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title: 跳表
date: 2020-10-23 09:21:13
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  - 算法
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  - 数据结构和算法
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# 跳表

## 什么是跳表

对于一个有序数组，可以使用高效的二分查找法，其时间复杂度为 `O(log n)`。

但是，即使是有序的链表，也只能使用低效的顺序查找，其时间复杂度为 `O(n)`。

![img](https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/master/snap/20220323113532.png)

如何提高链表的查找效率呢？

我们可以对链表加一层索引。具体来说，可以每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作**索引**或**索引层**。索引节点中通过一个 down 指针，指向下一级结点。通过这样的改造，就可以支持类似二分查找的算法。我们把改造之后的数据结构叫作**跳表**（Skip list）。

![img](https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/master/snap/20220323155309.png)

随着数据的不断增长，一级索引层也变得越来越长。此时，我们可以为一级索引再增加一层索引层：二级索引层。

![img](https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/master/snap/20220323155346.png)

随着数据的膨胀，当二级索引层也变得很长时，我们可以继续为其添加新的索引层。**这种链表加多级索引的结构，就是跳表**。

![img](https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/master/snap/20220323114408.png)

### 跳表的时间复杂度

在一个具有多级索引的跳表中，第一级索引的结点个数大约就是 `n/2`，第二级索引的结点个数大约就是 `n/4`，第三级索引的结点个数大约就是 `n/8`，依次类推，也就是说，第 `k` 级索引的结点个数是第 `k-1` 级索引的结点个数的 `1/2`，那第 k 级索引结点的个数就是 `n/(2k)`。所以**跳表查询数据的时间复杂度就是 `O(logn)`**。

### 跳表的空间复杂度

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。

假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

```
索引节点数 = n/2 + n/4 + n/8 … + 8 + 4 + 2 = n-2
```

所以，跳表的空间复杂度是 `O(n)`。

跳表的存储空间其实还有压缩空间。比如，我们增加索引节点的范围，由“每两个节点抽一个上级索引节点”改为“每五个节点抽一个上级索引节点”，可以显著节省存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

## 跳表的操作

跳表是一种各方面性能都比较优秀的**动态数据结构**，可以支持快速的插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以替代[红黑树](https://zh.wikipedia.org/wiki/红黑树)（Red-black tree）。

### 高效的动态插入和删除

跳表不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 `O(logn)`。

![img](https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/master/snap/20220323155933.png)

- **插入操作**：对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 `O(log n)`，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 `O(log n)`。
- **删除操作**：如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

### 跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

![img](https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/master/snap/20220323161942.png)

如红黑树、AVL 树这样的平衡二叉树，是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？可以通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

## 为什么需要跳表

跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 `O(logn)`。

跳表的空间复杂度是 `O(n)`。不过，跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单，但是作为一种动态数据结构，比起红黑树来说，实现要简单多了。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向用跳表。

## 跳表的应用场景

经典实现：Redis 的 Sorted Set、JDK 的 `ConcurrentSkipListMap` 和 `ConcurrentSkipListSet` 都是基于跳表实现。

为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？

Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：

- 插入一个数据；
- 删除一个数据；
- 查找一个数据；
- 按照区间查找数据（比如查找值在 [100, 356] 之间的数据）；
- 迭代输出有序序列。

其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。

## 参考资料

- [数据结构与算法之美](https://time.geekbang.org/column/intro/100017301)