{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Résolution matricielle de systèmes"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Sommaire\n",
"\n",
"I.Football \n",
"II.Volleyball
\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## I. Football"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" \n",
"\n",
"Un joueur de foot, situé à $18 m$ du but, effectue un tir en cloche. \n",
"On modélise la situation dans un repère orthonormé (l'unité choisie est le mètre).
\n",
"On suppose que :\n",
"
\n",
"
la trajectoire du ballon est parabolique et passe par les points $A(-18\\;;0)$ et $B(-14\\;;3,2)$.
\n",
"
la tangente à la courbe en $A$ forme un angle de $45°$ avec l'horizontale.
\n",
"
\n",
"\n",
"L'animation ci-dessous permet d'obtenir la représentation graphique (incomplète) de ce tir. \n",
" \n",
"Pour faire apparaître et activer l'animation, sélectionner la cellule ci-dessous et valider avec SHIFT+Entrée.\n",
"\n",
"Vous pouvez ensuite utiliser les menus cinématiques :\n",
"\n",
"\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/figfootball.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"On note $f$ la fonction qui à l'abscisse $x$ de la balle associe son ordonnée $f(x)$. \n",
"Comme la trajectoire est supposée parabolique, $f$ est une fonction polynôme du second degré. \n",
"On note $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer. \n",
" \n",
"1. a. Donner les valeurs de $f(-18)$ ; $f(-14)$ et $f'(-18)$.
\n",
"$\\;\\;\\;$b. En déduire un système $(S)$ de 3 équations à 3 inconnues dont le triplet $(a\\;;b\\;;c)$ est solution.
\n",
"$\\;\\;\\;$c. Écrire le système $(S)$ sous forme matricielle $AX=B$. \n",
"$\\quad\\;\\;$(où $A$ est une matrice carrée d'ordre 3 et où $B$ et $X$ sont des matrices colonnes de dimension 3) \n",
"$\\quad\\;\\;$Résoudre ce système $(S)$ et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"2. Compléter les définitions des matrices Python A et B de la cellule suivante. \n",
"$\\;\\;\\;$Exécuter ensuite les cellules Python pour vérifier les résultats de la question 1.c.\n",
"\n",
"
\n",
" Le module sympy permet :\n",
"
\n",
"
de créer des matrices avec la syntaxe Matrix ;
\n",
"
de multiplier des matrices avec la syntaxe * ;
\n",
"
de calculer l'inverse d'une matrice avec la syntaxe **-1.
\n",
"
\n",
"
\n",
" "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from sympy import Matrix # import des fonctionnalités pour le calcul matriciel\n",
"\n",
"# Compléter les saisies de A et B\n",
"\n",
"A = Matrix([[ , , ],\n",
" [ , , ],\n",
" [ , , ]])\n",
"\n",
"B = Matrix([[ ],\n",
" [ ],\n",
" [ ]]) \n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Calcul de la matrice U, inverse de A\n",
"U = A**-1\n",
"U"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Calcul du produit de U par B\n",
"U*B"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"3. a. À quelle hauteur maximale le ballon va-t-il s'élever ?
\n",
"$\\;\\;\\;$b. Sachant que le but a une hauteur de $2,44m$, le tir est-il cadré ?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## II. Volleyball"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" \n",
"\n",
"\n",
"On donne ci-contre les dimensions d’un terrain de Volley-Ball. \n",
" \n",
"Un joueur effectue un smash ! \n",
"Passant au dessus du filet, la balle suit une trajectoire parabolique. \n",
" \n",
"Un appareil photo à déclenchement en rafales a permis de déterminer que la balle est passée par les points $A(-2\\;;2)$ ; $B(-1\\;;2,5)$ et $C(4\\;;3,2)$ dans le repère ci-contre défini à partir du filet.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"On souhaite répondre aux questions suivantes: \n",
"
\n",
"
Placé à $6m$ du filet, un joueur saute et s’interpose jusqu’à la hauteur de $2,55m$. \n",
" Justifier qu'il n'intercepte pas la balle.
\n",
"
Où la balle retombera-t-elle ?
\n",
"
Le point sera-t-il marqué ?
\n",
"
\n",
"On pourra résoudre le système d'équations à l'aide de saisies Python, en utilisant les cellules ci-dessous.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from sympy import Matrix # import des fonctionnalités pour le calcul matriciel\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"
La tablette VAT8389 (env. 1900 av. JC) contient dix problèmes qui correspondent à des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues.
![](\"img/Stadefoot.jpg\")
\n",
"![](\"img/Volley_terrain.png\")
\n",
"![](\"img/Volley_repere.png\")
\n",
"\n",
"On souhaite répondre aux questions suivantes: