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  {
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   "id": "ce5d9df2",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 四次方程式を解く\n",
    "\n",
    "フェラーリの方法では、まず四次方程式を変数変換し、三次項のない次の形にします。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y^4+py^2+qy+r=0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "次に、多項式が二つの二次式に因数分解されるよう、レゾルベントの\n",
    "パラメーター $u$ を選びます。$u$ が満たす条件は、次の三次方程式です。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "u(p+u)^2-4ru-q^2=0.\n",
    "$$\n"
   ]
  },
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   "cell_type": "markdown",
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   "source": [
    "## 三つの構造的な場合分け\n",
    "\n",
    "複二次方程式（$q=0$）は、二次方程式を2回解くだけで解けます。一般の\n",
    "三次項のない四次方程式では、三次レゾルベントを使います。最後に、モニックな\n",
    "四次方程式の三次項は $x=y-b/4$ によって消去します。非モニックな多項式は、\n",
    "その前に正規化します。\n"
   ]
  },
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   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol x, y, u: MathValue\n",
    "\n",
    "def solveBiquadratic\n",
    "  (p : MathValue)\n",
    "  (q : MathValue)\n",
    "  : (MathValue, MathValue, MathValue, MathValue) :=\n",
    "  let (s1, s2) := qF' 1 p q\n",
    "      (r1, r2) := qF' 1 0 (- s1)\n",
    "      (r3, r4) := qF' 1 0 (- s2)\n",
    "   in (r1, r2, r3, r4)\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "## 複二次方程式への近道\n",
    "\n",
    "$x^4-5x^2+4=0$ では、$t=x^2$ と置換すると $(t-1)(t-4)=0$ が\n",
    "得られます。まず $t$ について解き、各値の平方根を正負ともに取れば、四つの解が\n",
    "すべて得られます。\n"
   ]
  },
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    {
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      "text/html": [
       "$(2, -2, 1, -1)$"
      ]
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    "solveBiquadratic (-5) 4\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "## フェラーリの方法の一般分岐\n",
    "\n",
    "すでに三次項がない次の多項式を考えます。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y^4-15y^2-10y+24\n",
    "  =(y+3)(y+2)(y-1)(y-4).\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "ここでは $(p,q,r)=(-15,-10,24)$ なので、実際に複二次方程式ではありません。\n",
    "このレゾルベントには、計算に都合のよい解 $u=1$ があります。\n"
   ]
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   "source": [
    "def p : MathValue := -15\n",
    "def q : MathValue := -10\n",
    "def r : MathValue := 24\n",
    "def chosenU : MathValue := 1\n",
    "\n",
    "def resolvent (u : MathValue) : MathValue :=\n",
    "  u * (p + u)^2 - 4 * r * u - q^2\n",
    "\n",
    "def factorPlus : MathValue :=\n",
    "  y^2 + (p + chosenU) / 2\n",
    "    + sqrt chosenU * (y - q / (2 * chosenU))\n",
    "\n",
    "def factorMinus : MathValue :=\n",
    "  y^2 + (p + chosenU) / 2\n",
    "    - sqrt chosenU * (y - q / (2 * chosenU))\n"
   ]
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      "text/html": [
       "$0$"
      ]
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    "resolvent chosenU\n"
   ]
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   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$(y^{2} + y - 2, y^{2} - y - 12)$"
      ]
     },
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    }
   ],
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    "(factorPlus, factorMinus)\n"
   ]
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    {
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       "$((1, -2), (4, -3))$"
      ]
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    "(qF factorPlus y, qF factorMinus y)\n"
   ]
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   "source": [
    "## 因数分解が成り立つ理由\n",
    "\n",
    "レゾルベントの解 $u$ を一つ選ぶと、三次項のない四次式を次の二つの式へ\n",
    "分解できます。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y^2+\\frac{p+u}{2}\n",
    "  \\pm\\sqrt{u}\\left(y-\\frac{q}{2u}\\right)=0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "二次方程式ソルバーを2回呼び出すことで、四つの解をすべて得られます。\n"
   ]
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   "source": [
    "## まとめ\n",
    "\n",
    "二つの実行経路はフェラーリの証明をそのまま反映しています。複二次方程式の場合は\n",
    "ただちに二次方程式へ還元し、一次項が0でない場合はレゾルベントの解を一つ使って\n",
    "二つの二次因子を取り出します。Egisonでは、厳密な因数分解と四つの解を記号のまま\n",
    "保てます。\n"
   ]
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