{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "5a3ba2b9",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Лицензия MIT\n",
    "\n",
    "© Алексей Александрович Щербаков, 2024"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "00ffec2d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Лекция 3.1. Дифракционные решетки"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ab869914",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Уравнение дифракционной решетки\n",
    "\n",
    "Дифракционные решетки - оптические компоненты, материальные и/или геометрические параметры которых периодически изменяются в одном или двух измерениях, при этом, масштаб периода может варьироваться от величин, меньших длин волн излучения, взимодействующего с решеткой, до десятков длин волн. Периодичность дифракционных решеток приводит возникновению так называемых дифракционных порядков - световых лучей в дальней зоне излучения, распространяющихся в определенных дискретных направлениях относительно падающего на решетку луча/светового пучка.\n",
    "\n",
    "Если на одномерную дифракционную решетку падает плоская монохроматическая электромагнтитная волна под некоторым углом $\\theta_{inc}$, то период решетки $\\Lambda$, длина волны излучения $\\lambda$, угол падения, и углы дифракции дифракционных порядков $\\theta_m$ - набора плоских волн, распространяющихся от решетки, связаны уравнением решетки:\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "    m\\lambda = \\Lambda(\\sin\\theta_{inc} + \\sin\\theta_{m}),\\;m\\in\\mathbb{Z}\n",
    "\\end{equation}\n",
    "Значения $m=1,2,\\dots$ соответствуют первому, второму и так далее порядкам дифракции, а $m$ называется дифракционным порядком. Положение положительных и отрицательных порядков дифракции проиллюстрировано ниже. Из уравнения видно, что, чем меньше период решетки, тем больше существует лучей распространяющих ненулевых дифракционных порядков. Здесь предполагается, что падающий, дифрагированные лучи, и нормаль к плоскости решетки лежать в одной плоскости, перпендикулярной штрихам решетки. Такая конфигурация иногда называется коллинеарной дифракцией.\n",
    "\n",
    "<figure>\n",
    "    <center>\n",
    "    <img src=\"../pic/3-1_grating_diffraction.png\" width=\"300\" align=\"center\"/>\n",
    "        <figcaption>Иллюстрация дифракции плоской волны на решетке</figcaption>\n",
    "    </center>\n",
    "</figure>\n",
    "\n",
    "В случае дифракции на одномерной решетке, когда падающий луч не лежит в плоскости, перпендикулярной штрихам решетки, говорят о конической дифракции (посколько в этом случае можно показать, что дифрагированные лучи лежат не в одной плоскости, а на конической поверхности).\n",
    "\n",
    "Если говорить о дифракции плоской волны и рассматривать дифракционные порядки как вторичные плоские волны, распространяющиеся от решетки, то уравнение решетки в терминах проекций волновых векторов на плоскость решетки запишется как\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "    m\\boldsymbol{K} = \\boldsymbol{k}_{inc} + \\boldsymbol{k}_{m}\n",
    "\\end{equation}\n",
    "где $\\boldsymbol{K}=(2\\pi/\\Lambda)\\hat{\\boldsymbol{e}}_x$ - вектор обратной решетки. Это уравнение уже справедливо и для случая коллинеарной, и для случая конической дифракции. Уравнение решетки легко получить, если учесть, что периодичность структуры задает периодичность всей электромагнитной задачи, поэтому в однородных полупространствах над и под решеткой поле представляется в форме разложения по плоским волнам. Теорема Блоха утверждает, что все решения волнового уравнения представимы в виде произведения блоховской экспоненты на периодическую функцию. При дифракции на решетке блоховский волновой вектор будет соответствовать волновому вектору падающей на решетку плоской волны.\n",
    "\n",
    "Специальным случаем, часто встречающимся в приложениях, является конфигурация, когда направление распространяющегося обратно луча ненулевого порядка совпадает с направлением падающего луча. Такой случай называется конфигурацией Литрова, и для него, учитывая $\\theta_m=\\theta_{inc}$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "    m\\lambda = 2\\Lambda\\sin\\theta_{inc}\n",
    "\\end{equation}"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "eedb30ee",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Основные параметры решеток\n",
    "\n",
    "Основной задачей решетки как спектрального приора является пространственное разеделение различных спектральных компонент падающего излучения. Дисперсия решетки является мерой этого разделения: лучи с длинами волн в диапазоне от $\\lambda$ до $\\lambda+\\Delta\\lambda$ имеют разброс углов $\\Delta\\theta_m$ в спектре $m$-го порядка при фиксированном угле падения. Угловой дисперсией называется изменение угла дифракции при единичном изменении длины волны\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    D = \\frac{d\\theta_m}{d\\lambda} = \\frac{m}{\\Lambda\\cos\\theta_m} = \\frac{\\sin\\theta_{inc}+\\sin\\theta_m}{\\lambda\\cos\\theta_m}\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "В частном случае конфигурации Литрова имеем $D = 2\\tan\\theta_m/\\lambda$. Из этой формулы можно получить, что при увеличении угла дифракции от $10^{\\circ}$ до $63^{\\circ}$ угловая дисперсия возрастает на порядок. Получив требуемое значение угла дифракции, тем не менее, остается вопрос в каком порядке дифракции необходимо работать, то есть, выбирать период решетки малым или большим. Решетки с малым периодом позволяют работать в более широком спектральном диапазоне, чем решетки с большим периодом в указанных условиях. Рабочий спектральный диапазон определяется условием перекрытия соседних дифракционных порядков:\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "     m(\\lambda + \\Delta\\lambda) = (m+1)\\lambda \\Rightarrow F_{\\lambda} = \\Delta\\lambda = \\frac{\\lambda}{m}\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "Отсюда видно, почему в приложениях чаще всего втречаются решетки, работающие на первых дифракционных порядках.\n",
