(x,y)\n # coloration du point si a appartient à Jc\n try:\n Curseur.point([X, Y], couleur(M(a,c),*couleur_figure,*couleur_fond))\n except:\n Curseur.point([X, Y], couleur_fond)\n\n def conv_coord(x,y):\n \"fonction qui convertit une coordonnée du repère mathématique en coordonnée sur l'image\"\n return (x-xmin)*pix_unite,(y-ymin)*pix_unite,\n \n # tracé des axes\n Curseur.line([conv_coord(xmin,0),conv_coord(xmax,0)],fill=couleur_axes)\n Curseur.line([conv_coord(0,ymin),conv_coord(0,ymax)],fill=couleur_axes)\n \n # création des graduations annotées\n for x in range(int(xmin),int(xmax)+1):\n Curseur.line([conv_coord(x,-0.02),conv_coord(x,0.02)], fill=couleur_axes) \n Curseur.text(conv_coord(x+(-0.05 if x>=0 else 0.03),0.02),str(x),fill=couleur_axes)\n for y in range(int(ymin),int(ymax)+1):\n Curseur.line([conv_coord(-0.02,y),conv_coord(0.02,y)], fill=couleur_axes) \n Curseur.text(conv_coord(0.02,y+(-0.07 if y>=0 else 0.03)),str(-y),fill=couleur_axes)\n \n # écriture du titre / nom de la figure\n Curseur.text((0,0),\"Ensemble de Julia\\navec c=\"+str(c),fill=couleur_figure)\n \n return Graphique\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__a. Exécuter la cellule ci-dessous pour obtenir une représentation de $\\mathcal{J}_{0,25+0,5i}$.__ \n$\\quad$__Vérifier graphiquement vos réponses aux questions 1.2 , 1.3 et 2.1.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graph_Julia(0.25+0.5j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__b. Exécuter les cellules ci-dessous pour obtenir des représentations d'autres ensembles de Julia.__ \n$\\quad$__Tester ensuite d'autres valeurs pour $c$...__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graph_Julia(0.285+0.01j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graph_Julia(-0.8+0.156j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graph_Julia(0.35+0.2j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"scrolled":false,"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graph_Julia(0.3+0.5j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graph_Julia(0.25-0.005j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\n
\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}
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\n