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# [357. 统计各位数字都不同的数字个数](https://leetcode.cn/problems/count-numbers-with-unique-digits)
[English Version](/solution/0300-0399/0357.Count%20Numbers%20with%20Unique%20Digits/README_EN.md)
## 题目描述
给你一个整数 n
,统计并返回各位数字都不同的数字 x
的个数,其中 0 <= x < 10n
。
示例 1:
输入:n = 2
输出:91
解释:答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99
外,在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。
示例 2:
输入:n = 0
输出:1
提示:
## 解法
### 方法一:状态压缩 + 数位 DP
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中,满足条件的数的个数。条件与数的大小无关,而只与数的组成有关,因此可以使用数位 DP 的思想求解。数位 DP 中,数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题,我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题,即:
$$
ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言,我们只需要求出区间 $[1,..10^n-1]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索,到最底层得到方案数,一层层向上返回答案并累加,最后从搜索起点得到最终的答案。
我们根据题目信息,设计一个函数 $\textit{dfs}(i, \textit{mask}, \textit{lead})$,其中:
- 数字 $i$ 表示当前搜索到的位置,我们从高位开始搜索,即 $i = 0$ 表示最高位。
- 数字 $\textit{mask}$ 表示当前数字的状态,即 $\textit{mask}$ 的第 $j$ 位为 $1$ 表示数字 $j$ 已经被使用过。
- 布尔值 $\textit{lead}$ 表示当前是否只包含前导 $0$。
函数的执行过程如下:
如果 $i$ 超过了数字 $n$ 的长度,即 $i \lt 0$,说明搜索结束,直接返回 $1$。
否则,我们从 $0$ 到 $9$ 枚举位置 $i$ 的数字 $j$,对于每一个 $j$:
- 如果 $\textit{mask}$ 的第 $j$ 位为 $1$,说明数字 $j$ 已经被使用过,直接跳过。
- 如果 $\textit{lead}$ 为真且 $j = 0$,说明当前数字只包含前导 $0$,递归到下一层时,此时 $\textit{lead}$ 仍为真。
- 否则,我们递归到下一层,更新 $\textit{mask}$ 的第 $j$ 位为 $1$,并将 $\textit{lead}$ 更新为假。
最后,我们将所有递归到下一层的结果累加,即为答案。
答案为 $\textit{dfs}(n - 1, 0, \textit{True})$。
关于函数的实现细节,可以参考下面的代码。
时间复杂度 $O(n \times 2^D \times D)$,空间复杂度 $O(n \times 2^D)$。其中 $n$ 为数字 $n$ 的长度,而 $D = 10$。
相似题目:
- [233. 数字 1 的个数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0200-0299/0233.Number%20of%20Digit%20One/README.md)
- [600. 不含连续 1 的非负整数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0600-0699/0600.Non-negative%20Integers%20without%20Consecutive%20Ones/README.md)
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- [2376. 统计特殊整数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/2300-2399/2376.Count%20Special%20Integers/README.md)
#### Python3
```python
class Solution:
def countNumbersWithUniqueDigits(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(i: int, mask: int, lead: bool) -> int:
if i < 0:
return 1
ans = 0
for j in range(10):
if mask >> j & 1:
continue
if lead and j == 0:
ans += dfs(i - 1, mask, True)
else:
ans += dfs(i - 1, mask | 1 << j, False)
return ans
return dfs(n - 1, 0, True)
```
#### Java
```java
class Solution {
private Integer[][] f;
public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
f = new Integer[n][1 << 10];
return dfs(n - 1, 0, true);
}
private int dfs(int i, int mask, boolean lead) {
if (i < 0) {
return 1;
}
if (!lead && f[i][mask] != null) {
return f[i][mask];
}
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
if ((mask >> j & 1) == 1) {
continue;
}
if (lead && j == 0) {
ans += dfs(i - 1, mask, true);
} else {
ans += dfs(i - 1, mask | 1 << j, false);
}
}
if (!lead) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
}
}
```
#### C++
```cpp
class Solution {
public:
int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
int f[n + 1][1 << 10];
memset(f, -1, sizeof(f));
auto dfs = [&](auto&& dfs, int i, int mask, bool lead) -> int {
if (i < 0) {
return 1;
}
if (!lead && f[i][mask] != -1) {
return f[i][mask];
}
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
if (mask >> j & 1) {
continue;
}
if (lead && j == 0) {
ans += dfs(dfs, i - 1, mask, true);
} else {
ans += dfs(dfs, i - 1, mask | 1 << i, false);
}
}
if (!lead) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(dfs, n - 1, 0, true);
}
};
```
#### Go
```go
func countNumbersWithUniqueDigits(n int) int {
f := make([][1 << 10]int, n)
for i := range f {
for j := range f[i] {
f[i][j] = -1
}
}
var dfs func(i, mask int, lead bool) int
dfs = func(i, mask int, lead bool) int {
if i < 0 {
return 1
}
if !lead && f[i][mask] != -1 {
return f[i][mask]
}
ans := 0
for j := 0; j < 10; j++ {
if mask>>j&1 == 1 {
continue
}
if lead && j == 0 {
ans += dfs(i-1, mask, true)
} else {
ans += dfs(i-1, mask|1< Array(1 << 10).fill(-1));
const dfs = (i: number, mask: number, lead: boolean): number => {
if (i < 0) {
return 1;
}
if (!lead && f[i][mask] !== -1) {
return f[i][mask];
}
let ans = 0;
for (let j = 0; j < 10; ++j) {
if ((mask >> j) & 1) {
continue;
}
if (lead && j === 0) {
ans += dfs(i - 1, mask, true);
} else {
ans += dfs(i - 1, mask | (1 << j), false);
}
}
if (!lead) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(n - 1, 0, true);
}
```