{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "0d970590",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 外微分と $d^2=0$\n",
    "\n",
    "外微分は $k$ 形式を $(k+1)$ 形式へ写します。スカラー関数に作用させると、\n",
    "勾配を表す1形式\n",
    "\n",
    "$$df=\\frac{\\partial f}{\\partial x^i},dx^i,$$\n",
    "\n",
    "となり、任意の微分形式に対して基本恒等式 $d^2=0$ を満たします。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f5c4b7c9",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 座標の選び方に依存しない実装パターン\n",
    "\n",
    "Egisonのテンソル微分を使うと、偏微分演算子を座標ベクトルの各成分へ適用できます。\n",
    "以下の多相的な定義は、スカラー値の式にもテンソル値の式にも利用できます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "72085ad7",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol x, y, z : MathValue\n",
    "\n",
    "def params : Vector MathValue := [| x, y, z |]\n",
    "\n",
    "def d {a} (X : a) : DiffForm a := !(flip ∂/∂) params X\n",
    "\n",
    "def f : MathValue := x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "49250bca",
   "metadata": {},
   "source": [
    "$f=x^2+y^2+z^2$ の1回目の外微分は、動径方向の勾配1形式\n",
    "$2x\\,dx+2y\\,dy+2z\\,dz$ です。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "aae6d940",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 2 x \\\\ 2 y \\\\ 2 z\\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "d f\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e6bcc4b2",
   "metadata": {},
   "source": [
    "テンソル微分をもう一度適用すると、まず正規化前のヘッセ行列が得られます。\n",
    "この中間結果は、まだ微分形式の交代部分へ射影されていません。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "a695fd86",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "d (d f)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "cd2ec05c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "滑らかなスカラー関数のヘッセ行列は対称である一方、2形式は反対称です。\n",
    "したがって、その交代部分への射影はゼロになります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "c9b3e356",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "dfNormalize (d (d f))\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "c6ed78ee",
   "metadata": {},
   "source": [
    "この計算は $d^2f=0$ を座標で表したものです。混合偏微分は反対称化によって\n",
    "二つずつ相殺されます。ヘッセ行列とその正規化後の形を並べることで、通常の\n",
    "テンソル微分と幾何学的な外微分の違いが明確になります。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}