{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5a3ba2b9",
"metadata": {},
"source": [
"Лицензия MIT\n",
"\n",
"© Алексей Александрович Щербаков, 2024"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "00ffec2d",
"metadata": {},
"source": [
"# Лекция 4.3. Рассеяние электромагнитных волн. T-матрица Уотермана и метод продолженных граничных условий"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ab869914",
"metadata": {},
"source": [
"## Т-матрица Уотермана\n",
"\n",
"Анализ одночастичного рассеяния во многих случаях удобно проводить с помощью разложений по векторным сферическим волнам, введенным в [лекции 1.1](). В заданной сферической системе координат с центром, лежащим внутри рассеивающего объёма, например, совпадающим с в центром рассеивающей сферы в случае рассеяния Ми, внешнее поле, которое может представлять собой плоскую волну или гауссов пучок, раскладывается по исключительно регулярным функциям волновым функциям, посколько поле конечно в начале координат:\n",
"\\begin{equation}\\tag{1}\n",
" \\boldsymbol{E}^{ext}(k\\boldsymbol{r}) = \\sum_{m,n} \\left[ c^{ext,h}_{mn} \\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) + c^{ext,e}_{mn} \\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"Рассеянное поле представляется в форме разложения по сингулярным в нуле волнам, определяющимся через сферические функции Ганкеля первого рода, и имеет вид расходящихся сферических волн на больших расстояниях от рассеивателя:\n",
"\\begin{equation}\\tag{2}\n",
" \\boldsymbol{E}^{sca}(k\\boldsymbol{r}) = \\sum_{m,n} \\left[ a^{h}_{mn} \\boldsymbol{M}^{(3)}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) + a^{e}_{mn} \\boldsymbol{N}^{(3)}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"Тогда Т-матрица Уотермана, по определеню, - это матрица связывающая векторы амплитуд $\\boldsymbol{c}^{inc} = \\{ c^{ext,h,e}_{mn} \\}$ и $\\boldsymbol{a} = \\{ a^{h,e}_{mn} \\}$\n",
"\\begin{equation}\\tag{3}\n",
" \\boldsymbol{a} = T \\boldsymbol{c}^{ext}\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"Т-матрицу можно в явном виде выразить через матрицу рассеяния. Для этого необходимо заметить, во-первых, что матрица рассеяния связывает вектор амплитуд \"приходящих\" волн, выраженных через функции Ганкеля второго рода $h^{(2)}(z)$, соответствующих разложению поля\n",
"\\begin{equation}\\tag{4}\n",
" \\boldsymbol{E}^{inc}(k\\boldsymbol{r}) = \\sum_{m,n} \\left[ c^{inc,h}_{mn} \\boldsymbol{M}^{(2)}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) + c^{inc,e}_{mn} \\boldsymbol{N}^{(2)}_{mn}(k\\boldsymbol{r}) \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"так что $\\boldsymbol{a} = S\\boldsymbol{c}^{inc}$. Далее, учитывая соотношение между сферическими функциями $2j(z) = h^{(1)}(z) + h^{(2)}(z)$ и линейность векторных сферических гармоник по входящим в них сферическим функциям, получаем\n",
"$$ S = \\mathbb{I} + 2T $$\n",
"Условие унитарности матрицы рассеяния для частиц без поглощения $SS^{\\dagger} = \\mathbb{I}$ при водит к соответствующей формуле на T-матрицу: $T + T^{\\dagger} + 2TT^{\\dagger} = 0$.\n",
"\n",
"Т-матрица Уотермана может быть аналитически усреднена по ориентациям рассеивающей частицы, так что усредненные сечения экстинкции и рассеяния запишутся как\n",
"$$ \\langle C_{ext} \\rangle -\\frac{2\\pi}{k_m^2} \\Re e \\sum_{mn} (T^{11}_{mn,mn} + T^{22}_{mn,mn}) $$\n",
"$$ \\langle C_{sca} \\rangle \\frac{2\\pi}{k_m^2} \\Re e \\sum_{mn} \\sum_{\\alpha,\\beta=1,2} |T^{\\alpha\\beta}_{mn,mn}|^2 $$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3d69aff9",
"metadata": {},
"source": [
"## Продолженные граничные условия\n",
"\n",
"Условие для связи полей внутри и вне рассеивающей частицы можно получить с помощью векторной теоремы Грина:\n",
"\\begin{equation}\\tag{5}\n",
