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difficulty: 困难
edit_url: https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/0600-0699/0600.Non-negative%20Integers%20without%20Consecutive%20Ones/README.md
tags:
- 动态规划
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# [600. 不含连续1的非负整数](https://leetcode.cn/problems/non-negative-integers-without-consecutive-ones)
[English Version](/solution/0600-0699/0600.Non-negative%20Integers%20without%20Consecutive%20Ones/README_EN.md)
## 题目描述
给定一个正整数 n
,请你统计在 [0, n]
范围的非负整数中,有多少个整数的二进制表示中不存在 连续的 1 。
示例 1:
输入: n = 5
输出: 5
解释:
下面列出范围在 [0, 5] 的非负整数与其对应的二进制表示:
0 : 0
1 : 1
2 : 10
3 : 11
4 : 100
5 : 101
其中,只有整数 3 违反规则(有两个连续的 1 ),其他 5 个满足规则。
示例 2:
输入: n = 1
输出: 2
示例 3:
输入: n = 2
输出: 3
提示:
## 解法
### 方法一:数位 DP
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中,数字的二进制表示不包含连续的 $1$ 的个数。个数与数的位数以及每个二进制位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中,数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题,我们一般会将其转化为 $[0,..r]$ 然后再减去 $[0,..l - 1]$ 的问题,即:
$$
ans = \sum_{i=0}^{r} ans_i - \sum_{i=0}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言,我们只需要求出区间 $[0,..r]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。基本步骤如下:
1. 将数字 $n$ 转为二进制字符串 $s$;
1. 根据题目信息,设计函数 $\textit{dfs}()$,对于本题,我们定义 $\textit{dfs}(\textit{pos}, \textit{pre}, \textit{limit})$,答案为 $\textit{dfs}(\textit{0}, 0, \textit{true})$。
其中:
- `pos` 表示数字的位数,我们从数字的最高位开始,即二进制字符串的首字符;
- `pre` 表示当前数字二进制位上的数字,对于本题,`pre` 的初始值为 `0`;
- `limit` 表示可填的数字的限制,如果无限制,那么可以选择 $[0,1]$,否则,只能选择 $[0,..s[\textit{pos}]]$。
关于函数的实现细节,可以参考下面的代码。
时间复杂度 $O(\log n)$,空间复杂度 $O(\log n)$。其中 $n$ 为题目给定的数字。
相似题目:
- [233. 数字 1 的个数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0200-0299/0233.Number%20of%20Digit%20One/README.md)
- [357. 统计各位数字都不同的数字个数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0300-0399/0357.Count%20Numbers%20with%20Unique%20Digits/README.md)
- [788. 旋转数字](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0700-0799/0788.Rotated%20Digits/README.md)
- [902. 最大为 N 的数字组合](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0900-0999/0902.Numbers%20At%20Most%20N%20Given%20Digit%20Set/README.md)
- [1012. 至少有 1 位重复的数字](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/1000-1099/1012.Numbers%20With%20Repeated%20Digits/README.md)
- [2376. 统计特殊整数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/2300-2399/2376.Count%20Special%20Integers/README.md)
#### Python3
```python
class Solution:
def findIntegers(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(pos: int, pre: int, limit: bool) -> int:
if pos == len(s):
return 1
up = int(s[pos]) if limit else 1
ans = 0
for i in range(up + 1):
if pre == 1 and i == 1:
continue
ans += dfs(pos + 1, i, limit and i == up)
return ans
s = bin(n)[2:]
return dfs(0, 0, True)
```
#### Java
```java
class Solution {
private char[] s;
private Integer[][] f;
public int findIntegers(int n) {
s = Integer.toBinaryString(n).toCharArray();
f = new Integer[s.length][2];
return dfs(0, 0, true);
}
private int dfs(int pos, int pre, boolean limit) {
if (pos >= s.length) {
return 1;
}
if (!limit && f[pos][pre] != null) {
return f[pos][pre];
}
int up = limit ? s[pos] - '0' : 1;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
if (!(pre == 1 && i == 1)) {
ans += dfs(pos + 1, i, limit && i == up);
}
}
if (!limit) {
f[pos][pre] = ans;
}
return ans;
}
}
```
#### C++
```cpp
class Solution {
public:
int findIntegers(int n) {
string s = bitset<32>(n).to_string();
s = s.substr(s.find('1'));
int m = s.size();
int f[m][2];
memset(f, -1, sizeof(f));
auto dfs = [&](auto&& dfs, int pos, int pre, bool limit) -> int {
if (pos >= m) {
return 1;
}
if (!limit && f[pos][pre] != -1) {
return f[pos][pre];
}
int up = limit ? s[pos] - '0' : 1;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
if (!(pre == 1 && i == 1)) {
ans += dfs(dfs, pos + 1, i, limit && i == up);
}
}
if (!limit) {
f[pos][pre] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(dfs, 0, 0, true);
}
};
```
#### Go
```go
func findIntegers(n int) int {
s := strconv.FormatInt(int64(n), 2)
m := len(s)
f := make([][]int, m)
for i := range f {
f[i] = []int{-1, -1}
}
var dfs func(int, int, bool) int
dfs = func(pos int, pre int, limit bool) int {
if pos >= m {
return 1
}
if !limit && f[pos][pre] != -1 {
return f[pos][pre]
}
up := 1
if limit {
up = int(s[pos] - '0')
}
ans := 0
for i := 0; i <= up; i++ {
if !(pre == 1 && i == 1) {
ans += dfs(pos+1, i, limit && i == up)
}
}
if !limit {
f[pos][pre] = ans
}
return ans
}
return dfs(0, 0, true)
}
```
#### TypeScript
```ts
function findIntegers(n: number): number {
const s = n.toString(2);
const m = s.length;
const f: number[][] = Array.from({ length: m }, () => [-1, -1]);
function dfs(pos: number, pre: number, limit: boolean): number {
if (pos >= m) {
return 1;
}
if (!limit && f[pos][pre] !== -1) {
return f[pos][pre];
}
const up = limit ? parseInt(s[pos]) : 1;
let ans = 0;
for (let i = 0; i <= up; ++i) {
if (!(pre === 1 && i === 1)) {
ans += dfs(pos + 1, i, limit && i === up);
}
}
if (!limit) {
f[pos][pre] = ans;
}
return ans;
}
return dfs(0, 0, true);
}
```