{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9a53e7f1",
"metadata": {},
"source": [
"Лицензия MIT\n",
"\n",
"© Алексей Александрович Щербаков, 2024"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d702e462",
"metadata": {},
"source": [
"# Лекция 1.3. Функции Грина"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "555daf4d",
"metadata": {},
"source": [
"В данной лекции напомним известные определения, а также остановимся на фактах, которые будут использованы в курсе при построении численных решений волнового уравнения."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "aa9182f9",
"metadata": {},
"source": [
"## Функция Грина\n",
"\n",
"### Скалярное уравнение\n",
"\n",
"Для скалярного уравнения Гельмгольца\n",
"\\begin{equation*}\n",
" (\\nabla^{2}+k^2)\\psi(\\boldsymbol{r}) = f(\\boldsymbol{r})\n",
"\\end{equation*}\n",
"уравнение на функцию Грина имеет вид\n",
"\\begin{equation*}\n",
" (\\nabla^{2} + k^{2})g(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') = -\\delta(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}')\n",
"\\end{equation*}\n",
"Его решение в однородной изотропной среде с условием Зоммерфельда на бесконечности в явном виде записывается как\n",
"\\begin{equation*}\n",
" g_0(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') = \\frac{\\exp\\left(ik\\left|\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}'\\right|\\right)} {4\\pi\\left|\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}'\\right|}\n",
"\\end{equation*}\n",
"Тогда для заданного источника $f$ решение записывается в виде интеграла\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\psi\\left(\\boldsymbol{r}\\right) = -\\int_{V} g_0\\left(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}'\\right) f\\left(\\boldsymbol{r}'\\right) d^{3}\\boldsymbol{r}'\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"### Векторное уравнение\n",
"\n",
"Для соответствующего векторного уравнения с электрическими источниками\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\nabla\\times\\nabla\\times\\boldsymbol{E} - k^{2}\\boldsymbol{E} = i\\omega\\mu\\boldsymbol{J}_e\n",
"\\end{equation*}\n",
"уравнение на тензорную функцию Грина имеет вид\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\nabla\\times\\nabla\\times\\mathcal{G}(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') - k^{2}\\mathcal{G}(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') = \\mathbb{I} \\delta(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}')\n",
"\\end{equation*}\n",
"Его решение в однородной изотропной среде с условиями Сильвера-Мюллера на бесконечности выражается через скалярную функцию Грина\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') = \\left(\\mathbb{I} + \\dfrac{1}{k^{2}} \\nabla\\nabla \\right) g(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}')\n",
"\\end{equation*}\n",
"Решение уравнения Гельмгольца во всем пространстве\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{E} = i\\omega\\mu \\int_{V} \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J}_e \\left(\\boldsymbol{r}'\\right) d^{3}\\boldsymbol{r}'\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"В явном виде дифференцирование скалярной функции Грина приводит к выражению\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') = \\dfrac{e^{ikR}}{4\\pi R} \\left[ \\mathbb{I}\\left(1+\\dfrac{i}{kR}-\\dfrac{1}{k^{2}R^{2}}\\right)+\\hat{\\boldsymbol{e}}_r \\hat{\\boldsymbol{e}}_r^T \\left(\\dfrac{3}{k^{2}R^{2}} - \\dfrac{3i}{kR} - 1\\right)\\right]\n",
"\\end{equation*}\n",
"где $R = |\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}'|$. Данное выражение в точке $\\boldsymbol{r}$ пропорционально полю электрического диполя, расположенного в точке с координатами $\\boldsymbol{r}'$.\n",
"\n",
"На больших расстояниях $r\\gg r'$\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}_{0}(\\boldsymbol{r}, \\boldsymbol{r}') \\sim \\left(\\mathbb{I} - \\hat{\\boldsymbol{e}}_r \\hat{\\boldsymbol{e}}_r^T\\right)\\dfrac{e^{ikr}}{4\\pi r}e^{-ik\\hat{\\boldsymbol{r}}\\cdot\\boldsymbol{r}'}\n",
"\\end{equation*}\n",
"что представляет собой поперечную cферическую волну, амплитуда которой убывает обратно пропорционально расстоянию до источника. По аналогии с электрическим полем, можно написать условие на бесконечности\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\lim_{R\\rightarrow\\infty} R \\left[ \\nabla\\times\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') - ik_m\\hat{\\boldsymbol{R}} \\times \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\right] = 0\n",
