\n",
"\n",
"\n",
"Без ограничения общности можно положить $k_y=0$ (проекция волнового числа/импульса волны в плоскости $XY$ сохраняется). Тогда условия сопряжения и ортогональность экспоненциальных множителей $\\exp(i\\boldsymbol{\\varkappa}\\boldsymbol{\\rho})$ приводят к равенствам\n",
"\\begin{align*}\n",
" \\left( b_{\\boldsymbol{k}}^{s+} + b_{\\boldsymbol{k}}^{s-} \\right) \\hat{\\boldsymbol{e}}_{y} + \\frac{k_{z1}}{\\omega\\varepsilon_{1}} \\left( b_{\\boldsymbol{k}}^{p+} - b_{\\boldsymbol{k}}^{p-} \\right) \\hat{\\boldsymbol{e}}_{x} &= \\left( a_{\\boldsymbol{k}}^{s+} + a_{\\boldsymbol{k}}^{s-} \\right) \\hat{\\boldsymbol{e}}_{y} + \\frac{k_{z2}}{\\omega\\varepsilon_{2}} \\left( a_{\\boldsymbol{k}}^{p+} - a_{\\boldsymbol{k}}^{p-} \\right) \\hat{\\boldsymbol{e}}_{x} \\\\\n",
" \\left( b_{\\boldsymbol{k}}^{p+} + b_{\\boldsymbol{k}}^{p-}\\right) \\hat{\\boldsymbol{e}}_{y}-\\dfrac{k_{z1}}{\\omega\\mu_{1}}\\left(b_{\\boldsymbol{k}}^{s+} - b_{\\boldsymbol{k}}^{s-}\\right)\\hat{\\boldsymbol{e}}_{x} &= \\left(a_{\\boldsymbol{k}}^{p+}+a_{\\boldsymbol{k}}^{p-}\\right) \\hat{\\boldsymbol{e}}_{y}-\\dfrac{k_{z2}}{\\omega\\mu_{2}}\\left(a_{\\boldsymbol{k}}^{s+}-a_{\\boldsymbol{k}}^{s-}\\right)\\hat{\\boldsymbol{e}}_{x}\n",
"\\end{align*}\n",
"откуда следует связь между коэффициентами разложения поля по плоским волнам по обе стороны границы раздела сред. Эту связь можно записать в форме, одинаковой для обеих поляризаций, если ввести переменную $\\eta$ такую, что $\\eta\\equiv\\mu$ для 's'-поляризации и $\\eta\\equiv\\varepsilon$ для 'p'-поляризации. Выразим амплитуды волн, распространяющихся от границы раздела $a^+$, $b^-$ через амплитуды полн, падающих на границу $a^-$, $b^+$ (нижний индекс также опускаем, поскольку соотношения диагональны по проекции волнового вектора на плоскость $XY$):\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} b^- \\\\ a^+ \\end{array} \\! \\right) = \\left( \\! \\begin{array}{cc} r_{11} & t_{12} \\\\ t_{21} & r_{22} \\end{array} \\! \\right) \\left( \\! \\begin{array}{c} b^+ \\\\ a^- \\end{array} \\! \\right) = S \\left( \\! \\begin{array}{c} b^+ \\\\ a^- \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"где коэффициенты матрицы $S$ являются амплитудными коэффициентами отражения и прохождения Френеля, а матрица называется матрицей рассеяния или $S$-матрицей. В явном виде\n",
"\\begin{align*}\n",
" r_{11} &= \\dfrac{\\eta_{2}k_{z1}-\\eta_{1}k_{z2}}{\\eta_{1}k_{z2}+\\eta_{2}k_{z1}} \\\\\n",
" t_{12} &= \\dfrac{2\\eta_{1}k_{z2}}{\\eta_{1}k_{z2}+\\eta_{2}k_{z1}} = 1-r_{11} \\\\\n",
" t_{21} &= \\dfrac{2\\eta_{2}k_{z1}}{\\eta_{1}k_{z2}+\\eta_{2}k_{z1}} = 1+r_{11} \\\\\n",
" r_{22} &= \\dfrac{\\eta_{1}k_{z2}-\\eta_{2}k_{z1}}{\\eta_{1}k_{z2}+\\eta_{2}k_{z1}} = -r_{11}\n",
"\\end{align*}\n",
"Удобство записи этих коэффициентов через проекции волнового вектора на ось $Z$ состоит в том, что такая форма не изменяется для всех возможных случаев прохождения через границу, включая, неоднородные волны и комплексные значения материальных параметров.\n",
"\n",
