{
  "id": "malekshahian-spiro-biased-clique-building-game",
  "title": "Смещённая игра в клики: асимптотическая победа второго игрока",
  "kind": {
    "primary": "theorem",
    "secondary": [
      "classical_tool",
      "external_tool",
      "game"
    ]
  },
  "language": "ru",
  "authors": [
    {
      "name": "Alexandru Malekshahian",
      "status": "source_verified"
    },
    {
      "name": "Sam Spiro",
      "status": "source_verified"
    }
  ],
  "problem_profile": {
    "objects": [
      "complete_graph",
      "edge_claiming_game",
      "clique",
      "biased_positional_game"
    ],
    "methods": [
      "maker_breaker_estimates",
      "strategy_combination",
      "external_theorem"
    ],
    "transformations": [],
    "goal": [
      "winning_strategy",
      "asymptotic_bias_bound"
    ],
    "auxiliary_graph_type": [],
    "invariants": [
      "largest_claimed_clique"
    ],
    "keywords": [
      "biased_clique_building_game",
      "erdos_clique_game",
      "player_2_win",
      "asymptotic_threshold"
    ],
    "status": "source_verified"
  },
  "statements": {
    "original": [
      {
        "id": "stmt-asymptotic-player-two-win",
        "title": "Теорема Малекшахяна--Спиро для смещённой игры",
        "text": "Пусть \\(n,p,q\\ge 1\\) -- целые числа. На рёбрах полного графа \\(K_n\\) играют двое, первым ходит игрок 1. За свой ход игрок 1 забирает \\(p\\) ещё не занятых рёбер, а игрок 2 -- \\(q\\) таких рёбер; если перед ходом осталось меньше положенного числа рёбер, игрок забирает все оставшиеся. После заполнения графа через \\(G_1\\) и \\(G_2\\) обозначим графы из рёбер соответствующих игроков. Если \\(p<q\\), игрок 2 выигрывает ровно тогда, когда \\(\\omega(G_2)>\\omega(G_1)\\); при равенстве размеров наибольших клик выигрывает игрок 1. Для каждого \\(p\\ge1\\) существует целое \\(n_0=n_0(p)\\) такое, что при всех \\(n\\ge n_0\\) игрок 2 имеет выигрышную стратегию, если\n\\[\nq\\ge\\left(2+\\frac{12\\log_2\\log_2(p+1)}{\\log_2(p+1)}\\right)p+2.\n\\]\nВ частности, при всех достаточно больших \\(n\\) игрок 2 выигрывает игру с параметрами \\((p,q)=(1,4)\\).",
        "source_id": "src-malekshahian-spiro-clique-building-game",
        "status": "source_verified",
        "self_contained": {
          "status": "ai_checked"
        },
        "definition_ids": [
          "complete_graph",
          "clique"
        ]
      }
    ],
    "graph_theory": [],
    "olympiad_reformulations": []
  },
  "ideas": [
    {
      "id": "idea-build-and-block",
      "title": "Часть ходов строит, а часть блокирует",
      "text": "Доказательство статьи разделяет запас ходов второго игрока между двумя самостоятельными задачами: ограничить размер клики первого игрока и одновременно гарантировать собственную большую клику. Для обеих частей применяются серьёзные результаты об играх Мейкера--Брейкера.",
      "tags": [
        "extremal_graph_theory",
        "goal_strategy_game"
      ],
      "status": "source_verified"
    }
  ],
  "solutions": [],
  "difficulty": {
    "main": "classical_tool",
    "local_score": 10,
    "comment": "Тяжёлая внешняя теорема о позиционных играх. Доказательство использует смещённый критерий Эрдёша--Селфриджа--Бека и теорему Гебауэр об игре в клику; школьного самодостаточного доказательства в карточке нет.",
    "status": "source_verified"
  },
  "tags": [
    "extremal_graph_theory",
    "ramsey_theory",
    "goal_strategy_game",
    "goal_bound",
    "classical_theorem"
  ],
  "properties": {
    "central_method": {
      "value": [
        "building_by_blocking",
        "maker_breaker_theorems"
      ],
      "status": "source_verified"
    },
    "result": {
      "value": "Порог \\(n_0(p)\\) в формулировке существует, но карточка не утверждает явного численного значения.",
      "status": "source_verified"
    }
  },
  "sources": [
    {
      "source_id": "src-malekshahian-spiro-clique-building-game",
      "role": "primary_theorem_source",
      "status": "source_verified",
      "statement_ids": [
        "stmt-asymptotic-player-two-win"
      ]
    }
  ],
  "editorial": {
    "created_by": "ai",
    "created_at": "2026-08-15",
    "review_status": "ai_checked",
    "public_ready": true,
    "notes": [
      "Формулировка сверена с Theorem 3 версии статьи от 11 мая 2026 года.",
      "Теорема асимптотическая: она не даёт в карточке явного значения \\(n_0\\). В частности, из неё без дополнительной оценки нельзя заключать победу для конкретного \\(n=2024\\).",
      "Доказательство намеренно не пересказано: его ключевые инструменты являются внешними результатами исследовательского уровня."
    ],
    "relations_status": "deep_done",
    "graph_theory_duplicate_removed": true,
    "solution_classification": {
      "type": "hard_external_theorem_no_proof",
      "label": "доказательство не приведено: тяжёлая внешняя теорема",
      "status": "source_verified",
      "confidence": 0.99,
      "basis": "Точная формулировка и область кванторов сверены по первичной статье Малекшахяна--Спиро.",
      "notes": "Внешняя теорема сформулирована полностью; неизвестный численный порог не подменён явным значением.",
      "audit_source": "manual-primary-source-review-2026-08-15"
    }
  }
}