"\\end{equation*}\n",
"где $\\boldsymbol{R} = \\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}'$.\n",
"\n",
"Также, из соотношения взаимности следует\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}_{0}\\left(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}'\\right) = \\mathcal{G}_{0}^{T}\\left(\\boldsymbol{r}',\\boldsymbol{r}\\right)\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "cf70a5d5",
"metadata": {},
"source": [
"## Уравнение Дайсона\n",
"\n",
"Если разделить потенциал на однородную и неоднородную части\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\varepsilon = \\varepsilon_m + \\Delta\\varepsilon\\Rightarrow k^2 = k_m^2 + \\Delta (k^2)\n",
"\\end{equation*}\n",
"подставить в уравнение для функции Грина\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\nabla\\times\\nabla\\times\\mathcal{G}(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') - k_m^{2}\\mathcal{G}(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') = \\mathbb{I} \\delta(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') + \\Delta (k^2)\\mathcal{G}(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}')\n",
"\\end{equation*}\n",
"и воспользоваться объемным интегральным решением с источником\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathbb{J} = -\\frac{i}{\\omega\\mu_0}\\mathbb{I} \\delta(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') -i\\omega\\Delta\\varepsilon \\mathcal{G}(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}')\n",
"\\end{equation*}\n",
"получим\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') = \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') + \\int_{V} \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}'') U(\\boldsymbol{r}'') \\mathcal{G}(\\boldsymbol{r}'',\\boldsymbol{r}') d^{3}\\boldsymbol{r}''\n",
"\\end{equation*}\n",
"Это уравнение называется уравнением Дайсона."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9d122178",
"metadata": {},
"source": [
"## Решение для конечного объема\n",
"\n",
"Если рассматривается конечный объём $\\Omega\\in\\mathbb{R}^3$, интегральные решения уравения Гельмгольца можно получить из теоремы Грина. Для некоторой векторной функции $\\boldsymbol{P}$ и тензорной функции $\\mathcal{Q}$, \n",
"заданного объема $V$ и ограничивающей его поверхности $S$ эта теорема имеет вид\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_{V} \\left[ \\boldsymbol{P} \\cdot \\nabla\\times\\nabla\\times\\mathcal{Q} - \\left( \\nabla\\times\\nabla\\times\\boldsymbol{P}\\right) \\cdot \\mathcal{Q} \\right] dV = -\\oint_{S} \\left[ \\left(\\hat{\\boldsymbol{n}} \\times\\nabla\\times\\boldsymbol{P}\\right) \\cdot \\mathcal{Q} + \\left(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{P}\\right) \\cdot \\nabla\\times\\mathcal{Q} \\right] dS\n",
"\\end{equation*}\n",
"Если сделать подстановку\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{P} = \\boldsymbol{E},\\thinspace \\mathcal{Q} = \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}')\n",
"\\end{equation*}\n",
"воспользовать уравнением Гельмгольца для электрического поля, уравнением на функцию Грина, и законом Фарадея, получим\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{E}(\\boldsymbol{r}') = ikZ \\int_{V} \\boldsymbol{J} \\cdot \\mathcal{G}_0 dV - \\oint_{S} \\left[ ikZ \\left(\\hat{\\boldsymbol{n}} \\times \\boldsymbol{H}\\right) \\cdot \\mathcal{G}_0 + \\left(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E}\\right) \\cdot \\nabla\\times\\mathcal{G}_0\\right] dS\n",
"\\end{equation*}\n",
"Здесь, как и ранее, введен импеданс свободного пространства $Z=\\sqrt{\\mu/\\varepsilon}$.\n",
"\n",
"Аналогично, для магнитного поля можно получить\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{H}(\\boldsymbol{r}') = \\int_{V} \\boldsymbol{J} \\cdot \\nabla\\times\\mathcal{G}_0 dV + \\oint_{S} \\left[i\\dfrac{k_m}{Z}\\left(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E}\\right) \\cdot \\mathcal{G}_0 - \\left(\\hat{\\boldsymbol{n}} \\times \\boldsymbol{H}\\right)\\cdot\\nabla\\times\\mathcal{G}_0 \\right] dS\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f3f100b7",
