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    "## Begriffe, die in diesem Skript erklärt werden"
   ]
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    "- algebraische Definition von Verbänden"
   ]
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    "# Verbände"
   ]
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    "Ein Verband kann nicht nur ordnungstheoretisch definitiert werden, [wie wir bereits gesehen haben](04_Verbände.ipynb#Definition-der-Verbände), sondern auch algebraisch. Dies wird im Folgenden behandelt."
   ]
  },
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    "![Folie Verbände](Folien/05/slide-27.png)"
   ]
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   "source": [
    "### Beispiel Potenzmengenverband\n",
    "\n",
    "Sei $V_{Pot}=(Pot(\\{1,2,3\\}),\\cap,\\cup)$ der algebraisch definierte Potenzmengenverband. Unten wird erklärt, warum dieser algebraisch definierte Verband dem ordnungstheoretischen Verband $(Pot(\\{1,2,3\\}),\\subseteq)$ entspricht.\n",
    "\n",
    "**Absorptionsgesetze:** Für alle $a,b\\in Pot(\\{1,2,3\\})$ gilt das Absorptionsgesetz. Sei z.B. $a=\\{1,2\\},b=\\{2,3\\}$. Dann gilt $\\{1,2\\}\\cup(\\{1,2\\}\\cap\\{2,3\\})=\\{1,2\\}$ und $\\{1,2\\}\\cap(\\{1,2\\}\\cup\\{2,3\\})=\\{1,2\\}$"
   ]
  },
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    "![Folie Verbände Agebra und Ordnung](Folien/05/slide-28.png)"
   ]
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   "source": [
    "Wir zeigen, dass die Definitionen zu algebraischem und ordnungstheoretischem Verband zum gleichen Ergebnis führen, indem wir in aus jedem algebraischen Verband einen ordnungstheoretischen Verband bilden können und umgekehrt. "
   ]
  },
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   "source": [
    "Wie sieht das konkret aus am Beispiel $(Pot(M),\\subseteq)$ und $(Pot(M),\\cup,\\cap)$?\n",
    "\n",
    "Nehmen wir an, $M=\\{1,2,3\\}$.\n",
    "Wir [hatten bereits gezeigt](04_Verbände.ipynb#Video-Infimum/Supremum), dass das Infimum $\\land$ dem Schnitt $\\cap$ und das Supremum $\\lor$ der Vereinigung $\\cup$ entspricht.\n",
    "Da algebraische Verbände über Infimum und Supremum definiert sind, müssen wir die entsprechenden Operationen nur noch einsetzen. \n",
    "\n",
    "Andersherum ist es genau so. Nehmen wir $(Pot(M),\\cup,\\cap)$. Dann gilt: $a\\cap b = a$ genau dann, wenn $a\\subseteq b$. Zum Beispiel: $\\{1,2\\}\\cap \\{1,2,3\\}=\\{1,2\\}$ und $\\{1,2\\}\\subseteq \\{1,2,3\\}$. Was passiert mit der Operation $\\cup$ bzw. $\\lor$? \n",
    "Es gilt, folgend aus $a\\cap b = a\\leftrightarrow a\\subseteq b$:\n",
    "$$a \\subseteq b\\leftrightarrow a\\cup b = b$$\n",
    "z.B. $$\\{1,2\\}\\subseteq \\{1,2,3\\}\\leftrightarrow\\{1,2\\}\\cup \\{1,2,3\\}=\\{1,2,3\\}$$\n",
    "\n",
    "Die Vereinigung ist also schon mit abgedeckt und muss nicht explizit in die ordnungstheoretische Definition überführt werden."
   ]
  }
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