{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 2. Feladatsor\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"
\n",
"### Normált terek\n",
"1.feladat. Igazoljuk, ha $\\left\\| \\cdot \\right\\|$ norma az $X$ vektortéren, akkor a $\\rho:X\\times X\\to\\mathbb{R}$ metrikát definiál, ha $\\rho(x,y)=\\left\\| x-y \\right\\|$.
\n",
"\n",
"2.feladat. Mutassuk meg, hogy az $(X,\\left\\| \\cdot \\right\\|)$ normált tér:
\n",
"\n",
"(a) $X=\\mathbb{K}^n,\\ \\left\\| x \\right\\|_{1}=\\sum\\limits_{k=1}^{n}{|x_{k}|}$
\n",
"(b) $X=\\mathbb{K}^n,\\ \\left\\| x \\right\\|_{2}=\\left(\\sum\\limits_{k=1}^{n}{|x_{k}|^2}\\right)^{1/2}$
\n",
"(c) $X=\\mathbb{K}^n,\\ \\left\\| x \\right\\|_{\\infty}=\\max\\limits_{1\\leq k \\leq n}{|x_{k}|}$
\n",
"(d) $X=C[a,b],\\ \\left\\| f \\right\\|_{\\infty}=\\max\\limits_{x\\in[a,b]} {|f(x)|}$
\n",
"(e) $X=C[a,b],\\ \\left\\| f \\right\\|_{1}=\\int\\limits_{a}^{b}{|f(x)|dx}$
\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 7,
"metadata": {
"collapsed": false
},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"a =\n",
"\n",
" -1 2 3 -4 11 0 -542\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 542.1393\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 563\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 542.1393\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 542\n"
]
}
],
"source": [
"% Az egyes vektornormák MATLAB-ban\n",
"a=[-1 2 3 -4 11 0 -542]\n",
"norm(a)\n",
"norm(a,1)\n",
"norm(a,2)\n",
"norm(a,inf)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
"3.feladat. Igazoljuk, hogy normált térben minden $x,y\\in X$ esetén $|\\left\\| x \\right\\|-\\left\\| y \\right\\||\\leq \\left\\| x-y \\right\\|$.
\n",
"\n",
"4.feladat. Mutassuk meg, hogy az alábbi normák ekvivalensek $\\mathbb{R}^n$-ben:
\n",
"(a) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{1}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$
\n",
"(b) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{2}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$
\n",
"(c) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{1}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{2}$
\n",
"(d) $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{5}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$
\n",
" \n",
"5.feladat. Legyen $X$ vektortér. Igazoljuk, ha $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{a}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{b}$ és $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{b}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{c}$ ekvivalens normák $X$-en, akkor $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{a}\\cong\\left\\| \\cdot \\right\\|_{c}$.
\n",
"\n",
"6.feladat. (Beadható házi feladat) Legyen $x\\in\\mathbb{R}^n$ tetszõleges vektor. Mutassuk meg, hogy $\\displaystyle\\lim_{p\\to\\infty}\\left\\| x \\right\\|_{p}=\\left\\| x \\right\\|_{\\infty}$.\n",
"\n",
"### Banach-fixponttétel és alkalmazásai\n",
"\n",
"
\n",
"7.feladat. Lássuk be, hogy ha $f:[a,b]\\to[a,b],\\ f\\in D[a,b]$ és $|f^{'}|<1$, akkor $f$ kontrakció.
\n",
"\n",
"8.feladat. Igazoljuk, hogy a norma folytonos függvény, azaz ha $x_n\\to x$, akkor $\\left\\| x_n \\right\\|\\to\\left\\| x \\right\\|$.
\n",
"\n",
"9.feladat. Legyen $X$ Banach tér. Bizonyítsuk be, ha $\\sum{\\left\\| x_n \\right\\|}$ konervgens, akkor $\\sum{x_n}$ is konvergens.
\n",
"\n",
"10.feladat. Ellenõrizzük, hogy $f$ kontrakció-e a megadott intervallumon.