"metadata": {},
"source": [
"## Сингулярность\n",
"\n",
"Из явного выражения для тензорной функции Грина свободного пространства следует, что в точке $\\boldsymbol{r} = \\boldsymbol{r}'$ функция имеет полюс третьего порядка, и объемный интеграл для поля в области источников вычисляется в смысле главного значения. Чтобы вычислить этот интеграл выделим интеграл по бесконечно малому объему вблизи полюса и воспользуемся законом сохранения заряда:\n",
"\\begin{split}\n",
" &\\nabla\\nabla\\int_{V} g_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' = \\\\\n",
" &= \\lim_{V_{\\delta}\\rightarrow0} \\left[ \\nabla\\nabla\\int_{V \\backslash V_{\\delta}} g_0 (\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' + \\nabla\\nabla\\int_{V_{\\delta}} g_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' \\right] = \\\\\n",
" &= \\lim_{V_{\\delta}\\rightarrow0} \\left[ \\nabla\\nabla\\int_{V \\backslash V_{\\delta}} g_0 (\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' - \\nabla\\int_{V_{\\delta}} \\nabla' g_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' \\right] = \\\\\n",
" &= \\lim_{V_{\\delta}\\rightarrow0} \\left[ \\nabla\\nabla\\int_{V \\backslash V_{\\delta}} g_0 (\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' - \\nabla \\left( \\int_{S_{\\delta}} g_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{n} \\cdot \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') dS' - i\\omega \\int_{V_{\\delta}} g_{0}(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\rho_e(\\boldsymbol{r}') d^{3}\\boldsymbol{r}' \\right) \\right]\n",
"\\end{split}\n",
"Предполагая, что плотность заряда $\\rho_e(\\boldsymbol{r}')$ является непрерывной функцией координат, получаем, что последнее слагаемое равно нулю. Произведение $\\boldsymbol{n} \\cdot \\boldsymbol{J}$ задает поверхностный заряд на поверхности $S_{\\delta}$, поэтому предпоследнее слагаемое сводится к произведению постоянного множителя, зависящего от формы этой поверхности на ток точке $\\boldsymbol{r}$, так что в итоге\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\nabla\\nabla\\int_{V} g_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' = \\lim_{V_{\\delta}\\rightarrow0} \\nabla\\nabla\\int_{V \\backslash V_{\\delta}} g_0 (\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3} \\boldsymbol{r}' - \\mathcal{L} \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r})\n",
"\\end{equation*}\n",
"Полностью уравнение для поля запишется как\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{E} = i\\omega\\mu_{0} P.V.\\int_{V} \\mathcal{G}_{0} (\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}') \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r}') d^{3}\\boldsymbol{r}' + \\dfrac{1}{i\\omega\\varepsilon_{m}} \\mathcal{L} \\cdot \\boldsymbol{J} (\\boldsymbol{r})\n",
"\\end{equation*}\n",
"Например, для сферического объема\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{L}_{sph} = \\frac{1}{3} \\mathbb{I}\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "42e69c0a",
"metadata": {},
"source": [
"## Спектральное представление\n",
"\n",
"Рассмотрим уравнение для тензорной функции Грина. Трехмерное преобразование Фурье по переменной $\\boldsymbol{r}$ даёт\n",
"\\begin{equation*}\n",
" -\\boldsymbol{k} \\times \\boldsymbol{k} \\times \\mathcal{G}_0 (\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}') - k_{0}^{2} \\mathcal{G}_0 (\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}') = \\mathbb{I} e^{-i\\boldsymbol{k}\\boldsymbol{r}'} \\Rightarrow\n",
" \\mathcal{G}_0 (\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}') = \\dfrac{\\mathbb{I} k_{0}^{2} - \\boldsymbol{k}\\boldsymbol{k}^T}{k_{0}^{2}\\left(k^{2}-k_{0}^{2}\\right)} e^{-i\\boldsymbol{k}\\boldsymbol{r}'}\n",
"\\end{equation*}\n",
"С помощью обратного преобразования Фурье получаем спектральное разложение\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}_0 (\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') = \\dfrac{1}{\\left(2\\pi\\right)^{3}} \\int_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} e^{i\\boldsymbol{k}(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}')} \\dfrac{\\mathbb{I}k_{0}^{2} - \\boldsymbol{k}\\boldsymbol{k}^T} {k_{0}^{2}(k^{2}-k_{0}^{2})}\n",
"\\end{equation*}\n",
