{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2023 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n\n Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"

Des dés... et des paradoxes (Corrigé)

\n

Études probabilistes autour de lancers de dés

"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"markdown","source":"### Sommaire\n\n1. Deux dés... qui portent chance ?
\n2. Le paradoxe du Duc de Toscane : Un problème en 3 dés !
\n3. Le paradoxe du Chevalier de Méré... en 2 dés ou en 4 dés ?
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n

1. Deux dés... qui portent chance ?

"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n\n \nDans certains jeux de société, on effectue un lancer de deux dés équilibrés à six faces et on en calcule la somme pour déterminer le nombre de cases d'un déplacement.
\n\n
Un habitué du jeu du Monopoly a l'impression qu'à chaque partie, les joueurs accèdent plus souvent à la case \"Chance\" (marquée sur le plateau d'un \"?\") qu'à n'importe laquelle des autres cases lorsqu'il partent de la case \"Départ\" au premier déplacement.\n

\nLe but de cette partie est de valider ou d'invalider l'observation faite par le joueur.\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.1. Exécuter les cellules ci-dessous, et expliquer ce que permettent d'obtenir chacune des syntaxes fournies.\n

Remarque :
from random import randint permet d'utiliser la syntaxe randint(a,b) pour obtenir un entier aléatoire compris entre a et b.\n"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"from random import randint \n\ndef hasard(N):\n return [randint(1,6) for k in range(N)]\n\ndes = hasard(2)\ndes","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"sum(des)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"La première syntaxe permet d'obtenir une liste contenant les faces de deux dés obtenues au hasard.
La deuxième syntaxe donne la somme des valeurs de ces deux dés."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.2. On fournit ci-dessous une fonction Python repetition.
\n$\\quad\\;\\;$a. Exécuter les cellules et expliquer ce que permettent d'obtenir chacune des syntaxes fournies.
\n$\\quad\\;\\;$b. Adapter les saisies pour obtenir les résultats pour 100 lancers de deux dés.
\n"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"def repetition(n,N):\n \"génère une liste contenant n résultats obtenus avec la fonction hasard\"\n return [hasard(N) for k in range(n)]\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"liste = repetition(100,2)\nliste","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"[sum(dés) for dés in liste]","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On remplace simplement la valeur 10 par 100 dans l'appel à la fonction repetition."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.3. Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de générer 1000 lancers de deux dés et de recenser dans un tableau les nombres d'apparition de chaque somme."},{"metadata":{"trusted":true,"scrolled":false},"cell_type":"code","source":"import IPython ; from IPython.display import display, HTML \n\ndef Genere_html(res):\n \"\"\"\n Fonction qui génère un affichage de la liste des résultats (format html)\n \"\"\"\n #code html pour les images des faces du dé\n De_faces={k:\"\" for k in range(1,7)}\n \n #code html correspondant aux faces des dés obtenus\n Images=\"
\"\n    Saut_l=0\n    for elt in res:\n        for de in elt:\n            Images+=De_faces[de]\n        Images+=\" \"\n        Saut_l+=len(elt)\n        if Saut_l>=20:\n            Images+=\"
\"\n            Saut_l=0\n    nb_des=len(elt)\n    Images+=\"
\" \n \n #corps du rendu html\n html=\"\"\"\n \n \n \n \n \n \n\n \n \n \n \"\"\"\n for k in range(nb_des,6*nb_des+1):\n html+=\"\"\n html+=\"\"\n \n html+=\"\"\" \n \n \n \n \"\"\"\n for k in range(nb_des,6*nb_des+1):\n html+=\"\"\n html+=\"\"\n \n html+=\"\"\"\n \n \n
Lancers
de
dés

\"\"\"+Images+\"

\"+\"\"\"

Somme

\"+str(k)+\"

Total

Effectif

\"+str( [ sum(des) for des in res].count(k) )+\"