"Соотношение между амплитудами можно записать по-другому, в форме T-матрицы, которая связывает амплитуды с одной стороны границы раздела с амплитудами с другой стороны:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} a^- \\\\ a^+ \\end{array} \\! \\right) = T \\left( \\! \\begin{array}{c} b^- \\\\ b^+ \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"В явном виде\n",
"\\begin{align*}\n",
" T_{11} = T_{22} &= \\frac{1}{2} \\left( 1+\\dfrac{\\eta_{1}k_{z2}}{\\eta_{2}k_{z1}} \\right) \\\\\n",
" T_{12} = T_{21} &= \\frac{1}{2} \\left( \\dfrac{\\eta_{1}k_{z2}}{\\eta_{2}k_{z1}}-1 \\right)\n",
"\\end{align*}\n",
"Заметим, что T-матрицу также часто определяют не через соотношение между амплитудами плоских волн, а через соотношение между амплитудами проекций электрического и магнитного поля на оси $X,Y$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7ff23218",
"metadata": {},
"source": [
"## Отражение и преломление на сферической границе\n",
"\n",
"Теперь рассмотрим сферически симметричный случай и проведем аналогичный вывод для сферических волн. Разложение произвольного монохроматического поля через векторные сферические волны в объеме однородной изотропной среды без источников запишем как\n",
"\\begin{align*}\n",
" \\boldsymbol{E}(k\\boldsymbol{r}) &= \\sum_{m,n}\\sum_{\\sigma=1,3} \\left[ a^{\\sigma}_{mn} \\boldsymbol{M}^{\\sigma}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) + b^{\\sigma}_{mn} \\boldsymbol{N}^{\\sigma}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) \\right] \\\\\n",
" \\boldsymbol{H}(k\\boldsymbol{r}) = \\dfrac{i}{\\omega\\mu} \\nabla \\times {\\boldsymbol E}(k\\boldsymbol{r}) &= \\dfrac{ik}{\\omega\\mu} \\sum_{m,n} \\sum_{\\sigma=1,3} \\left[ b^{\\sigma}_{mn} \\boldsymbol{M}^{\\sigma}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) + a^{\\sigma}_{mn} \\boldsymbol{N}^{\\sigma}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) \\right]\n",
"\\end{align*}\n",
"Это определение отличается от разложения по плоским волнам в том смысле, что для обеих поляризаций $a^{\\sigma}_{mn},b^{\\sigma}_{mn}$ обозначают амплитуды электрического поля. Здесь необходимо отметить, что, если область пространства, где в таком виде записывается поле, включает начало координат (точку $r=0$), то в разложении должны отсутствовать члены с раходящимися в нуле сферическими волнами, то есть, нужно положить $a^{3}_{mn}\\equiv0$. Поле в однородной изотропной области пространства без источников должно быть конечно.\n",
"\n",
"Пусть сферическая граница $r = R$ разделяет две однородные изотропные среды с материальными константами $\\varepsilon_{1,2}$, $\\mu_{1,2}$, расположенные вблизи этой границы. Внутренняя область может как включать начало координат, так и нет. Запишем условия сопряжения\n",
"\\begin{equation*}\n",
" E_{\\theta,\\phi}(R-0,\\theta,\\phi) = E_{\\theta,\\phi}(R+0,\\theta,\\phi), \\; H_{\\theta,\\phi}(R-0,\\theta,\\phi) = H_{\\theta,\\phi}(R+0,\\theta,\\phi)\n",
"\\end{equation*}\n",
"Подставим явное выражение компонент полей через явный вид проекций векторных сферических волн на единичные векторы сферической системы координат, проинтегрируем по угловым координатам и воспользуемся ортогональностью сферических гармоник. Компоненты, соответствующие разным поляризациям, разделятся. Обозначим амплитуды вблизи границы для $rR$ с помощью верхнего индекса $(2)$.\n",
"\\begin{align*}\n",