" \\intop_V dV \\left[ \\boldsymbol{a}\\cdot(\\nabla\\times\\nabla\\times\\boldsymbol{b}) - \\boldsymbol{b}\\cdot(\\nabla\\times\\nabla\\times\\boldsymbol{a}) \\right] = \\intop_{\\partial V} dS \\hat{\\boldsymbol{n}} \\cdot \\left[ \\boldsymbol{b}\\times(\\nabla\\times\\boldsymbol{a}) - \\boldsymbol{a}\\times(\\nabla\\times\\boldsymbol{c}) \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"где $\\hat{\\boldsymbol{n}}$ - нормаль к поверхности $\\partial V$, ограничивающей объём $V$. Применм уравнение (5) ко внешней по отношению к рассеивающей частице области $V_{ext}$, представляющей собой сферу достаточно большого радиуса с центром внутри рассеивателя, $V\\in V_{ext}\\in \\mathbb{R}^3$, и подставим $\\boldsymbol{a}=\\boldsymbol{E}$ и $\\boldsymbol{b}=\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\boldsymbol{c}$, где $\\boldsymbol{c}$ - некоторый постоянный вектор. Используя уравнение Гельмгольца, нетрудно получить\n",
"\\begin{equation}\\tag{6}\n",
" \\begin{cases} \\boldsymbol{E}(\\boldsymbol{r}')\\cdot\\boldsymbol{c}, & \\boldsymbol{r}'\\in V_{ext} \\\\ 0, & \\boldsymbol{r}'\\in V \\end{cases} = \\left( -\\intop_{\\partial V_{ext}} + \\intop_{\\partial V} \\right) dS \\hat{\\boldsymbol{n}} \\cdot \\left[ (\\nabla\\times\\boldsymbol{E})\\times(\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\boldsymbol{c}) - \\boldsymbol{E}\\times(\\nabla\\times\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\boldsymbol{c}) \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"Рассеянное поле убывает при удалении от рассеивателя, поэтому, устремляя размер области $V_{ext}$ к бесконечности, можно видеть, что первый интеграл по поверхности этой области соответствует внешнему полюб тогда как второй - рассеянному, так что первая строка в уравнении (6) представляет собой запись принципа суперпозиции для полного поля во внешней области $\\boldsymbol{E} = \\boldsymbol{E}^{ext} + \\boldsymbol{E}^{sca}$, где\n",
"\\begin{equation}\\tag{7}\n",
" \\boldsymbol{E}^{sca}(\\boldsymbol{r}') = \\intop_{\\partial V} dS \\left[ i\\omega\\mu_0\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H})_+ + (\\nabla\\times\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}'))\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E})_+ \\right],\\;\\boldsymbol{r}'\\in V_{ext}\n",
"\\end{equation}\n",
"Здесь была принята во внимание произвольность постоянного вектора $\\boldsymbol{c}$, а также использован закон Фарадея для выражения циркуляции электрического поля через магнитное поле. Индекс \"+\" указывает на то, что тангенциальная компонента поля берётся на внешней части поверхности рассеивающей частицы.\n",
"\n",
"Аналогично, вторая строка уравнения (6) даёт выражение для внешнего поля внутри рассеивающей частицы:\n",
"\\begin{equation}\\tag{8}\n",
" \\boldsymbol{E}^{ext}(\\boldsymbol{r}') = - \\intop_{\\partial V} dS \\left[ i\\omega\\mu_0\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}')\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H})_+ + (\\nabla\\times\\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}'))\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E})_+ \\right],\\;\\boldsymbol{r}'\\in V\n",
"\\end{equation}\n",
"Это уравнение иногда называют продолженным граничным условием (extended boundary condition), поскольку оно связывает поле на внешней границе рассеивателя с внешним полем внутри рассеивателя. Необходимость использования подобного граничного условия вместо обычных условий на непрерывность тангециальных компонент полей обусловлена тем, что доказать полноту и сходимость разложений поля по векторным волновым функциям оказывается затруднительно в случаях геометрически сложных границ разделов разных сред, определяющих поверхность рассеивателей."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0a1506a3",
"metadata": {},
"source": [
"## Расчет Т-матрицы рассеивателя\n",
"\n",
"Применим полученные уравнения для расчета Т-матрицы. Идея метода состоит в том, чтобы на основании известного внешнего поля найти тангенциальные компоненты полей на внешней поверхности частицы с помощью уравнения (7), а затем рассчитать коэффициенты разложения рассеянного поля по сферическим волнам с помощью уравнения (8).\n",
"\n",
"Воспользуемся явными разложениями полей и тензорной функции Грина вне области источников по векторным сферическим волнам:\n",