\"+str(len(res))+\"
\n \n \n \"\"\"\n return html\n \ndisplay(HTML(Genere_html(repetition(1000,2))))","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.4. On s'intéresse maintenant aux résultats fournis dans le tableau ci-dessus.
\n$\\quad\\;$a. Quelle est la fréquence à laquelle le joueur arrive sur la case \"Chance\" en partant de la case \"Départ\" au Monopoly ?
\n$\\quad\\;$b. Semble-t-on avoir autant de chances d'arriver sur les différentes cases possibles ?"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Le calcul de la fréquence dépend des résultats obtenus, mais on observe en théorie une valeur \"proche\" de 167/1000. Les valeurs du tableau permettent de conclure qu'il n'y a pas équiprobabilité d'obtenir chaque somme."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.5. L'issue de l'expérience peut se modéliser sous la forme $(\\text{d}_1;\\text{d}_2)$,
\n$\\quad\\;$où $\\text{d}_1$ et $\\text{d}_2$ sont deux nombres entiers compris entre 1 et 6.

\n$\\quad\\;$Dénombrer le nombre de couples de valeurs de dés $(\\text{d}_1;\\text{d}_2)$ qui permettent aux joueurs d'accéder à la case \"Chance\".
\n$\\quad\\;$(on pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre)
\n$\\quad\\;$En déduire la probabilité d'accéder à cette case."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Il y a 6 couples $(\\text{d}_1;\\text{d}_2)$ qui permettent d'accéder à la case \"Chance\" sur 36 couples en tout.
La probabilité cherchée est donc $\\displaystyle \\frac{6}{36}=\\frac{1}{6}$. "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.6. Calculer de la même façon les probabilités d'arriver sur les différentes cases possibles, en partant de la case \"Départ\".
$\\quad\\;$L'impression du joueur de Monopoly était-elle justifiée ?
\n


"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Les probabilités d'obtenir $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ et $12$ sont respectivement :
$\\displaystyle \\frac{1}{36}$ ; $\\displaystyle\\frac{2}{36}=\\frac{1}{18}$ ; $\\displaystyle\\frac{3}{36}=\\frac{1}{12}$ ; $\\displaystyle\\frac{4}{36}=\\frac{1}{9}$ ; $\\displaystyle\\frac{5}{36}$ ; $\\displaystyle\\frac{6}{36}=\\frac{1}{6}$ ; $\\displaystyle\\frac{5}{36}$ ; $\\displaystyle\\frac{4}{36}=\\frac{1}{9}$ ; $\\displaystyle\\frac{3}{36}=\\frac{1}{12}$ ; $\\displaystyle\\frac{2}{36}=\\frac{1}{18}$ et $\\displaystyle\\frac{1}{36}$."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n

2. Le paradoxe du Duc de Toscane : Un problème en 3 dés !

"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n\n
\n \n
Cosme II de Médicis (1590-1621)
Grand-duc de Toscane
\n
\n \nLe Grand-duc de Toscane avait remarqué que lorsqu'il lançait un grand nombre de fois trois dés équilibrés à 6 faces, il semblait obtenir plus souvent une somme valant 10 qu'une somme valant 9.
\nIl ne comprenait pas ce paradoxe, car il avait également remarqué qu'il y a autant de façons d'écrire 9 que 10 comme somme de 3 nombres entiers compris entre 1 et 6.\n\n\n

