{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n\n<span style=\"color: #9317B4\"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style=\"color: #B317B4\"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Méthode de Monte Carlo <span style=\"color: red\"> (corrigé)</span> "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Dans un repère orthonormé, on considère les surfaces $C$ et $P$ définies respectivement par :\n\n$ C=\\left\\{  \\;M(x;y) \\; /  \\; 0 \\leqslant x \\leqslant 1  \\;; \\; 0 \\leqslant y \\leqslant 1  \\; \\right\\} $\n\n$ P=\\left\\{  \\;M(x;y) \\; /  \\; 0 \\leqslant x \\leqslant 1  \\;; \\; 0 \\leqslant y \\leqslant x^2  \\; \\right\\} $\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1. Identifier ces deux surfaces et les représenter dans le repère fourni.__\n\n![Repère à compléter](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Monte_Carlo_repere.png)\n\n__Déterminer l’aire de $C$.__"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<span style=\"color: #7C39C9\">*Le but de l’activité est de déterminer des valeurs approchées de l’aire de la surface $P$ à l’aide d’une méthode probabiliste.*</span>\n\n<span style=\"color: #7C39C9\">*On admet que lorsqu’on tire aléatoirement un point dans $C$, la probabilité qu’il soit dans $P$ vaut $\\displaystyle \\frac{Aire(P)}{Aire(C)} $.*</span> \n\n<span style=\"color: #7C39C9\">*Ainsi, lorsqu’on tire aléatoirement plusieurs points dans $C$, la fréquence de ces points qui sont dans $P$ fournit une valeur approchée de $\\displaystyle \\frac{Aire(P)}{Aire(C)} $, d’autant plus précise que le nombre de points est grand.*</span>\n\n<span style=\"color: #7C39C9\"><strong> Pour une présentation de la méthode, voir la vidéo suivante.</strong></span>\n\n<video controls src=\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/video/Monte_Carlo.mp4\" width=\"960\" height=\"540\" />"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2. Tester puis modifier la fonction MonteCarlo donnée ci-dessous pour qu’elle reçoive un entier $n$ en argument et place $n$ points aléatoires de $C$ sur le graphique.__\n"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"# Modifier la fonction\n\nfrom random import random          # import de la fonction pour gérer l'aléatoire\nimport matplotlib.pyplot as plt    # import des fonctionnalités graphiques\n\ndef MonteCarlo(n):\n    \n    # initialisation du graphique\n    plt.figure()\n    \n    # répétition n fois\n    for k in range(n):\n        # generation de coordonnees aleatoires entre 0 et 1 pour un point M dans C\n        x,y=random(),random()    \n        # placement du point M dans le repere (en bleu)\n        plt.scatter(x,y,color='blue')     \n    \n    # reglage des bornes des axes du repere\n    plt.axis([0,1,0,1]) \n    # ouverture de la fenetre graphique et affichage\n    plt.show() \n    \n    return None","execution_count":1,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"# Tester la fonction\nMonteCarlo(250)","execution_count":2,"outputs":[{"output_type":"display_data","data":{"application/javascript":"element.append(window._basthonDomNodeBus.pop(0));"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3. Créer une fonction dans_P qui reçoit en argument les coordonnées $(x;y)$ d’un point de $C$ et renvoie True si ce point appartient à $P$ et False sinon.__\n\t"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"def dans_P(x,y):\n    return y<=x**2","execution_count":3,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__4. Modifier la fonction MonteCarlo pour qu’elle place les points appartenant à $P$ en rouge et les autres en bleu.__<br>\n$\\;\\;\\;$__On utilisera la fonction dans_P pour le test.__\n\n<BLOCKQUOTE style=\"background-color:#EAD3DB; color:#C30145;\">\n    <strong>Remarque :</strong><br> En cas de problème de perception des couleurs, on pourra remplacer la désignation des couleurs 'blue' et 'red' (rouge et bleu) par 'silver' et 'black' (gris argenté et noir).