{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b663557d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 3次元ユークリッド空間のホッジスター\n",
    "\n",
    "計量と向きを定めると、$k$ 形式を $(3-k)$ 形式と対応付けられます。\n",
    "向き付けられたユークリッド座標では、\n",
    "\n",
    "$$\\star dx=dy\\wedge dz,\\qquad\n",
    "  \\star(dx\\wedge dy)=dz.$$\n",
    "\n",
    "となります。ホッジスターは、微分形式の計算に計量が現れる箇所です。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3d40de1d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## ユークリッド計量と基底形式\n",
    "\n",
    "$(x,y,z)$ 上の単位行列による計量と標準的な向きを用います。\n",
    "計量を記号的な数式値の行列として型付けすることで、同じ定義パターンを\n",
    "成分が定数でない計量にも適用できます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "414d7009",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol x, y, z : MathValue\n",
    "\n",
    "def N : Integer := 3\n",
    "def params : Vector MathValue := [| x, y, z |]\n",
    "def g : Matrix MathValue :=\n",
    "  [| [| 1, 0, 0 |], [| 0, 1, 0 |], [| 0, 0, 1 |] |]\n",
    "\n",
    "def dx : DiffForm MathValue := [| 1, 0, 0 |]\n",
    "def dy : DiffForm MathValue := [| 0, 1, 0 |]\n",
    "def dz : DiffForm MathValue := [| 0, 0, 1 |]\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d349f99b",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## ホッジスターの定義\n",
    "\n",
    "$k$ 形式 $A$ に対し、レヴィ・チヴィタテンソルが相補的な添字を与え、\n",
    "逆計量が縮約する添字を上げ、$\\sqrt{|\\det g|}$ が体積密度を与えます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "644e647b",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def hodge (A : DiffForm MathValue) : DiffForm MathValue :=\n",
    "  let k := dfOrder A\n",
    "   in withSymbols [i, j]\n",
    "        sqrt (abs (M.det g_#_#)) *\n",
    "        foldl\n",
    "          (.)\n",
    "          ((ε' N k)_(i_1)..._(i_N) . A..._(j_1)..._(j_k))\n",
    "          (map (\\n -> g~(i_n)~(j_n)) [1..k])\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "76653814",
   "metadata": {},
   "source": [
    "1形式は、向き付けられた相補平面上の2形式へ写ります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "5118d224",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "hodge dx\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "566cca28",
   "metadata": {},
   "source": [
    "逆に、$xy$ 平面の向き付けられた面積形式は、その平面に垂直な1形式へ写ります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "adfb44f9",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1\\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "hodge (wedge dx dy)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "23226d48",
   "metadata": {},
   "source": [
    "二つの出力は、$\\star dx=dy\\wedge dz$ と\n",
    "$\\star(dx\\wedge dy)=dz$ を成分で表したものです。3次元ユークリッド計量では、\n",
    "1形式または2形式に $\\star$ を2回適用すると正符号で元に戻ります。\n",
    "計量の符号を変えるとこの符号も変化することを、ミンコフスキー空間のNotebookで確認します。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}