{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2020 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# L'ensemble de Mandelbrot \n",
"\n",
"Note : Cette activité ne nécessite pas la connaissance de l'écriture exponentielle d'un nombre complexe. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Sommaire\n",
"\n",
"0.Définition de l'ensemble de Mandelbrot $\\mathcal{M}$ \n",
"1.Étude mathématique du cas $c=i$. \n",
"2.Étude algorithmique du cas $c=1+i$. \n",
"3.Étude dans le cas général et représentation graphique \n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 0. Définition de l'ensemble de Mandelbrot $\\mathcal{M}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Pour tout $c \\in \\mathbb{C}$, on considère la suite de nombres complexes $(z_n)_{n \\geq 0}$ définie par :__\n",
"
\n",
"
$z_0=0$ ;
\n",
"
$\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $\\displaystyle z_{n+1}=z_n^2+c$.
\n",
"Pour chaque valeur de $c$, la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ est soit bornée soit non bornée.
\n",
" L'ensemble de Mandelbrot $\\mathcal{M}$ est l'ensemble des nombres complexes $c$ tels que la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ est bornée.\n",
"
\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 1. Étude mathématique du cas $c=i$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Dans cette partie, on pose $c=i$.__
\n",
"__1.1. Déterminer les formes algébriques des termes $z_1$, $z_2$ , $z_3$ et $z_4$.__
\n",
"\n",
"__1.2. Émettre une conjecture sur la valeur de $z_n$ suivant les valeurs de $n$, et démontrer cette conjecture.__
\n",
"\n",
"__1.3. $i$ appartient-il à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot ?__\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 2. Étude algorithmique du cas $c=1+i$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Dans cette partie, on pose $c=1+i$.__
\n",
"__2.1. En langage Python, le nombre complexe $i$ se code 1j et la fonction abs permet de calculer le module d'un nombre complexe.__ \n",
"$\\quad\\;\\;$__a. Exécuter les cellules suivantes. Que permettent-elles de calculer ?__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"c = 1+1j ; z0 = 0"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"abs(z0)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"z1 = z0**2 +c\n",
"z1"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"abs(z1)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"$\\quad\\;\\;$__b. Effectuer des saisies pour calculer $z_2$ ; $z_3$, $r_2$ et $r_3$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {
"scrolled": true
},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__2.2. On souhaite maintenant automatiser le calcul des termes de la suite $(z_n)_{n \\geq 0}$.__ \n",
"$\\quad\\;$__a. Définir une fonction Python z qui reçoit en argument n et renvoie le nombre complexe $z_n$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction Python z\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"$\\quad\\;$__b. Effectuer des appels à la fonction z pour retrouver les valeurs de $z_1$ ; $z_2$ et $z_3$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"$\\quad\\;$__c. À l'aide de la fonction Python z, déterminer $z_6$ puis $r_6$.__ \n",
"$\\quad\\quad$__La suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ semble-t-elle bornée?__ \n",
"$\\quad\\quad$__$1+i$ semble-t-il appartenir à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot ?__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 3. Étude dans le cas général et représentation graphique"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Dans cette partie, on revient au cas général où $c \\in \\mathbb{C}$ est quelconque.__
\n",
"__3.1. Redéfinir la fonction Python z (vue en 2.2.a) pour qu'elle reçoive en arguments n et c (dans cet ordre) et renvoie le nombre complexe $z_n$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction Python z\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Pour la suite, on admettra et on utilisera le résultat suivant :__\n",
"\n",
"
\n",
"S'il existe un rang $N$ tel que $r_N>2$, alors la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ n'est pas bornée, et le nombre $c$ n'appartient alors pas à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot.\n",
"
\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3.2. À l'aide de la fonction Python z, calculer $z_{10}$ puis $r_{10}$ dans le cas où $c=\\displaystyle\\frac{1+2i}{3}$.__ \n",
"$\\quad\\;$__Le nombre $\\displaystyle\\frac{1+2i}{3}$ appartient-il à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot ?__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3.3. Pour permettre de conjecturer si un nombre complexe $c$ appartient ou non à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot, on considère la fonction Python app_M donnée ci-dessous. Décrire la méthode expérimentale utilisée : Quel critère est appliqué ?__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def app_M(c,N=30):\n",
" \"\"\"\n",
" Fonction qui conjecture si c appartient à l'ensemble de Mandelbrot\n",
" \"\"\"\n",
" for n in range(N):\n",
" if abs(z(n,c))>2:\n",
" return False\n",
" \n",
" return True "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3.4. Effectuer des appels à la fonction app_M pour conjecturer si les nombres $\\displaystyle\\frac{1}{2}$ ; $\\displaystyle\\frac{i}{2}$ et $\\displaystyle-\\frac{3+2i}{5}$ appartiennent à $\\mathcal{M}$.__ "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser ces zones de saisie pour les appels à la fonction app_M\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3.5 Grâce à la fonction Python app_M, on peut approcher la représentation graphique de l'ensemble de Mandelbrot dans le plan complexe.__ \n",
"$\\quad$__Exécuter la fonction graph_M donnée ci-dessous pour visualiser $\\mathcal{M}$ (patienter quelques instants pendant les calculs...).__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#import des modules nécessaires\n",
"from PIL import Image, ImageDraw\n",
"\n",
"def graph_M(app_M=app_M,profondeur=30,xmin=-2,xmax=1,ymin=-1,ymax=1,pix_unite=250,couleur_fond=(223,242,255),couleur_figure=(49,140,231),couleur_axes=(34,66,124),nom=\"Ensemble de Mandelbrot\"):\n",
" \"\"\"\n",
" REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UN ENSEMBLE DE COMPLEXES\n",
" app_M: fonction booléenne qui indique si un complexe appartient à l'ensemble représenté\n",
" profondeur: profondeur de la recherche pour la fonction app_M\n",
" xmin, xmax, ymin, ymax : paramètres de réglage de la fenêtre de visualisation\n",
" pix_unite: nombre de pixels par unité\n",
" couleur_fond: couleur du fond\n",
" couleur_figure: couleur de l'ensemble représenté\n",
" couleur_axes: couleur des axes\n",
" nom: nom de l'ensemble représenté\n",
" \"\"\"\n",
" \n",
" # création du graphique\n",
" largeur=pix_unite*(xmax-xmin)+1 ; hauteur=pix_unite*(ymax-ymin)+1 \n",
" Graphique = Image.new('RGB', (largeur,hauteur), color = couleur_fond ) \n",
" Curseur = ImageDraw.Draw(Graphique)\n",
" \n",
" # tracé de l'ensemble M\n",
" for X in range(largeur):\n",
" for Y in range(hauteur):\n",
" # création des coordonnées mathématiques correspondant aux coordonnées de l'image\n",
" x,y = xmin+X*(xmax-xmin)/largeur,ymin+(hauteur-Y)*(ymax-ymin)/hauteur\n",
" # construction du complexe c\n",
" c = complex(x,y)\n",
" # coloration du point si c appartient à M\n",
" if app_M(c,N=profondeur): Curseur.point([X, Y], couleur_figure)\n",
"\n",
" def conv_coord(x,y):\n",
" \"fonction qui convertit une coordonnée du repère mathématique en coordonnée sur l'image\"\n",
" return (x-xmin)*pix_unite,(y-ymin)*pix_unite,\n",
" \n",
" # tracé des axes\n",
" Curseur.line([conv_coord(xmin,0),conv_coord(xmax,0)],fill=couleur_axes)\n",
" Curseur.line([conv_coord(0,ymin),conv_coord(0,ymax)],fill=couleur_axes)\n",
" \n",
" # création des graduations annotées\n",
" for x in range(int(xmin),int(xmax)+1):\n",
" Curseur.line([conv_coord(x,-0.02),conv_coord(x,0.02)], fill=couleur_axes) \n",
" Curseur.text(conv_coord(x+(-0.05 if x>=0 else 0.03),0.02),str(x),fill=couleur_axes)\n",
" for y in range(int(ymin),int(ymax)+1):\n",
" Curseur.line([conv_coord(-0.02,y),conv_coord(0.02,y)], fill=couleur_axes) \n",
" Curseur.text(conv_coord(0.02,y+(-0.07 if y>=0 else 0.03)),str(-y),fill=couleur_axes)\n",
" \n",
" # écriture du titre / nom de la figure\n",
" Curseur.text((0,0),nom,fill=couleur_figure)\n",
" \n",
" return Graphique\n",
"\n",
"graph_M()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"
Benoit Mandelbrot (1924-2010) est considéré comme le découvreur des figures fractales, dont l'ensemble de Mandelbrot fait partie.
![](\"img/Julia.gif\")
\n",
"