\nLe but de cette partie est d'analyser ce problème posé par le Duc de Toscane.\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.1. On souhaite vérifier l'observation faite par le Grand-duc de Toscane :\n \n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nLa somme 9 peut s'écrire de 6 façons différentes:\n\nLa somme 10 peut s'écrire de 6 façons différentes:\n\nOn peut considérer que le Grand-duc de Toscane a raison sur le nombre de façons de décomposer 9 ou 10 en sommes de 3 nombres entiers entre 1 et 6 (si on ne tient pas compte de l'ordre de ces nombres).\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.2. Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de générer 10000 lancers de trois dés et de recenser dans un tableau les nombres d'apparition de chaque somme.
\nRemarque : Pour fonctionner, cette cellule nécessite que la cellule de la question 1.2 ait été exécutée."},{"metadata":{"trusted":true,"scrolled":false},"cell_type":"code","source":"display(HTML(Genere_html(repetition(10000,3))))","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.3. On s'intéresse maintenant aux résultats fournis dans le tableau ci-dessus.
\n$\\quad\\;$a. Quelle est la fréquence d'obtention de la somme 9 ? et de la somme 10 ?
\n$\\quad\\;$b. Le Grand-duc de Toscane semble-t-il avoir raison lorsqu'il affirme qu'on obtient plus souvent 10 que 9 ?\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Le calcul de la fréquence dépend des résultats obtenus, mais on observe en théorie une valeur \"proche\" de $0,125$ pour l'obtention du 9 et \"proche\" de $0,1157$ pour l'obtention du 10. On observe bien que la fréquence d'obtention du 9 est supérieure à la fréquence d'obtention du 10"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.4. À l'aide de schémas ou d'ébauches de schémas, calculer la probabilité d'obtenir une somme de 9 puis la probabilité d'obtenir une somme de 10 lorsqu'on lance 3 dés. Conclure.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nEn dressant une ébauche d'arbre, qui a $6^3=216$ issues, et en dénombrant les branches qui donnent les sommes 9 et 10, on peut établir que les probabilités d'obtenir 9 et 10 sont respectivement $\\displaystyle\\frac{25}{216}$ et $\\displaystyle\\frac{27}{216}$.
\nL'observation du Duc de Toscane est correcte : on obtient plus souvent le 10 que le 9.
\nSon erreur venait du fait qu'il ne tenait pas compte de l'ordre des dés pour dénombrer les différentes façons d'obtenir 9 ou 10 comme somme de trois nombres entiers entre 1 et 6.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n
\n \n
Galilée (1564-1642)
Galileo Galilei
\n
\nUn peu d'histoire...

\nC'est Galilée qui répondit au paradoxe du Grand-duc de Toscane, en estimant de façon correcte les probabilités des différentes sommes obtenues en lançant trois dés.\n
\n


"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n

3. Le paradoxe du Chevalier de Méré... en 2 dés ou en 4 dés ?

"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n
\n \n
Antoine Gombaud (1607-1684)
Le Chevalier de Méré
\n
\n \nAntoine Gombaud, dit \"Le Chevalier de Méré\" est à l'origine de la question suivante.

\nLequel des deux événements parmi les deux proposés ci-dessous est-il le plus probable ?\n\n \n\n\n

\nLe but de cette partie est d'analyser ce problème posé par le Chevalier de Méré.\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"3.1. On s'intéresse au cas du lancer de quatre dés.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;\\;$a. Exécuter les deux cellules ci-dessous. Que représentent les résultats affichés ?
\n$\\quad\\quad\\;$La probabilité d'obtenir au moins un 6 lorsqu'on lance quatre dés semble-t-elle supérieure ou inférieure à 50% ?\n"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"from random import randint\n\ndef quatredes():\n \"fonction qui effectue 4 lancers de dés et indique si on a obtenu au moins un 6\"\n de1 = randint(1,6)\n de2 = randint(1,6)\n de3 = randint(1,6)\n de4 = randint(1,6)\n return 6 in [de1,de2,de3,de4]\n \nquatredes()","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"def repete_quatredes(N):\n \"fonction qui répète N fois la fonction quatredes et indique dans combien de cas on a obtenu au moins un 6\"\n compteur=0\n for k in range(N):\n if quatredes():\n compteur = compteur+1\n return compteur\n\nrepete_quatredes(10000)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nLa première cellule permet de simuler un lancer de quatre dé, et indique si on a obtenu au moins un 6.
\n(True signifie qu'on a obtenu au moins un 6, et False signifie qu'on n'a obtenu aucun 6).\n

\nLa deuxième cellule permet de répéter plusieurs fois l'expérience et de compter dans combien de cas on a obtenu au moins un 6.
Ici, on effectue 10000 fois l'expérience.

\nEn général, la fréquence (obtenue en divisant le deuxième résultat par 10000) est supérieure à $0,50$ donc la probabilité d'obtenir au moins un six semble supérieure à $50$%.\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$b. L'issue de l'expérience peut se modéliser sous la forme $(\\text{d}_1;\\text{d}_2;\\text{d}_3;\\text{d}_4)$,
\n$\\quad\\;\\quad$où $\\text{d}_1$, $\\text{d}_2$, $\\text{d}_3$ et $\\text{d}_4$ sont quatre nombres entiers compris entre 1 et 6.

\n
\n\n
\n


"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\n \n \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"3.2. On s'intéresse au cas des 24 lancers de deux dés.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;\\;$a. Exécuter les deux cellules ci-dessous. Que représentent les résultats affichés ?
\n$\\quad\\quad\\;$La probabilité d'obtenir au moins un double 6 lorsqu'on lance 24 fois deux dés semble-t-elle supérieure ou inférieure à 50% ?"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"from random import randint\n\ndef deuxdes():\n \"fonction qui effectue jusqu'à 24 lancers de deux dés et indique si on a obtenu un double 6\"\n for k in range(24):\n de1 = randint(1,6)\n de2 = randint(1,6)\n if de1==6 and de2==6: return True\n return False\n \ndeuxdes()","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"def repete_deuxdes(N):\n \"fonction qui répète N fois la fonction deuxdes et indique dans combien de cas on a obtenu un double 6\"\n compteur=0\n for k in range(N):\n if deuxdes():\n compteur = compteur+1\n return compteur\n\nrepete_deuxdes(10000)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nLa première cellule permet de simuler jusqu'à 24 lancers de deux dés, et indique si on a obtenu un double 6.
\n(True signifie qu'on a obtenu au moins un double 6, et False signifie qu'on n'a obtenu aucun double 6).\n

\nLa deuxième cellule permet de répéter plusieurs fois l'expérience et de compter dans combien de cas on a obtenu au moins un 6.
Ici, on effectue 10000 fois l'expérience.

\nEn général, la fréquence (obtenue en divisant le deuxième résultat par 10000) est inférieure à $0,50$ donc la probabilité d'obtenir au moins un six semble inférieure à $50$%.\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$b. L'issue de l'expérience peut se modéliser sous la forme $(\\text{d}_1;\\text{d}_2)$,
\n$\\quad\\;\\quad$où $\\text{d}_1$ et $\\text{d}_2$ sont deux nombres entiers compris entre 1 et 6.

\n\n
\n
    \n
  • Quelle est la probabilité, lorsqu'on lance deux dés, de ne pas obtenir un double 6 ?
    • \n
  • En déduire la probabilité de n'obtenir aucun double 6 lorsqu'on lance 24 fois deux dés.
    • \n
  • En déduire la probabilité d'obtenir au moins un double 6 lorsqu'on lance 24 fois deux dés.
    • \n
\n
\n


\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n
    \n
  • La probabilité de ne pas obtenir un double 6 lorsqu'on lance deux dés est $\\displaystyle\\frac{35}{36}$.
    • \n
  • La probabilité de n'obtenir aucun double 6 lorsqu'on lance 24 fois deux dés est donc $\\left(\\displaystyle\\frac{35}{36}\\right)^{24}$.
    • \n
  • La probabilité d'obtenir au moins un double 6 lorsqu'on lance 24 fois deux dés est donc $1-\\left(\\displaystyle\\frac{35}{36}\\right)^{24}\\approx0,4914$.
    (cette probabilité est bien inférieure à $50$%)
    • \n\n
\n \n \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"3.3. Conclure : Quelle réponse peut-on apporter au problème du Chevalier de Méré ?"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"En conclusion, la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lançant quatre dés est supérieure à la probabilité d'obtenir au moins un double 6 en lançant 24 fois deux dés.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n
\n \n
Blaise Pascal (1623-1662)
\n
\nUn peu d'histoire...

\nC'est Blaise Pascal qui répondit au paradoxe du Chevalier de Méré, en estimant de façon correcte ces deux probabilités.\n
\n


"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2023 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n

\nDernière modification de l'activité : Mai 2023"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}