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difficulty: 中等
edit_url: https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/0700-0799/0788.Rotated%20Digits/README.md
tags:
- 数学
- 动态规划
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# [788. 旋转数字](https://leetcode.cn/problems/rotated-digits)
[English Version](/solution/0700-0799/0788.Rotated%20Digits/README_EN.md)
## 题目描述
我们称一个数 X 为好数, 如果它的每位数字逐个地被旋转 180 度后,我们仍可以得到一个有效的,且和 X 不同的数。要求每位数字都要被旋转。
如果一个数的每位数字被旋转以后仍然还是一个数字, 则这个数是有效的。0, 1, 和 8 被旋转后仍然是它们自己;2 和 5 可以互相旋转成对方(在这种情况下,它们以不同的方向旋转,换句话说,2 和 5 互为镜像);6 和 9 同理,除了这些以外其他的数字旋转以后都不再是有效的数字。
现在我们有一个正整数 N
, 计算从 1
到 N
中有多少个数 X 是好数?
示例:
输入: 10
输出: 4
解释:
在[1, 10]中有四个好数: 2, 5, 6, 9。
注意 1 和 10 不是好数, 因为他们在旋转之后不变。
提示:
## 解法
### 方法一:直接枚举
一种直观且有效的思路是,直接枚举 $[1,2,..n]$ 中的每个数,判断其是否为好数,若为好数,则答案加一。
那么题目的重点转化为如何判断一个数字 $x$ 是否为好数。判断的逻辑如下:
我们先用一个长度为 $10$ 的数组 $d$ 记录每个有效数字对应的旋转数字,在这道题中,有效数字有 $[0, 1, 8, 2, 5, 6, 9]$,分别对应旋转数字 $[0, 1, 8, 5, 2, 9, 6]$。如果不是有效数字,我们将对应的旋转数字设为 $-1$。
然后遍历数字 $x$ 的每一位数字 $v$,如果 $v$ 不是有效数字,说明 $x$ 不是好数,直接返回 `false`。否则,我们将数字 $v$ 对应的旋转数字 $d[v]$ 加入到 $y$ 中。最后,判断 $x$ 和 $y$ 是否相等,若不相等,则说明 $x$ 是好数,返回 `true`。
时间复杂度 $O(n\times \log n)$。
相似题目:
- [1056. 易混淆数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/1000-1099/1056.Confusing%20Number/README.md)
#### Python3
```python
class Solution:
def rotatedDigits(self, n: int) -> int:
def check(x):
y, t = 0, x
k = 1
while t:
v = t % 10
if d[v] == -1:
return False
y = d[v] * k + y
k *= 10
t //= 10
return x != y
d = [0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6]
return sum(check(i) for i in range(1, n + 1))
```
#### Java
```java
class Solution {
private int[] d = new int[] {0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6};
public int rotatedDigits(int n) {
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (check(i)) {
++ans;
}
}
return ans;
}
private boolean check(int x) {
int y = 0, t = x;
int k = 1;
while (t > 0) {
int v = t % 10;
if (d[v] == -1) {
return false;
}
y = d[v] * k + y;
k *= 10;
t /= 10;
}
return x != y;
}
}
```
#### C++
```cpp
class Solution {
public:
const vector d = {0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6};
int rotatedDigits(int n) {
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
ans += check(i);
}
return ans;
}
bool check(int x) {
int y = 0, t = x;
int k = 1;
while (t) {
int v = t % 10;
if (d[v] == -1) {
return false;
}
y = d[v] * k + y;
k *= 10;
t /= 10;
}
return x != y;
}
};
```
#### Go
```go
func rotatedDigits(n int) int {
d := []int{0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6}
check := func(x int) bool {
y, t := 0, x
k := 1
for ; t > 0; t /= 10 {
v := t % 10
if d[v] == -1 {
return false
}
y = d[v]*k + y
k *= 10
}
return x != y
}
ans := 0
for i := 1; i <= n; i++ {
if check(i) {
ans++
}
}
return ans
}
```
### 方法二:数位 DP
方法一的做法足以通过本题,但时间复杂度较高。如果题目的数据范围达到 $10^9$ 级别,则方法一的做法会超出时间限制。
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中,满足条件的数的个数。条件与数的大小无关,而只与数的组成有关,因此可以使用数位 DP 的思想求解。数位 DP 中,数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题,我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题,即:
$$
ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言,我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索,到最底层得到方案数,一层层向上返回答案并累加,最后从搜索起点得到最终的答案。
基本步骤如下:
1. 将数字 $n$ 转为 int 数组 $a$,其中 $a[1]$ 为最低位,而 $a[len]$ 为最高位;
1. 根据题目信息,设计函数 $dfs()$,对于本题,我们定义 $dfs(pos, ok, limit)$,答案为 $dfs(len, 0, true)$。
其中:
- `pos` 表示数字的位数,从末位或者第一位开始,一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题,我们选择从高位开始,因此,`pos` 的初始值为 `len`;
- `ok` 表示当前数字是否满足题目要求(对于本题,如果数字出现 $[2, 5, 6, 9]$ 则满足)
- `limit` 表示可填的数字的限制,如果无限制,那么可以选择 $[0,1,..9]$,否则,只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 `limit` 为 `true` 且已经取到了能取到的最大值,那么下一个 `limit` 同样为 `true`;如果 `limit` 为 `true` 但是还没有取到最大值,或者 `limit` 为 `false`,那么下一个 `limit` 为 `false`。
关于函数的实现细节,可以参考下面的代码。
时间复杂度 $O(\log n)$。
相似题目:
- [233. 数字 1 的个数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0200-0299/0233.Number%20of%20Digit%20One/README.md)
- [357. 统计各位数字都不同的数字个数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0300-0399/0357.Count%20Numbers%20with%20Unique%20Digits/README.md)
- [600. 不含连续 1 的非负整数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0600-0699/0600.Non-negative%20Integers%20without%20Consecutive%20Ones/README.md)
- [902. 最大为 N 的数字组合](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/0900-0999/0902.Numbers%20At%20Most%20N%20Given%20Digit%20Set/README.md)
- [1012. 至少有 1 位重复的数字](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/1000-1099/1012.Numbers%20With%20Repeated%20Digits/README.md)
- [2376. 统计特殊整数](https://github.com/doocs/leetcode/blob/main/solution/2300-2399/2376.Count%20Special%20Integers/README.md)
#### Python3
```python
class Solution:
def rotatedDigits(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(pos, ok, limit):
if pos <= 0:
return ok
up = a[pos] if limit else 9
ans = 0
for i in range(up + 1):
if i in (0, 1, 8):
ans += dfs(pos - 1, ok, limit and i == up)
if i in (2, 5, 6, 9):
ans += dfs(pos - 1, 1, limit and i == up)
return ans
a = [0] * 6
l = 1
while n:
a[l] = n % 10
n //= 10
l += 1
return dfs(l, 0, True)
```
#### Java
```java
class Solution {
private int[] a = new int[6];
private int[][] dp = new int[6][2];
public int rotatedDigits(int n) {
int len = 0;
for (var e : dp) {
Arrays.fill(e, -1);
}
while (n > 0) {
a[++len] = n % 10;
n /= 10;
}
return dfs(len, 0, true);
}
private int dfs(int pos, int ok, boolean limit) {
if (pos <= 0) {
return ok;
}
if (!limit && dp[pos][ok] != -1) {
return dp[pos][ok];
}
int up = limit ? a[pos] : 9;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
if (i == 0 || i == 1 || i == 8) {
ans += dfs(pos - 1, ok, limit && i == up);
}
if (i == 2 || i == 5 || i == 6 || i == 9) {
ans += dfs(pos - 1, 1, limit && i == up);
}
}
if (!limit) {
dp[pos][ok] = ans;
}
return ans;
}
}
```
#### C++
```cpp
class Solution {
public:
int a[6];
int dp[6][2];
int rotatedDigits(int n) {
memset(dp, -1, sizeof dp);
int len = 0;
while (n) {
a[++len] = n % 10;
n /= 10;
}
return dfs(len, 0, true);
}
int dfs(int pos, int ok, bool limit) {
if (pos <= 0) {
return ok;
}
if (!limit && dp[pos][ok] != -1) {
return dp[pos][ok];
}
int up = limit ? a[pos] : 9;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
if (i == 0 || i == 1 || i == 8) {
ans += dfs(pos - 1, ok, limit && i == up);
}
if (i == 2 || i == 5 || i == 6 || i == 9) {
ans += dfs(pos - 1, 1, limit && i == up);
}
}
if (!limit) {
dp[pos][ok] = ans;
}
return ans;
}
};
```
#### Go
```go
func rotatedDigits(n int) int {
a := make([]int, 6)
dp := make([][2]int, 6)
for i := range a {
dp[i] = [2]int{-1, -1}
}
l := 0
for n > 0 {
l++
a[l] = n % 10
n /= 10
}
var dfs func(int, int, bool) int
dfs = func(pos, ok int, limit bool) int {
if pos <= 0 {
return ok
}
if !limit && dp[pos][ok] != -1 {
return dp[pos][ok]
}
up := 9
if limit {
up = a[pos]
}
ans := 0
for i := 0; i <= up; i++ {
if i == 0 || i == 1 || i == 8 {
ans += dfs(pos-1, ok, limit && i == up)
}
if i == 2 || i == 5 || i == 6 || i == 9 {
ans += dfs(pos-1, 1, limit && i == up)
}
}
if !limit {
dp[pos][ok] = ans
}
return ans
}
return dfs(l, 0, true)
}
```