{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "869503fe", "metadata": {}, "source": [ "# 3次元超球面 $S^3$ のリーマン曲率テンソル\n", "\n", "半径 $r$ の丸い3次元超球面は、一定の断面曲率 $1/r^2$ をもちます。\n", "このNotebookでは、添字付きのEgison記法を使って、その計量、\n", "レヴィ・チヴィタ接続、リーマンテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率を\n", "順に構成します。\n", "\n", "ここでは次の符号規約を採用します。\n", "\n", "$$\n", "R^i{}_{jkl}\n", " = \\partial_k\\Gamma^i{}_{jl}\n", " - \\partial_l\\Gamma^i{}_{jk}\n", " + \\Gamma^m{}_{jl}\\Gamma^i{}_{mk}\n", " - \\Gamma^m{}_{jk}\\Gamma^i{}_{ml}.\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "06b4bec5", "metadata": {}, "source": [ "## 超球面座標チャート\n", "\n", "座標を $x=(\\theta, \\phi, \\psi)$ とします。標準埋め込み\n", "$X:S^3\\hookrightarrow\\mathbb{R}^4$ は、\n", "$X_1=r\\cos \\theta$、$X_2=r\\sin \\theta\\cos \\phi$、……のように、\n", "正弦を順次掛け合わせる形で構成されます。これにより\n", "$X\\mathbin{\\cdot}X=r^2$ が明らかになります。\n", "\n", "このチャートは通常の座標極を含みません。そこで現れる特異性は\n", "超球面座標に由来するものであり、丸い超球面の幾何そのものの\n", "特異性ではありません。\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "id": "1f32097b", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "declare symbol r, θ, φ, ψ: MathValue\n", "\n", "def x : Vector MathValue := [| θ, φ, ψ |]\n", "\n", "def X : Vector MathValue := [| r * cos θ, r * sin θ * cos φ, r * sin θ * sin φ * cos ψ, r * sin θ * sin φ * sin ψ |]\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "id": "6b0530bf", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$\\begin{pmatrix} \\cos(θ) r \\\\ \\cos(φ) \\sin(θ) r \\\\ \\cos(ψ) \\sin(θ) \\sin(φ) r \\\\ \\sin(θ) \\sin(φ) \\sin(ψ) r\\\\ \\end{pmatrix}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "X\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "76ea3fb4", "metadata": {}, "source": [ "## 計量と逆計量\n", "\n", "埋め込みを微分すると、直交する座標基底が得られます。その線素は\n", "\n", "$$\n", "ds^2=r^2\\left(d\\theta^2 + \\sin^2 \\theta d\\phi^2 + \\sin^2 \\theta \\sin^2 \\phi d\\psi^2\\right).\n", "$$\n", "\n", "Egisonは埋め込みを微分して座標接ベクトルを求め、それらの内積として\n", "各成分 $g_{ij}=\\partial_iX\\mathbin{\\cdot}\\partial_jX$ を構成します。\n", "逆計量は、この誘導計量から計算します。\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "id": "0ee2bcf6", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def e_i_j : Matrix MathValue := ∂/∂ X_j x~i\n", "\n", "def g_i_j : Matrix MathValue :=\n", " generateTensor (\\[a, b] -> V.* e_a_# e_b_#) [3, 3]\n", "\n", "def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 4, "id": "e0b564e7", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$\\begin{pmatrix} r^{2} & 0 & 0 \\\\ 0 & \\sin(θ)^{2} r^{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & \\sin(θ)^{2} \\sin(φ)^{2} r^{2} \\\\ \\end{pmatrix}_{\\#\\#}^{\\;\\;}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "g_#_#\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 5, "id": "f8287600", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$\\begin{pmatrix} r^{-2} & 0 & 0 \\\\ 0 & \\sin(θ)^{-2} r^{-2} & 0 \\\\ 0 & 0 & \\sin(θ)^{-2} \\sin(φ)^{-2} r^{-2} \\\\ \\end{pmatrix}_{\\;\\;}^{\\#\\#}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "g~#~#\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9d09a29e", "metadata": {}, "source": [ "## レヴィ・チヴィタ接続\n", "\n", "第一種および第二種クリストッフェル記号は\n", "\n", "$$\n", "\\Gamma_{ijk}=\\frac12\n", "(\\partial_jg_{ik}+\\partial_kg_{ij}-\\partial_ig_{jk}),\n", "\\qquad\n", "\\Gamma^i{}_{jk}=g^{im}\\Gamma_{mjk}.\n", "$$\n", "\n", "重複する記号添字は `.` によって縮約されます。`withSymbols` ブロックは、\n", "ダミー添字のスコープを定義の内部に限定します。\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 6, "id": "6dc1904b", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=\n", " (1 / 2) * (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)\n", "\n", "def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]\n", " g~i~m . Γ_m_j_k\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 7, "id": "444f3c24", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$-\\cos(θ) \\sin(θ)$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "Γ~1_2_2\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 8, "id": "649367b2", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$\\cos(θ) \\sin(θ)^{-1}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "Γ~2_1_2\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "82554fac", "metadata": {}, "source": [ "## リーマンテンソル\n", "\n", "以下の定義は、冒頭で示した符号規約をそのまま転記したものです。\n", "2つの出力セルは、テンソルの最初の2つのスロットを入れ替えながら、\n", "同じ座標2平面上の成分を取り出しています。両者に異なる座標因子が\n", "現れるのは、座標基底が正規直交基底ではないことから予想される通りです。\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 9, "id": "cbf57a82", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]\n", " ∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l\n", " + Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 10, "id": "36256838", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$\\sin(θ)^{2}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "R~1_2_1_2\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 11, "id": "2a8d9700", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$-1$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "R~2_1_1_2\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e832d1aa", "metadata": {}, "source": [ "## リッチ曲率とスカラー曲率\n", "\n", "リーマンテンソルの第1添字と第3添字を縮約すると\n", "\n", "$$\n", "\\operatorname{Ric}_{ij}=R^m{}_{imj},\n", "\\qquad\n", "\\mathcal{R}=g^{ij}\\operatorname{Ric}_{ij}.\n", "$$\n", "\n", "丸い $S^3$ に対して、座標に依存しない形では\n", "\n", "$$\n", "\\operatorname{Ric}=\\frac{2}{r^2}g,\n", "\\qquad\n", "\\mathcal{R}=\\frac{6}{r^2}.\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 12, "id": "f105a299", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def Ric_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [m]\n", " sum (contract R~m_i_m_j)\n", "\n", "def scalarCurvature : MathValue := withSymbols [i, j]\n", " g~i~j . Ric_i_j\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 13, "id": "40d3306e", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$\\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 \\sin(θ)^{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\sin(θ)^{2} \\sin(φ)^{2} \\\\ \\end{pmatrix}_{\\#\\#}^{\\;\\;}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "Ric_#_#\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 14, "id": "1d802baf", "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/html": [ "$6 r^{-2}$" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "scalarCurvature\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0b3e8898", "metadata": {}, "source": [ "## 結果の解釈\n", "\n", "取り出した各成分は座標に依存しますが、それらを縮約すると不変な主張が\n", "得られます。すなわち、すべての接2平面の断面曲率は $1/r^2$、計量は\n", "アインシュタイン計量、スカラー曲率は $6/r^2$ です。\n", "$\\sin \\theta$ のような因子がチャートの極で消えるのは、そこで座標枠が\n", "退化するためです。曲率そのものは滑らかなままです。\n" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Egison", "language": "egison", "name": "egison" }, "language_info": { "codemirror_mode": "egison", "file_extension": ".egi", "mimetype": "text/x-egison", "name": "egison" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }