TODO: 本题确认伪证了

已知 \(A,B,C\) 为三角形三内角. 求 \(\dfrac{\cos^2 A}{1+\cos A} + \dfrac{\cos^2 B}{1+\cos B} + \dfrac{\cos^2 C}{1+\cos C}\) 的最小值.

Qer: zhangboxin 20180612

解答

设 \(t_1 = \tan \dfrac A2\), \(t_2 = \tan \dfrac B2\), \(t_3 = \tan \dfrac C2\). 则由 \(A + B + C = \pi\) 可导出
\[
t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1 = 1
\]
有
\[
1 + t_1^2 = t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1 + t_1^2 = (t_1+t_2)(t_1+t_3)
\]
以及
\[
t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 = (t_1 + t_2 + t_3)^2 - 2
\]
又由 \(t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 \ge \dfrac13 (t_1 + t_2 + t_3)^2\) 知
\[
(t_1 + t_2 + t_3)^2 \ge 3
\]
当且仅当 \(t_1 = t_2 = t_3 = \dfrac{\sqrt3}3\) 时取等号.

由万能公式
\[
\dfrac{\cos^2 A}{1 + \cos A} = \dfrac{(1-t_1^2)^2}{2(1+t_1^2)} = \dfrac{t_1^2 - 3}2 + \dfrac2{t_1^2 + 1} = \dfrac{t_1^2}2 + \dfrac2{(t_1+t_2)(t_1+t_3)} - \dfrac32
\]
从而
\[
\begin{aligned}
\text{原式}
&= \dfrac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}2 + \dfrac{2[(t_2+t_3)+(t_3+t_1)+(t_1+t_2)]}{(t_1+t_2)(t_2+t_3)(t_3+t_1)} - \dfrac92 \\
&= \dfrac{(t_1 + t_2 + t_3)^2}2 + \dfrac{4(t_1+t_2+t_3)}{(t_1+t_2)(t_2+t_3)(t_3+t_1)} - \dfrac{11}2 \\
\end{aligned}
\]
由于
\[
\begin{aligned}
(t_1+t_2)(t_2+t_3)(t_3+t_1)
&\le \left[ \dfrac{(t_1+t_2)+(t_2+t_3)+(t_3+t_1)}3 \right]^3 \\
& = \dfrac8{27} (t_1+t_2+t_3)^3
\end{aligned}
\]
当且仅当 \(t_1 = t_2 = t_3\) 时取等号. 所以
\[
\text{原式} \ge \dfrac{(t_1 + t_2 + t_3)^2}2 + \dfrac{27}{2(t_1+t_2+t_3)^2} - \dfrac{11}2
\]
又由于 \((t_1 + t_2 + t_3)^2 \ge 3\), 故
\[
\text{原式} \ge \dfrac32 + \dfrac{27}{2\times3} - \dfrac{11}2 = \dfrac12
\]
当且仅当 \(t_1 = t_2 = t_3 = \dfrac{\sqrt3}3\) 时取等号, 此时 \(A = B = C = \dfrac\pi3\).