{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# 瓦克星计划：恒星系建模" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "恒星系建模的目标是为行星建构出一个稳定的宜居轨道，围绕稳定、宜居等一系列子问题展开。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 动力学基础" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "下面我们先从星体的动力学方程开始讨论。我们指定两颗恒星的下标分别是1、2，行星的下标为，于是三个星体的质量分别是$m_1$、$m_2$、$m_3$，位置分别是矢量 $\\mathbf{x_1}$、$\\mathbf{x_2}$、$\\mathbf{x_3}$；因为行星质量 $m_3$ 远小于两个恒星的质量，可建立如下限定性三体问题的运动方程：\n", "\n", "$$\\begin{cases}\\mathbf{\\ddot{x_1}} = Gm_2r_{12}^{-2} \\mathbf{e_{12}}\\\\\\mathbf{\\ddot{x_2}} = Gm_1r_{21}^{-2} \\mathbf{e_{21}}\\\\\\mathbf{\\ddot{x_3}} = Gm_1r_{31}^{-2} \\mathbf{e_{31}} + Gm_2r_{32}^{-2} \\mathbf{e_{32}}\\end{cases}$$\n", "\n", "其中$r_{ij}$ 为星体 i 和 j 之间的距离，$\\mathbf{e_{ij}}$ 为星体 i 和 j 之间的单位方向矢量。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 稳定轨道的解算" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "三体系统很多情况下是不稳定的，常常会有一颗星体被抛射到无穷远处。下图便是三体体系的一个著名例子—[毕达哥拉斯三体问题](../playground/pythagras-3-body-verlet.ipynb)的轨道演化图。两颗质量较大的星体相互围绕旋转下行，而质量最小的第三颗星体则被甩出，沿着双曲线上行。\n", "\n", "

图：毕达哥拉斯三体轨道演化

\n", "\n", "我们问题的运动方程建立之后，便可以数值求解这个二阶常微分方程。理论上讲，我们忽略了行星的质量，会让系统的稳定性提高很多。我们用最常用的数值求解方法—龙格库塔法求解了该问题；但发现由于误差的积累效应，整个体系不保持能量守恒；于是，大多数情况下，三星体体系不稳定，行星会很快被抛出双星系。\n", "\n", "这种不符合能量守恒的计算解中的能量变化，被称为能量漂移（Energy drift）。为了消除能量漂移，人们引入了辛方法来计算此类问题。辛方法会保持系统的能量守恒。我们在这里则采用了一种二阶的辛方法 Verlet 积分。采用 Verlet 积分方法之后，我们就很容易计算出一条稳定的轨道了。\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 天球系统" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "为了更好的陈述后面几节，我们将讨论天球系统，我们以地球的天球系统为基础展开讨论。\n", "\n", "天球是一个假想的以行星地心为球心的几何球面，行星自转导致恒星（母星和背景星空）在天球上有以天为单位的周日运动，行星的公转导致恒星在天球上有以年为单位的周年运动。\n", "\n", "

图：地球的天球系统

\n", "\n", "地球上天球的主要几何元素包括：\n", "\n", "* 南、北天极：它们的指向长时间稳定\n", "* 赤道面：以极轴为法线的大圆面\n", "* 黄道面：本系统恒星周年运动所在的平面\n", "* 黄赤交角：数值上等同于行星的自转轨道倾角\n", "\n", "以上几何元素在瓦克星上依然成立。不一样的地方在于，黄道上有两颗母星沿着它运动。和地球类似，恒星的周日运动依然存在；但周年运动则大相径庭，两颗母星的周年运动轨迹比较复杂，我们在后面章节仅作简单讨论，更多结果有待进一步研究。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 昼夜现象" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "昼夜现象是由三颗星体和行星的旋转轴之间的相对几何关系确定的。容易想见在行星的球体表面上，每一个母星都对应一个昼夜变更的大圆 $C_1$ 和 $C_2$ ，它们对应圆面 $D_1$ 和 $D_2$ 的法线方向分别是 $e_{31}$ 和 $e_{32}$ 。容易看出 $D_1 \\cap D_2$ 是黄道面 $S$ 的法线。\n", "\n", "对比于昼夜现象的时间周期，我们可以不考虑岁差现象，如同地球上的北极指向长期保持在北极星附近，瓦克星的旋转轴 p 也是长期相对稳定的。赤道面 E 的法线就是旋转轴 p 。\n", "\n", "将以上关系编程就可以很容易模拟出瓦克星上的昼夜现象。那么瓦克星上的昼夜现象有什么特别的吗？通过模拟我们发现，一年中会有短暂的几天时间，瓦克星的南北两极同时处于极昼之中。这和地球大相径庭，地球上南极处于极昼，则北极处于极夜，或者反之。\n", "\n", "