" a_{nm}^{(1)1}j_{n}\\left(k_{1}R\\right) - a_{nm}^{(2)3}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right) &= a_{nm}^{(2)1}j_{n}\\left(k_{2}R\\right) - a_{nm}^{(1)3}h_{n}^{(1)}\\left(k_{1}R\\right) \\\\\n",
" \\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}a_{nm}^{(1)1}\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right) - a_{nm}^{(2)3}\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right) &= a_{nm}^{(2)1}\\tilde{j}_{n}\\left(k_{2}R\\right) - \\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}a_{nm}^{(1)3}\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{1}R\\right) \\\\\n",
" b_{nm}^{(1)1}\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right) - b_{nm}^{(2)3}\\dfrac{k_{1}}{k_{2}}\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right) &= b_{nm}^{(2)1}\\dfrac{k_{1}}{k_{2}}\\tilde{j}_{n}\\left(k_{2}R\\right) - b_{nm}^{(1)3}\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{1}R\\right) \\\\\n",
" b_{nm}^{(1)1}\\dfrac{k_{1}}{k_{2}}\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}j_{n}\\left(k_{1}R\\right) - b_{nm}^{(2)3}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right) &= b_{nm}^{(2)1}j_{n}\\left(k_{2}R\\right) - b_{nm}^{(1)3}\\dfrac{k_{1}}{k_{2}}\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}h_{n}^{(1)}\\left(k_{1}R\\right)\n",
"\\end{align*}\n",
"Соотношения между коэффициентами запишем в виде S-матрицы. По аналогии со случаем плоских волн коэффициенты этой матрицы можно трактовать как коэффициенты прохождения и отражения:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} a^{(1)1}_{mn} \\\\ a^{(2)3}_{mn} \\end{array} \\! \\right) = \\left( \\! \\begin{array}{cc} r_{11mn} & t_{12mn} \\\\ t_{21mn} & r_{22mn} \\end{array} \\! \\right) \\left( \\! \\begin{array}{c} a^{(1)3}_{mn} \\\\ a^{(2)1}_{mn} \\end{array} \\! \\right) = S^{P}_{mn} \\left( \\! \\begin{array}{c} a^{(1)3}_{mn} \\\\ a^{(3)1}_{mn} \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"и аналогично для коэффициентов $b^{P\\sigma}_{mn}$. Для вычисления коэффициентов матрицы в явном виде необходимо воспользоваться соотношением, которое следует из формул Вронскианов сферических функций Бесселя:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" j_{n}(z)\\frac{d}{dz}[zh_n^{(1)}(z)] - h_n^{(1)}(z)\\frac{d}{dz}[zj_n(z)] = \\frac{i}{z}\n",
"\\end{equation*}\n",
"Таким образом, получается\n",
"\\begin{align*}\n",
" r_{11mn} =& \\dfrac{\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{1}R\\right)-h_{n}^{(1)}\\left(k_{1}R\\right)\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)}{j_{n}\\left(k_{1}R\\right)\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)-\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right)} \\\\\n",
" t_{12mn} =& \\frac{i}{k_{2}R}\\dfrac{1}{j_{n}\\left(k_{1}R\\right)\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)-\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right)} \\\\\n",
" t_{21mn} =& \\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}\\frac{i}{k_{1}R}\\dfrac{1}{j_{n}\\left(k_{1}R\\right)\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)-\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right)} \\\\\n",
