{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Begriffe, die in diesem Skript erklärt werden" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "- obere und untere Schranken\n", "- Verbände und vollständige Verbände" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Verbände\n", "\n", "Wir [hatten bereits gezeigt](04_Ordnungen.ipynb#Ordnungen), auf welche Weise Mengen geordnet sein können. Nun beschäftigen wir uns mit dem Begriff der oberen bzw. unteren Schranke hinsichtlich Ordnungen." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Obere und untere Schranken" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "![obere untere Schranke](Folien/04/newslide-33.png)\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wichtig ist, dass das Element $x$ nicht aus $K$ selbst kommen muss, sondern lediglich aus der Menge $M$, und das gilt $M \\supseteq K$. Außerdem kann es für eine gegebene Menge $M$ und eine gegebene Teilmenge $M\\subseteq K$ mehrere untere und mehrere obere Schranken geben.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Infimum und Supremum" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "![kleinste obere größte untere Schranke](Folien/04/newslide-35.png)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Gegeben eine stark oder schwach geordnete Menge $(M,\\leq)$. Zu jeder Teilmenge $K \\subseteq M$ kann es $0,1,2,\\dots$ obere bzw. untere Schranken in $M$ geben. Bezeichnen wir die Menge der oberen Schranken mit $S_o$ und die Menge der unteren Schranken mit $S_u$. Es gilt natürlich: $S_o \\subseteq M$ und $S_u \\subseteq M$. Da eine obere/untere Schranke $x$ nicht aus $K$ selbst kommen muss, wie wir oben gesehen haben, sondern lediglich aus der Menge $M$, gilt analog nicht immer, dass $S_o \\subseteq K$ bzw. $S_u \\subseteq K$.\n", "\n", "### kleinste obere Schranke\n", "\n", "Jetzt ist ein Element der Ordnung $x\\in S_o$ die kleinste obere Schranke von $K$, wenn es eine obere Schranke von $K$ ist. Dafür muss gelten, dass für alle $y \\in K: y\\leq x$. Bei schwachen Ordnungen muss dann nicht $x\\neq y$ sein! \n", "\n", "Außerdem muss gelten, dass für alle $z \\in S_o: x \\leq z$. Die kleinste obere Schranke $x$ muss also $\\leq$ alle anderen oberen Schranken sein. Dafür muss $x$ mit allen anderen oberen Schranken vergleichbar sein. Ist $x$ nicht mit allen anderen oberen Schranken vergleichbar, ist $x$ also keine kleinste obere Schranke.\n", "\n", "### größte untere Schranke\n", "Bei den größten unteren Schranken ist es umgekehrt: \n", "ein Element der Ordnung $x\\in S_u$ ist die größte untere Schranke von $K$, wenn es eine untere Schranke von $K$ ist. Dafür muss gelten, dass für alle $y \\in K: x \\leq y$. Bei schwachen Ordnungen muss dann nicht $x \\neq y$ sein! \n", "\n", "Außerdem muss gelten, dass für alle $z \\in S_u: z \\leq x$. alle anderen unteren Schranken müssen also $\\leq x$ sein. Dafür muss $x$ mit allen anderen unteren Schranken vergleichbar sein. Ist $x$ nicht mit allen anderen unteren Schranken vergleichbar, ist $x$ also keine kleinste untere Schranke. \n", "\n", "Merke: Nicht jede Teilmenge $K \\subseteq M$, die obere (untere) Schranken hat, hat auch ein Supremum (Infimum)!" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Video Infimum/Supremum" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Im gesprochenen Text bei ca. $1:42$ ist natürlich $\\{1\\}\\cup\\{2\\}$ und nicht $\\{1\\}\\cup\\{1,2\\}$ gemeint. Es wird im Video aber richtig gezeigt.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Terminologie\n", "\n", "- kleinste obere Schranke = Supremum von K = $sup \\: K$ = $\\bigvee K$ \n", " - Wenn $|K| = 2$, also $K=\\{x,y\\}$: $\\bigvee \\{x,y\\} = x \\lor y$\n", "- größte untere Schranke = Infimum von K = $inf \\: K$ = $\\bigwedge K$\n", " - Wenn $|K| = 2$, also $K=\\{x,y\\}$: $\\bigwedge \\{x,y\\} = x \\land y$\n", "\n", "\n", "**Und wie merkt man sich den Unterschied? Zwei Eselsbrücken**\n", "\n", "- *Super* hat die Bedeutung *über*, zum Beispiel in *superset* (englisch für Obermenge), Superklasse (aus der objektorientierten Programmierung). Deshalb ist das Supremum eine obere Schranke. \n", "*Infimum* kommt von engl. *inferior*, also *unterlegen*, *minder*, *geringwertig*. Aus diesem Grund ist das Infimum eine untere Schranke. \n", "\n", "- Die Zeichen $\\land$ und $\\lor$ sind ebenfalls einfach zu merken. Man stelle sich vor, sie würden zu einem X kombiniert werden, das ein Hasse-Diagramm umrandet. In der Mitte des X-es (dem Schnittpunkt der beiden X-Striche) befindet sich die Gruppe der Elemente, zu dem wir die untere bzw. obere Schranke suchen. Der obere offene Teil des X-es umfasst alle oberen Schranken, der untere offene alle unteren. Der obere Teil des X-es, also $\\lor$, läuft von oben hin zum X-Mittelpunkt zu, zeigt also auf die kleinste obere Schranke, während der untere Teil, also $\\land$ von unten her nach oben zeigt und mit seiner Spitze auf das größte und dem X-Mittelpunkt nächste Element zeigt, also auf die größte untere Schranke.\n", "\n", "Wer eine bessere Eselsbrücke kennt, schreibe mir bitte eine Mail!" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Definition der Verbände" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "![Verbände](Folien/04/newslide-37.png)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Jeder endliche Verband ist vollständig.\n", "\n", "Da $inf\\emptyset =1_V$ und $sup\\emptyset = 0_V$ gilt und für $1_V$ sowie $0_V$ gilt, dass $1_V \\notin \\emptyset$ und $0_V \\notin \\emptyset$, gibt es keinen vollständigen Verband mit leerer Menge V." ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.6.4" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 }