\n",
"(a) $f(x)=\\displaystyle\\frac{1}{2}\\Big(x+\\frac{2}{x}\\Big),\\ x\\in[1,2]$
\n",
"(b) $f(x)=x^2,\\ x\\in[0,1]$
\n",
"(c) $f(x)=\\displaystyle\\sqrt{x+2},\\ x\\in[0,2]$
\n",
"(d) $f(x)=\\displaystyle\\frac{x+2}{x+1},\\ x\\in[1,2]$
\n",
"(e) $f(x)=0.9\\cos(x),\\ x\\in[0,1]$
\n",
"\n",
"11.feladat. Alkalmazható-e az elõzõ feladat adott $f$ leképezéseire a Banach fixponttétel? Amennyiben igen, akkor adott $x_0$ pontból hány iterációs lépést kell megtennünk ahhoz, hogy $10^{-5}$ nagyságú hibával határozzuk meg az egyenlet megoldását?
\n",
"\n",
"(a) $x_0=1$
\n",
"(b) $x_0=0$
\n",
"(c) $x_0=0$
\n",
"(d) $x_0=1$
\n",
"(e) $x_0=1$
\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 8,
"metadata": {
"collapsed": false
},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"n =\n",
"\n",
" 16.6096\n",
"\n",
" 17\n"
]
}
],
"source": [
"% Az elozo feladat (a) példája\n",
"tol=1e-5;\n",
"x_0=1;\n",
"q=0.5; % Kontraktivitási állandó\n",
"x_1=1/2*(x_0+2/x_0); % Egyszerű iteráció alakja\n",
"n=log(((1-q)*tol)/(abs(x_1-x_0)))/log(q) % Lépések száma\n",
"disp(ceil(n)) % Egész lépések száma"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"### Mátrixnormák\n",
"\n",
"
\n",
"12.feladat. Mutassuk meg, hogy egy vektornorma által indukált mátrixnorma valóban mátrixnorma.
\n",
"\n",
"13.feladat. Igazoljuk a szubmultiplikatív tulajdonságot, azaz a $\\left\\| AB \\right\\| \\leq \\left\\| A \\right\\|\\cdot\\left\\| B \\right\\|$ tulajdonságot.
\n",
"\n",
"14.feladat.(Beadható) Bizonyítsuk be, hogy az $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{1}$ és $\\left\\| \\cdot \\right\\|_{\\infty}$ vektornormák által indukált mátrixnorma kiszámítható a mátrix elemeinek a segítségével az alábbi módon:
\n",
"(a) $\\left\\| A \\right\\|_{1}=\\displaystyle\\max_{1\\leq j\\leq n}\\sum_{i=1}^n{|a_{ij}|}$
\n",
"(b) $\\left\\| A \\right\\|_{\\infty}=\\displaystyle\\max_{1\\leq i\\leq n}\\sum_{i=j}^n{|a_{ij}|}$
\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 5,
"metadata": {
"collapsed": false
},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"A =\n",
"\n",
" -2 4\n",
" 11 -33\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 37\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 44\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 35.0714\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 35.0657\n"
]
}
],
"source": [
"% Indukált mátrixnormák\n",
"A=[-2 4; 11 -33]\n",
"norm(A,1)\n",
"norm(A,inf)\n",
"norm(A,'fro')\n",
"norm(A,2)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
"15.feladat. Mátrixnormát definiálnak-e az alábbi $\\mathbb{R}^{n\\times n}\\to\\mathbb{R}$ függvények?
\n",
"\n",
"(a) $\\displaystyle\\sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|}$
\n",
"(b) $\\displaystyle\\max_{1\\leq i,j\\leq n}{|a_{ij}|}$
\n",
"\n",
"16.feladat. Kielégítik-e a szubmultiplikatív tulajdonságot az alábbi mátrixnormák?
\n",
"\n",
"(a) $\\displaystyle\\sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|}$
\n",
"(b) $\\displaystyle\\left(\\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|^2\\right)^{1/2}$
\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 10,
"metadata": {
"collapsed": false
},
"outputs": [],
"source": [
"A=[-1 2 3 0; -11 22 0 2.67; 1 -8 5.5 0; 9 8 0 11];\n",
"norm(A,2);\n",
"norm(A,'fro');"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {
"collapsed": true
},
"source": [
"
\n",
"17.feladat. Adjunk példát olyan nemnulla mátrixra, melynek a spektrálsugara nulla.
\n",
"\n",
"18.feladat. Legyen $A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}$ szimmetrikus mátrix. Igazoljuk, hogy $\\rho(A)=\\left\\| A \\right\\|_2$.
\n",
"\n",
"19.feladat. Igazoljuk, hogy tetszõleges indukált mátrixnormára érvényes a $\\rho(A)\\leq\\left\\| A \\right\\|$ összefüggés.
\n",
"\n",
"20.feladat. Számítsuk ki az alábbi mátrixok $\\left\\| A \\right\\|_1,\\ \\left\\| A \\right\\|_2,\\ \\left\\| A \\right\\|_F$ és $\\left\\| A \\right\\|_{\\infty}$ normáit. Adjunk meg olyan vektorokat, amelyekre az $\\left\\| Ax \\right\\|_1=\\left\\| A \\right\\|_1\\cdot\\left\\| x \\right\\|_1$ és $\\left\\| Ax \\right\\|_{\\infty}=\\left\\| A \\right\\|_{\\infty}\\cdot\\left\\| x \\right\\|_{\\infty}$ összefüggések igazak.
\n",
"\n",
"(a) $\\left(\n",
" \\begin{array}{cc}\n",
" 0 & 2 \\\\\n",
" -1 & 1\\end{array} \\right)$
\n",
"(b) $\\left(\n",
" \\begin{array}{cc}\n",
" 3 & 4 \\\\\n",
" 0 & 0\\end{array} \\right)$
"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 4,
"metadata": {
"collapsed": false
},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"A =\n",
"\n",
" 0 2\n",
" -1 1\n",
"\n",
"\n",
"B =\n",
"\n",
" 1 -1\n",
" -1 5\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 5.2361\n"
]
}
],
"source": [
"A=[0 2; -1 1]\n",
"B=A'*A\n",
"norm(B,2)\n",
"rats(eig(A'*A)); % rats parancs veszelyere irracionalis esetben felhivni a figyelmet"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"### Kondíciószám\n",
"\n",
"
\n",
"Definíció: $\\mathrm{cond}_p(A)=||A^{-1}||_p\\cdot||A||_p$
\n",
"\n",
"Rosszul kondícionáltság: $$\\mathrm{cond}(A)\\frac{||\\delta b||}{||b||}\\geq 1\\ \\mathrm{avagy}\\ \\mathrm{cond}(A)>>1$$\n",
"\n",
"21.feladat. Számítsuk ki az \n",
"$$A=\\left(\n",
" \\begin{array}{cc}\n",
" 2 & 3 \\\\\n",
" 1 & 2\\end{array} \\right)\n",
"$$\n",
"\n",
"mátrix különböző normákhoz tartozó kondíciószámait: $\\mathrm{cond}_1(A),\\ \\mathrm{cond}_2(A),\\ \\mathrm{cond}_F(A)$ és $\\mathrm{cond}_{\\infty}(A)$.
\n",
"\n",
"22.feladat. Az $A$ mátrix sajátértékeinek segítségével adjunk alsóbecslést annak kondíciószámára.
\n",
"\n",
"23.feladat. Megoldottuk az 1.feladatsor 1.feladatát (az eredeti és a hibával terhelt rendszert). Adjunk magyarázatot a kapott eredményekre."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 6,
"metadata": {
"collapsed": false
},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"ans =\n",
"\n",
" 25\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 17.9443\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 25\n",
"\n",
"\n",
"ans =\n",
"\n",
" 18.0000\n"
]
}
],
"source": [
"% Kondíciószámok MATLAB-ban\n",
"A=[2 3; 1 2];\n",
"cond(A,1)\n",
"cond(A,2)\n",
"cond(A,inf)\n",
"cond(A,'fro')\n",
"%norm(A,2)*norm(inv(A),2)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {
"collapsed": true
},
"outputs": [],
"source": []
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Matlab",
"language": "matlab",
"name": "matlab"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": "octave",
"file_extension": ".m",
"help_links": [
{
"text": "MetaKernel Magics",
"url": "https://github.com/calysto/metakernel/blob/master/metakernel/magics/README.md"
}
],
"mimetype": "text/x-octave",
"name": "matlab",
"version": "0.11.0"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 0
}