" r_{22mn} =& \\dfrac{\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}j_{n}\\left(k_{2}R\\right)\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right)-j_{n}\\left(k_{1}R\\right)\\tilde{j}_{n}\\left(k_{2}R\\right)}{j_{n}\\left(k_{1}R\\right)\\tilde{h}_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)-\\dfrac{\\mu_{2}}{\\mu_{1}}h_{n}^{(1)}\\left(k_{2}R\\right)\\tilde{j}_{n}\\left(k_{1}R\\right)}\n",
"\\end{align*}\n",
"Формулы для второй поляризации аналогичны.\n",
"\n",
"Аналогичные результаты можно получить и для случая цилиндрической геометрии."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "47c507a7",
"metadata": {},
"source": [
"## Методы S- и Т-матриц\n",
"\n",
"Введенные выше матрицы позволяют рассчитывать распространение излучения в слоистых средах, состоящих из однородных слоёв, и средах с пространственно неоднородным распределением материальных параметров. В простейшем случае материальные параметры зависят от координаты $z$ при использовании базиса плоских волн или от расстояния до начала координат $r$ при использовании базиса сферических волн. Тогда матрицы рассеяния и переноса остаются диагональными относительно этого базиса, что существенно упрощает как формулировку методов, так и расчеты.\n",
"\n",
"Для формулировки методов расчета распространения излучения, а именно, когда для заданной внешней падающей волны требуется рассчитать поле излучения во всем пространстве, кроме выведенных выше S- и T-матриц границ разделов сред, нам потребуются соответствующие матрицы, позволяющие связывать амплитуды волн в разных пространственных точках одной и той же однородной изотропной среды. В случае декартовых координат матрица рассеяния такого однородного слоя толщиной $\\ell$ должна задавать набег фазы соотетствующих волн на толщине этого слоя:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" S_{\\ell} = \\left( \\! \\begin{array}{cc} 0 & \\exp{(ik_z\\ell)} \\\\ \\exp{(ik_z\\ell)} & 0 \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" T_{\\ell} = \\left( \\! \\begin{array}{cc} \\exp{(-ik_z\\ell)} & 0 \\\\ 0 & \\exp{(ik_z\\ell)} \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"В случае сферической геометрии S-матрица однородного сферического слоя будет представлять собой матрицу с единицами на побочной диагонали, а T-матрица - матрицу с единицами на основной диагонали.\n",
"\n",
"Основным шагом методов является операция композиции двух матриц, $S^{(1,2)}$ или $T^{(1,2)}$, для соседних пространственных областей, например матрицы границы раздела и матрицы однородного слоя. Эта операция позволяет получить матрицу составной области из матриц подобластей этой области. Как следует из определения, для T-матриц такая композиция задается обычным матричным произведением:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" T = T^{(2)} T^{(1)}\n",
"\\end{equation*}\n",
"Для S-матриц композиция $S = S^{(2)} \\ast S^{(1)}$ задается по следующему правилу:\n",
"\\begin{align*}\n",
" S_{11} =& S^{(1)}_{11} + S^{(1)}_{12} \\left( 1-S^{(2)}_{11}S^{(1)}_{22} \\right)^{-1} S^{(2)}_{11} S^{(1)}_{21} \\\\\n",
" S_{12} =& S^{(1)}_{12} \\left( 1-S^{(2)}_{11}S^{(1)}_{22} \\right)^{-1} S^{(2)}_{12} \\\\\n",
" S_{21} =& S^{(2)}_{21} \\left( 1-S^{(1)}_{22}S^{(2)}_{11} \\right)^{-1} S^{(1)}_{21} \\\\\n",
