{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Résolution matricielle de systèmes(corrigé)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Sommaire\n",
"\n",
"I.Football \n",
"II.Volleyball
\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## I. Football"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" \n",
"\n",
"Un joueur de foot, situé à $18 m$ du but, effectue un tir en cloche. \n",
"On modélise la situation dans un repère orthonormé (l'unité choisie est le mètre).
\n",
"On suppose que :\n",
"
\n",
"
la trajectoire du ballon est parabolique et passe par les points $A(-18\\;;0)$ et $B(-14\\;;3,2)$.
\n",
"
la tangente à la courbe en $A$ forme un angle de $45°$ avec l'horizontale.
\n",
"
\n",
"\n",
"L'animation ci-dessous permet d'obtenir la représentation graphique (incomplète) de ce tir. \n",
" \n",
"Pour faire apparaître et activer l'animation, sélectionner la cellule ci-dessous et valider avec SHIFT+Entrée.\n",
"\n",
"Vous pouvez ensuite utiliser les menus cinématiques :\n",
"\n",
"\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 1,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/html": [
"\n",
"\t\n",
"\t\t\n",
"\t\t\n",
"\t\t\n",
"\t\t\n",
"\t\n",
"\t\n",
"\t\t
\n",
"\t\n",
"\n"
],
"text/plain": [
""
]
},
"metadata": {},
"output_type": "display_data"
}
],
"source": [
"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/figfootball.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"On note $f$ la fonction qui à l'abscisse $x$ de la balle associe son ordonnée $f(x)$. \n",
"Comme la trajectoire est supposée parabolique, $f$ est une fonction polynôme du second degré. \n",
"On note $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer. \n",
" \n",
"1. a. Donner les valeurs de $f(-18)$ ; $f(-14)$ et $f'(-18)$.
\n",
"$\\;\\;\\;$b. En déduire un système $(S)$ de 3 équations à 3 inconnues dont le triplet $(a\\;;b\\;;c)$ est solution.
\n",
"$\\;\\;\\;$c. Écrire le système $(S)$ sous forme matricielle $AX=B$. \n",
"$\\quad\\;\\;$(où $A$ est une matrice carrée d'ordre 3 et où $B$ et $X$ sont des matrices colonnes de dimension 3) \n",
"$\\quad\\;\\;$Résoudre ce système $(S)$ et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.\n",
"\n",
" \n",
" \n",
"\n",
"1. a. $f(-18)=0$ ; $f(-14)=3,2$ et $f'(-18)=1$ \n",
"$\\;\\;\\;$b. $f'(x)=2ax+b$ donc: \n",
"$\\quad\\;\\;$ $\\begin{Bmatrix} f(-18) & = & 0 \\\\ f(-14) & = & 3,2 \\\\ f'(-18) & = & 1 \\end{Bmatrix}$ \n",
"$\\quad\\;\\;$ $\\Longleftrightarrow \\begin{Bmatrix} (-18)^2a-18b+c & = & 0 \\\\ (-14)^2a-14b+c & = & 3,2 \\\\ 2\\times(-18)a+b & = & 1 \\end{Bmatrix}$ \n",
"$\\quad\\;\\;$ $\\Longleftrightarrow \\begin{Bmatrix} 324a-18b+c & = & 0 \\\\ 196a-14b+c & = & 3,2 \\\\ -36a+b & = & 1 \\end{Bmatrix}$ \n",
"$\\quad\\;\\;$ $\\Longleftrightarrow AX=B$ \n",
"$\\quad\\;\\;$ avec $A=\\begin{pmatrix} 324 & -18 & 1 \\\\ 196 & -14 & 1 \\\\ -36 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$ ; $X=\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix}$ et $B=\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 3,2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ \n",
"$A$ est inversible et $A^{-1}=\\frac{1}{16} \\begin{pmatrix} -1 & 1 & -4 \\\\ -36 & 36 & -128 \\\\ -308 & 324 & -1008 \\end{pmatrix}$ \n",
"En multipliant $AX=B$ à gauche par $A^{-1}$, on obtient $X=A^{-1}B=\\begin{pmatrix} -0,05 \\\\ -0,8 \\\\ 1,8 \\end{pmatrix}$ \n",
"On en déduit que $\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} -0,05 \\\\ -0,8 \\\\ 1,8 \\end{pmatrix}$ et donc que $f(x)=-0,05x²-0,8x+1,8$.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"2. Compléter les définitions des matrices Python A et B de la cellule suivante. \n",
"$\\;\\;\\;$Exécuter ensuite les cellules Python pour vérifier les résultats de la question 1.c.\n",
"\n",
"
\n",
" Le module sympy permet :\n",
"
\n",
"
de créer des matrices avec la syntaxe Matrix ;
\n",
"
de multiplier des matrices avec la syntaxe * ;
\n",
"
de calculer l'inverse d'une matrice avec la syntaxe **-1.
