\n__On note $D(a;b)$ (respectivement $D(b;r)$) l'ensemble des diviseurs communs de $a$ et $b$ (respectivement de $b$ et $r$).__
\n__Démontrer que $D(a;b)=D(b;r)$.__
\nAide :
\nOn pourra démontrer que tout diviseur commun de $a$ et de $b$ est aussi un diviseur commun de $b$ et de $r$, puis réciproquement que tout diviseur commun de $b$ et de $r$ est aussi un diviseur commun de $a$ et de $b$.\n\n\nSoit $d \\in D(a;b)$ un diviseur commun à $a$ et $b$. $d$ divise donc toute combinaison linéaire de $a$ et $b$, et il divise en particulier $a-bq=r$. Donc d divise b et r, c'est à dire $d \\in D(b;r)$. On a démontré que $D(a;b) \\subset D(b;r)$.
\nSoit $d \\in D(b;r)$ un diviseur commun à $b$ et $r$. $d$ divise donc toute combinaison linéaire de $b$ et $r$, et il divise en particulier $bq+r=a$. Donc d divise a et b, c'est à dire $d \\in D(a;b)$. On a démontré que $D(b;r) \\subset D(a;b)$.
\nFinalement, on a bien démontré que $D(a;b)=D(b;r)$.\n \n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nIl résulte du résultat précédent que la recherche du PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres entiers naturels $a$ et $b$ non nuls peut se ramener à la recherche du PGCD de $b$ et $r$, où $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
\nNous allons décrire une méthode de calcul qui permet de déterminer en un nombre fini d'opérations le PGCD de $a$ et $b$.
\nNous l'appelerons algorithme d'Euclide.\n
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.2. Dans cette question uniquement, on considère les nombres $a=525$ et $b=237$ dont on souhaite déterminer le PGCD.__
\n__Suivre la vidéo ci-dessous, qui traite ce cas particulier.__
\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.3. Dans cette question, on souhaite démontrer que la méthode détaillée ci-dessous permet de déterminer le PGCD de $a$ et $b$ en un nombre fini d'opérations.__\n\n\n\n\nOn considère deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls.
\nOn pose $\\color{red}{a_0=a}$ et $\\color{blue}{b_0=b}$ puis on considère la succession des divisions euclidiennes suivantes, réitérées tant que le reste $r_n$ n'est pas nul.
\n\\begin{array}{} \n\\color{red}{a_0} &=& \\color{blue}{b_0} \\; q_0 & + & \\color{green}{r_0} \\\\ \n\\; & \\color{blue}\\swarrow & \\; & \\color{green}\\swarrow \\\\ \n\\color{blue}{a_1} &=& \\color{green}{b_1} \\; q_1 & + & \\color{magenta}{r_1} \\\\ \n\\; & \\color{green}\\swarrow & \\; & \\color{magenta}\\swarrow \\\\ \n\\color{green}{a_2} &=& \\color{magenta}{b_2} \\; q_2 & + & \\color{brown}{r_2} \\\\ \n\\; & \\color{magenta}\\swarrow & \\; & \\color{brown}\\swarrow \\\\\n... & \\; & \\;... & & ... \\\\ \n... & \\; & \\;... & & ... \\\\\n\\color{lightblue}{a_{n-2}} &=& \\color{pink}{b_{n-2}} \\; q_{n-2} & + & \\color{orange}{r_{n-2}} \\\\ \n\\; & \\color{pink}\\swarrow & \\; & \\color{orange}\\swarrow \\\\ \n\\color{pink}{a_{n-1}} &=& \\color{orange}{b_{n-1}} \\; q_{n-1} & + & \\color{olive}{r_{n-1}} \\\\ \n\\; & \\color{orange}\\swarrow & \\; & \\color{olive}\\swarrow \\\\ \n\\color{orange}{a_n} &=& \\color{olive}{b_n} \\; q_n & + & \\color{purple}{r_n} \\\\ \n... & \\; & \\;... & & ... \\\\ \n... & \\; & \\;... & & ... \\\\ \n\\end{array}\n
\n$\\bullet$ Pour $n \\geqslant 0$ ; S'ils existent, $q_n$ et $r_n$ sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $b_n$, et on a donc $0 \\leqslant r_n
\n$\\bullet$ Pour $n \\geqslant 1$ ; S'ils existent, $a_n=b_{n-1}$ et $b_n=r_{n-1}$.\n
\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__a. Justifier que les restes $r_n$ calculés successivement sont rangés dans un ordre strictement décroissant et sont minorés par 0.__
\n$\\;\\;\\;$__En déduire qu'il existe un rang $N$ tel que $r_N=0$.__
\n\n Pour $n \\geqslant 1$, on a $0 \\leqslant r_n\n\n__b. On reprend ici les notations de la question 1.__
\n$\\;\\;\\;$__Démontrer que $D(a;b)=D(b_N;0)$.__ \n\n \nConsidérons la propriété $P(k):\"D(a;b)=D(b_k;r_k)\"$ pour $0 \\leqslant k \\leqslant N$ et démontrons la par récurrence sur $k$.