" S_{22} =& S^{(2)}_{22} + S^{(2)}_{21} \\left( 1-S^{(1)}_{22}S^{(2)}_{11} \\right)^{-1} S^{(1)}_{22} S^{(2)}_{12} \\\\\n",
"\\end{align*}\n",
"Метод матриц переноса удобен с точки зрения получения аналитических результатов, метод матриц рассеяния является вычислительно устойчивым.\n",
"\n",
"Чтобы рассчитать отражение и прохождение через произвольный неоднородный слой, плоский, сферический или цилиндрический, где задано изменение материальных параметров в соответствующем измерении, нужно разбить его на конечное число тонких по сравнению с длиной волны в матерале подслоев и рассматривать систему как многослойник, состоящий из идущих друг за другом однородных слоев.\n",
"\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"\n",
"Чтобы найти поле внутри неоднородной структуры с заданной координатой, необходимо рассмотреть две матрицы, $S^{(1,2)}$ или $T^{(1,2)}$, подструктур, граничащих вдоль этой координаты, и по заданным амплитудам падающих на структуру волн внешних источников, расположенных вне структуры, найти амплитуды волн внутри структуры:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} c^- \\\\ c^+ \\end{array} \\! \\right) = \n",
" \\left( \\! \\begin{array}{cc} \\left( 1-S^{(2)}_{11}S^{(1)}_{22} \\right)^{-1} S^{(2)}_{11} S^{(1)}_{21} & \\left( 1-S^{(2)}_{11}S^{(1)}_{22} \\right)^{-1} S^{(2)}_{12} \\\\ \n",
" \\left( 1-S^{(1)}_{22}S^{(2)}_{11} \\right)^{-1} S^{(1)}_{21} & \\left( 1-S^{(1)}_{22}S^{(2)}_{11} \\right)^{-1} S^{(1)}_{11} S^{(2)}_{12} \\end{array} \\! \\right) \n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} b^+ \\\\ a^- \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Если источник расположен внутри неоднородной структуры, и $S^{(1,2)}$ или $T^{(1,2)}$ - матрицы подструктур, окружающих этот источник, то поле излучения вне структуры можно найти по формулам\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} b^- \\\\ a^+ \\end{array} \\! \\right) = \n",
" \\left( \\! \\begin{array}{cc} S^{(1)}_{12} \\left( 1-S^{(2)}_{11}S^{(1)}_{22} \\right)^{-1} & S^{(1)}_{12} \\left( 1-S^{(2)}_{11}S^{(1)}_{22} \\right)^{-1} S^{(2)}_{11} \\\\ \n",
" S^{(2)}_{21} \\left( 1-S^{(1)}_{22}S^{(2)}_{11} \\right)^{-1} S^{(1)}_{22} & S^{(2)}_{21} \\left( 1-S^{(1)}_{22}S^{(2)}_{11} \\right)^{-1} \\end{array} \\! \\right) \n",
" \\left( \\! \\begin{array}{c} r^- \\\\ r^+ \\end{array} \\! \\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"где $r^{\\pm}$ - амплитуды излучения в однородной изотропной среде.\n",
"\n",
"\n",
"
\n",
" \n",
" К расчету поля внутри структуры (слева), и расчету излучения источников в структуре (справа)\n",
"
\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f0c8e38d",
"metadata": {},
"source": [
"## Плоский волновод\n",
"\n",
"Рассмотрим пример плоского волновода - слоя однородного материала $-h/2\\leq z\\leq h/2$ с диэлектрической проницаемостью $\\varepsilon_2$, находящегося между дву полубесконечными обкладками с диэлектрическими проницаемостями $\\varepsilon_{1,3}$. Обозначим коэффициенты отражения на нижней и верхней границе слоя для волн, падающих изнутри слоя, как $r_L$ и $r_U$ соответственно. Тогда матрицы рассеяния нижней границы, слоя материала волновода, и верхней границы имеют вид\n",