"\\begin{equation}\\tag{9}\n",
" \\mathcal{G}_0(\\boldsymbol{r},\\boldsymbol{r}') = ik_m \\sum_{m,n} \\begin{cases} \\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_m\\boldsymbol{r}) (\\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}'))^T + \\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_m\\boldsymbol{r}) (\\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}'))^T & r < r' \\\\ \\boldsymbol{M}^{(3)}_{mn}(k_m\\boldsymbol{r}) (\\boldsymbol{M}^{(1)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}'))^T + \\boldsymbol{N}^{(3)}_{mn}(k_m\\boldsymbol{r}) (\\boldsymbol{N}^{(1)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}'))^T & r > r' \\end{cases}\n",
"\\end{equation}\n",
"Введём радиусы вписанной $r_{in}$ и описанной $r_{out}$ сфер около частицы. Тогда внутри вписанной сферы при $r'<r$ в однородной сферической области пространства для внешнего поля справделиво разложение\n",
"\\begin{equation}\\tag{10}\n",
" \\boldsymbol{E}^{ext}(k_p\\boldsymbol{r}') = \\sum_{m,n} \\left[ c^{ext,h}_{mn} \\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_m\\boldsymbol{r}') + c^{ext,e}_{mn} \\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_m\\boldsymbol{r}') \\right],\\;r' < r_{in}\n",
"\\end{equation}\n",
"Подстановка (9) и (10) в уравнение (8) даёт выражения для амплитуд разложения внешнего поля:\n",
"\\begin{equation}\\tag{11}\n",
" c^{ext,h}_{mn} = k_m \\intop_{\\partial V} dS \\left[ \\omega\\mu_0\\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H})_+ - ik_m\\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E})_+ \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"\\begin{equation}\\tag{12}\n",
" c^{ext,e}_{mn} = k_m \\intop_{\\partial V} dS \\left[ \\omega\\mu_0\\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H})_+ - ik_m\\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E})_+ \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"Здесь также была использована ортогональность векторных волновых функций и формулы преобразования $\\boldsymbol{M}$ в $\\boldsymbol{N}$ и обратно с помощью ротора.\n",
"\n",
"Аналогично для $r'>r_{out}$ подстановка разложения рассеянного поля\n",
"\\begin{equation}\\tag{13}\n",
" \\boldsymbol{E}^{sca}(k_p\\boldsymbol{r}') = \\sum_{m,n} \\left[ a^{h}_{mn} \\boldsymbol{M}^{(3)}_{mn}(k_p\\boldsymbol{r}') + a^{e}_{mn} \\boldsymbol{N}^{(3)}_{mn}(k_p\\boldsymbol{r}') \\right],\\;r' > r_{out}\n",
"\\end{equation}\n",
"даёт амплитуды\n",
"\\begin{equation}\\tag{14}\n",
" a^{h}_{mn} = -k_m \\intop_{\\partial V} dS \\left[ \\omega\\mu_0\\boldsymbol{M}^{(1)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H})_+ - ik_m\\boldsymbol{N}^{(1)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E})_+ \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"\\begin{equation}\\tag{15}\n",
" a^{e}_{mn} = -k_m \\intop_{\\partial V} dS \\left[ \\omega\\mu_0\\boldsymbol{N}^{(1)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H})_+ - ik_m\\boldsymbol{M}^{(1)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r})\\cdot(\\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E})_+ \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"Можно показать, что на поверхности $\\partial V$ следующие разложения являются полными:\n",
"\\begin{equation}\\tag{16}\n",
" \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{E}(\\boldsymbol{r}') = \\sum_{mn} \\left[ b_{mn}^{h} \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_p\\boldsymbol{r}') + b_{mn}^{e} \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_p\\boldsymbol{r}') \\right],\\;\\boldsymbol{r}'\\in\\partial V\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"\\begin{equation}\\tag{17}\n",
" \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\boldsymbol{H}(\\boldsymbol{r}') = \\frac{1}{i\\omega\\mu_0} \\sum_{mn} \\left[ b_{mn}^{h} \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\nabla'\\times\\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_p\\boldsymbol{r}') + b_{mn}^{e} \\hat{\\boldsymbol{n}}\\times\\nabla'\\times\\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_p\\boldsymbol{r}') \\right],\\;\\boldsymbol{r}'\\in\\partial V\n",
