已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\), \(a_n a_{n+1} = n\), \(n = 1,2,3,\dots\). 求证:
\[
\frac1{a_1} + \frac1{a_2} + \frac1{a_3} + \dots + \frac1{a_n} \ge 2 \sqrt n - 1.
\]

Qer: lihaocheng@jinan 20200407

解答

这里给出一个解法, 过程相当简洁漂亮, 但有一个最大的问题就是, 似乎无法讲清楚这个思路是怎么来的, 这种方法是怎么想到的.

不难确认数列 \(\{a_n\}\) 的所有项都是正的, 由均值不等式
\[
\frac1{a_n} + \frac1{a_{n+1}} \ge 2 \sqrt{\frac1{a_n a_{n+1}}} = \frac2{\sqrt n}
\]
事实上, 这个等号也是取不到的, 不过这一点说起来比较费事, 不过后面可以看到也可以先不说这件事情.

于是, 当 \(n \ge 2\) 时,
\[
\begin{aligned}
&
\frac1{a_1} + \frac1{a_2} + \frac1{a_3} + \dots + \frac1{a_n} \\
{}={}&
\frac12 \left[
\frac1{a_1} + \left( \frac1{a_1} + \frac1{a_2} \right) + \left( \frac1{a_2} + \frac1{a_3} \right) + \dots + \left( \frac1{a_{n-1}} + \frac1{a_n} \right) + \frac1{a_n}
\right] \\
{}\ge{}&
\frac12 \left(
\frac1{a_1} + \frac2{\sqrt1} + \frac2{\sqrt2} + \dots + \frac2{\sqrt{n-1}} + \frac1{a_n}
\right) \\
{}={}&
\frac12 + \frac1{\sqrt1} + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt{n-1}} + \frac1{2a_n}
\end{aligned}
\]

另一方面, 用数学归纳法不难证明
\[
\frac1{\sqrt1} + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt{n-1}} \ge 2 \sqrt n - 1
\]

这样就不难证明原题中的不等式.