"\\begin{equation*}\n",
" S^{(1)} = \\left(\\begin{array}{cc} -r_{L} & 1+r_{L} \\\\ 1-r_{L} & r_{L} \\end{array}\\right), \\; S^{(2)} = \\left(\\begin{array}{cc} 0 & e^{ik_zh} \\\\ e^{ik_zh} & e^{ik_zh} \\end{array}\\right), \\; S^{(3)}=\\left(\\begin{array}{cc} r_{U} & 1-r_{U} \\\\ 1+r_{U} & -r_{U} \\end{array}\\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"Их композиция даёт матрицу рассеяния волновода:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" S = \\left(\\begin{array}{cc}\n",
"-r_{L} + \\dfrac{r_{L}\\left(1-r_{L}^{2}\\right)e^{2ik_{z}h}}{1-r_{U}r_{L}e^{2ik_{z}h}} & \\dfrac{\\left(1+r_{L}\\right)\\left(1-r_{U}\\right)e^{ik_{z}h}}{1-r_{U}r_{L}e^{2ik_{z}h}} \\\\\n",
"\\dfrac{\\left(1+r_{U}\\right)\\left(1-r_{L}\\right)e^{ik_{z}h}}{1-r_{U}r_{L}e^{2ik_{z}h}} & -r_{U}+\\dfrac{r_{L}\\left(1-r_{U}^{2}\\right)e^{2ik_{z}h}}{1-r_{U}r_{L}e^{2ik_{z}h}}\n",
"\\end{array}\\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"где $k_z$ - проекция волнового вектора внутри слоя.\n",
"\n",
"В приложениях рассмотренный слой может выступать и как волноведущая структура, и как резонатор Фабри-Перо. Матрица рассеяния дает единый способ описания слоя, позволяя получить и дискретный, и непрерывный спектры. Пусть на структуру падает поле, задаваемое вектором амплитуд $\\boldsymbol{a}_{inc}$, а рассеянное поле задается вектором $\\boldsymbol{a}_{sca}$. Запишем связь между ними через обратную матрицу $S^{-1}\\boldsymbol{a}_{sca} = \\boldsymbol{a}_{inc}$. При нулевой правой части решениями этого уравнения будут являться собственные решения $\\boldsymbol{a}_{eig}$, то есть, собственные числа будут определяться полюсами матрицы рассеяния.\n",
"\n",
"Пусть для простоты $r_U = r_L = r$. Из явного вида выведенной выше матрицы получаем условие:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" 1-r^{2}\\exp\\left(2ik_{z}h\\right) = 0\n",
"\\end{equation*}\n",
"В случае режима Фабри-Перо длина волны такова, что $|r|<1$, и записав условие на фазы, получается условие резонанса Фабри-Перо:\n",
"\\begin{align*}\n",
" & \\Re e\\left\\{ k_{z}\\right\\} h+\\arg\\left(r\\right)=\\pi l,\\thinspace l\\in\\mathbb{Z} \\\\\n",
" & \\exp\\left(-\\Im m\\left\\{ k_{z}\\right\\} h\\right)=\\left|r\\right|\n",
"\\end{align*}\n",
"В чисто диэлектрической структуре, где показатель преломления слоя выше показателя преломления обкладок, волноводные моды можно получить учтя, что при полном внутреннем отражении $|r|=1$, поскольку проекция волнового вектора внутри слоя $k_z$ является вещественным числом, в снаружи - чисто мнимым числом $i\\kappa_z = i\\sqrt{k_x^2-\\omega^2\\varepsilon_1\\mu_1}$. Например, для ТЕ мод\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\dfrac{\\mu_{1}k_{z}-i\\mu_{2}\\chi_{z}}{\\mu_{1}k_{z}+i\\mu_{2}\\chi_{z}}\\exp\\left(ik_{z}h\\right)=\\pm1\n",
"\\end{equation*}\n",
"Разделяя это уравнение на вещественную и мнимую части, с помощью несложных алгебраических преобразований можно получить обычные дисперсионные уравнения для плоского волновода:\n",
"\\begin{align*}\n",
" & \\dfrac{\\mu_{1}}{\\mu_{2}}k_{z}\\tan\\left(\\dfrac{k_{z}h}{2}\\right) = \\sqrt{\\omega^{2}\\left(\\varepsilon_2\\mu_2-\\varepsilon_{1}\\mu_{1}\\right)-k_{z}^{2}} \\\\\n",