"\\end{equation}\n",
"Подставляя эти разложения в (11), (12) и (14), (15), и используя непрерывность тангенциальных компонент поля на поверхности $\\partial V$, можно получить требуемую связь коэффициентов внешнего и рассеянного полей.\n",
"\n",
"Из (11), (12), (16) и (17) находим,\n",
"\\begin{equation}\\tag{18}\n",
" \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{c}^{ext,h} \\\\ \\boldsymbol{c}^{ext,e} \\end{array} \\!\\!\\right) = Q \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{b}^h \\\\ \\boldsymbol{b}^e \\end{array} \\!\\!\\right) = \\left(\\!\\! \\begin{array}{cc} Q^{hh} & Q^{he} \\\\ Q^{eh} & Q^{ee} \\end{array} \\!\\!\\right) \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{b}^h \\\\ \\boldsymbol{b}^e \\end{array} \\!\\!\\right)\n",
"\\end{equation}\n",
"Матричные элементы в явном виде\n",
"\\begin{equation}\\tag{19}\n",
" \\begin{array}{l}\n",
" Q^{hh}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{31}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{13}_{mn,m'n'} \\\\\n",
" Q^{he}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{11}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{33}_{mn,m'n'} \\\\\n",
" Q^{eh}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{33}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{11}_{mn,m'n'} \\\\\n",
" Q^{ee}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{13}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{31}_{mn,m'n'}\n",
" \\end{array}\n",
"\\end{equation}\n",
"где\n",
"\\begin{equation}\\tag{20}\n",
" \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} C^{11}_{mn,m'n'} \\\\ C^{12}_{mn,m'n'} \\\\ C^{21}_{mn,m'n'} \\\\ C^{22}_{mn,m'n'} \\end{array} \\!\\! \\right) = \\oint_{\\partial V} dS \\hat{\\boldsymbol{n}} \\cdot \\left[ \\begin{array}{c} \\boldsymbol{M}^{(1)}_{m'n'}(k_p\\boldsymbol{r}) \\times \\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}) \\\\ \\boldsymbol{M}^{(1)}_{m'n'}(k_p\\boldsymbol{r}) \\times \\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}) \\\\ \\boldsymbol{N}^{(1)}_{m'n'}(k_p\\boldsymbol{r}) \\times \\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}) \\\\ \\boldsymbol{N}^{(1)}_{m'n'}(k_p\\boldsymbol{r}) \\times \\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\\boldsymbol{r}) \\end{array} \\right]\n",
"\\end{equation}\n",
"Аналогично, подстановка (16), (17) в (14), (15) даёт связь между амплитудами рассеянного поля и амлитудами разложения тангенциального поля на поверхности частицы:\n",
"\\begin{equation}\\tag{21}\n",
" \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{a}^h \\\\ \\boldsymbol{a}^e \\end{array} \\!\\!\\right) = \\mathrm{Rg} Q \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{b}^h \\\\ \\boldsymbol{b}^e \\end{array} \\!\\!\\right)\n",
"\\end{equation}\n",
"Матрица $\\mathrm{Rg} Q$ отличается от матрицы $Q$ в уравнении (18) тем, что выражения, соответствующие формулам (20), содержат исключительно регулярные векторные волновые функции, обозначаемые верхним индексом \"$(1)$\".\n",
"\n",
"Таким образом, связь между амплитудами внешнего и рассеянного поля в явном виде запишется как\n",
"\\begin{equation}\\tag{22}\n",
" \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{a}^h \\\\ \\boldsymbol{a}^e \\end{array} \\!\\!\\right) = -(\\mathrm{Rg} Q) Q^{-1} \\left(\\!\\! \\begin{array}{c} \\boldsymbol{c}^{ext,h} \\\\ \\boldsymbol{c}^{ext,e} \\end{array} \\!\\!\\right)\\;\\Rightarrow\\;T = -(\\mathrm{Rg} Q) Q^{-1}\n",
"\\end{equation}\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "799f2060",
"metadata": {},
"source": [
"#### Литература\n",
"\n",
"1. M. I. Mishchenko, L. D. Travis, and A. A. Lacis, Scattering, Absorption and Emission of Light by Small Particles, Ch. 5, Cambridge University Press (2002)\n",
"2. W. C. Chew, Waves and Fields in Inhomogeneous Media, Ch 8, IEEE Press (1995)"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.8.8"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}