# **递归算法**

## 概述

​    前面已经介绍了关于递归调用这样一种操作，而递归程序设计是C++语言程序设计中的一种重要的方法，它使许多复杂的问题变得简单，容易解决了。

递归特点是：函数或过程调用它自己本身。其中直接调用自己称为直接递归，而将A调用B，B以调用A的递归叫做间接递归。

## 例题讲解

**【例1】** **给定n（n>=1）,用递归的方法计算1+2+3+4+...+(n-1)+n。** 

【算法分析】

 本题可以用递归方法求解，其原因在于它符合递归的三个条件： 

1. 本题是累加问题：当前和=前一次和+当前项，而前一次和的计算方法与其相同，只是数据不同s(n)=s(n-1)+n; 
2. 给定n,所以是有限次的递归调用； 
3. 结束条件是当n=1，则s=1。 

### 实现代码

``` c++
#include<iostream>

using namespace std;

int fac(int);                    //递归函数

int main()

{

　　int t;

　　cin>>t;                    //输入t的值

　　cout<<"s="<<fac(t)<<endl;    //计算1到t的累加和，输出结果

}

int fac(int n)

{

　　if (n==1) return 1;

　　return(fac(n-1)+n);           //调用下一层递归

} 
```

​    运行程序，当T=5时，输出结果：S=15，其递归调用执行过程是：（设T=3） 

![image-20201130171227587](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171227587.png)

​    递归调用过程，实质上是不断调用过程或函数的过程，由于递归调用一次，所有子程序的变量（局部变量、变参等）、地址在计算机内部都有用特殊的管理方法——栈（先进后出）来管理，一旦递归调用结束，计算机便开始根据栈中存储的地址返回各子程序变量的值，并进行相应操作。

**【例2】** **设有N个数已经按从大到小的顺序排列，现在输入X，判断它是否在这N个数中，如果存在则输出：“YES” 否则输出“NO”。** 

【算法分析】

​    该问题属于数据的查找问题，数据查找有多种方法，通常方法是：顺序查找和二分查找，当N个数排好序时，用二分查找方法速度大大加快。二分查找算法： 

1. 设有N个数，存放在A数组中，待查找数为X，用L指向数据的高端，用R指向数据的低端，MID指向中间： 

2. 若X=A[MID] 输出 “YES”； 
3. 若X<A[MID]则到数据后半段查找：R不变，L=MID+1，计算新的MID值，并进行新的一段查找
4.  若X>A[MID]则到数据前半段查找：L不变，R=MID-1，计算新的MID值，并进行新的一段查找； 
5. 若L>R都没有查找到，则输出“NO”。

  该算法符合递归程序设计的基本规律，可以用递归方法设计。 

### 实现代码：

``` c++

#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int a[11];
void search(int,int,int);
int main()                                             //主程序
　　{
　　　　int k,x,L=1,R=10;
　　　　cout<<"输入10个从大到小顺序的数："<<endl;
　　　　for (k=1;k<=10;k++)
　　　　cin>>a[k];
　　　　cin>>x;
　　　　search(x,L,R); 
　　　　system("pause");                       
　　}
　　void search(int x,int top,int bot)       //二分查找递归过程
　　{
　　　　int mid; 
　　　　if (top<=bot)
　　    {
　　    	mid=(top+bot)/2;                           //求中间数的位置
             if (x==a[mid]) cout<<"YES"<<endl;                 //找到就输出
　　    	else 
　　   	 if (x<a[mid]) search(x,mid+1,bot);    //判断在前半段还是后半段查找
　　    	else search(x,top,mid-1);
　　    }  
　　　　else cout<<"NO"<<endl;
　　}

　　    	

```

**【例3】Hanoi汉诺塔问题**

​    有N个圆盘，依半径大小（半径都不同），自下而上套在A柱上，每次只允许移动最上面一个盘子到另外的柱子上去（除A柱外，还有B柱和C柱，开始时这两个柱子上无盘子），但绝不允许发生柱子上出现大盘子在上，小盘子在下的情况，现要求设计将A柱子上N个盘子搬移到C柱去的方法。

【算法分析】

  本题是典型的递归程序设计题。 

  (1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C; 

  (2)当N=2时，则需要移动三次： 

​    A------ 1 ------> B,    A ------ 2 ------> C,    B ------ 1------> C. 