" & \\dfrac{\\mu_{1}}{\\mu_{2}}k_{z}\\cot\\left(\\dfrac{k_{z}h}{2}\\right) = -\\sqrt{\\omega^{2}\\left(\\varepsilon_2\\mu_2-\\varepsilon_{1}\\mu_{1}\\right)-k_{z}^{2}}\n",
"\\end{align*}\n",
"Их решения имеют простую графическую визуализацию как пересечения кривых тангенса и арктангенса с дугой окружности."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d6b1c0cc",
"metadata": {},
"source": [
"## Задача Коши для коэффициента отражения неоднородного слоя\n",
"\n",
"Расчет распространения в неоднородной одномерной структуре можно сформулировать как задачу Коши для некоторого дифференциального уравнения. Чтобы его получить, рассмотрим полученное выражение для матрицы рассения некоторого слоя и устремим толщину слоя к нулю. Пусть стоит задача определения коэффициента отражения как функции координты в толщине неоднородного слоя $r(z)$. Тогда начальным условием будет $r(-h/2)=0$. В уравнении для матрицы рассеяния для тонкого слоя толщиной $\\Delta\\ll n\\lambda$, расположенного в точке с координатой $z$, положим $r_L = -r(z)$, и разложим коэффициент Френеля по малому параметру $\\Delta$:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" r_{U}=\\dfrac{k_{z}\\left(z\\right)/\\eta\\left(z\\right)-k_{z}\\left(z+\\Delta\\right)/\\eta\\left(z+\\Delta\\right)}{k_{z}\\left(z+\\Delta\\right)/\\eta\\left(z+\\Delta\\right)+k_{z}\\left(z\\right)/\\eta\\left(z\\right)}\\approx-\\dfrac{\\left(k_{z}/\\eta\\right)'}{2\\left(k_{z}/\\eta\\right)}\\Delta\n",
"\\end{equation*}\n",
"Тогда для коэффициента отражения, задаваемого элементом $S_{22}$,\n",
"\\begin{equation*}\n",
" r\\left(z+\\Delta\\right)=\\dfrac{-r_{U}+r\\left(z\\right)e^{2ik_{z}\\Delta}}{1-r\\left(z\\right)r_{U}e^{2ik_{z}\\Delta}}\n",
" \\approx \\left(\\dfrac{\\left(k_{z}/\\eta\\right)'}{2\\left(k_{z}/\\eta\\right)}-r^{2}\\left(z\\right)\\dfrac{\\left(k_{z}/\\eta\\right)'}{2\\left(k_{z}/\\eta\\right)}+r\\left(z\\right)2ik_{z}\\right)\\Delta+r\\left(z\\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"Отсюда при $\\Delta\\rightarrow0$ получаем искомое дифференциальное уравнение, которое можно решить, например, методом Рунге-Кутта:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\dfrac{dr}{dz}=2ik_{z}r\\left(z\\right)+\\dfrac{\\left(k_{z}/\\eta\\right)'}{2\\left(k_{z}/\\eta\\right)}\\left[1-r^{2}\\left(z\\right)\\right]\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6786aa5d",
"metadata": {},
"source": [
"### Литература\n",
"\n",
"1. Orfanidis, J. Electromagnetic waves and antennas, Ch. 5-8 Rutgers University (2016)\n",
"2. N. P. K. Cotter, T. W. Preist, and J. R. Sambles, Scattering-matrix approach to multilayer diffraction, J. Opt. Soc. Am. A 12, 1097-1103 (1995)\n",
"3. A.A. Shcherbakov, A.V. Tishchenko, D.S. Setz, B.C. Krummacher, Rigorous S-matrix approach to the modeling of the optical properties of OLEDs, Organic Electronics 12, 4, 654-659 (2011)\n",
"4. J. E. Davis, Multilayer reflectivity (2014)"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3 (ipykernel)",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.8.8"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}
![](\"../pic/1-2_ST.png\")
\n",
" ![](\"../pic/1-2_ST_ml.png\")
\n",
" ![](\"../pic/1-2_ST_inout.png\")
\n",
"