图：瓦克星上的昼夜变更线和双极昼现象

" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 四方概念的重新考察" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "从上海地区的夜间卫星地图中的灯光可以看出，城市的街道格局是沿着东、西、南、北四个方向展开的。这其中的原因，大概是因为在温带房子南北布局才能充分获得阳光。\n", "\n", "可以说，太阳的光和热深深的渗透到我们文化的底层。在我们的大多数文化里，东、西、南、北四个方位是在儿童时期便教育给下一代的基本概念，我们会借助于太阳东升西落或者房屋、街道的布局来表达它们。然而，仔细考究四方的严格定义，必须得对日月星辰的运行有透彻的理解才可以。而因为这些基本概念潜入、物化在我们文化的各处，就像鱼儿不知道水的存在，我们也往往忘记了这些基本概念的来源。瓦克星则给我们一个反思的机会。\n", "\n", "

图：国际空间站在上海、苏州上空拍夜视照片，图片来源于NASA

\n", "\n", "地球上的正南、正北的定义是地轴的指向，地球沿相对稳定的地轴旋转，导致了几种不同的现象和相应的测量南北的方法。\n", "\n", "（1）太阳在天球上视运动的最高点和最低点在南北方向上，由此可以通过正午测量立杆最短影子长度的方法确定正南或者正北。\n", "\n", "（2）夜间星辰围绕天极旋转做圆周运动，由此可以通过寻找星辰运动的圆心来确定天极，并且由此导出南北方位。\n", "\n", "（3）地磁现象也与绕地轴的旋转运动有关，可以通过测定磁极的方向粗略确定南北方向。\n", "\n", "以上现象和测量方法同样在瓦克星上成立，只是对于（1）会有相应的两次正午—即恒星穿过子午圈的时刻。换句话说，瓦克星上南北的概念和地球并无差异。\n", "\n", "那么，瓦克星上的房子也要面南背北或者面北背南吗？这个问题精确化一点，可以这样提出：假设在瓦克星的北半球中高纬度地区，长时间平均而言，房子的向阳面指向哪个方向，才可以获得最大的采光量？\n", "\n", "我们通过数值模拟，发现和地球是一样的，向阳面指向南方的时候，房间可以获得最大的采光量。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 周年运动的问题" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "正东、正西方位可以从正南、正北方位推导出来。但在地球上与此有关的概念还包括分至四时—春分、夏至、秋分、冬至；在地球的各大文化里，这四个时间点往往有重要的天文与文化含义。\n", "\n", "在春秋分点，全球昼夜平分，太阳从正东升起、正西落下，太阳直射赤道；在夏至点，北半球那一天白昼时间最长，太阳升起和落下点位置最偏北，中午立杆的影子最短，太阳直射南回归线；冬至点则有类似的对偶现象。\n", "\n", "那么瓦克星上会怎么样呢？容易理解的一点是，大多数周期性不再简单保持了。但更加透彻的理解这类问题，需要我们完整建立瓦克星的天球系统。天球系统以背景星空为基准，然后确定各个星体在天球上的运动方式。当特定的几何关系出现时，就发生一定的天文事件。我们简单罗列一些容易观察到的事件：\n", "\n", "* 母星沿着黄道运动到黄赤交点，此时母星直射赤道、正东正西起落，昼夜平分\n", "* 某个母星对应白昼时间最长的正午时间点，此时这个母星直射某条回归线，中午立杆的影子全年最短。\n", "* 两个母星的视夹角为0的点，此时发生食变\n", "* 两个母星的视夹角最大\n", "\n", "所以这里有一个重要的理论问题—确定星体间的这些几何关系发生的先后关系和周期。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 可能的历法" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "历法是一种文化的计时方法，它也有服务于农业生产的目的。由此我们有天文历和农业历的分别；前者依据天文现象的周期性来计时，后者依据气候现象的周期性来指导农业生产。\n", "\n", "地球上太阳的周年运动决定了地球的光热条件，进而决定了气候现象大的变化，因此，对于地球的许多文化，天文历和农业历是吻合的。那么瓦克星上会有什么不同呢？\n", "\n", "基于我们的数值模拟，我们先考察一些现象的周期性：\n", "\n", "* 恒星的周日视运动保持相对稳定的周期，因此天的概念会得到保持。\n", "* 相对于背景星空，和行星公转相联系的周期是类周期的，因此年的概念需要修正。\n", "* 行星上最显著的天文事件是两颗母星的食变，但该类事件是类周期的。\n", "* 行星接收到的来自两颗母星的能量，有显著的年际变化，但存在一个以几年为跨度的类周期性。\n", " \n", "

