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title: ガウスの法則
category: 電気
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任意の閉曲面を貫く電気力線の本数$N$は，閉曲面内部の電荷の和$Q \ [\mathrm{C}]$として，次式のように表される

$$
N = 4 \pi k Q
$$

（但し$k$は[クーロンの法則の比例定数](/content/electric/coulomb_low/)）

## 証明

$Q \ [\mathrm{C}]$ の正電荷を中心とする，半径 $r \ [\mathrm{m}]$ の球面 $S$ 上では，電場の向きは球面$S$に垂直で，その強さは，[点電荷が作る電場](/content/electric/field/#点電荷が作る電場)より

$$
E = k \frac{Q}{r^2} \ [\mathrm{N/C}]
$$

表面積が$4 \pi r^2 \ \mathrm{m^2}$であり，この球面を貫く電気力線は$1 \mathrm{m^2}$あたり$E$本であるから，球面$S$を貫く電気力線の総数$N$については

$$
N = E \times 4 \pi r^2 = 4 \pi k Q
$$