\n$D(a;b)=D(a_0;b_0)=D(b_0;r_0)$ (en utilisant le résultat démontré à la question 1), donc $P(0)$ est vraie.
\nSupposons que $P(k)$ soit vraie pour un $k$ fixé tel que $0 \\leqslant k \\leqslant N-1$.
\nOn a donc:
\n$D(a;b)=D(b_k;r_k)$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;=D(a_{k+1};b_{k+1})$ car $b_k=a_{k+1}$ et $r_k=b_{k+1}$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;=D(b_{k+1};r_{k+1})$ d'après le résultat démontré à la question 1.
\ndonc $P(k+1)$ est vraie.
\nFinalement, la propriété $P(k)$ étant fondée et héréditaire, elle est vraie pour tout $k$ tel que $0 \\leqslant k \\leqslant N$. En particulier, pour $k=N$, on obtient $D(a;b)=D(b_N;r_N)=D(b_N;0)$ puisque $r_N=0$.\n\n\n\n__c. En déduire que $b_N$ est le PGCD de $a$ et $b$.__
\n$\\;\\;\\;$__En particulier, justifier que si $b$ ne divise pas $a$, alors $r_{N-1}$, dernier reste non nul obtenu, est le PGCD de $a$ et $b$.__\n\n \nComme $D(a;b)=D(b_N;0)$, le PGCD de $a$ et $b$ est aussi le PGCD de $b_N$ et $0$, donc il vaut $b_N$.\nDans le cas où $b$ ne divise pas $a$, alors $r_{N-1}$ existe et on a $r_{N-1}=b_N$ qui est par conséquent le PGCD de $a$ et $b$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 2. Implémentation Python de l'algorithme d'Euclide"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.1. Exécuter chacune des cellules ci-dessous. Décrire brièvement ce que permettent de réaliser les syntaxes proposées.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule\n\na,b = 525,237\n\na%b #renvoie le reste de la division euclidienne de a par b","execution_count":1,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":1,"data":{"text/plain":"51"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule\n\na,b = 525,237\n\na,b = b,a%b #permet de remplacer simultanément les valeurs stockées dans a et b respectivement par b et a%b\n\na,b ","execution_count":2,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":2,"data":{"text/plain":"(237, 51)"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.2. Ecrire une fonction PGCD qui reçoit deux entiers naturels non nuls a et b en arguments, et renvoie leur PGCD déterminé à l'aide de l'algorithme d'Euclide.__
\nAide :
\nOn utilisera une boucle, dans laquelle on modifiera pas à pas les valeurs des variables a et b.\nPar exemple, pour les valeurs initiales $525$ et $237$, les valeurs successives des variables seront :\n\n| a | b | a%b | \n|:-----|:-----|:-----|\n| 525 | 237 | 51 |\n| 237 | 51 | ... |\n| ... | ... | ... |\n| ... | ... | 0 |\n\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Ecrire la fonction PGCD\n\ndef PGCD(a,b):\n \"calcule le PGCD de a et b\"\n while a%b!=0:\n a,b = b,a%b\n return b\n\n#OU (avec une étape de boucle supplémentaire mais en évitant le double calcul de a%b)\n\ndef PGCD(a,b):\n \"calcule le PGCD de a et b\"\n while b!=0:\n a,b = b,a%b\n return a\n","execution_count":3,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour vérifier\n\nPGCD(525,237)","execution_count":4,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":4,"data":{"text/plain":"3"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 3. Étude de l'identité de Bézout"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.1 Suivre la vidéo ci-dessous, qui reprend le cas particulier où $a=525$ et $b=237$.__
