\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## I. Football"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n \n\nUn joueur de foot, situé à $18 m$ du but, effectue un tir en cloche. \nOn modélise la situation dans un repère orthonormé (l'unité choisie est le mètre).
\nOn suppose que :\n
\n
la trajectoire du ballon est parabolique et passe par les points $A(-18\\;;0)$ et $B(-14\\;;3,2)$.
\n
la tangente à la courbe en $A$ forme un angle de $45°$ avec l'horizontale.
\n
\n\nL'animation ci-dessous permet d'obtenir la représentation graphique (incomplète) de ce tir. \n \nPour faire apparaître et activer l'animation, sélectionner la cellule ci-dessous et valider avec SHIFT+Entrée.\n\nVous pouvez ensuite utiliser les menus cinématiques :\n\n\n\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nOn note $f$ la fonction qui à l'abscisse $x$ de la balle associe son ordonnée $f(x)$. \nComme la trajectoire est supposée parabolique, $f$ est une fonction polynôme du second degré. \nOn note $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer. \n \n1. a. Donner les valeurs de $f(-18)$ ; $f(-14)$ et $f'(-18)$.
\n$\\;\\;\\;$b. En déduire un système $(S)$ de 3 équations à 3 inconnues dont le triplet $(a\\;;b\\;;c)$ est solution.
\n$\\;\\;\\;$c. Écrire le système $(S)$ sous forme matricielle $AX=B$. \n$\\quad\\;\\;$(où $A$ est une matrice carrée d'ordre 3 et où $B$ et $X$ sont des matrices colonnes de dimension 3) \n$\\quad\\;\\;$Résoudre ce système $(S)$ et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.\n\n \n \n\n1. a. $f(-18)=0$ ; $f(-14)=3,2$ et $f'(-18)=1$ \n$\\;\\;\\;$b. $f'(x)=2ax+b$ donc: \n$\\quad\\;\\;$ $\\begin{Bmatrix} f(-18) & = & 0 \\\\ f(-14) & = & 3,2 \\\\ f'(-18) & = & 1 \\end{Bmatrix}$ \n$\\quad\\;\\;$ $\\Longleftrightarrow \\begin{Bmatrix} (-18)^2a-18b+c & = & 0 \\\\ (-14)^2a-14b+c & = & 3,2 \\\\ 2\\times(-18)a+b & = & 1 \\end{Bmatrix}$ \n$\\quad\\;\\;$ $\\Longleftrightarrow \\begin{Bmatrix} 324a-18b+c & = & 0 \\\\ 196a-14b+c & = & 3,2 \\\\ -36a+b & = & 1 \\end{Bmatrix}$ \n$\\quad\\;\\;$ $\\Longleftrightarrow AX=B$ \n$\\quad\\;\\;$ avec $A=\\begin{pmatrix} 324 & -18 & 1 \\\\ 196 & -14 & 1 \\\\ -36 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$ ; $X=\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix}$ et $B=\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 3,2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ \n$A$ est inversible et $A^{-1}=\\frac{1}{16} \\begin{pmatrix} -1 & 1 & -4 \\\\ -36 & 36 & -128 \\\\ -308 & 324 & -1008 \\end{pmatrix}$ \nEn multipliant $AX=B$ à gauche par $A^{-1}$, on obtient $X=A^{-1}B=\\begin{pmatrix} -0,05 \\\\ -0,8 \\\\ 1,8 \\end{pmatrix}$ \nOn en déduit que $\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} -0,05 \\\\ -0,8 \\\\ 1,8 \\end{pmatrix}$ et donc que $f(x)=-0,05x²-0,8x+1,8$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n2. Compléter les définitions des matrices Python A et B de la cellule suivante. \n$\\;\\;\\;$Exécuter ensuite les cellules Python pour vérifier les résultats de la question 1.c.\n\n
\n Le module sympy permet :\n
\n
de créer des matrices avec la syntaxe Matrix ;
\n
de multiplier des matrices avec la syntaxe * ;
\n
de calculer l'inverse d'une matrice avec la syntaxe **-1.
\n
\n
\n "},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from sympy import Matrix # import des fonctionnalités pour le calcul matriciel\n\n# Compléter les saisies de A et B\n\nA = Matrix([[ 324 , -18 , 1 ],\n [ 196 , -14 , 1 ],\n [ -36 , 1 , 0 ]])\n\nB = Matrix([[ 0 ],\n [ 3.2],\n [ 1 ]]) \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Calcul de la matrice U, inverse de A\nU = A**-1\nU","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Calcul du produit de U par B\nU*B","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n3. a. À quelle hauteur maximale le ballon va-t-il s'élever ?
\n$\\;\\;\\;$b. Sachant que le but a une hauteur de $2,44m$, le tir est-il cadré ?"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n3. a. $\\displaystyle \\alpha = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-0,8}{2\\times(-0,05)} =-8$ et $\\displaystyle \\beta = f(\\alpha) = f(-8)= 5$ \n$\\quad\\;\\;$La hauteur maximale atteinte par le ballon est $5m$. \n \n$\\;\\;\\;$b. $f(0)=1,8<2,44$ donc le tir est cadré. \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## II. Volleyball"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n \n\n\nOn donne ci-contre les dimensions d’un terrain de Volley-Ball. \n \nUn joueur effectue un smash ! \nPassant au dessus du filet, la balle suit une trajectoire parabolique. \n \nUn appareil photo à déclenchement en rafales a permis de déterminer que la balle est passée par les points $A(-2\\;;2)$ ; $B(-1\\;;2,5)$ et $C(4\\;;3,2)$ dans le repère ci-contre défini à partir du filet.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\nOn souhaite répondre aux questions suivantes: \n
\n
Placé à $6m$ du filet, un joueur saute et s’interpose jusqu’à la hauteur de $2,55m$. \n Justifier qu'il n'intercepte pas la balle.
\n
Où la balle retombera-t-elle ?
\n
Le point sera-t-il marqué ?
\n
\nOn pourra résoudre le système d'équations à l'aide de saisies Python, en utilisant les cellules ci-dessous.\n\n
\n\n
\n
Si on modélise la trajectoire à l'aide de la fonction $g$ telle que $g(x)=ax^2+bx+c$, alors on obtient le système : \n $\\begin{Bmatrix} 4a-2b+c & = & 2 \\\\ a-b+c & = & 2,45 \\\\ 16a+4b+c & = & 3,2 \\end{Bmatrix} \\Longleftrightarrow AX=B$ \n $\\quad\\;\\;$ avec $A=\\begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 16 & 4 & 1 \\end{pmatrix}$ ; $X=\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix}$ et $B=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 2,45 \\\\ 3,2 \\end{pmatrix}$. \n La résolution Python permet d'obtenir $\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -0,06 \\\\ 0,32 \\\\ 2,88 \\end{pmatrix} $ et donc $g(x)=-0,06x^2+0,32x+2,88$. \n
\n
$g(6)=2,64>2,55$ donc la balle n'est pas interceptée par le joueur.\n
\n
\n On détermine les abscisses des intersections de la courbe avec l'axe des abscisses : \n $\\Delta = 0,32^2-4\\times(-0,06)\\times2,88 = 0,7936$ \n $\\displaystyle x_1=\\frac{-0,32-\\sqrt{0,7936}}{2\\times(-0,06)} \\approx 10,09$ \n $\\displaystyle x_2=\\frac{-0,32-\\sqrt{0,7936}}{2\\times(-0,06)} \\approx -4,75$ \n Ainsi la balle retombe à $10,09m$ après le filet et le point n'est pas marqué, puisqu'elle retombe hors des limites du terrain.\n
\n
"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from sympy import Matrix # import des fonctionnalités pour le calcul matriciel\n\n# Définition des matrices A et B\n\nA = Matrix([[ 4 , -2 , 1 ],\n [ 1 , -1 , 1 ],\n [ 16 , 4 , 1 ]])\n\nB = Matrix([[ 2 ],\n [ 2.5 ],\n [ 3.2 ]]) \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Calcul de la matrice U, inverse de A\nU=A**-1\nU","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Calcul du produit de U par B\nU*B","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\n
La tablette VAT8389 (env. 1900 av. JC) contient dix problèmes qui correspondent à des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues.
\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}
![](\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Stadefoot.jpg\")
\n![](\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Volley_terrain.png\")
\n![](\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Volley_repere.png\")
\n\nOn souhaite répondre aux questions suivantes: