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difficulty: 困难
edit_url: https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/1600-1699/1691.Maximum%20Height%20by%20Stacking%20Cuboids/README.md
rating: 2171
source: 第 219 场周赛 Q4
tags:
- 数组
- 动态规划
- 排序
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# [1691. 堆叠长方体的最大高度](https://leetcode.cn/problems/maximum-height-by-stacking-cuboids)
[English Version](/solution/1600-1699/1691.Maximum%20Height%20by%20Stacking%20Cuboids/README_EN.md)
## 题目描述
给你 n 个长方体 cuboids ，其中第 i 个长方体的长宽高表示为 cuboids[i] = [widthi, lengthi, heighti]（下标从 0 开始）。请你从 cuboids 选出一个 子集 ，并将它们堆叠起来。
如果 widthi <= widthj 且 lengthi <= lengthj 且 heighti <= heightj ，你就可以将长方体 i 堆叠在长方体 j 上。你可以通过旋转把长方体的长宽高重新排列，以将它放在另一个长方体上。
返回 堆叠长方体 cuboids 可以得到的 最大高度 。
示例 1：
输入：cuboids = [[50,45,20],[95,37,53],[45,23,12]]
输出：190
解释：
第 1 个长方体放在底部，53x37 的一面朝下，高度为 95 。
第 0 个长方体放在中间，45x20 的一面朝下，高度为 50 。
第 2 个长方体放在上面，23x12 的一面朝下，高度为 45 。
总高度是 95 + 50 + 45 = 190 。
示例 2：
输入：cuboids = [[38,25,45],[76,35,3]]
输出：76
解释：
无法将任何长方体放在另一个上面。
选择第 1 个长方体然后旋转它，使 35x3 的一面朝下，其高度为 76 。
示例 3：
输入：cuboids = [[7,11,17],[7,17,11],[11,7,17],[11,17,7],[17,7,11],[17,11,7]]
输出：102
解释：
重新排列长方体后，可以看到所有长方体的尺寸都相同。
你可以把 11x7 的一面朝下，这样它们的高度就是 17 。
堆叠长方体的最大高度为 6 * 17 = 102 。
提示：
n == cuboids.length1 <= n <= 1001 <= widthi, lengthi, heighti <= 100
## 解法
### 方法一：排序 + 动态规划
根据题目描述，长方体 $j$ 能够放在长方体 $i$ 上，当且仅当长方体 $j$ 的“长、宽、高”分别小于等于长方体 $i$ 的“长、宽、高”。
本题允许我们旋转长方体，意味着我们可以选择长方体的任意一边作为长方体的“高”。对于任意一种合法的堆叠，如果我们把里面每个长方体都旋转至“长 <= 宽 <= 高”，堆叠仍然是合法的，并且能够保证堆叠的高度最大化。
因此，我们可以把所有长方体的边长进行排序，使得每个长方体满足“长 <= 宽 <= 高”。然后将每个长方体升序排列。
接下来，我们可以使用动态规划的方法求解本题。
我们定义 $f[i]$ 表示以长方体 $i$ 为最底部长方体时的最大高度。我们可以枚举每个长方体 $i$ 的上方的长方体 $j$，其中 $0 \leq j < i$。如果 $j$ 可以放在 $i$ 的上方，那么我们可以得到状态转移方程：
$$
f[i] = \max_{0 \leq j < i} \{f[j] + h[i]\}
$$
其中 $h[i]$ 表示长方体 $i$ 的高度。
最终的答案即为 $f[i]$ 的最大值。
时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为长方体的数量。
#### Python3
```python
class Solution:
def maxHeight(self, cuboids: List[List[int]]) -> int:
for c in cuboids:
c.sort()
cuboids.sort()
n = len(cuboids)
f = [0] * n
for i in range(n):
for j in range(i):
if cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] and cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]:
f[i] = max(f[i], f[j])
f[i] += cuboids[i][2]
return max(f)
```
#### Java
```java
class Solution {
public int maxHeight(int[][] cuboids) {
for (var c : cuboids) {
Arrays.sort(c);
}
Arrays.sort(cuboids,
(a, b) -> a[0] == b[0] ? (a[1] == b[1] ? a[2] - b[2] : a[1] - b[1]) : a[0] - b[0]);
int n = cuboids.length;
int[] f = new int[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
if (cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]) {
f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
}
}
f[i] += cuboids[i][2];
}
return Arrays.stream(f).max().getAsInt();
}
}
```
#### C++
```cpp
class Solution {
public:
int maxHeight(vector>& cuboids) {
for (auto& c : cuboids) {
sort(c.begin(), c.end());
}
sort(cuboids.begin(), cuboids.end());
int n = cuboids.size();
vector f(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
if (cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]) {
f[i] = max(f[i], f[j]);
}
}
f[i] += cuboids[i][2];
}
return *max_element(f.begin(), f.end());
}
};
```
#### Go
```go
func maxHeight(cuboids [][]int) int {
for _, c := range cuboids {
sort.Ints(c)
}
sort.Slice(cuboids, func(i, j int) bool {
a, b := cuboids[i], cuboids[j]
return a[0] < b[0] || a[0] == b[0] && (a[1] < b[1] || a[1] == b[1] && a[2] < b[2])
})
n := len(cuboids)
f := make([]int, n)
for i := range f {
for j := 0; j < i; j++ {
if cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2] {
f[i] = max(f[i], f[j])
}
}
f[i] += cuboids[i][2]
}
return slices.Max(f)
}
```
#### TypeScript
```ts
function maxHeight(cuboids: number[][]): number {
for (const c of cuboids) {
c.sort((a, b) => a - b);
}
cuboids.sort((a, b) => {
if (a[0] !== b[0]) {
return a[0] - b[0];
}
if (a[1] !== b[1]) {
return a[1] - b[1];
}
return a[2] - b[2];
});
const n = cuboids.length;
const f = Array(n).fill(0);
for (let i = 0; i < n; ++i) {
for (let j = 0; j < i; ++j) {
const ok = cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2];
if (ok) f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
}
f[i] += cuboids[i][2];
}
return Math.max(...f);
}
```
#### JavaScript
```js
/**
* @param {number[][]} cuboids
* @return {number}
*/
var maxHeight = function (cuboids) {
for (const c of cuboids) {
c.sort((a, b) => a - b);
}
cuboids.sort((a, b) => {
if (a[0] !== b[0]) {
return a[0] - b[0];
}
if (a[1] !== b[1]) {
return a[1] - b[1];
}
return a[2] - b[2];
});
const n = cuboids.length;
const f = Array(n).fill(0);
for (let i = 0; i < n; ++i) {
for (let j = 0; j < i; ++j) {
const ok = cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2];
if (ok) f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
}
f[i] += cuboids[i][2];
}
return Math.max(...f);
};
```