Здравствуйте, Миша!

Я в восторге от ваших листочков по алгебре! Прочитал их с большим удовольствием! Заметил ряд неточностей, которые не сводятся к опечаткам. Даже есть несколько неверных определений и ошибочных утверждений, вынесенных в задачи. Предлагаю их вашему вниманию. (Мелкие придирки и опечатки идут ниже.)



0) Алгебра-1. Нужно дать определение ядра для гомоморфизма групп, а также что такое гомоморфизм колец и что такое ядро гомоморфизма колец (используется в задаче 9.7).

1) Задача 1.12. Как задаётся умножение в произведении двух групп, не было объяснено.

2) Алгебра-1, с. 4. Определение порядка элемента. Нужно дать такое определение, чтобы было понятно, когда элемент имеет бесконечный порядок, и чему равен порядок единичного элемента.

3) Задача 1.19 (г), определение диэдральной группы. Обычно под диэдральной группой понимают группу, для которой G' циклическая (и даже конечного порядка).

4) Задача 1.20 (л)(*). Не сказано, как задаётся сложение в предполагаемом кольце.

5) Алгебра-2, с.1. Соглашение: "Пусть R -- кольцо." Нужно вставить слово "коммутативное", чтобы не возиться с правым и левым НОДами.

6) Определение 2.4. Фразу "для всякого z', делящего x," следует заменить на "для всякого z', делящего x и y,", иначе, например, для x=6, y=4, z=2, z'=3, получаем, что z=2 не является НОД чисел x=6 и y=4.

7) Определение 2.5. Во-первых, нужно написать, что p не является единицей. Во-вторых, данное в листике определение описывает более широкий класс элементов, нежели простые. Такие элементы Айэрленд и Розен в своей книге называют неприводимыми. Определение простого элемента должно быть следующее: Элемент p, не являющийся единицей, прост iff идеал (p) прост в R, т.е. ab \in (p) => a \in (p) или b \in (p). Всякий простой элемент неприводим, а если R -- область главных идеалов, то верно и обратное. Однако, в произвольных областях целостности это неверно. Классический пример: R=Z[sqrt(-5)]. Имеет место равенство 2*3 = ( 1-sqrt(-5) ) * ( 1+sqrt(-5) ). Все эти четыре числа являются неприводимыми, но не простыми элементами.

8) В частности, при решении задачи 2.16, нужно использовать, что p -- именно простой элемент, а не неприводимый. Поэтому перед задачей 2.16 нужно поставить (*), т.к. нужно ещё доказать, что в Z каждый неприводимый элемент прост. То же касается и задачи 2.18(!).

9) Задача 2.31(*). Утверждение задачи неверно. Оно станет верным, если потребовать, чтобы множество R было дискретным в C. Контрпримером может служить кольцо всех целых алгебраических чисел в C. Можно функцию r(z), такую что |z - r(z)| < 1, определить так, чтобы алгоритм Евклида не заканчивался, несмотря на то, что |z_2|^2 будет становиться всё меньше и меньше.

10) Задача 3.40(**). Понятие "бесконечномерного пространства" не было введено.

11) Задача 4.23(*). Здесь нужно использовать теорему Безу. Было бы полезно её сформулировать тут, тем более, что она упоминается ниже, в задаче 7.42(*). (Также нужно уточнить: не "любой многочлен", а "любой многочлен положительной степени".)

12) Задача 4.25(*). Указание даёт метод построения алгебраического замыкания лишь для счётного поля.

13) Определение 5.1. Нужно ещё указать, что если в алгебрах есть единица, то гомоморфизм алгебр должен переводить единицу одной алгебры в единицу другой. Также нужно указать, что такое ядро гомоморфизма алгебр.

14) Определение 5.5. Я на первом курсе, начитавшись Ленга, и зная, что такое "факторгруппа", не мог понять на семинаре, что такое "профакторизуем", потому что у Ленга такого термина нет. "Отфакторизуем" -- слово того же рода.

15) Задача 6.34. Написано, "напомним, что эндоморфизм ... называется ортогональным...", тогда как до этого места определения ортогонального эндоморфизма не было. Таким образом, здесь оно вводится впервые, и является "строгим" в том смысле, что псевдоортогональные (т.е. "ортогональные"  относительно не положительно определённой формы) эндоморфизмы ортогональными не являются. Однако ниже, в определении 7.6, даётся ещё одно определение "ортогонального относительно g (или просто ортогонального)" оператора, где g уже не обязательно положительно определена.

16) Определение 7.3. Обычно в литературе используется термин "сопряжены" или "подобны", а не "эквивалентны". А под "эквивалентностью" обычно понимают более слабое отношение: A экв. B iff A=PBQ для некоторых невырожденных P и Q.

17) Определение 7.6 и задача 7.12(!) повторяют задачу 6.34.

18) Задача 7.24. Стоит отметить, что преобразуя одни лишь строки или одни лишь столбцы, НАД ПОЛЕМ можно привести произвольную матрицу к диагональному виду.

19) Определение 8.1. Нужно потребовать, чтобы вектор v был ненулевым.

20) Задача 8.1. Утверждение задачи в части знакоопределённых форм неверно. Например, отражения относительно прямой на вещественной плоскости имеют два собственных значения. Не следует ли эту задачу пометить звёздочкой (или дать указание)? Потому что аккуратное её решение требует описания общего вида псевдоортогонального оператора (через ch и sh).

21) Определение 8.4. Определение следа -- с неправильным знаком. След это -a_{n-1}, а не a_{n-1}.

22) Задача 8.12(*) очень простая, если воспользоваться задачей 8.11(!). Поэтому звёздочку нужно снять, а вместо неё поставить (!).

23) Задача 8.14(*) неверна. Если А индуцирует на V\otimes V^* оператор A.A^T (где на место . ставится матрица из Hom(V,V)), то \mu(A\otimes A^*(Id)) = sum_{i,j} a_{ij}a_{ji}. Если же А индуцирует на V\otimes V^* оператор A.A^(-1), то на Id его действие тождественно, и \mu(...)=dim(V). Утверждение задачи должно быть таким: "Пусть A из End(V) -- линейный оператор на конечномерном векторном пространстве. Рассмотрим тензор ~A из V\otimes V^*, соответствующий оператору A при изоморфизме Hom(V,V)\cong V\otimes V^*, и естественное спаривание \mu\colon V\otimes V^*\to k. Докажите, что tr A = \mu(~A)."
Кстати, студенту было бы полезно рассказать, каково естественное действие A на V\otimes V^*. Это действие должно быть как на линейных операторах: X |--> AXA^(-1). Однако, по изложенному в листиках, у студента складывается впечатление, что действие должно быть таким: X |--> AXA^T.

24) Задача 8.26(!). Указание неясно. Какая связь между вектором \bar v и
собственным вектором с собственным значением x-iy, если v имеет собственное значение x+iy?

25) Определение 9.1. Во-первых, класс коммутативных артиновых колец с единицей шире, чем класс коммутативных артиновых алгебр с единицей (например, групповые кольца конечных групп с коэффициентами из артинового кольца, не являющегося полем). Во-вторых, класс коммутативных артиновых алгебр с единицей шире, чем описывается в этом определении. Например, бесконечные расширения полей будут артиновыми алгебрами с единицей бесконечной размерности. Однако, если вставить слова "конечно порождённая", то определение артиновости таких алгебр как колец станет правильным.

26) Определение 9.3. Нужно оговорить, что R -- коммутативное кольцо, чтобы не возиться с левыми и правыми идеалами.

27) Вообще, написать после определения 9.3, что до конца раздела все кольца и алгебры предполагаются коммутативными и обладающими единицей.





Мелкие придирки и опечатки:
===========================

0) Условия для получения зачёта противоречивы. С одной стороны, сказано, что для получения зачёта достаточно решить только все задачи со звёздочкой. С другой -- что необходимо решить задачи с восклицательным знаком (стало быть, без звёздочки).
1) Задача 1.19(*),(г). Заменить (2) на (б).
2) Задача 1.20(л)(*). гриппу --> группу
3) Задача 1.22. Значок умножения двух многочленов почему-то выглядит как троеточие.
4) Задача 1.24(*). Заменить "1.20 9" на "1.20 и".
5) Задача 2.13. Заменить НОД(y,z) на НОД(x,y).
6) Определение 2.7. Нужна запятая перед "мы получим".
7) Определение 2.10. Нужна запятая после слова "евклидово".
8) Задача 2.40. Заменить слово "Задача 2.40" на "Указание", и следующий номер задачи уменьшить на единицу.
9) Задача 3.22. В выражении "где $\lambda_1$ -- произвольные элементы из $k$" должно быть $\lambda_i$.
10) Алгебра-3. Множественное число слова "вектор" это "векторы", а не "вектора".
11) Задача 3.35. В выражении "Докажите, что V' конечномерно" вместо V' должно стоять V.
12) Задача 3.39(!). "переводит" --> "переходит"
13) Задача 3.42(*). Во второй строке пропущено V после знака произведения.
14) Алгебра-5, определение произведения на пространстве полилинейных форм. По ошибке вместо буквы пси написана фи.
15) Формула перед определением 5.6. V^{\otimes i+j}
16) Задача 6.13. "только и только тогда" --> "тогда и только тогда".
17) Задача 6.22. Заменить V на V_1\oplus V_2, и во втором множителе должно быть V_2 (а написано V_1).
18) Определение 7.5. Значок для транспонированной матрицы обычно используют другой, похожий на букву "Т".
19) Задача 7.16(!). В формуле обратной 2х2-матрицы вместо b должно стоять -b.
20) Определение 7.8. Порядок домножения в преобразовании по строкам и по столбцам перепутан. Когда мы преобразуем по строкам, то E приписываем слева, а когда преобразуем по столбцам, то справа.
21) Определение 7.11. ненулевобо --> ненулевого.
22) Задача 7.35. Птичку, обозначающую присоединённую матрицу, обычно пишут как верхний индекс, а не над буквой.
23) Задача 7.38(!), указание. В последней самой формуле на с.6 показатель степени при (-1) должен быть i+j (а не i), и при матрице (\beta^i_j) не должно быть значка транспонирования.
24) Задача 7.39(!). снак --> знак.
25) Задача 8.1. Определение знакоопределённых форм. Опечатка "нормы" --> "формы".
26) Задача 8.15. Прямоугольник, заполненный нулями, имеет n-k строк и k столбцов. Поэтому он должен иметь вид (n-k)\times k, а не наоборот.
27) Определение 8.6. Разнобой в терминологии: "симметрический" или "симметричный"?
28) Задача 8.21. Задача сформулирована не очень хорошо. У читателя может создаться впечатление, что для любой билинейной невырожденной симметрической формы g существует ортонормированный базис с условием g(e_i,e_i)=1. Тогда как это верно лишь для положительно определённых форм.
29) Задача 8.29(*). кососимметрическый --> кососимметрический.
30) Задача 8.30(*). Верхние индексы в бивекторе должны иметь вид 2i+1, 2i+2.
31) Указание к задаче 8.31(*). В обозначении внешней алгебры нужно заменить звёздочку на \bullet.
32) Определение 9.1. "R" перенести на три слова вперёд. 




P.S. Прошу поставить мне зачОт! Т.к. все задачи без звёздочек я прорешал (честно). И почти все со звёздочкой. :-)