\n\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nOn reprend les notations précédemment introduites pour la mise en oeuvre de l'algorithme d'Euclide, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls :
\n\\begin{array}{} \n\\color{red}{a_0} &=& \\color{blue}{b_0} q_0 & + & \\color{green}{r_0} \\\\ \n\\; & \\color{blue}\\swarrow & \\; & \\color{green}\\swarrow \\\\ \n\\color{blue}{a_1} &=& \\color{green}{b_1} q_1 & + & \\color{magenta}{r_1} \\\\ \n\\; & \\color{green}\\swarrow & \\; & \\color{magenta}\\swarrow \\\\ \n\\color{green}{a_2} &=& \\color{magenta}{b_2} q_1 & + & \\color{brown}{r_2} \\\\ \n\\; & \\color{magenta}\\swarrow & \\; & \\color{brown}\\swarrow \\\\\n... & \\; & \\;... & & ... \\\\ \n... & \\; & \\;... & & ... \\\\\n\\color{lightblue}{a_{n-2}} &=& \\color{pink}{b_{n-2}} q_{n-2} & + & \\color{orange}{r_{n-2}} \\\\ \n\\; & \\color{pink}\\swarrow & \\; & \\color{orange}\\swarrow \\\\ \n\\color{pink}{a_{n-1}} &=& \\color{orange}{b_{n-1}} q_{n-1} & + & \\color{olive}{r_{n-1}} \\\\ \n\\; & \\color{orange}\\swarrow & \\; & \\color{olive}\\swarrow \\\\ \n\\color{orange}{a_n} &=& \\color{olive}{b_n} q_n & + & \\color{purple}{r_n} \\\\ \n... & \\; & \\;... & & ... \\\\ \n... & \\; & \\;... & & ... \\\\ \n\\; & \\color{blue}\\swarrow & \\; & \\color{green}\\swarrow \\\\ \n\\color{blue}{a_{N-1}} &=& \\color{green}{b_{N-1}} q_{N-1} & + & \\color{magenta}{r_{N-1}} \\\\ \n\\; & \\color{green}\\swarrow & \\; & \\color{magenta}\\swarrow \\\\ \n\\color{green}{a_N} &=& \\color{magenta}{b_N} q_N & + & \\color{red}0 \\\\\n\\end{array}\n
\nPour $0 \\leqslant n \\leqslant N $, nous allons déterminer des coefficients entiers relatifs $u_n$ et $v_n$ tels que $au_n+bv_n=r_n$ .\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.2. Vérifier que $u_0=1$ et $v_0=-q_0$ conviennent, c'est à dire qu'on a bien $au_0+bv_0=r_0$.__\n\n\n$au_0+bv_0=a_0 \\times 1 +b_0 \\times (-q_0) =a_0-bq_0=r_0$\n\n\n\n__3.3. Vérifier que $u_1=-q_1$ et $v_1=1+q_0q_1$ conviennent, c'est à dire qu'on a bien $au_1+bv_1=r_1$.__\n\n\n$au_1+bv_1=a_0 \\times (-q_1)+b_0 \\times (1+q_0q_1)=-a_0q_1+b_0+bq_0q_1=b_0-(a_0-b_0q_0)q_1=a_1-r_0q_1=a_1-b_1q_1=r_1$\n\n\n\n__3.4. Pour $2 \\leqslant n \\leqslant N$, on pose :__\n
\n$\\;\\;\\;\\;\\;$__$u_n=u_{n-2}-u_{n-1}q_n$__ \n
\n$\\;\\;\\;\\;\\;$__$v_n=v_{n-2}-v_{n-1}q_n$.__ \n
\n$\\;\\;\\;\\;\\;$__Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ tel que $2 \\leqslant n \\leqslant N$, $u_n$ et $v_n$ vérifient $au_n+bv_n=r_n$__\n\n\n \nConsidérons, pour $0 \\leqslant n \\leqslant N$, la propriété $P(n):\"au_k+bv_k=r_k \\;\\;pour\\;\\; 0 \\leqslant k \\leqslant n\"$ et démontrons la par récurrence sur $n$.
\n$P(0)$ et $P(1)$ sont vraies d'après les questions précédentes.
