{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2eaf7e55",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 複素数の乗法から導く三角関数の恒等式\n",
    "\n",
    "オイラーの公式を使うと、余弦と正弦を一つの代数的な式にまとめられます。\n",
    "\n",
    "$$u(\\alpha)=\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha=e^{i\\alpha}.$$\n",
    "\n",
    "これらの式を掛け合わせ、実部と虚部の係数を読むことで、よく知られた\n",
    "いくつかの恒等式を導けます。一度の多項式計算を行い、その係数を\n",
    "解釈するという、記号計算に有用なパターンです。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ea90c735",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 単位円上の式の記号表現\n",
    "\n",
    "$\\alpha$と$\\beta$は記号のまま扱います。式`uMinusBeta`は、\n",
    "簡約器に正弦と余弦の偶奇性を認識させることなく、\n",
    "$u(-\\beta)=\\cos\\beta-i\\sin\\beta$を表します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "c0c532cc",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol α, β : MathValue\n",
    "\n",
    "def uAlpha : MathValue := cos α + i * sin α\n",
    "def uBeta : MathValue := cos β + i * sin β\n",
    "def uMinusBeta : MathValue := cos β - i * sin β\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "9864f158",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 加法定理\n",
    "\n",
    "$u(\\alpha)u(\\beta)$における$1$と$i$の係数は、それぞれ\n",
    "$\\cos(\\alpha+\\beta)$と$\\sin(\\alpha+\\beta)$です。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "e9a733f6",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\{-\\sin(α) \\sin(β) + \\cos(α) \\cos(β), \\cos(β) \\sin(α) + \\cos(α) \\sin(β)\\}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "coefficients (uAlpha * uBeta) i\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "c30677bd",
   "metadata": {},
   "source": [
    "返された2つの係数を読むと、次の式が得られます。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\cos(\\alpha+\\beta)=\\cos\\alpha\\cos\\beta-\\sin\\alpha\\sin\\beta,\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\sin(\\alpha+\\beta)=\\sin\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sin\\beta.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "$u(\\alpha)u(\\beta)$と$u(\\alpha)u(-\\beta)$を加えると、積和公式に\n",
    "現れる組合せだけを取り出せます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "a02aa852",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\{2 \\cos(α) \\cos(β), 2 \\cos(β) \\sin(α)\\}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "coefficients (uAlpha * uBeta + uAlpha * uMinusBeta) i\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "90fe2b1c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "結果の実部は$2\\cos\\alpha\\cos\\beta$、虚部は\n",
    "$2\\sin\\alpha\\cos\\beta$を表します。2で割り、2つの積を\n",
    "$u(\\alpha\\pm\\beta)$で置き換えると、標準的な積和公式が得られます。\n",
    "\n",
    "## 三倍角の公式\n",
    "\n",
    "単位円上の式を3乗すると、二項展開のすべての項を一度に計算できます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "4852b62f",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\{\\cos(α)^{3} - 3 \\cos(α) \\sin(α)^{2}, -\\sin(α)^{3} + 3 \\cos(α)^{2} \\sin(α)\\}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "coefficients (uAlpha ^ 3) i\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "09c68e68",
   "metadata": {},
   "source": [
    "実部と虚部はそれぞれ\n",
    "\n",
    "$$\\cos^3\\alpha-3\\cos\\alpha\\sin^2\\alpha,$$\n",
    "$$3\\cos^2\\alpha\\sin\\alpha-\\sin^3\\alpha.$$\n",
    "\n",
    "第1式に$\\sin^2\\alpha=1-\\cos^2\\alpha$を、第2式に\n",
    "$\\cos^2\\alpha=1-\\sin^2\\alpha$を用いると、\n",
    "\n",
    "$$\\cos(3\\alpha)=4\\cos^3\\alpha-3\\cos\\alpha,$$\n",
    "$$\\sin(3\\alpha)=3\\sin\\alpha-4\\sin^3\\alpha.$$\n",
    "\n",
    "重要なのは、Egisonの係数抽出によって、あらかじめ与えた恒等式を\n",
    "単に検算するのではなく、複素数の乗法から式を見通しよく\n",
    "導出できることです。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}