{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e38ede7c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 1の7乗根\n",
    "\n",
    "1の原始7乗根 $\\zeta$ は、次の方程式を満たします。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\Phi_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "六つの原始7乗根には、$(\\mathbb Z/7\\mathbb Z)^\\times$ が置換として作用します。\n",
    "まず複素共役による商を取り、三つの実周期を残します。次に、1の3乗根上の\n",
    "3点フーリエ変換を使います。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "046475f3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 三つの共役周期\n",
    "\n",
    "指数 $k$ と $7-k$ を組にすると、$a_{11},a_{12},a_{13}$ が得られます。\n",
    "自明でない1の7乗根をすべて足した値が $-1$ なので、これらの和も $-1$ です。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "236e73a5",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def z : MathValue := rtu 7\n",
    "\n",
    "def a11 : MathValue := z ^ 1 + z ^ 6\n",
    "def a12 : MathValue := z ^ 2 + z ^ 5\n",
    "def a13 : MathValue := z ^ 3 + z ^ 4\n",
    "\n",
    "def b10 : MathValue := a11 + a12 + a13\n",
    "\n",
    "def cyclotomic7 : MathValue :=\n",
    "  '((rtu 7)^6 + (rtu 7)^5 + (rtu 7)^4\n",
    "    + (rtu 7)^3 + (rtu 7)^2 + rtu 7 + 1)\n",
    "\n",
    "def reduce7 (v : MathValue) : MathValue :=\n",
    "  idealNFWith [w] [cyclotomic7] v\n",
    "\n",
    "def b10' : MathValue := reduce7 b10\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "fe6e5c71",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$-1$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "b10'\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "01802a37",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## フーリエ・レゾルベント\n",
    "\n",
    "$\\omega=(-1+i\\sqrt3)/2$ とすると、位数3の巡回置換の二つの非自明な指標から、互いに\n",
    "共役な二組の三つ組が得られます。それぞれの三つ組の積を取れば、巡回置換による\n",
    "曖昧さが消えます。それらの積を $\\Phi_7(\\zeta)$ を法として簡約すると、$\\omega$\n",
    "だけの式が残るため、それぞれのフーリエ成分を一つの立方根から復元できます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "7711c357",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def b11 : MathValue := a11 + w * a12 + w ^ 2 * a13\n",
    "def b12 : MathValue := a13 + w * a11 + w ^ 2 * a12\n",
    "def b13 : MathValue := a12 + w * a13 + w ^ 2 * a11\n",
    "\n",
    "def b14 : MathValue := a11 + w * a13 + w ^ 2 * a12\n",
    "def b15 : MathValue := a12 + w * a11 + w ^ 2 * a13\n",
    "def b16 : MathValue := a13 + w * a12 + w ^ 2 * a11\n",
    "\n",
    "def b11Cube : MathValue := reduce7 (b11 * b12 * b13)\n",
    "def b14Cube : MathValue := reduce7 (b14 * b15 * b16)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "82be293f",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$(21 w + 14, -21 w - 7, 343)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "(b11Cube, b14Cube, b11Cube * b14Cube)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6a957768",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 変換を逆にたどる\n",
    "\n",
    "表示された二つの被開立方数は互いに共役で、その積は $7^3$ です。積が $7$ となり、\n",
    "再構成した実周期が正になるよう、互いに共役な立方根の分枝を選びます。それらを\n",
    "逆変換すると、$a_{11}=\\zeta+\\zeta^{-1}=2\\cos(2\\pi/7)$ が得られます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "id": "bc4cb22a",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def b11' : MathValue := rt 3 b11Cube\n",
    "def b14' : MathValue := rt 3 b14Cube\n",
    "\n",
    "def a11' : MathValue := (b10' + b11' + b14') / 3\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "id": "5f2b3629",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\frac{1}{6} \\sqrt[3]{3 w + 2} \\sqrt[3]{7} + \\frac{1}{6} \\sqrt[3]{-3 w - 1} \\sqrt[3]{7} + \\frac{-1}{6}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "a11' / 2\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "31427058",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 1の7乗根そのものを復元する\n",
    "\n",
    "$a_{11}'=\\zeta+\\zeta^{-1}$ が分かれば、$\\zeta$ は次の二次方程式の解です。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "x^2-a_{11}'x+1=0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "選択した冪根の分枝により、共役な対のどちらが先に現れるかが決まります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "id": "a06ba7dc",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def quadraticRoots7\n",
    "  (a : MathValue)\n",
    "  (b : MathValue)\n",
    "  (c : MathValue)\n",
    "  : (MathValue, MathValue) :=\n",
    "  ( ((- b) + sqrt (b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)\n",
    "  , ((- b) - sqrt (b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a) )\n",
    "\n",
    "def z1' : MathValue := fst (quadraticRoots7 1 (- a11') 1)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "id": "8f249803",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\frac{1}{6} \\sqrt[3]{3 w + 2} \\sqrt[3]{7} + \\frac{1}{6} \\sqrt[3]{-3 w - 1} \\sqrt[3]{7} + \\frac{1}{6} \\sqrt{\\sqrt[3]{3 w + 2}^{2} \\sqrt[3]{7}^{2} + \\sqrt[3]{-3 w - 1}^{2} \\sqrt[3]{7}^{2} + 2 \\sqrt[3]{-3 w - 1} \\sqrt[3]{3 w + 2} \\sqrt[3]{7}^{2} - 2 \\sqrt[3]{3 w + 2} \\sqrt[3]{7} - 2 \\sqrt[3]{-3 w - 1} \\sqrt[3]{7} - 35} + \\frac{-1}{6}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "z1'\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "359b8d41",
   "metadata": {},
   "source": [
    "最後の二次方程式に代入すると0になります。この検算は、入れ子になった平方根が\n",
    "どのような形に整形されているかに依存しません。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 9,
   "id": "5e39bde5",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$0$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "z1' ^ 2 - a11' * z1' + 1\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3c97d95e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## まとめ\n",
    "\n",
    "6次の円分方程式を、一つの3点変換、立方根、そして最後の二次方程式へ分解しました。\n",
    "コードはガロア群の部分群構造に沿っているため、各冪根がどこから生じたのかを\n",
    "明示できます。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}