\n</BLOCKQUOTE>"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"def MonteCarlo_2(n):\n\n    # initialisation du graphique\n    plt.figure()\n    \n    for k in range(n):\n        # generation de coordonnees aleatoires entre 0 et 1 pour un point M dans C\n        x,y=random(),random()    \n        \n        if dans_P(x,y):\n            # placement du point M dans le repere (en rouge)\n            plt.scatter(x,y,color='red')     \n            \n        else:\n            # placement du point M dans le repere (en bleu)\n            plt.scatter(x,y,color='blue')      \n\n    # reglage des bornes des axes du repere\n    plt.axis([0,1,0,1]) \n    # ouverture de la fenetre graphique et affichage\n    plt.show() \n    \n    return None\n\nMonteCarlo_2(250)","execution_count":4,"outputs":[{"output_type":"display_data","data":{"application/javascript":"element.append(window._basthonDomNodeBus.pop(0));"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__5. Modifier la fonction MonteCarlo pour :__\n* __qu’elle compte le nombre de points placés qui sont dans $P$ ;__\n* __qu’elle calcule la fréquence $f$ de ces points ;__\n* __qu’elle renvoie cette fréquence $f$.__\n\n\n<span style=\"color: #888888\">*On pourra également faire apparaître cette fréquence dans la fenêtre à l’aide de l’instruction suivante :* plt.text(0,-0.1,\"Fréquence des points dans P: \"+str(f))*.*</span>\n"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"def MonteCarlo_3(n):\n    \n    # initialisation du graphique\n    plt.figure()\n    \n    # initialisation du compteur de points dans P\n    compteur=0\n    \n    for k in range(n):\n        # generation de coordonnees aleatoires entre 0 et 1 pour un point M dans C\n        x,y=random(),random()    \n        \n        if dans_P(x,y):\n            # placement du point M dans le repere (en rouge)\n            plt.scatter(x,y,color='red')     \n            # incrementation du compteur\n            compteur = compteur+1\n        else:\n            # placement du point M dans le repere (en bleu)\n            plt.scatter(x,y,color='blue') \n        \n    # calcul de la fréquence de points dans P\n    f=compteur/n\n    # affichage de la frequence dans la fenetre       \n    plt.text(0,-0.2,\"Fréquence des points dans C: \"+str(f))\n    \n    # reglage des bornes des axes du repere\n    #\n    plt.axis('equal')\n    plt.axis([0,1,0,1]) \n    # ouverture de la fenetre graphique et affichage\n    plt.show() \n        \n    return f","execution_count":5,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__6. En appelant la fonction MonteCarlo avec $n=50$ ; $n=100$ ; … donner des approximations de l’aire de la surface $P$.__"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"# Effectuer un appel à la fonction précédente ici\nMonteCarlo_3(1000)\n","execution_count":6,"outputs":[{"output_type":"display_data","data":{"application/javascript":"element.append(window._basthonDomNodeBus.pop(0));"},"metadata":{}},{"output_type":"execute_result","execution_count":6,"data":{"text/plain":"0.339"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__7. On considère la surface $ D=\\left\\{  \\;M(x;y) \\; /  \\; 0 \\leqslant x \\leqslant 1  \\;; \\; 0 \\leqslant y \\leqslant 1  \\;; \\; x²+y² \\leqslant 1  \\; \\right\\} $.__\n\n__Identifier cette surface $D$, et représenter $C$ et $D$ dans le repère fourni.__\n\n![Repère à compléter](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Monte_Carlo_repere.png)\n\n__Déterminer la valeur exacte de l’aire de $D$.__\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Adapter la méthode vue précédemment pour obtenir des approximations de $\\pi$ par la méthode de Monte-Carlo.__ "},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"#redéfinition de P\ndef dans_P(x,y):\n    return x**2+y**2<=1\n\n\napprox_pi=4*MonteCarlo_3(1000)\n\napprox_pi","execution_count":7,"outputs":[{"output_type":"display_data","data":{"application/javascript":"element.append(window._basthonDomNodeBus.pop(0));"},"metadata":{}},{"output_type":"execute_result","execution_count":7,"data":{"text/plain":"3.188"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n<br><br>\n<span style=\"font-size:8px\">Dernière modification de l'activité : Juillet 2022</span>"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}