{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [ "Simulation", "Bernoulli", "random", "jeu", "dé", "randint", "pièce" ] }, "source": [ "# Simulation d'échantillons d'une loi de Bernoulli" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [ "première-technologique" ] }, "source": [ "## Présentation de l'activité\n", "- **Niveau de classe :** \n", " - Classe de première de la voie technologique (tronc commun).\n", "- **Références au programme :** \n", " - Tronc commun de première de la voie technologique : *simuler des échantillons de taille n d’une loi de Bernoulli de paramètre $p$ à partir d’un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1*.\n", " - Tronc commun de première de la voie technologique : *représenter par un histogramme ou par un nuage de points les fréquences de $1$ dans $N$ échantillons de taille n d’une loi de Bernoulli*.\n", " - Tronc commun de première de la voie technologique : *compter le nombre de valeurs situées dans un intervalle de la forme $[p-ks;p+ks]$ pour $k\\in\\{ 1,2,3\\}$*.\n", "- **Description :** cette activité permet dans un premier temps de simuler un jeu à deux issues (gagner ou perdre). Dans un deuxième temps, on propose de calculer mathématiquement la probabilité de gagner $p$. Puis on simule $N$ échantillons de $n$ parties de ce jeu. On écrit alors un programme qui calcule la moyenne $m$ et l'écart-type $s$ de la série statistique constituée des fréquences de gagner observées sur chaque échantillon de $n$ parties. On observe la fluctuation de ces fréquences autour de $p$ et on compte la proportion des cas où ces fréquences sont situées dans un intervalle de la forme $[p-ks;p+ks]$ pour $k\\in\\{ 1,2,3\\}$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Un jeu\n", "On considère un jeu dans lequel on dispose d'un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ et d'une pièce ayant un côté Pile et un côté Face. Le dé est bien équilibré, en revanche la pièce a deux fois plus de chance de tomber sur Pile que sur Face. Dans ce jeu, on lance tout d'abord le dé et on lit le chiffre apparaissant sur la face supérieure.\n", "- Si le $6$ apparaît, alors le joueur a gagné.\n", "- Si un nombre impair apparaît, alors le joueur a perdu.\n", "- Si le nombre $2$ ou $4$ apparaît, alors on lance la pièce. Si on obtient Pile, alors le joueur a gagné sinon, il a perdu.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Simulation du dé\n", "\n", "Pour simuler le dé, on utilise la fonction `randint` de la bibliothèque `random`. Cette fonction permet de générer aléatoirement, de manière équiprobable, un nombre entier compris entre deux bornes. Ce nombre correspond au numéro de la face du dé obtenu après un lancer." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "L'instruction suivante permet l'importation de la fonction `randint` de la bibliothèque `random`. " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "from random import randint" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "La fonction `simulDe` renvoie un nombre entier aléatoire compris entre $1$ et $6$. " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ "2" ] }, "execution_count": 2, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "def simulDe():\n", "\treturn randint(1,6)\n", "\n", "simulDe()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Simulation de la pièce\n", "La simulation du lancer de la pièce utilise la fonction `random` de la bibliothèque `random`. Cette fonction renvoie un nombre de type flottant compris entre $0$ et $1$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Importation de la fonction `random` de la bibliothèque `random`" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "from random import random" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "La fonction `simulPiece` renvoie $1$ avec la probabilité $\\frac{2}{3}$ et $0$ avec la probabilité $\\frac{1}{3}$. Le $1$ correspond à l'obtention de Pile et le $0$ à l'obtention de Face." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 4, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ "0" ] }, "execution_count": 4, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "def simulPiece():\n", " X = random()\n", " if X < 2/3:\n", " return 1\n", " else:\n", " return 0\n", " \n", "simulPiece()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "