{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 2. Feladatsor\n", "\n", "\n", "\n", "
\n", "### Normált terek\n", "1.feladat. Igazoljuk, ha $\\left\\| \\cdot \\right\\|$ norma az $X$ vektortéren, akkor a $\\rho:X\\times X\\to\\mathbb{R}$ metrikát definiál, ha $\\rho(x,y)=\\left\\| x-y \\right\\|$.
\n", "\n", "2.feladat. Mutassuk meg, hogy az $(X,\\left\\| \\cdot \\right\\|)$ normált tér:
\n", "\n", "(a) $X=\\mathbb{K}^n,\\ \\left\\| x \\right\\|_{1}=\\sum\\limits_{k=1}^{n}{|x_{k}|}$
\n", "(b) $X=\\mathbb{K}^n,\\ \\left\\| x \\right\\|_{2}=\\left(\\sum\\limits_{k=1}^{n}{|x_{k}|^2}\\right)^{1/2}$
\n", "(c) $X=\\mathbb{K}^n,\\ \\left\\| x \\right\\|_{\\infty}=\\max\\limits_{1\\leq k \\leq n}{|x_{k}|}$
\n", "(d) $X=C[a,b],\\ \\left\\| f \\right\\|_{\\infty}=\\max\\limits_{x\\in[a,b]} {|f(x)|}$
\n", "(e) $X=C[a,b],\\ \\left\\| f \\right\\|_{1}=\\int\\limits_{a}^{b}{|f(x)|dx}$
\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 7, "metadata": { "collapsed": false }, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "a =\n", "\n", " -1 2 3 -4 11 0 -542\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 542.1393\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 563\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 542.1393\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 542\n" ] } ], "source": [ "% Az egyes vektornormák MATLAB-ban\n", "a=[-1 2 3 -4 11 0 -542]\n", "norm(a)\n", "norm(a,1)\n", "norm(a,2)\n", "norm(a,inf)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "3.feladat. Igazoljuk, hogy normált térben minden $x,y\\in X$ esetén $|\\left\\| x \\right\\|-\\left\\| y \\right\\||\\leq \\left\\| x-y \\right\\|$.
\n", "\n", "4.feladat. Mutassuk meg, hogy az alábbi normák ekvivalensek $\\mathbb{R}^n$-ben:
\n", "(a) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{1}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$
\n", "(b) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{2}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$
\n", "(c) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{1}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{2}$
\n", "(d) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{5}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$
\n", " \n", "5.feladat. Legyen $X$ vektortér. Igazoljuk, ha $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{a}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{b}$ és $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{b}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{c}$ ekvivalens normák $X$-en, akkor $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{a}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{c}$.
\n", "\n", "6.feladat. (Beadható házi feladat) Legyen $x\\in\\mathbb{R}^n$ tetszõleges vektor. Mutassuk meg, hogy $\\displaystyle\\lim_{p\\to\\infty}\\left\\| x \\right\\|_{p}=\\left\\| x \\right\\|_{\\infty}$.\n", "\n", "### Banach-fixponttétel és alkalmazásai\n", "\n", "
\n", "7.feladat. Lássuk be, hogy ha $f:[a,b]\\to[a,b],\\ f\\in D[a,b]$ és $|f^{'}|<1$, akkor $f$ kontrakció.
\n", "\n", "8.feladat. Igazoljuk, hogy a norma folytonos függvény, azaz ha $x_n\\to x$, akkor $\\left\\| x_n \\right\\|\\to\\left\\| x \\right\\|$.
\n", "\n", "9.feladat. Legyen $X$ Banach tér. Bizonyítsuk be, ha $\\sum{\\left\\| x_n \\right\\|}$ konervgens, akkor $\\sum{x_n}$ is konvergens.
\n", "\n", "10.feladat. Ellenõrizzük, hogy $f$ kontrakció-e a megadott intervallumon.