"Этот интеграл расходится в классическом смысле - дробь под интегралом стремится к постоянной при $|\\boldsymbol{k}|\\rightarrow\\infty$. Рассмотрим предел $|k_z|\\rightarrow\\infty$ при ограниченных $|k_{x,y}|<const$:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\dfrac{\\mathbb{I}k_{0}^{2} - \\boldsymbol{k}\\boldsymbol{k}^T} {k_{0}^{2}(k^{2}-k_{0}^{2})} \\sim -\\hat{\\boldsymbol{e}}_z \\hat{\\boldsymbol{e}}_z^T\n",
"\\end{equation*}\n",
"Выделим в интеграле сингулярную часть, а регулярную проинтегрируем по $k_z$ с помощью леммы Жордана, вычисляя вычеты в полюсах $\\pm\\sqrt{k_{0}^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}$:\n",
"\\begin{align*}\n",
" \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') =& \\dfrac{1}{\\left(2\\pi\\right)^{3}} \\int_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} e^{i\\boldsymbol{k}(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}')} \\left[ \\dfrac{\\mathbb{I}k_{0}^{2} - \\boldsymbol{k}\\boldsymbol{k}} {k_{0}^{2}\\left(k^{2}-k_{0}^{2}\\right)} + \\dfrac{\\hat{\\boldsymbol{e}}_z \\hat{\\boldsymbol{e}}_z}{k_{0}^{2}} \\right] - \\dfrac{\\hat{\\boldsymbol{e}}_z \\hat{\\boldsymbol{e}}_z}{\\left(2\\pi\\right)^{3}k_{0}^{2}} \\int_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} e^{i\\boldsymbol{k}\\left(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}'\\right)} = \\\\\n",
" =& \\dfrac{i}{8\\pi^{2}} \\int_{-\\infty}^{\\infty} dk_xdk_y e^{i\\boldsymbol{\\varkappa} (\\boldsymbol{\\rho} - \\boldsymbol{\\rho}') + ik_{z} \\left|z-z'\\right|} \\dfrac{\\mathbb{I}k_{0}^{2} - \\boldsymbol{k}_{0}\\boldsymbol{k}_{0}}{k_{0}^{2}k_{z}} - \\dfrac{\\hat{\\boldsymbol{e}}_z \\hat{\\boldsymbol{e}}_z}{k_{0}^{2}}\\delta\\left(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}'\\right)\n",
"\\end{align*}\n",
"где $\\boldsymbol{\\varkappa} = (k_x,k_y)^T$, $\\boldsymbol{\\rho} = (x,y)^T$. Полученное выражение есть разложение тензорной функции Грина свободного пространства по плоским волнам. Подынтегральное выражение содержит только поперечные плоские волны, а сингулярность возникает только в области источника. Комопненты волнового вектора удовлетворяют дисперсионному уравнению, а знак третьей компоненты выбирается исходя из условий излучения на бесконечности:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{k}_{0} = \\begin{cases}\n",
"\\hat{\\boldsymbol{e}}_x k_{x} + \\hat{\\boldsymbol{e}}_y k_{y} + \\hat{\\boldsymbol{e}}_z k_{z} & z-z'>0 \\\\\n",
"\\hat{\\boldsymbol{e}}_x k_{x} + \\hat{\\boldsymbol{e}}_y k_{y} - \\hat{\\boldsymbol{e}}_z k_{z} & z-z'<0\n",
"\\end{cases},\\thinspace\\Im m\\left[k_{z}\\right] \\geq 0\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4d2fb175",
"metadata": {},
"source": [
"## Разложение функции Грина по векторным волновым функциям\n",
"\n",
"### Плоские волны\n",
"\n",
"Ранее мы получили полный базис векторных сферических волн $\\boldsymbol{M}$, $\\boldsymbol{N}$, $\\boldsymbol{L}$, первые две из которых являются соленодальными, а третья - безвихревой. В декартовых координатах произвольное поле может быть разложено по этим функциям как\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\boldsymbol{E} = \\iiint_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} \\left[ a_M(\\boldsymbol{k})\\boldsymbol{M}(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}) + a_N(\\boldsymbol{k})\\boldsymbol{N}(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}) + a_L(\\boldsymbol{k})\\boldsymbol{L}(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}) \\right]\n",
"\\end{equation*}\n",
"Учитывая соотношения ортогональности, можно записать разложение единицы (его можно проверить прямой подстановкой)\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{I}\\delta\\left(\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}'\\right) = \\dfrac{1}{\\left(2\\pi\\right)^{3}} \\iiint_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} \\left[ \\dfrac{\\boldsymbol{M}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{M}^T\\left(-\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right) + \\boldsymbol{N}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{N}^T\\left(-\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right)}{\\varkappa^{2}} + \\dfrac{\\boldsymbol{L}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{L}^T\\left(-\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right)} {k_0^{2}}\\right]\n",
"\\end{equation*}\n",
