{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "597d65fd",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# $S^2\\times S^3$ 上のアインシュタイン計量\n",
    "\n",
    "「$S^2\\times S^3$ のリーマン曲率テンソル」という名前で公開されてきた\n",
    "Egisonのデモは、2つの丸い計量の単純なブロック直積ではなく、非対角な\n",
    "5次元計量を扱います。その目標は、次のアインシュタイン条件を確かめる\n",
    "ことです。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\operatorname{Ric}_{ij}=4g_{ij},\\qquad \\mathcal R=20.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "このNotebookでは、その計量を引き継ぎつつ、記号計算に必要な計算量を\n",
    "明示します。計量や接続の小さな成分は対話的な出力に適していますが、\n",
    "アインシュタイン条件の残差全体は、必要に応じて明示的に評価できるよう\n",
    "定義だけを用意します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3b2a5c7e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 座標と略記\n",
    "\n",
    "座標の順序を $x=(\\phi,\\theta,\\psi,y,\\alpha)$ とし、次の略記を導入します。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "p=1-y,\\quad u=a-y^2,\\quad\n",
    "v=a-3y^2+2y^3,\\quad q=a-2y+y^2.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "これらの因子によって、元の計量に繰り返し現れる構造が見やすくなり、\n",
    "座標領域の制約（$p u v\\ne0$）も明確になります。\n"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": 1,
   "id": "eb17d249",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol φ, θ, ψ, y, α, a: MathValue\n",
    "\n",
    "def x : Vector MathValue := [| φ, θ, ψ, y, α |]\n",
    "\n",
    "def p : MathValue := `(1 - y)\n",
    "def u : MathValue := `(a - y^2)\n",
    "def v : MathValue := `(a - 3 * y^2 + 2 * y^3)\n",
    "def q : MathValue := `(a - 2 * y + y^2)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "a1cae8df",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$((-y + 1), (-y^{2} + a), (2 y^{3} - 3 y^{2} + a), (y^{2} - 2 y + a))$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "(p, u, v, q)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "40c363a8",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 局所フレームと誘導計量\n",
    "\n",
    "$f=q/(6u)$とおきます。計量は、正規直交フレームを用いて次のように\n",
    "分解できます。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{split}\n",
    "ds^2={}&\\frac p6(d\\theta^2+\\sin^2\\theta\\,d\\phi^2)\n",
    "  +\\frac{p}{2v}dy^2\n",
    "  +\\frac{v}{9u}(d\\psi-\\cos\\theta\\,d\\phi)^2\\\\\n",
    "  &+\\frac{2u}{p}\n",
    "    \\bigl(d\\alpha+f(d\\psi-\\cos\\theta\\,d\\phi)\\bigr)^2.\n",
    "\\end{split}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "下の`e_i_j`の各行は、座標接ベクトル$e_i$をこの正規直交フレームで\n",
    "表したものです。丸い球面のNotebookと同じように、Egisonは接ベクトルの\n",
    "内積$g_{ij}=e_i\\mathbin{\\cdot}e_j$からすべての計量成分を構成します。\n",
    "$(1,3,5)$ブロックの結合は、$d\\psi-\\cos\\theta\\,d\\phi$が2か所に現れる\n",
    "ことから生成されます。\n"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": 3,
   "id": "b7f8fffe",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def f : MathValue := q / (6 * u)\n",
    "\n",
    "def e_i_j : Matrix MathValue :=\n",
    "  [| [| sqrt (p / 6) * sin θ\n",
    "       , 0\n",
    "       , -(sqrt (v / u) / 3) * cos θ\n",
    "       , 0\n",
    "       , -sqrt (2 * u / p) * f * cos θ |]\n",
    "   , [| 0, sqrt (p / 6), 0, 0, 0 |]\n",
    "   , [| 0, 0, sqrt (v / u) / 3, 0, sqrt (2 * u / p) * f |]\n",
    "   , [| 0, 0, 0, sqrt (p / (2 * v)), 0 |]\n",
    "   , [| 0, 0, 0, 0, sqrt (2 * u / p) |]\n",
    "   |]_i_j\n",
    "\n",
    "def g_i_j : Matrix MathValue :=\n",
    "  generateTensor (\\[i, j] -> V.* e_i_# e_j_#) [5, 5]\n"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": 4,
   "id": "97c43a04",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\frac{1}{6} (-y + 1)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "g_2_2\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "id": "c3b4ad22",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\frac{1}{2} (-y + 1) (2 y^{3} - 3 y^{2} + a)^{-1}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "g_4_4\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "id": "34a97d65",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$(\\frac{-1}{9} \\cos(θ) (-y^{2} + a)^{-1} (2 y^{3} - 3 y^{2} + a) + \\frac{-1}{18} \\cos(θ) (-y + 1)^{-1} (-y^{2} + a)^{-1} (y^{2} - 2 y + a)^{2}, \\frac{-1}{9} \\cos(θ) (-y^{2} + a)^{-1} (2 y^{3} - 3 y^{2} + a) + \\frac{-1}{18} \\cos(θ) (-y + 1)^{-1} (-y^{2} + a)^{-1} (y^{2} - 2 y + a)^{2}, \\frac{-1}{3} \\cos(θ) (-y + 1)^{-1} (y^{2} - 2 y + a), \\frac{-1}{3} \\cos(θ) (-y + 1)^{-1} (y^{2} - 2 y + a))$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "(g_1_3, g_3_1, g_1_5, g_5_1)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2a675a89",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 接続と曲率の計算手順\n",
    "\n",
    "第一種クリストッフェル記号には、上で示した計量の微分だけが必要です。\n",
    "添字を上げる段階で、結合したブロックの逆行列が現れます。それでも、\n",
    "リーマンテンソルとリッチテンソルの定義は低次元の例と同じです。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "R^i{}_{jkl}=\\partial_k\\Gamma^i{}_{jl}-\\partial_l\\Gamma^i{}_{jk}\n",
    "  +\\Gamma^m{}_{jl}\\Gamma^i{}_{mk}-\\Gamma^m{}_{jk}\\Gamma^i{}_{ml},\n",
    "\\qquad\n",
    "\\operatorname{Ric}_{ij}=R^m{}_{imj}.\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "id": "a5dfe69c",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#\n",
    "\n",
    "def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=\n",
    "  (1 / 2) * (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)\n",
    "\n",
    "def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]\n",
    "  g~i~m . Γ_m_j_k\n",
    "\n",
    "def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]\n",
    "  ∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l\n",
    "    + Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l\n",
    "\n",
    "def Ric_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [m]\n",
    "  sum (contract R~m_i_m_j)\n",
    "\n",
    "def einsteinResidual_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [i, j]\n",
    "  expandAll' (Ric_i_j -' 4 *' g_i_j)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "id": "5f547b8f",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\frac{-1}{12}$"
      ]
     },
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    }
   ],
   "source": [
    "Γ_2_2_4\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 9,
   "id": "f5b5e2a0",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\frac{-1}{12}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "Γ_2_4_2\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6ac949ef",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 結果の解釈と評価方針\n",
    "\n",
    "例として取り出した2つの第一種クリストッフェル記号は、単純な成分\n",
    "$g_{22}=p/6$ から得られ、期待される対称性\n",
    "$\\Gamma_{ijk}=\\Gamma_{ikj}$ を示します。完全な検証を表すのが\n",
    "`einsteinResidual_#_#` です。数学的にはこれは零行列となるため、\n",
    "スカラー曲率は $5\\cdot4=20$ です。\n",
    "\n",
    "残差の25成分をすべて展開すると、結合ブロックの逆行列と多数の有理式の\n",
    "簡約が必要になります。そのため、意図的に自動実行される出力セルには\n",
    "していません。この恒等式を対話的に調べるときは、\n",
    "`einsteinResidual_2_2` のような個々の成分を評価してください。\n"
   ]
  }
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