\n",
"$\\;\\;\\;$b. Sachant que le but a une hauteur de $2,44m$, le tir est-il cadré ?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"3. a. $\\displaystyle \\alpha = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-0,8}{2\\times(-0,05)} =-8$ et $\\displaystyle \\beta = f(\\alpha) = f(-8)= 5$ \n",
"$\\quad\\;\\;$La hauteur maximale atteinte par le ballon est $5m$. \n",
" \n",
"$\\;\\;\\;$b. $f(0)=1,8<2,44$ donc le tir est cadré. \n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## II. Volleyball"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" \n",
"\n",
"\n",
"On donne ci-contre les dimensions d’un terrain de Volley-Ball. \n",
" \n",
"Un joueur effectue un smash ! \n",
"Passant au dessus du filet, la balle suit une trajectoire parabolique. \n",
" \n",
"Un appareil photo à déclenchement en rafales a permis de déterminer que la balle est passée par les points $A(-2\\;;2)$ ; $B(-1\\;;2,5)$ et $C(4\\;;3,2)$ dans le repère ci-contre défini à partir du filet.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"On souhaite répondre aux questions suivantes: \n",
"
\n",
"
Placé à $6m$ du filet, un joueur saute et s’interpose jusqu’à la hauteur de $2,55m$. \n",
" Justifier qu'il n'intercepte pas la balle.
\n",
"
Où la balle retombera-t-elle ?
\n",
"
Le point sera-t-il marqué ?
\n",
"
\n",
"On pourra résoudre le système d'équations à l'aide de saisies Python, en utilisant les cellules ci-dessous.\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"
\n",
"
Si on modélise la trajectoire à l'aide de la fonction $g$ telle que $g(x)=ax^2+bx+c$, alors on obtient le système : \n",
" $\\begin{Bmatrix} 4a-2b+c & = & 2 \\\\ a-b+c & = & 2,45 \\\\ 16a+4b+c & = & 3,2 \\end{Bmatrix} \\Longleftrightarrow AX=B$ \n",
" $\\quad\\;\\;$ avec $A=\\begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 16 & 4 & 1 \\end{pmatrix}$ ; $X=\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix}$ et $B=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 2,45 \\\\ 3,2 \\end{pmatrix}$. \n",
" La résolution Python permet d'obtenir $\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -0,06 \\\\ 0,32 \\\\ 2,88 \\end{pmatrix} $ et donc $g(x)=-0,06x^2+0,32x+2,88$. \n",
"
\n",
"
$g(6)=2,64>2,55$ donc la balle n'est pas interceptée par le joueur.\n",
"
\n",
"
\n",
" On détermine les abscisses des intersections de la courbe avec l'axe des abscisses : \n",
" $\\Delta = 0,32^2-4\\times(-0,06)\\times2,88 = 0,7936$ \n",
" $\\displaystyle x_1=\\frac{-0,32-\\sqrt{0,7936}}{2\\times(-0,06)} \\approx 10,09$ \n",
" $\\displaystyle x_2=\\frac{-0,32-\\sqrt{0,7936}}{2\\times(-0,06)} \\approx -4,75$ \n",
" Ainsi la balle retombe à $10,09m$ après le filet et le point n'est pas marqué, puisqu'elle retombe hors des limites du terrain.\n",
"
![](\"img/Stadefoot.jpg\")
\n",
"![](\"img/Volley_terrain.png\")
\n",
"![](\"img/Volley_repere.png\")
\n",
"\n",
"On souhaite répondre aux questions suivantes: