{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Trapezoid vs Gauss quadrature for periodic function" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Let us compute\n", "$$\n", "\\int_0^{2\\pi} \\exp(\\sin x) dx\n", "$$" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 5, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ " 2 1.6717412138e+00 1.5277448438e+00\n", " 4 2.8260084821e-04 2.0275305634e-01\n", " 6 3.4594549447e-09 1.5148783594e-02\n", " 8 7.1054273576e-15 1.2229354413e-03\n", " 10 1.7763568394e-15 2.9323632519e-05\n", " 12 1.7763568394e-15 3.4262054047e-06\n", " 14 0.0000000000e+00 1.1795276755e-08\n", " 16 2.6645352591e-15 4.7241393020e-09\n", " 18 1.7763568394e-15 1.0296208330e-10\n", " 20 8.8817841970e-16 2.8332891588e-12\n" ] }, { "data": { "image/svg+xml": [ "\n", "\n", "\n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "\n" ], "text/plain": [ "
" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "%matplotlib inline\n", "%config InlineBackend.figure_format = 'svg'\n", "from scipy.integrate import fixed_quad,trapz\n", "import numpy as np\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "\n", "f = lambda x: np.exp(np.sin(x))\n", "a,b = 0.0,2*np.pi\n", "qe = 7.954926521012844 # Exact integral\n", "\n", "n,N = 2,10\n", "e1,e2,nodes = np.zeros(N),np.zeros(N),np.zeros(N)\n", "for i in range(N):\n", " x = np.linspace(a,b,n)\n", " val = trapz(f(x),dx=(b-a)/(n-1))\n", " e1[i] = np.abs(val - qe)\n", " val = fixed_quad(f,a,b,n=n)\n", " nodes[i] = n\n", " e2[i] = np.abs(val[0]-qe)\n", " print('%5d %20.10e %20.10e' % (n,e1[i],e2[i]))\n", " n = n+2\n", "\n", "plt.figure()\n", "plt.semilogy(nodes,e1,'o-')\n", "plt.semilogy(nodes,e2,'*-')\n", "plt.legend(('Trapezoid','Gauss'))\n", "plt.xlabel('n')\n", "plt.ylabel('Error');" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Trapezoid error converges at exponential rate !!!" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.6.6" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 }