\nSupposons que $P(n)$ est vraie pour un $n$ fixé tel que $0 \\leqslant n \\leqslant N-1$.
\nOn a donc en particulier $au_{n-1}+bv_{n-1}=r_{n-1}$ et $au_n+bv_n=r_n$.
\nAlors:
\n$au_{n+1}+bv_{n+1}=a(u_{n-1}-u_nq_{n+1})+b(v_{n-1}-v_nq_{n+1})$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;=au_{n-1}+bv_{n-1}-q_{n+1}(au_n+bv_n)$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;=r_{n-1}-q_nr_n$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;=a_{n+1}-q_{n+1}b_{n+1}$ car $r_{n-1}=b_n=a_{n+1}$ et $r_n=b_{n+1}$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;=r_{n+1}$
\nIl en résulte que $P(n+1)$ est vraie.
\nFinalement, la propriété $P(n)$ étant fondée et héréditaire, elle est vraie pour tout $n$ tel que $0 \\leqslant n \\leqslant N$. \n\n\n\n__3.5. Démontrer que:__\n\n\n Identité de Bézout :
\n Pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls dont le PGCD est $d$, il existe deux coefficients entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=d$.\n
\nAide :
\nPour le cas où $a$ et $b$ sont tous deux positifs, utiliser la question précédente et le fait que $d=r_{N-1}$.
\nTraiter ensuite le cas où $a$ et $b$ ne sont pas tous deux positifs.\n\n\n \nDans le cas où $a$ et $b$ sont tous deux positifs:
\nEn prenant $n=N-1$ dans le résultat démontré à la question précédente, on obtient $au_{N-1}+bv_{N-1}=r_{N-1}$ et on a donc l'égalité souhaitée en posant $u=u_{N-1}$ et $v=v_{N-1}$.
\nDans le cas où $a$ et $b$ ne sont pas tous deux positifs:
Comme $\\vert a \\vert$ et $\\vert b \\vert$ sont positifs non nuls et ont même PGCD que $a$ et $b$, il existe deux coefficients entiers relatifs $u'$ et $v'$ tels que $\\vert a \\vert u'+\\vert b \\vert v'=d$.
\nOn pose alors :
\n$u = \n\\begin{Bmatrix}\n u' & \\hbox{ si }a \\hbox{ est positif} \\\\\n -u' & \\hbox{ si }a \\hbox{ est négatif}\n\\end{Bmatrix}\n$
\n$v = \n\\begin{Bmatrix}\n v' & \\hbox{ si }b \\hbox{ est positif} \\\\\n -v' & \\hbox{ si }b \\hbox{ est négatif}\n\\end{Bmatrix}\n$
\net on a bien, dans tous les cas : $au+bv=d$."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 4. Implémentation Python de la recherche des coefficients de Bézout"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Avertissement : Cette implémentation Python utilise le calcul matriciel (au programme de Math-Expertes)."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On reprend le cas de deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, et les notations utilisées dans les parties précédentes.\n\nOn considère les matrices $P_n$ définies par : \n\n\n$P_0=\\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ u_0&v_0 \\end{matrix}\\right)=\\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_0 \\end{matrix}\\right)$\n
et pour $1 \\leqslant n \\leqslant N$ :
\n$P_n=\\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_{n} \\end{matrix}\\right) \\times P_{n-1}$ \n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__4.1 Démontrer par récurrence que pour $1 \\leqslant n \\leqslant N$, on a $P_n=\\left (\\begin{matrix} u_{n-1}&v_{n-1}\\\\ u_n&v_n \\end{matrix}\\right)$.__\n\nAinsi, les coefficients $u=u_{N-1}$ et $v=v_{N-1}$ de l'égalité de Bézout sont les coefficients de la première ligne de la matrice $P_N$.\n\n\nPour $1 \\leqslant n \\leqslant N$, on note $Q(n):\" P_n=\\left (\\begin{matrix} u_{n-1}&v_{n-1}\\\\ u_n&v_n \\end{matrix}\\right) \"$.