图：2008年8月俄罗斯新西伯利亚日食，来源于维基用户Kalan

\n", "\n", "因此，我们可以推测瓦克星的历法有如下几种类型：\n", "\n", "* 星历：以背景星空为基准\n", "* 食历：以两颗母星的食变为基准\n", "* 农历：以气候周期为基准\n", "\n", "这三种历法的基准都是类周期的，且周期各不相同，因此维护瓦克星的历法系统需要随时保持对各种星体的观测。三种历法中，食历和农历的确立基准比较易于观测，因此容易被原始一些的文化建立；而星历的建立则复杂的多，我们在下一节略加详述。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 质心点、子时和星历" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "和背景星空相联系的是两颗母星之间的质心点，两颗母星可以理解为围绕质心点做椭圆运动。母星在背景星空的顺行、逆行和拐点都同质心点位置有关系。\n", "\n", "质心点出现在两个母星之间，因此在白天可见；它在天球的对径点是夜间可见。而夜间方便的观测条件，或许会让对径点起到非常重要的作用。如果存在一种几何测量方法能够顺利测量出来质心点和它的对径点，我们可以用质心对径点过天球子午圈的时刻作为子时—日周期运动的起始时刻。进一步，可以用在子时某颗亮星初现于地平圈或者过子午圈的方式来确定周年运动的起点。\n", "\n", "或许读者会对这段讨论很不解，但能够精确测定时间和位置是更加发达文明确立的基础。人类是在第谷的观测、开普勒的定律和牛顿万有引力的发现之后，才确立现代文明的基石。由于类周期的不确定性，用食历和农历是无法建立宇宙间物体精确的几何关系的；只有星历，虽然也是类周期的，但测定出来的时间和空间关系，可以用来发现整个宇宙的秘密。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 粗略计算宜居条件" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "我们以液态水的稳定存在作为行星的宜居条件，可以做如下最为粗略的估计。假设母星为黑体且表面温度分别为 $T_1$ 和 $T_2$ ，母星的半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，瓦克星的行星反照率为 $\\alpha$，半径为 $R_3$ ，视瓦克星为黑体且表面温度为 $T_3$ ，可以建立如下方程：\n", "\n", "$$\\left ( 1 - \\alpha \\right ) \\left( \\frac{4 \\pi R_1^2 \\sigma T_1^4} {4 \\pi r_{13}^2} + \\frac{4 \\pi R_2^2 \\sigma T_2^4} {4 \\pi r_{23}^2} \\right ) \\pi R_3^2= 4 \\pi R_3^2 \\sigma T_3^4$$\n", "\n", "化简即得：\n", "\n", "$$T_3 = \\left[ \\frac{1}{4} \\left( 1 - \\alpha \\right ) \\left( \\frac{R_1^2}{r_{13}^2} T_1^4 + \\frac{R_2^2}{r_{23}^2} T_2^4 \\right ) \\right ]^{\\frac{1}{4}}$$\n", "\n", "对地球而言，$\\alpha$ 取值在 0.3 附近。\n", "\n", "考虑到大气层的温室效应，我们只要令 $T_3$ 保持在 0℃ 附近即可。\n", "\n", "虽然这里宜居条件的估计涉及行星表面的物理机制，但最终化简的公式里，只保留了一些纯几何量的简单对比。所以，我们仍然把宜居问题的粗略估计纳入到恒星系建模的范围里。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 恒星系建模结果" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "我们最终选定如下一组参数作为进一步模拟的基础：\n", "\n", "母星一\n", "* 质量：1.29倍太阳质量\n", "* 光度：2.7倍太阳光度\n", "\n", "母星二\n", "* 质量：1.1倍太阳质量\n", "* 光度：1.5倍太阳光度\n", "\n", "瓦克星\n", "* 半径：8388公里\n", "* 自转周期：23小时\n", "* 自转轴倾角：20°\n", "* 表面重力加速度：10米/平方秒" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.4.3" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 0 }