{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "57e930b3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 球面上の曲率2形式\n",
    "\n",
    "リーマンテンソルは、クリストッフェル記号から直接計算することも、\n",
    "接続1形式の曲率として組み立てることもできます。カルタンの第2構造方程式は\n",
    "\n",
    "$$\\Omega^i{}_j=d\\omega^i{}_j+\\omega^i{}_k\\wedge\\omega^k{}_j,$$\n",
    "\n",
    "であり、$\\Omega^i{}_j=\\tfrac12R^i{}_{jkl}\\,dx^k\\wedge dx^l$ です。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4bd52b1e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## $S^2$ 上の丸い計量\n",
    "\n",
    "半径 $r$、座標 $(\\theta,\\phi)$ の球面に対して、計量は\n",
    "\n",
    "$$g_{ij}=\\operatorname{diag}(r^2,r^2\\sin^2\\theta).$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "88960f0b",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol r, θ, φ : MathValue\n",
    "\n",
    "def x : Vector MathValue := [| θ, φ |]\n",
    "def g_i_j : Matrix MathValue :=\n",
    "  [| [| r ^ 2, 0 |], [| 0, r ^ 2 * (sin θ) ^ 2 |] |]_i_j\n",
    "def g~i~j : Matrix MathValue :=\n",
    "  [| [| 1 / r ^ 2, 0 |]\n",
    "   , [| 0, 1 / (r ^ 2 * (sin θ) ^ 2) |] |]~i~j\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "6844e309",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} r^{2} & 0 \\\\ 0 & \\sin(θ)^{2} r^{2} \\\\ \\end{pmatrix}_{\\#\\#}^{\\;\\;}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "g_#_#\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "03fa8f6f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## リーマンテンソルの直接計算\n",
    "\n",
    "レヴィ・チヴィタ接続は、計量適合性と捩率がゼロであることから得られます。\n",
    "Egisonでは、重複する記号添字によって $m$ に関する縮約を実行します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "615f7c34",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def Γ_j_l_k : Tensor MathValue :=\n",
    "  (1 / 2) *\n",
    "    (∂/∂ g_j_l x~k + ∂/∂ g_j_k x~l - ∂/∂ g_k_l x~j)\n",
    "\n",
    "def Γ~i_k_l : Tensor MathValue :=\n",
    "  withSymbols [j] g~i~j . Γ_j_l_k\n",
    "\n",
    "def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]\n",
    "  ∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l\n",
    "  + Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "7e5120b3",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & \\sin(θ)^{2} \\\\ -1 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}_{\\;\\#}^{\\#\\;}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "R~#_#_1_2\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "eb3fafe1",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## カルタンの曲率形式\n",
    "\n",
    "クリストッフェル記号の最後の添字を1形式の添字とみなします。外微分により\n",
    "形式添字が1つ加わり、`antisymmetrize` によって結果を2形式へ射影します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "id": "74ecd7e6",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def d (t : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=\n",
    "  !(flip ∂/∂) x t\n",
    "\n",
    "def ω~i_j : Matrix MathValue := Γ~i_j_#\n",
    "\n",
    "def Ω~i_j : Tensor MathValue := withSymbols [k]\n",
    "  antisymmetrize (d ω~i_j + ω~i_k ∧ ω~k_j)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "id": "5756ae5b",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & \\frac{1}{2} \\sin(θ)^{2} \\\\ \\frac{-1}{2} & 0 \\\\ \\end{pmatrix}_{\\;\\#}^{\\#\\;}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "Ω~#_#_1_2\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "27e4ae5e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "曲率形式の成分は、対応するリーマンテンソルの直接計算による成分の半分です。\n",
    "これは\n",
    "$\\Omega^i{}_j=\\tfrac12R^i{}_{jkl}dx^k\\wedge dx^l$ が要求する通りです。\n",
    "したがって2つの計算経路は一致しますが、それぞれ異なる幾何学的な見方を\n",
    "示します。前者は座標添字を使い、後者は曲率を接続の場の強さとして扱います。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}