\n$P_1=\\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_1 \\end{matrix}\\right) \\times P_0$
\n$\\;\\;\\;\\;=\\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_1 \\end{matrix}\\right) \\times \\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_0 \\end{matrix}\\right)$
\n$\\;\\;\\;\\;=\\left (\\begin{matrix} 1&-q_0\\\\ -q_1&1+q_0q_1 \\end{matrix}\\right)$
\n$\\;\\;\\;\\;=\\left (\\begin{matrix} u_0&v_0\\\\ u_1&v_1 \\end{matrix}\\right)$
\ndonc $Q(1)$ est vraie.
\nSupposons que $Q(n)$ est vraie pour un $n$ fixé tel que $1 \\leqslant n \\leqslant N-1$. On a donc $P_n=\\left (\\begin{matrix} u_{n-1}&v_{n-1}\\\\ u_n&v_n \\end{matrix}\\right)$.
\nAlors :
\n$P_{n+1}=\\left (\\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_{n+1} \\end{matrix}\\right) \\times P_n$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;= \\left( \\begin{matrix} 0&1\\\\ 1&-q_{n+1} \\end{matrix}\\right) \\times \\left (\\begin{matrix} u_{n-1}&v_{n-1}\\\\ u_n&v_n \\end{matrix}\\right)$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;= \\left( \\begin{matrix} u_n&v_n\\\\ u_{n-1}-u_nq_{n+1}&v_{n-1}-v_nq_{n+1} \\end{matrix}\\right)$
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;= \\left( \\begin{matrix} u_n&v_n\\\\ u_{n+1}&v_{n+1} \\end{matrix}\\right)$
\ndonc $Q(n+1)$ est vraie.
\nFinalement, la propriété $Q(n)$ étant fondée et héréditaire, elle est vraie pour tout $n$ tel que $1 \\leqslant n \\leqslant N$. \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__4.2 Exécuter les cellules suivantes, qui donnent des syntaxes permettant d'obtenir le quotient d'une division euclidienne, de définir une matrice et d'en extraire des valeurs.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"a = 525\nb = 237\n\n# Syntaxe pour obtenir le quotient d'une division euclidienne\nq = a//b\n\nq","execution_count":5,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":5,"data":{"text/plain":"2"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"import numpy as np\n\n# Syntaxes pour définir une matrice\n# Chacune des listes intérieures correspond à une ligne de la matrice\nP = np.array([ [ 0 , 1 ] , [ 1 , -q ] ]) \n\nP # Cette matrice correspond à P_0","execution_count":6,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":6,"data":{"text/plain":"array([[ 0, 1],\n [ 1, -2]])"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"s,t = P[0]\n\ns,t # Ces valeurs correspondent à la première ligne de la matrice P_0\n","execution_count":7,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":7,"data":{"text/plain":"(0, 1)"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__4.3 Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de calculer P_1 à partir de P_0. Exécuter ensuite plusieurs fois d'affilée cette cellule. Quelles sont les matrices obtenues, stockées successivement dans P? Justifier.__\n\n\nOn obtient successivement les matrices $P_1$, $P_2$, $P_3$ ... car la cellule permet d'appliquer la formule de récurrence vérifiée par ces matrices.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"a,b = b,a%b\nq = a//b\n\n# Syntaxe pour multiplier deux matrices\nP = np.dot( np.array([ [ 0 , 1 ] , [ 1 , -q ] ]) , P )\n\nP ","execution_count":8,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":8,"data":{"text/plain":"array([[ 1, -2],\n [-4, 9]])"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__4.4 Ecrire une fonction Bezout qui reçoit en argument deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, et qui renvoie leur PGCD et les coefficients de Bézout associés $u$ et $v$.__
\nAide:
\nOn pourra reprendre et modifier la fonction Python de la question 2.2."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Ecrire la fonction Bezout\nimport numpy as np\n\ndef Bezout(a,b):\n \n #Calcul de P_0\n q = a//b\n P = np.array([ [ 0 , 1 ] , [ 1 , -q ] ]) \n \n #même test d'arrêt que pour l'algorithme d'Euclide\n while a%b!=0:\n a,b = b,a%b\n q = a//b\n P = np.dot( np.array([ [ 0 , 1 ] , [ 1 , -q ] ]) , P )\n \n u,v = P[0]\n \n return b,u,v\n","execution_count":9,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour tester la fonction\n\nBezout(525,237)","execution_count":11,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":11,"data":{"text/plain":"(3, 14, -31)"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\nEuclide (IVème-IIIème siècle av JC) et Étienne Bézout (1730-1783)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n
\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}