{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "1c5b0b35",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 偏微分の順序\n",
    "\n",
    "十分に滑らかな関数では、混合偏微分の順序を交換できます。ここでは\n",
    "クレローの定理を次の関数で確かめます。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "f(x,y,z)=\\frac{x^5y^3}{z},\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "各変数について1回ずつ、いくつかの異なる順序で偏微分します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2a7dd97d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 関数の定義\n",
    "\n",
    "型注釈を明示することで、Egisonカーネルが扱う記号計算の領域が\n",
    "明確になります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "e994e177",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol x, y, z : MathValue\n",
    "\n",
    "def f (x : MathValue) (y : MathValue) (z : MathValue) : MathValue :=\n",
    "  x^5 * y^3 / z\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "3f7c13e8",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$x^{5} y^{3} z^{-1}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "f x y z\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d03c8ce4",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 最初の混合偏微分\n",
    "\n",
    "$x$、$y$、$z$の順に偏微分すると、次の結果になるはずです。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\partial_z\\partial_y\\partial_x f\n",
    "  =-\\frac{15x^4y^2}{z^2}.\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "752fe2ba",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$-15 x^{4} y^{2} z^{-2}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "∂/∂ (∂/∂ (∂/∂ (f x y z) x) y) z\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ed4e02d6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 偏微分順序の入れ替え\n",
    "\n",
    "同じ計算を$z,y,x$および$y,z,x$の順でも行います。3つの出力が\n",
    "すべて等しいことは、領域$z\\ne0$におけるクレローの定理を\n",
    "計算として確かめたものです。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "ac6a3511",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$-15 x^{4} y^{2} z^{-2}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "∂/∂ (∂/∂ (∂/∂ (f x y z) z) y) x\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "id": "b2d326f9",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$-15 x^{4} y^{2} z^{-2}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "∂/∂ (∂/∂ (∂/∂ (f x y z) y) z) x\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "a49bb78e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "どの順序からも同じ有理式が得られます。この例から、Egisonでは\n",
    "偏微分の順序を補助関数名に埋め込むのではなく、微分する変数を\n",
    "明示したまま計算できることも分かります。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}