    "\n",
    "Линейной дисперсией решетки называется произведение угловой дисперсии на эффективную фокусную длину оптической системы $f'(\\beta_m)D$. Часто используется обратная линейная дисперсия, измеряемая в нм/мм, являющаяся мерой соответствия сдвига по спектру сдвигу положения соответствующего луча в оптической системе.\n",
    "\n",
    "Для характеризации принципиальной возможности разделить две длины волны с помощью решетки вводится параметр разрешающей способности\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    R = \\frac{\\lambda}{\\Delta\\lambda} = mN = \\frac{N\\Lambda(\\sin\\theta_{inc}+\\sin\\theta_m)}{\\lambda} < \\frac{2d}{\\lambda}\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "где $\\Delta\\lambda$ - минимальное спектральное расстояние между разрешимыми длинами волн. Втоое равенство получается в результате применения критерия Рэлея, а $N$ - общее число штрихов в решетке."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "19be5f35",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Дифракционная эффективность\n",
    "\n",
    "Кроме направления дифрагированных лучей важно также контролировать, какая доля энергии падающего излучения перенаправляется в рабочие порядки дифракции. Эту долю определяет дифракционная эффективность. Если использовать приближение, в котором все лучи представляются в виде плоских волн и определение амплитуд s- и p-поляризованных волн, данное в первой части, а плоскость решетки считать совпадающей с плоскостью $XY$ декартовой системы координат, дифракционная эффективность будет равна отношению $z$-проеций модулей векторов Пойнтинга соответствующих полн и для двух поляризаций в случае коллинеарной дифракции запишется как\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    b = \\frac{|a_m|^2\\Re e\\{k_{mz}^{dif}/\\eta_{dif}\\}}{|a_{0}|^2\\Re e\\{k_{0z}^{inc}/\\eta_{inc}\\}}\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "Вообще, дифракционная эффективность сложным образом зависит всех параметров решетки и падающего излучения, и в строгом виде вычисляется только с помощью численного решения уравнений Максвелла. Тем не менее, есть простые правила и случаи, позволяющие ее максимизировать без трудоемких расчетов. Наиболее широко распространенным примером является так называемое условие блеска: если профиль решетки представляет собой пилообразную функцию, так что нормаль к длинной грани пилы наклонена под углом $\\theta_B$ к нормали к плоскости решетки, условие блеска имеет вид\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    m\\lambda = 2\\Lambda\\sin\\theta_B\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "<figure>\n",
    "    <center>\n",
    "    <img src=\"../pic/3-1_blazed_grating.png\" width=\"500\" align=\"center\"/>\n",
    "        <figcaption>Решетка с блеском</figcaption>\n",
    "    </center>\n",
    "</figure>\n",
    "\n",
    "и представляет собой ничто иное, как условие того, что направление заданного дифрагированного луча $m$-порядка совпадает с направление френелевского отражения падающего луча относительно длинной грани профиля решетки. Максимальная эффективность получается при выполнении условия Литрова $\\theta_{inc}=\\theta_m=\\theta_B$, то есть, когда грани решетки рассматриваются как микрозеркала. При фиксированном угле блеска длину волны, на которой выполняется условие Литрова с блеском, называют длиной волны блеска: $\\lambda_B = 2\\Lambda\\sin\\theta_B/m$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "85d9cb4f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Построение Эвальда\n",
    "\n",
    "Анализ ряда дифракционных эффектов на решетках удобно производить с помощью так называемого построения Эвальда в пространстве волновых векторов, где существует обратная решетка. В качестве простого примера рассмотрим плоскую одномерную решетку в конфигурации коллинеарной дифракции, граничущую с двумя однородными изотропными полупространствами с показателями преломления $n_{1,2}$. В этом случае обратная решетка одномерная. В k-пространстве множество концов волновых векторов плоских волн, распространяющихся в каждом из полупространств, лежит на сфере соответствующего радиуса. Тогда направления распространения дифракционных порядков находятся путём пересечения нормали, отложенной от конца проекции волнового вектора дифракционного порядка, и сферы в соответствующем полупространстве.\n",
    "\n",
    "<figure>\n",
    "    <center>\n",
    "    <img src=\"../pic/3-1_ewald.png\" width=\"500\" align=\"center\"/>\n",
    "        <figcaption>Пример построения Эвальда для дифракции на одномерной решетке</figcaption>\n",
    "    </center>\n",
    "</figure>\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "208392a0",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Литература\n",
    "\n",
    "1. С. Palmer, [Diffraction grating handbook, 8-th edition](https://www.edmundoptics.jp/ViewDocument/MKS%20Diffraction%20Grating%20Handbook%20(8th%20edition).pdf), Newport (2020)\n",
    "2. [All About Diffraction Gratings](https://www.edmundoptics.co.uk/knowledge-center/application-notes/optics/all-about-diffraction-gratings/), https://www.edmundoptics.co.uk\n",
    "3. О.С. Литвинов, К.Б. Павлов, В.С. Горелик. [Волны и оптика. Гл. 5.5 - Дифракционная решётка](http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom4/ch5/texthtml/ch5_5.htm\n",
    "4. [RP Photonics Encyclopedia. Diffraction gratings.](https://www.rp-photonics.com/diffraction_gratings.html)"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.8.8"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}