{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ce1b1289",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# テンソル微分によるベクトル解析\n",
    "\n",
    "勾配、ヤコビ行列、発散、回転は、同じ偏微分を異なる形に組み合わせた\n",
    "ものです。Egisonのテンソル記法を使うと、その組み合わせを明示しながら、\n",
    "記号式を読みやすく保てます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2aa3e747",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## スカラー場とベクトル場\n",
    "\n",
    "$\\mathbb R^3$ 上の多項式スカラー場とベクトル場を使います。これにより、\n",
    "すべての微分を記号的に保ちつつ、結果を容易に解釈できる形にします。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "3cd7f5c8",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol x, y, z : MathValue\n",
    "\n",
    "def coords : Vector MathValue := [| x, y, z |]\n",
    "def f : MathValue := x ^ 2 * y + y ^ 2 * z + z ^ 2 * x\n",
    "def A : Vector MathValue := [| x * y, y * z, z * x |]\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d1330125",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 勾配\n",
    "\n",
    "スカラーを座標ベクトルで微分すると、1階偏微分を成分とする共変ベクトルが\n",
    "得られます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "2430d10f",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} z^{2} + 2 x y \\\\ 2 y z + x^{2} \\\\ y^{2} + 2 x z\\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "∂/∂ f coords\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "aef47cfc",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## ヤコビ行列\n",
    "\n",
    "微分演算子のベクトルをベクトル場に作用させると、完全なヤコビ行列が\n",
    "得られます。各行はそれぞれ $x$、$y$、$z$ による微分に対応します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "4e9a48d3",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} y & 0 & z \\\\ x & z & 0 \\\\ 0 & y & x \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "[| (\\e -> ∂/∂ e x), (\\e -> ∂/∂ e y), (\\e -> ∂/∂ e z) |] A\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ae4a3e89",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 発散\n",
    "\n",
    "発散は、微分の添字とベクトル成分の添字を縮約したものです。\n",
    "\n",
    "$$\\nabla\\cdot A=\\partial_x A_x+\\partial_y A_y+\\partial_z A_z.$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "594092a2",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$z + y + x$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "div A coords\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6524bb7f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 回転\n",
    "\n",
    "回転は、ヤコビ行列をレヴィ・チヴィタテンソルと縮約したもので、\n",
    "$(\\nabla\\times A)_i=\\varepsilon_{ijk}\\partial_jA_k$ となります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "id": "596409cc",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} -y \\\\ -z \\\\ -x\\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "rot A coords\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6e7a53a2",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 局所的な級数としての見方\n",
    "\n",
    "テンソル計算と級数展開は、同じ記号微分の仕組みを共有しています。\n",
    "$f$ を $x$ について0のまわりで展開すると、$y$ と $z$ は\n",
    "パラメーターとして扱われます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "id": "9dd62aed",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\{y^{2} z, x z^{2}, x^{2} y, 0\\}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "take 4 (taylorExpansion f x 0)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "62bed616",
   "metadata": {},
   "source": [
    "勾配はすべての1階微分を保持し、発散はヤコビ行列のトレースを取り出し、\n",
    "回転はその反対称部分を取り出します。したがって、これらは互いに無関係な\n",
    "演算子ではありません。1つの微分テンソルから、縮約や対称性を異なる形で\n",
    "取り出したものです。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}