{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n\n Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Sommes d'entiers (corrigé)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Sommaire\n\n1. Somme des premiers entiers naturels
\n2. Somme des carrés des premiers entiers naturels
\n3. Somme des cubes des premiers entiers naturels
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 1. Somme des premiers entiers naturels"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose :\n$$\\displaystyle S_n=1+2+...+n=\\sum\\limits_{k=1}^{n}{k} $$\n
\n\n__1.1. Écrire une fonction Python somme_entiers qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $S_n$.__
\n$\\quad\\;$On pourra utiliser une boucle for et un accumulateur."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Écrire ici la fonction somme_entiers\ndef somme_entiers(n):\n \"\"\"\n fonction qui calcule la somme des entiers naturels de 1 à n\n \"\"\"\n S=0\n for k in range(1,n+1):\n S=S+k\n return S\n ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Tester ici la fonction somme_entiers\nsomme_entiers(3)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.2.a. Activer la cellule ci-dessous.__
\n$\\quad\\quad$__Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $2\\times S_n$ peut se ramener à un simple produit.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__b. En utilisant cette méthode, calculer à la main $S_{10}$.__
\n$\\quad\\quad$__Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_entiers__.\n

\n$\\displaystyle S_{10}=\\frac{10\\times 11}{2}=55$"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification\nsomme_entiers(10)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__c. Conjecturer une expression de $S_n$ en fonction de $n$.__\n

\nIl semble que $\\displaystyle S_{n}=\\frac{n(n+1)}{2}$"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.3. On souhaite maintenant démontrer la formule conjecturée à la question 1.2.c :__

\n\n
\nVersion 1ère Spé Math

\nAdditionner terme à terme l'expression de $2 \\times S_n$ donnée ci-dessous, et en déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$
\n$$\\begin{matrix} 2 \\times S_n & =& & 1 &+ & 2 &+ & 3 &+ & ... &+ & (n-1) &+ & n \\\\\n & & + & n &+ & (n-1) &+ & (n-2) &+ & ... &+ & 2 &+ & 1 \n\\end{matrix}$$ \n
\n\n
\n Version Tale Spé Math

\n Démontrer par récurrence la formule conjecturée en 1.2.c.\n
\n\n
\n
\n Version 1ère Spé Math
\n$\\begin{matrix} 2 \\times S_n & =& & 1 &+ & 2 &+ & 3 &+ & ... &+ & (n-1) &+ & n \\\\\n & & + & n &+ & (n-1) &+ & (n-2) &+ & ... &+ & 2 &+ & 1 \n\\end{matrix}$
\n$2 \\times S_n = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) $ avec $n$ facteurs
\n$2 \\times S_n = n(n+1)$
\n$ \\displaystyle S_n = \\frac{n(n+1)}{2}$
\n\n
\n\n
\n
\n Version Terminale Spé Math
\nPour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$, on pose $P(n)$ : \"$S_n = \\frac{n(n+1)}{2}$\".\n\n\n
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.4. À l'aide de la formule obtenue, calculer $S_{100}=1+2+...+100$ puis vérifier le résultat à l'aide de la fonction Python somme_entiers.__\n\n
\n\n$\\displaystyle S_{100}=1+2+...+100=\\frac{100\\times101}{2}=50\\times101=5050$\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification\nsomme_entiers(100)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.5. Dans cette question, on pose pour $n \\in \\mathbb{N}^*$:__
\n\n$\\quad$a. Justifier que $P_n=2 \\times S_n$ et en déduire l'expression de $P_n$ en fonction de $n$.
\n$\\quad$b. Justifier que $P_n+I_n=S_{2n}$ et en déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.\n\n
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 2. Somme des carrés des premiers entiers naturels"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : \n$$\\displaystyle T_n=1^2+2^2+...+n^2=\\sum\\limits_{k=1}^{n}{k^2} $$\n
\n\n__2.1. Écrire une fonction Python somme_carres qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $T_n$.__
\n$\\quad\\;$On pourra s'inspirer de la fonction somme_entiers écrite dans la partie 1."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Écrire ici la fonction somme_carres\ndef somme_carres(n):\n \"\"\"\n fonction qui calcule la somme des carrés des entiers naturels de 1 à n\n \"\"\"\n S=0\n for k in range(1,n+1):\n S=S+k**2\n return S\n ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Tester ici la fonction somme_carres\nsomme_carres(5)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.2.a. Activer la cellule ci-dessous.__
\n$\\quad\\quad$__Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $6\\times T_n$ peut se ramener au calcul de volume d'un parallélépipède.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__b. En utilisant cette méthode, calculer à la main $T_{6}$.__
\n$\\quad\\quad$__Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_carres__.\n\n
\n\n$\\displaystyle 6\\times T_6 = 6\\times7\\times13 =546$ donc $T_6 = 91$\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification\nsomme_carres(6)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__c. Conjecturer une expression de $T_n$ en fonction de $n$.__\n

\nIl semble que $\\displaystyle T_{n}=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.3. On souhaite maintenant démontrer la formule conjecturée à la question 2.2.c :__