\n", "(a) $f(x)=\\displaystyle\\frac{1}{2}\\Big(x+\\frac{2}{x}\\Big),\\ x\\in[1,2]$
\n", "(b) $f(x)=x^2,\\ x\\in[0,1]$
\n", "(c) $f(x)=\\displaystyle\\sqrt{x+2},\\ x\\in[0,2]$
\n", "(d) $f(x)=\\displaystyle\\frac{x+2}{x+1},\\ x\\in[1,2]$
\n", "(e) $f(x)=0.9\\cos(x),\\ x\\in[0,1]$
\n", "\n", "11.feladat. Alkalmazható-e az elõzõ feladat adott $f$ leképezéseire a Banach fixponttétel? Amennyiben igen, akkor adott $x_0$ pontból hány iterációs lépést kell megtennünk ahhoz, hogy $10^{-5}$ nagyságú hibával határozzuk meg az egyenlet megoldását?
\n", "\n", "(a) $x_0=1$
\n", "(b) $x_0=0$
\n", "(c) $x_0=0$
\n", "(d) $x_0=1$
\n", "(e) $x_0=1$
\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 8, "metadata": { "collapsed": false }, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "n =\n", "\n", " 16.6096\n", "\n", " 17\n" ] } ], "source": [ "% Az elozo feladat (a) példája\n", "tol=1e-5;\n", "x_0=1;\n", "q=0.5; % Kontraktivitási állandó\n", "x_1=1/2*(x_0+2/x_0); % Egyszerű iteráció alakja\n", "n=log(((1-q)*tol)/(abs(x_1-x_0)))/log(q) % Lépések száma\n", "disp(ceil(n)) % Egész lépések száma" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "\n", "### Mátrixnormák\n", "\n", "
\n", "12.feladat. Mutassuk meg, hogy egy vektornorma által indukált mátrixnorma valóban mátrixnorma.
\n", "\n", "13.feladat. Igazoljuk a szubmultiplikatív tulajdonságot, azaz a $\\left\\| AB \\right\\| \\leq \\left\\| A \\right\\|\\cdot\\left\\| B \\right\\|$ tulajdonságot.
\n", "\n", "14.feladat.(Beadható) Bizonyítsuk be, hogy az $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{1}$ és $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$ vektornormák által indukált mátrixnorma kiszámítható a mátrix elemeinek a segítségével az alábbi módon:
\n", "(a) $\\left\\| A \\right\\|_{1}=\\displaystyle\\max_{1\\leq j\\leq n}\\sum_{i=1}^n{|a_{ij}|}$
\n", "(b) $\\left\\| A \\right\\|_{\\infty}=\\displaystyle\\max_{1\\leq i\\leq n}\\sum_{i=j}^n{|a_{ij}|}$
\n", "\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 5, "metadata": { "collapsed": false }, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "A =\n", "\n", " -2 4\n", " 11 -33\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 37\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 44\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 35.0714\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 35.0657\n" ] } ], "source": [ "% Indukált mátrixnormák\n", "A=[-2 4; 11 -33]\n", "norm(A,1)\n", "norm(A,inf)\n", "norm(A,'fro')\n", "norm(A,2)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "15.feladat. Mátrixnormát definiálnak-e az alábbi $\\mathbb{R}^{n\\times n}\\to\\mathbb{R}$ függvények?
\n", "\n", "(a) $\\displaystyle\\sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|}$
\n", "(b) $\\displaystyle\\max_{1\\leq i,j\\leq n}{|a_{ij}|}$
\n", "\n", "16.feladat. Kielégítik-e a szubmultiplikatív tulajdonságot az alábbi mátrixnormák?
\n", "\n", "(a) $\\displaystyle\\sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|}$
\n", "(b) $\\displaystyle\\left(\\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|^2\\right)^{1/2}$
\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 10, "metadata": { "collapsed": false }, "outputs": [], "source": [ "A=[-1 2 3 0; -11 22 0 2.67; 1 -8 5.5 0; 9 8 0 11];\n", "norm(A,2);\n", "norm(A,'fro');" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "collapsed": true }, "source": [ "
\n", "17.feladat. Adjunk példát olyan nemnulla mátrixra, melynek a spektrálsugara nulla.
