{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\n\n© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n\n Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Une Spirale infinie de longueur finie \n#### Étude d'une suite de nombres complexes\n\n__Note :__ Cette activité ne nécessite pas la connaissance de l'écriture exponentielle d'un nombre complexe. Elle est inspirée d'un exercice du Bac S 2014 Centres Étrangers."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__On considère la suite de nombres complexes $(z_n)_{n \\geq 0}$ définie par :__\n\n - $z_0=16$ ;
\n - $\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $\\displaystyle z_{n+1}=\\frac{1+i}{2}z_n$.
\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1. a. Déterminer les formes algébriques de $z_1$ ; $z_2$ et $z_3$.__
\n$\\;\\;\\;$__b. Le nombre complexe $i$ se code 1j en Python. Exécuter les deux cellules suivantes, qui permettent de définir $z_0$ et de calculer $z_1$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"z0 = 16\nz0","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"z1 = z0 * (1+1j) /2\nz1","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\;\\;\\;$__c. Effectuer des saisies pour calculer $z_2$ et $z_3$, et vérifier la cohérence avec les résultats de la question 1.a.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2. a. On souhaite maintenant automatiser le calcul des termes de la suite $(z_n)_{n \\geq 0}$.__
\n$\\quad\\;\\;\\;$__Définir une fonction Python z qui reçoit en argument n et renvoie le nombre complexe $z_n$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Python z\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;\\;\\;$__b. Effectuer des appels à la fonction z pour retrouver les valeurs de $z_1$ ; $z_2$ et $z_3$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3. La fonction Python graphique donnée ci-dessous permet d'obtenir une représentation graphique du plan complexe où apparaissent :__\n\n - les points $M_n(z_n)$ pour $0\\leq n \\leq N$ ;
\n - les segments $[M_nM_{n+1}]$ pour $0\\leq n \\leq N-1$.
\n
\n\n__Exécuter les deux cellules pour obtenir cette représentation graphique pour $N=10$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"import matplotlib.pyplot as plt\n\ndef graphique(z,N):\n \"\"\"\n Fonction qui affiche les points d'affixes z(n) pour n de 0 jusqu'à N\n et des segments qui les joignent\n où z est une fonction Python correspondant à une suite de complexes\n \"\"\" \n # initialisation du graphique\n plt.figure()\n \n # création de la liste des abscisses et de la liste des ordonnées\n Lx = [z(n).real for n in range(N+1)]\n Ly = [z(n).imag for n in range(N+1)]\n \n # création des noms des points\n Lname = ['$M_{'+str(n)+'}$' for n in range(N+1) ]\n \n #paramétrage de la fenêtre d'affichage \n xmin = int(min(Lx+[-1])) ; xmax = int(max(Lx+[1]))+1\n ymin = int(min(Ly+[-1])) ; ymax = int(max(Ly+[1]))+1\n \n # réglage du repère orthonormé avec graduations\n plt.figure(num=0, figsize=(12,8), dpi=80) ; \n plt.axis([xmin-0.5,xmax+0.5,ymin-0.5,ymax+0.5])\n plt.xticks( [ k for k in range(xmin-1,xmax+1) ] )\n plt.yticks( [ k for k in range(ymin-1,ymax+1) ] ) \n ax = plt.gca()\n ax.spines['right'].set_color('none') \n ax.spines['top'].set_color('none')\n ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') ; ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))\n ax.yaxis.set_ticks_position('left') ; ax.spines['left'].set_position(('data',0))\n ax.set_aspect('equal') \n # représentation des points avec leurs noms et des segments qui les joignent\n plt.plot(Lx,Ly,color='orchid')\n plt.scatter(Lx,Ly,color='darkviolet') \n for n in range(N+1):\n plt.text(Lx[n]+0.3,Ly[n]+0.3,Lname[n],horizontalalignment='center',verticalalignment='center', fontsize=10, color='darkviolet')\n\n # affichage\n plt.show()","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"graphique(z,10)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nOn souhaite maintenant étudier, pour $N \\geq 1$ la longueur de la ligne polygonale $\\color{darkviolet}{M_0M_1...M_N}$, notée $L_N$.
\nAinsi, on a :\n$$L_N = \\sum\\limits_{n=0}^{N-1}{M_nM_{n+1}}=M_0M_1+M_1M_2+...+M_{N-1}M_N$$\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__4. Étude algorithmique.__
\n$\\;\\;\\;$__a. La fonction Python abs permet de calculer le module d'un nombre complexe.__
\n$\\quad\\;\\;$__Exécuter les deux cellules suivantes. Que permettent-elles de calculer ?__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"a = z(1)-z(0)\na","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(a)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\;\\;\\;$__b. Définir une fonction Python L qui reçoit en argument N et renvoie la longueur $L_N$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Python L\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\;\\;\\;$__c. À l'aide de la fonction Python L, effectuer des saisies pour calculer $L_{10}$, $L_{100}$ puis $L_{1000}$.__
\n$\\quad\\;\\;$__Que peut-on conjecturer concernant $L_N$ lorsque $N$ tend vers $+\\infty$ ?__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__5. Étude mathématique.__
\n$\\;\\;\\;$__Pour tout $n \\geq 0$, on pose $r_n = \\lvert z_n \\rvert$.__
\n$\\;\\;\\;$__a. Démontrer que pour tout $n \\geq 0$ ; $\\displaystyle r_{n+1}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}r_n$. En déduire la nature de la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$.__
\n$\\;\\;\\;$__b. Démontrer que pour tout $n \\geq 0$ ; $M_nM_{n+1}=r_{n+1}$.__
\n$\\;\\;\\;$__c. En déduire une expression de $L_N = \\displaystyle\\sum\\limits_{n=0}^{N-1}{M_nM_{n+1}}$ en fonction de $N$.__
\n$\\;\\;\\;$__d. Déterminer $\\lim\\limits_{N \\to +\\infty}{L_N}$ pour retrouver le résultat conjecturé à la question 4.c.__
\n$\\quad\\;\\;$__À l'aide d'une saisie Python, obtenir une valeur approchée de cette limite.__
\n$\\quad\\;\\;$Aide : La fonction Python sqrt, importée du module math, permet de calculer la racine carrée d'un nombre.
\n$\\quad\\;\\;$__Comparer avec la valeur de $L_{1000}$.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from math import sqrt # import de la fonction sqrt\n\n# Effectuer ici une saisie pour une valeur approchée de la limite\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\n Jean Robert Argand (1768-1822) a présenté en 1806 une méthode de représentation géométrique des nombres complexes dans le plan."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n
\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}