\n\n
\nVersion 1ère Spé Math

\n
Pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$, on pose $\\displaystyle v_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
\n \n
\n\n
\n Version Terminale Spé Math

\n Démontrer par récurrence la formule conjecturée en 2.2.c.\n
\n\n
\n
\n Version 1ère Spé Math
\nOn a $\\displaystyle v_1=\\frac{1(1+1)(2\\times1+1)}{6}=1$ et:
\n$\\displaystyle v_n+(n+1)^2=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$
\n$\\displaystyle v_n+(n+1)^2=\\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$ (en réduisant au même dénominateur)
\n$\\displaystyle v_n+(n+1)^2=\\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}$ (en factorisant par $(n+1)$)
\n$\\displaystyle v_n+(n+1)^2=\\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$
\nD'autre part, on a :
\n$(n+2)(2(n+1)+1)=(n+2)(2n+3)=2n^2+7n+6$
\ndonc :
\n$\\displaystyle v_n+(n+1)^2=\\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$
\net donc :
\n$\\displaystyle v_n+(n+1)^2=v_{n+1}$
\nAu final, les suites $(v_n)_{n\\geq1}$ et $(T_n)_{n\\geq1}$ vérifient la même formule de récurrence et on a $v_1=1=T_1$, donc $\\forall n \\in \\mathbb{N}^*$ on a $\\displaystyle T_n=v_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.\n\n
\n\n
\n
\n Version Terminale Spé Math
\nPour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$, on pose $P(n)$ : \"$T_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$\".\n\n\n
\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 3. Somme des cubes des premiers entiers naturels"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\n$$\\displaystyle C_n=1^3+2^3+...+n^3=\\sum\\limits_{k=1}^{n}{k^3} $$\n
\n\n__3.1. Écrire une fonction Python somme_cubes qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $C_n$.__
\n$\\quad\\;$On pourra s'inspirer des fonctions somme_entiers et somme_carres écrites dans les parties 1 et 2."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Écrire ici la fonction somme_cubes\ndef somme_cubes(n):\n \"\"\"\n fonction qui calcule la somme des cubes des entiers naturels de 1 à n\n \"\"\"\n S=0\n for k in range(1,n+1):\n S=S+k**3\n return S\n ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Tester ici la fonction somme_carres\nsomme_cubes(3)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.2.a. Activer la cellule ci-dessous.__
\n$\\quad\\quad$__Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $C_n$ peut se ramener au calcul de l'aire d'un carré.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__b. À l'aide de cette méthode, exprimer $C_{5}$ en fonction de $S_5=1+2+...+5$.__
\n$\\quad\\quad$__Calculer $S_5$ et en déduire la valeur de $C_{5}$.__
\n$\\quad\\quad$__Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_cubes__.\n\n\nD'après la construction, on a $ C_5=(1+2+...+5)^2={S_5}^2$.
\nOr $S_5=\\displaystyle \\frac{5\\times(5+1)}{2}$, donc $\\displaystyle C_5=\\left( \\frac{5\\times(5+1)}{2} \\right) ^2 = \\frac{5^2\\times(5+1)^2}{4} = 225$\n\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification\nsomme_cubes(5)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.3. On souhaite maintenant démontrer que $\\displaystyle C_n={S_n}^2=\\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$.__

\n\n
\nVersion 1ère Spé Math

\n
Pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$, on pose $\\displaystyle w_n=\\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
\n \n
\n\n
\n Version Terminale Spé Math

\n Démontrer la formule par récurrence.\n
\n\n
\n
\n Version 1ère Spé Math
\nOn a $\\displaystyle w_1=\\frac{1^2\\times(1+1)^2}{4}=1$ et:
\n$\\displaystyle w_n+(n+1)^3=\\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$
\n$\\displaystyle w_n+(n+1)^3=\\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}$ (en réduisant au même dénominateur)
\n$\\displaystyle w_n+(n+1)^3=\\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}$ (en factorisant par $(n+1)^2$)
\n$\\displaystyle w_n+(n+1)^3=\\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}$
\n$\\displaystyle w_n+(n+1)^3=\\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$ (en factorisant à l'aide d'une identité remarquable)
\n$\\displaystyle w_n+(n+1)^3=w_{n+1}$
\nAu final, les suites $(w_n)_{n\\geq1}$ et $(C_n)_{n\\geq1}$ vérifient la même formule de récurrence et on a $w_1=1=C_1$, donc $\\forall n \\in \\mathbb{N}^*$ on a $\\displaystyle C_n=w_n=\\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.\n\n
\n\n
\n
\n Version Terminale Spé Math
\nPour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$, on pose $P(n)$ : \"$C_n=\\frac{n^2(n+1)^2}{4}$\".\n\n\n
\n\n\n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Aryabhata](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Aryabhata.jpg)\n\n
Aryabhata (476-550) avait déjà connaissance des formules pour le calcul de la somme des premiers carrés et des premiers cubes.
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n

\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"},"language_info":{"codemirror_mode":{"name":"ipython","version":3},"file_extension":".py","mimetype":"text/x-python","name":"python","nbconvert_exporter":"python","pygments_lexer":"ipython3","version":"3.8.5"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}