\n", "\n", "18.feladat. Legyen $A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}$ szimmetrikus mátrix. Igazoljuk, hogy $\\rho(A)=\\left\\| A \\right\\|_2$.
\n", "\n", "19.feladat. Igazoljuk, hogy tetszõleges indukált mátrixnormára érvényes a $\\rho(A)\\leq\\left\\| A \\right\\|$ összefüggés.
\n", "\n", "20.feladat. Számítsuk ki az alábbi mátrixok $\\left\\| A \\right\\|_1,\\ \\left\\| A \\right\\|_2,\\ \\left\\| A \\right\\|_F$ és $\\left\\| A \\right\\|_{\\infty}$ normáit. Adjunk meg olyan vektorokat, amelyekre az $\\left\\| Ax \\right\\|_1=\\left\\| A \\right\\|_1\\cdot\\left\\| x \\right\\|_1$ és $\\left\\| Ax \\right\\|_{\\infty}=\\left\\| A \\right\\|_{\\infty}\\cdot\\left\\| x \\right\\|_{\\infty}$ összefüggések igazak.
\n", "\n", "(a) $\\left(\n", " \\begin{array}{cc}\n", " 0 & 2 \\\\\n", " -1 & 1\\end{array} \\right)$
\n", "(b) $\\left(\n", " \\begin{array}{cc}\n", " 3 & 4 \\\\\n", " 0 & 0\\end{array} \\right)$
" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 4, "metadata": { "collapsed": false }, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "A =\n", "\n", " 0 2\n", " -1 1\n", "\n", "\n", "B =\n", "\n", " 1 -1\n", " -1 5\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 5.2361\n" ] } ], "source": [ "A=[0 2; -1 1]\n", "B=A'*A\n", "norm(B,2)\n", "rats(eig(A'*A)); % rats parancs veszelyere irracionalis esetben felhivni a figyelmet" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "\n", "### Kondíciószám\n", "\n", "
\n", "Definíció: $\\mathrm{cond}_p(A)=||A^{-1}||_p\\cdot||A||_p$
\n", "\n", "Rosszul kondícionáltság: $$\\mathrm{cond}(A)\\frac{||\\delta b||}{||b||}\\geq 1\\ \\mathrm{avagy}\\ \\mathrm{cond}(A)>>1$$\n", "\n", "21.feladat. Számítsuk ki az \n", "$$A=\\left(\n", " \\begin{array}{cc}\n", " 2 & 3 \\\\\n", " 1 & 2\\end{array} \\right)\n", "$$\n", "\n", "mátrix különböző normákhoz tartozó kondíciószámait: $\\mathrm{cond}_1(A),\\ \\mathrm{cond}_2(A),\\ \\mathrm{cond}_F(A)$ és $\\mathrm{cond}_{\\infty}(A)$.
\n", "\n", "22.feladat. Az $A$ mátrix sajátértékeinek segítségével adjunk alsóbecslést annak kondíciószámára.
\n", "\n", "23.feladat. Megoldottuk az 1.feladatsor 1.feladatát (az eredeti és a hibával terhelt rendszert). Adjunk magyarázatot a kapott eredményekre." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 6, "metadata": { "collapsed": false }, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "ans =\n", "\n", " 25\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 17.9443\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 25\n", "\n", "\n", "ans =\n", "\n", " 18.0000\n" ] } ], "source": [ "% Kondíciószámok MATLAB-ban\n", "A=[2 3; 1 2];\n", "cond(A,1)\n", "cond(A,2)\n", "cond(A,inf)\n", "cond(A,'fro')\n", "%norm(A,2)*norm(inv(A),2)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": { "collapsed": true }, "outputs": [], "source": [] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Matlab", "language": "matlab", "name": "matlab" }, "language_info": { "codemirror_mode": "octave", "file_extension": ".m", "help_links": [ { "text": "MetaKernel Magics", "url": "https://github.com/calysto/metakernel/blob/master/metakernel/magics/README.md" } ], "mimetype": "text/x-octave", "name": "matlab", "version": "0.11.0" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 0 }