\documentclass{bschlangaul-aufgabe}
\bLadePakete{master-theorem}
\begin{document}
\bAufgabenMetadaten{
  Titel = {Aufgabe 1},
  Thematik = {4 Rekursionsgleichungen},
  Referenz = 66115-2011-F.T1-A1,
  RelativerPfad = Examen/66115/2011/03/Thema-1/Aufgabe-1.tex,
  ZitatSchluessel = examen:66115:2011:03,
  BearbeitungsStand = mit Lösung,
  Korrektheit = unbekannt,
  Ueberprueft = {unbekannt},
  Stichwoerter = {Master-Theorem},
  EinzelpruefungsNr = 66115,
  Jahr = 2011,
  Monat = 03,
  ThemaNr = 1,
  AufgabeNr = 1,
}

\let\O=\bO
\let\o=\bOmega
\let\T=\bT
\let\t=\bTheta

Bestimmen Sie mit Hilfe des Master-Theorems für die folgenden
Rekursionsgleichungen möglichst scharfe asymptotische untere und obere
Schranken, falls das Master-Theorem anwendbar ist! Geben Sie andernfalls
eine kurze Begründung, warum das Master-Theorem nicht anwendbar ist!
\index{Master-Theorem}
\footcite{examen:66115:2011:03}

\bMasterExkurs

\begin{enumerate}
%%
% a)
%%

\item $T(n) = \T{16}{2} + 40n - 6$

\begin{bAntwort}
\bMasterVariablenDeklaration
{16} % a
{2} % b
{40n - 6} % f(n) ohne $mathe$

\bMasterFallRechnung
% 1. Fall
{für $\varepsilon = 14$: \\
$f(n) = 40n - 6 \in \O{n^{\log_2 {16 - 14}}} = \O{n^{\log_2 2}} = \O{n}$}
% 2. Fall
{$f(n) = 40n - 6 \notin \t{n^{\log_2 {16}}} = \t{n^4}$}
% 3. Fall
{$f(n) = 40n - 6 \notin \o{n^{\log_2 {16 + \varepsilon}}}$}

$\Rightarrow T(n) \in \t{n^4}$

\bMasterWolframLink{T[n]=16T[n/2]\%2B40n-6}
\end{bAntwort}

%%
% b)
%%

\item $T(n) = \T{27}{3} + 3n^2 \log n$

\begin{bAntwort}
\bMasterVariablenDeklaration
{27} % a
{3} % b
{3n^2 \log n} % f(n) ohne $mathe$

\bMasterFallRechnung
% 1. Fall
{$f(n) = 3n^2 \log n = n \in \O{n^{\log_3 {27 - 24}}} = \O{n^{\log_3 3}} = \O{n}$}
% 2. Fall
{$f(n) = 3n^2 \log n = n \notin \t{n^{\log_3 {27}}} = \t{n^3}$}
% 3. Fall
{$f(n) = 3n^2 \log n = n \notin \o{n^{\log_3 {27 + \varepsilon}}}$}

$\Rightarrow T(n) \in \t{n^3}$

\bMasterWolframLink{T[n]==27T[n/3]\%2B3n^2*log(n)}
\end{bAntwort}

%%
% c)
%%

\item $T(n) = \T{4}{2} + 3n^2 + \log n$

\begin{bAntwort}
\bMasterVariablenDeklaration
{4} % a
{2} % b
{3n^2 + \log n} % f(n) ohne $mathe$

\bMasterFallRechnung
% 1. Fall
{$f(n) = 3n^2 + \log n = n^2 = n \notin \O{n^{\log_2 {4 - \varepsilon}}}$}
% 2. Fall
{$f(n) = 3n^2 + \log n = n^2 = n \in \t{n^{\log_2 {4}}} = \t{n^2}$}
% 3. Fall
{$f(n) = 3n^2 + \log n = n^2 = n \notin \o{n^{\log_2 {4 + \varepsilon}}}$}

$\Rightarrow T(n) \in \t{n^2 \log n}$

\bMasterWolframLink{T[n]==4T[n/2]\%2B3n^2\%2Blog(n)}
\end{bAntwort}

%%
% d)
%%

\item $T(n)= \T{4}{2} + 100 \log n + \sqrt{2n} + n^{-2}$

\begin{bAntwort}
\bMasterVariablenDeklaration
{4} % a
{2} % b
{100 \log n + \sqrt{2n} + n^{-2}} % f(n) ohne $mathe$

\bMasterFallRechnung
% 1. Fall
{$f(n) = 100 \log n + \sqrt{2n} + n^{-2} = n \in \O{n^{\log_2 {4 - 2}}} = \O{n}$}
% 2. Fall
{$f(n) = 100 \log n + \sqrt{2n} + n^{-2} = n \notin \t{n^{\log_2 {4}}} = \t{n^2}$}
% 3. Fall
{$f(n) = 100 \log n + \sqrt{2n} + n^{-2} = n \notin \o{n^{\log_2 {4 + \varepsilon}}}$}

$\Rightarrow T(n) \in \t{n^2}$

\bMasterWolframLink{T[n]==4*T[n/2]\%2B100*log_2(n)√(2N)\%2Bn^(-2)}
\end{bAntwort}

\end{enumerate}

\end{document}
