{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "8b315f4d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# ウェッジ積と反対称化\n",
    "\n",
    "微分形式の積には、交代的なウェッジ積を用います。\n",
    "1形式 $a$ と $b$ に対して、\n",
    "\n",
    "$$(a\\wedge b)_{ij}=\\frac12(a_i b_j-a_j b_i),$$\n",
    "\n",
    "となるため、$a\\wedge b=-b\\wedge a$ および $a\\wedge a=0$ が成り立ちます。\n",
    "Egisonでは、まず添字付きテンソル積を構成し、続いて `dfNormalize` により\n",
    "その交代化された微分形式としての表現を取り出します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "9c777e4a",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## $\\mathbb R^3$ の座標1形式\n",
    "\n",
    "順序付き基底 $(dx,dy,dz)$ の各基底1形式をベクトルとして表します。\n",
    "幾何学的な設定を明確にするため、空間の次元と座標も明示します。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "f0bc9356",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "declare symbol x, y, z : MathValue\n",
    "\n",
    "def N : Integer := 3\n",
    "def params : Vector MathValue := [| x, y, z |]\n",
    "\n",
    "def dx : DiffForm Integer := [| 1, 0, 0 |]\n",
    "def dy : DiffForm Integer := [| 0, 1, 0 |]\n",
    "def dz : DiffForm Integer := [| 0, 0, 1 |]\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "5a872c8c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 正規化前の添字付き積\n",
    "\n",
    "正規化前のウェッジ積には、テンソル演算によって生成された順序付き成分が\n",
    "そのまま残ります。正規化の前にこの値を見ることで、内部表現の規約を確認できます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "id": "5d3cef2e",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "dx ∧ dy\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "92429ee5",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 交代2形式\n",
    "\n",
    "正規化すると、この成分は反対称行列全体に分配されます。\n",
    "$(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分は互いに逆符号となり、規約による係数 $1/2$ が付きます。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "id": "3eba21e0",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & \\frac{1}{2} & 0 \\\\ \\frac{-1}{2} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "dfNormalize (dx ∧ dy)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bf2b9fb6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "反対称化は、同じ基底方向の重複も取り除きます。中間的な添字付き積\n",
    "$dz\\wedge dz$ には対角成分がありますが、微分形式として正規化するとゼロになります。\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "id": "3b03c11a",
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "dfNormalize (dz ∧ dz)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "c0e171c2",
   "metadata": {},
   "source": [
    "したがって `dfNormalize` は単なる表示上の処理ではなく、添字付きテンソルを\n",
    "その交代部分へ射影する操作です。正規化後のテンソルは、\n",
    "$dx\\wedge dy=-dy\\wedge dx$ および $dz\\wedge dz=0$ という幾何学的恒等式を満たします。\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Egison",
   "language": "egison",
   "name": "egison"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "egison",
   "file_extension": ".egi",
   "mimetype": "text/x-egison",
   "name": "egison"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}