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Table of Contents

\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " 2021年度　数式処理演習　pair試験問題 \n", "
\n", "
\n", " cc by Shigeto R. Nishitani, 2021/12/2実施 \n", "
\n", "\n", "* file: ~/symbolic_math/exams/21_pair_ans.ipynb\n", "\n", "以下の問題をpythonで解き，LUNAへ提出せよ．LUNAへはipynbとpdf形式の２種類を提出すること．" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# 1微積分\n", "## 1(a) 関数の概形(15点)\n", "\n", "（テキストp.216の図6.6の確認)\n", "\n", "直線$y=-2x+4$が, シグモイド関数\n", " \\begin{equation*}\n", " \\sigma(x) = \\frac{1}{1+e^{-x}}\n", " \\end{equation*}\n", "を通す($y=\\sigma(-2x+4)$）ことによって0と1の範囲に潰されることを確認せよ．\n", "\n", "sympyのplotに対してy軸の表示範囲は，オプション\n", "``` python\n", "ylim=(-1,2)\n", "```\n", "をつけることで指定できる．" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 1(b) シグモイド関数(15点)\n", "\n", "（テキストp.131の4-118式の確認)\n", "\n", "シグモイド関数\n", " \\begin{equation*}\n", " \\sigma(x) = \\frac{1}{1+e^{-x}}\n", " \\end{equation*}\n", " の増減，極値，凹凸を調べ，曲線$y=\\sigma(x)$の概形を描け．\n", " シグモイド関数の微分が\n", " \\begin{equation*}\n", " \\sigma(x)(1-\\sigma(x))\n", " \\end{equation*}\n", "に一致することを確かめよ．両者を同時にプロットすることでも確かめられる．\n", "ただし，曲線は重なるので，どちらかをy軸方向に0.01程度ずらして表示すること．" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# 2 線形代数\n", "## 2(a) 転置(15点)\n", "\n", "(テキストp.115, 4-94式の確認）\n", "\n", "$$A=\\left(\n", "\\begin{array}{ccc}\n", "1 & 2 & 3\\\\\n", "4 & 5 & 6 \\end{array}\n", "\\right)$$\n", "$$\n", "B = A^{\\rm T}\n", "$$\n", "に対して，公式\n", "$$\n", "（AB)^{\\rm T} = B^{\\rm T} A^{\\rm T}\n", "$$\n", "が成り立つことを確かめよ．" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 2(b) (15点)\n", "\n", " 次の行列$A$の固有値とそれに対する固有ベクトルを求めよ．\n", " \\begin{equation*}\n", " A = \\left(\n", " \\begin{matrix}\n", " -2 & -3 & 3\\\\\n", " 1 & 2 & -3\\\\\n", " 1 & 1 & -2\n", " \\end{matrix}\n", " \\right)\n", " \\end{equation*}\n", " それぞれの固有値（$\\lambda_i$），固有空間($x_i$)に対して，\n", " $$\n", " A x_i = \\lambda_i x_i\n", " $$\n", " が成立することを確かめよ．" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# 3 センター試験原題(20点)\n", "(2019大学入試センター試験　数学II・B 第2問(1),(2))\n", "\n", "$p, q$ を実数とし，\n", "関数$f(x)=x^3 + p x^2 +qx$ は$x=-1$で極値2を取るとする．\n", "また，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$,放物線$y=-kx^2$ を$D$,\n", "放物線$D$上の点$(a, -ka^2)$をAとする．\n", "ただし，　$k \\gt 0, a\\gt0$である．\n", "\n", "(1) 関数$f(x)$が$x=-1$で極値をとるので，\n", "$f'(-1) = \\fbox{ ア }$である．\n", "これと$f(-1)=2$より，　$p=\\fbox{ イ }\\,, q={ \\fbox{ ウエ }}$である．\n", "よって$f(x)$は$x= \\fbox{ オ }$で極小値$ \\fbox{ カキ }$をとる．\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "(2) 点Aにおける放物線$D$の接線を$l$とする．\n", "$D$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を\n", "$a$と$k$を用いて表そう．\n", "\n", "$l$の方程式は\n", "\\begin{equation*}\n", " y = \\fbox{ クケ }\\,kax + \\,ka^{ \\fbox{ コ }}　... (1)\n", "\\end{equation*}\n", "と表せる．\n", "$l$と$x$軸の交点の$x$座標は\n", "$\\frac{\\fbox{ サ }}{\\fbox{ シ }}$であり，\n", "$D$と$x$軸および\n", "直線$x=a$で囲まれた図形の面積は\n", "$\\frac{k}{\\fbox{ ス }}a^{\\fbox{ セ }}$である．\n", "よって，$S=\\frac{k}{\\fbox{ ソタ }} a^{\\fbox{ セ }}$である．" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# 4 数値改変(20点)\n", "\n", "大問3.において，関数$f(x)$が$x=-0.9$で極値2をとるとして問3(a)を解きなさい．\n", " 問3(b)は変わらないので，解く必要ありません．\n", " 極小値は$−3.66567655334305$ぐらいである．\n", " さらに，これらの値を用いて，(x,-2,2)で曲線$C, D$を同時にプロットしなさい．\n", "\n", "追加：$k$は適当に，例えば，k=1と定めてください．" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.5" }, "latex_envs": { "LaTeX_envs_menu_present": true, "autocomplete": true, "bibliofile": "biblio.bib", "cite_by": "apalike", "current_citInitial": 1, "eqLabelWithNumbers": true, "eqNumInitial": 1, "hotkeys": { "equation": "Ctrl-E", "itemize": "Ctrl-I" }, "labels_anchors": false, "latex_user_defs": false, "report_style_numbering": false, "user_envs_cfg": false }, "toc": { "base_numbering": 1, "nav_menu": { "height": "12.666666984558105px", "width": "252.6666717529297px" }, "number_sections": true, "sideBar": true, "skip_h1_title": false, "title_cell": "Table of Contents", "title_sidebar": "Contents", "toc_cell": true, "toc_position": { "height": "538.3287963867188px", "left": "0px", "right": "1189.3333740234375px", "top": "60.801631927490234px", "width": "295.28533935546875px" }, "toc_section_display": "block", "toc_window_display": true }, "vscode": { "interpreter": { "hash": "f3f87633aac09da3bda522f97956bee375b5501d1579e6458804e567301cb62a" } } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 }