"Чтобы выразить функцию Грина, запишем для нее разложение, аналогичное разложению поля по векторным волнам:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}=\\iiint_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} \\left[ \\boldsymbol{M}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{a}_M^T\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right) + \\boldsymbol{N}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{a}_N^T\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right) + \\boldsymbol{L}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{a}_L^T\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right) \\right]\n",
"\\end{equation*}\n",
"Подстановка этого разложения и разложения единицы в уравнение Гельмгольца для функции Грина, и использование соотношений ортогональности дает явное выражение коэффициентов, так что для тензора Грина имеем\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G} = \\dfrac{1}{\\left(2\\pi\\right)^{3}} \\iiint_{-\\infty}^{\\infty} d^{3}\\boldsymbol{k} \\left[ \\dfrac{\\boldsymbol{M}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{M}^T\\left(-\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right)+\\boldsymbol{N}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{N}^T\\left(-\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right)}{\\left(k^{2}-k_{0}^{2}\\right)\\varkappa^{2}} - \n",
" \\dfrac{\\boldsymbol{L}\\left(\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{L}^T\\left(-\\boldsymbol{k},\\boldsymbol{r}'\\right)}{k_{0}^{2}k^{2}}\\right]\n",
"\\end{equation*}\n",
"По аналогии со спектральным разложением, выделение сингулярной части и интегрирование с применением леммы Жордана приводит к разложению тензора Грина по плоским волнам, эквивалентного полученному выше при рассмотрении спектрального разложения:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G} = \\dfrac{i}{8\\pi^{2}}\\iint_{-\\infty}^{\\infty} dk_xdk_y \\left[ \\dfrac{\\boldsymbol{M}\\left(\\boldsymbol{\\varkappa},\\pm k_{z},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{M}^T\\left(-\\boldsymbol{\\varkappa},\\mp k_{z},\\boldsymbol{r}\\right) + \\boldsymbol{N}\\left(\\boldsymbol{\\varkappa},\\pm k_{z},\\boldsymbol{r}\\right)\\boldsymbol{N}^T\\left(-\\boldsymbol{\\varkappa},\\mp k_{z},\\boldsymbol{r}\\right)}{k_{z}\\varkappa^{2}}\\right]\n",
" -\\dfrac{\\hat{\\boldsymbol{e}}_z\\hat{\\boldsymbol{e}}_z^T}{k_{0}^{2}}\\delta\\left(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}'\\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"Здесь также подразумевается, что компоненты волнового вектора удовлетворяют дисперсионному уравнению и применяется условие на выбор знака перед константой распространения вдоль оси $Z$.\n",
"\n",
"### Сферические волны\n",
"\n",
"Аналогично случаю плоских волн получается выражение для тензорной функции Грина, разложенной по векторным сферическим волнам:\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{G}\\left(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}'\\right) = ik_{0}\\sum_{nm}\\dfrac{1}{n\\left(n+1\\right)}\\left[\\boldsymbol{M}^{\\sigma}_{nm}\\left(k_{m}\\boldsymbol{r}\\right)(\\hat{\\boldsymbol{M}}^{\\sigma'}_{n,-m})^T\\left(k_{m}\\boldsymbol{r}'\\right)+\\boldsymbol{N}^{\\sigma}_{nm}\\left(k_{m}\\boldsymbol{r}\\right)(\\hat{\\boldsymbol{N}}^{\\sigma'}_{n,-m})^T\\left(k_{m}\\boldsymbol{r}'\\right)\\right]-\\dfrac{\\hat{\\boldsymbol{e}}_r\\hat{\\boldsymbol{e}}_r}{k_{0}^{2}}\\delta\\left(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}'\\right)\n",
"\\end{equation*}\n",
"Здесь для двух типов решений $\\sigma=1$, $\\sigma'=3$ при $r<r'$, и $\\sigma=3$, $\\sigma'=1$ при $r>r'$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "dcb72616",
"metadata": {},
"source": [
"#### Литература\n",
"\n",
"1. W. C. Chew, Waves and Fields in Inhomogeneous Media, Ch 7, IEEE Press (1995)\n",
"2. K. Sarabandi, <a href=\"https://www.eecs.umich.edu/courses/eecs730/lect/DyadicGF_W09_port.pdf\">Dyadic Green's Function</a> (2009)\n",
"3. C.-T. Tai, Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory, International Textbook Company, San Francisco (1971)\n",
"4. L. Tsang, J. A. Kong, K.-H. Ding, Scattering of Electromagnetic Waves: Theories and Applications, John Wiley & Sons, Inc., Ch. 1-2, (2000)"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.8.8"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}