  (3)如果N=3，则具体移动步骤为：

![image-20201130171347181](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171347181.png)

![image-20201130171403936](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171403936.png)

![image-20201130171417273](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171417273.png)

假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片捆在一起，视为一片）：

![image-20201130171457631](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171457631.png)

​    所以可按“N=2”的移动步骤设计：

​    ①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;

​    ②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程mov(n-1, a,b,c);

​    ③将A柱上剩下的一片直接移到C柱上;

​    ④用A柱作为协助过渡，将B柱上的（N-1）移到C柱上，调用过程mov (n-1,b,c,a)。

### 实现代码：

``` c++
     #include<iostream>
　　　using namespace std;
　　　int k=0,n;
　　　void mov(int n,char a,char c,char b) 
                                                     //用b柱作为协助过渡，将a柱上的（n）移到c柱上
　　　{
　　　	if (n==0) return;            //如果n=0，则退出，即结束程序
　　　	mov(n-1,a,b,c );            //用c柱作为协助过渡，将a柱上的（n-1）片移到b柱上
　　　	k++;
　　　	cout <<k<<" :from "<<a <<"-->"<<c<<endl;
　　　	mov(n-1,b,c,a );             //用a柱作为协助过渡，将b柱上的（n-1）移到c柱上
　　　}
int  main()                                        
　　　{
　　　	cout<<"n=";
　　　	cin>>n;
　　　	mov(n,'a','c','b'); 
　　　}



```

​    程序定义了把n片从A柱移到C柱的过程mov (n,a,c,b)，这个过程把移动分为以下三步来进行：

​    ①先调用过程mov (n-1, a, b, c)，把(n-1)片从A柱移到B柱, C柱作为过渡柱;

​    ②直接执行 writeln(a, ’--＞’, c)，把A柱上剩下的一片直接移到C柱上，;

​    ③调用mov (n-1,b,c,a)，把B柱上的(n-1)片从B移到C柱上，A柱是过渡柱。

​    对于B柱上的(n-1)片如何移到C柱，仍然调用上述的三步。只是把(n-1)当成了n，每调用一次，要移到目标柱上的片数N就减少了一片，直至减少到n=0时就退出，不再调用。exit是退出指令，执行该指令能在循环或递归调用过程中一下子全部退出来。

​    mov过程中出现了自己调用自己的情况，在Pascal中称为递归调用，这是Pascal语言的一个特色。对于没有递归调用功能的程序设计语言，则需要将递归过程重新设计为非递归过程的程序。

**【例4】用递归的方法求斐波那契数列中的第N个数**

![image-20201130171609789](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171609789.png)

### 实现代码：

``` c++

　　#include<iostream>
　　using namespace std;
　　int a[11];
　　int fib(int);
　　int main()
　　{
　　   int m;
          cin>>m;                              
　　   cout<<"fib("<<m<<")="<<fib(m);          
　　}
　　
int fib(int n)
　　{
　　   if (n==0) return 0;                         //满足边界条件，递归返回
　　   if (n==1) return 1;                         //满足边界条件，递归返回
　　   return (fib(n-1)+fib(n-2));             //递归公式，进一步递归
　　}
//输入 15
//输出 fib(15)=610


```

**【例5】集合的划分**

**【问题描述】**

设S是一个具有n个元素的集合，S＝｛a1，a2，……，an｝，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足：



![image-20201130171727222](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130171727222.png)



则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1 ，a2，……，an 放入k个（0＜k≤n＜30＝无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n，k)。

**【输入样例】setsub.in**

​    23 7

**【输出样例】setsub.out**

 4382641999117305

**【算法分析】**

   先举个例子，设S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不难得出S有6种不同的划分方案，即划分数S(4，3)=6，具体方案为：

｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝ ｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝  ｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝

｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝ ｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝  ｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝

  考虑一般情况，对于任意的含有n个元素a1 ，a2，……，an的集合S，放入k个无标号的盒子中去，划分数为S(n，k)，我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案，必须归纳出问题的本质。其实对于任一个元素an，则必然出现以下两种情况：

​    1、｛an｝是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1 划分为k－1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有S(n－1，k－1)个；

​    2、｛an｝不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k个子集，这种情况下划分数共有S(n－1，k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k * S(n－1，k)个。

 综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公式：S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)。

下面，我们来确定S(n，k)的边界条件,首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去，即k=0时，S(n，k)＝0；也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时,S(n，k)＝0；再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，S(n,k)=1。

因此，我们可以得出划分数S(n，k)的递归关系式为：

S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k)   (n>k，k>0)

S(n，k)＝0             (n<k)或(k＝0)

S(n，k)＝1             (k=1)或(k＝n)

### 实现代码

```c++

    #include<iostream>
　using namespace std;
　
　int s(int n, int k)                           //数据还有可能越界，请用高精度计算
　{
　    if ((n < k) || (k == 0)) return 0;              //满足边界条件，退出
　    if ((k == 1) || (k == n)) return 1;
　    return s(n-1,k-1) + k * s(n-1,k);            //调用下一层递归
　}
　
　int main()
　{
     int n,k;
　    cin >> n >> k;
　    cout << s(n,k);
　    return 0;
　}

```

**【例6】数的计数(Noip2001)**

**【问题描述】**

我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：

不作任何处理；

在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；

加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。

**输入：**自然数n（n≤1000）

**输出：**满足条件的数

**【输入样例】**

​    6   满足条件的数为 6  (此部分不必输出)

​             16

​             26

​             126

​             36

​             136

**【输出样例】**

​    6

**【方法一】**

用递归，f(n)=1+f(1)+f(2)+…+f(div/2)，当n较大时会超时，时间应该为指数级。

### 实现代码：

``` c++
#include<iostream>
using namespace std;
int ans;
void dfs(int m)                           //统计m所扩展出的数据个数
{
    int i;
    ans++;                                  //每出现一个原数，累加器加1；
    for (i = 1; i <= m/2; i++)         //左边添加不超过原数一半的自然数，作为新原数
      dfs(i); 
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    dfs(n);
    cout << ans;
    return 0;
} 
```

**【方法二】**：用记忆化搜索，实际上是对方法一的改进。设h[i]表示自然数i满足题意三个条件的数的个数。如果用递归求解，会重复来求一些子问题。例如在求h[4]时，需要再求h[1]和h[2]的值。现在我们用h数组记录在记忆求解过程中得出的所有子问题的解，当遇到重叠子问题时，直接使用前面记忆的结果。

### 实现代码：

``` c++
#include<iostream>
using namespace std;
int h[1001];
void dfs(int m)
{
    int i;
    if (h[m] != -1) return;         //说明前面已经求得h[m]的值，直接引用即可，不需要再递归
    h[m] = 1;                           //将h[m]置为1，表示m本身为一种情况
    for (i = 1; i <= m/2; i++)
    {
        dfs(i);
        h[m] += h[i];
    }   
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      h[i] = -1;                         //h数组初始化为-1
    dfs(n);                              //由顶到下记忆化递归求解
    cout << h[n];   
    return 0;
}
```

**【方法三】**

​      用递推，用h(n)表示自然数n所能扩展的数据个数，则h(1)=1, h(2)=2, h(3)=2, h(4)=4, h(5)=4, h(6)=6, h(7)=6, h(8)=10, h(9)=10.分析以上数据，可得递推公式：h(i)=1+h(1)+h(2)+…+h(i/2)。此算法的时间度为O(n*n)。

设h[i]-i按照规则扩展出的自然数个数(1≤i≤n)。下表列出了h[i]值及其方案：

![image-20201130172217205](https://picreso.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20201130172217205.png)

### 实现代码：

```c++
#include<iostream>
using namespace std;
int h[10001];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)   //按照递增顺序计算扩展出的自然数的个数
    {
        h[i] = 1;                        //扩展出的自然数包括i本身
        for (int j = 1; j <= i/2; j++)         
                                 //i左边分别加上1…自然数 按规则扩展出的自然数
          h[i] += h[j]; 
    }
    cout << h[n];
    return 0;
}
```

**【方法四】**

是对方法三的改进，我们定义数组s，s(x)=h(1)+h(2)+…+h(x),h(x)=s(x)-s(x-1)，此算法的时间复杂度可降到O(n)

### 实现代码：

``` c++
#include<iostream>
using namespace std;
int h[1001],s[1001];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        h[i] = 1 + s[i/2];
        s[i] = s[i-1] + h[i];                  //s是h的前缀累加和
    }
    cout << h[n];
    return 0;
}
```

**【方法五】**

还是用递推，只要作仔细分析，其实我们还可以得到以下的递推公式: 

(1)当i为奇数时，h(i)=h(i-1);

(2)当i为偶数时,h(i)=h(i-1)+h(i/2).

```` c++
#include<iostream>
using namespace std;
int h[1001];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    h[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        h[i] = h[i-1];
        if (i % 2 == 0) h[i] = h[i-1] + h[i/2];
    }
    cout << h[n];
    return 0;
}
````