word form of the token
as many l1 elements as the lemmas found in PerseusUnderPhilologic for
the relevant word form AND morphological analysis
as many l2 elements as the lemmas found in Morpheus for
the relevant word form AND morphological analysis
ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ
ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ
ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ
ΤΩΝ
ΕΙΣ
ΔΥΟ
ΤΟ
ΠΡΩΤΟΝ
.
.
α
.
.
Οἱ
παλαιοὶ
παλαιός
καὶ
καί
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
μεθοδεύσαντες
ἐπιστήμην
ἐπιστήμη
κατάρξαντος
κατάρχω
Πυθαγόρου
Πυθαγόρας
ὡρίζοντο
ὁρίζω
φιλοσοφίαν
φιλοσοφία
εἶναι
εἰμί
φιλίαν
φιλία
σοφίας
σοφία
,
,
ὡς
ὡς
καὶ
καί
αὐτὸ
αὐτός
τὸ
ὁ
ὄνομα
ὄνομα
ἐμφαίνει
ἐμφαίνω
,
,
τῶν
ὁ
ὅς
πρὸ
πρό
Πυθαγόρου
Πυθαγόρας
πάντων
πᾶς
σοφῶν
σοφός
καλουμένων
καλέω
συγκεχυμένῳ
ὀνόματι
ὄνομα
,
,
ὥςπερ
καὶ
καί
τέκτων
τέκτων
καὶ
καί
σκυτοτόμος
σκυτοτόμος
καὶ
καί
κυβερνήτης
κυβερνήτης
καὶ
καί
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
ὁ
ὁ
τέχνης
τέχνη
τινὸς
ἢ
ἤ
δημιουργίας
ἔμπειρος
ἔμπειρος
·
·
ἀλλʼ
ὅ
ὁ
ὅς
γε
γε
Πυθαγόρας
συστείλας
συστέλλω
πάντων
πᾶς
τὸ
ὁ
ὄνομα
ὄνομα
ἐπὶ
ἐπί
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ὄντος
εἰμί
ἐπιστήμην
ἐπιστήμη
καὶ
καί
κατάληψιν
κατάληψις
καὶ
καί
μόνην
μόνος
τὴν
ὁ
ἐν
ἐν
τούτῳ
οὗτος
γνῶσιν
γιγνώσκω
τῆς
ὁ
ἀληθείας
ἀλήθεια
σοφίαν
σοφία
ἰδίως
ἴδιος
καλέσας
καλέω
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
καὶ
καί
τὴν
ὁ
ταύτης
οὗτος
ὄρεξιν
ὄρεξις
καὶ
καί
μεταδίωξιν
φιλοσοφίαν
φιλοσοφία
προςηγόρευσεν
,
,
οἷον
οἷος
σοφίας
σοφία
ὄρεξιν
ὄρεξις
.
.
ἀξιοχρεώτερος
ἀξιόχρεως
δέ
δέ
ἐστι
εἰμί
τῶν
ὁ
ἄλλως
ἄλλος
ἄλλως
ὁριζομένων
ὁρίζω
,
,
παῤ
ὅσον
ὅσος
ἰδίου
ἴδιος
ὀνόματος
ὄνομα
καὶ
καί
πράγματος
πρᾶγμα
ἔννοιαν
ἔννοια
δηλοῖ
δηλόω
·
·
καὶ
καί
ταύτην
οὗτος
δὲ
δέ
τὴν
ὁ
σοφίαν
σοφία
ὡρίζετο
ὁρίζω
ἐπιστήμην
ἐπιστήμη
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
οὖσιν
εἰμί
ἀληθείας
ἀλήθεια
,
,
ἐπιστήμην
ἐπιστήμη
μὲν
μέν
οἰόμενος
εἶναι
εἰμί
κατάληψιν
κατάληψις
τοῦ
ὁ
ὑποκειμένου
ἄπταιστον
ἄπταιστος
καὶ
καί
ἀμετακίνητον
ἀμετακίνητος
,
,
ὄντα
εἰμί
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
καὶ
καί
ὡςαύτως
ἀεὶ
ἀεί
διατελοῦντα
διατελέω
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
κόσμῳ
κόσμος
καὶ
καί
οὐδέποτε
οὐδέποτε
τοῦ
ὁ
εἶναι
εἰμί
ἐξιστάμενα
οὐδὲ
οὐδέ
ἐπὶ
ἐπί
βραχύ
βραχύς
·
·
ταῦτα
οὗτος
ἂν
ἄν
εἴη
εἰμί
τὰ
ὁ
ἄυλα
καὶ
καί
ὧν
ὅς
ὅς2
κατὰ
κατά
μετουσίαν
μετουσία
ἕκαστον
ἕκαστος
λοιπὸν
τῶν
ὁ
ὁμωνύμως
ὁμώνυμος
ὄντων
εἰμί
καὶ
καί
καλουμένων
καλέω
τόδε
ὅδε
τι
λέγεται
λέγω
καὶ
καί
ἔστι
εἰμί
.
.
τὰ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
σωματικὰ
σωματικός
δήπου
καὶ
καί
ὑλικὰ
ἐν
ἐν
διηνεκεῖ
διηνεκής
ῥύσει
καὶ
καί
μεταβολ
διὰ
διά
παντός
πᾶς
ἐστι
εἰμί
μιμούμενα
τὴν
ὁ
τῆς
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
ἀιδίου
ἀΐδιος
ἀίδιος
ὕλης
ὕλη
καὶ
καί
ὑποστάσεως
ὑπόστασις
φύσιν
φύσις
καὶ
καί
ἰδιό
τητα
·
·
ὅλη
ὅλος
ὅλοξ
γὰρ
γάρ
διʼ
ὅλης
ὅλος
ὅλοξ
ἦν
εἰμί
τρεπτὴ
καὶ
καί
ἀλλοιωτή
·
·
τὰ
δὲ
δέ
περὶ
περί
αὐτὴν
αὐτός
ἢ
ἤ
καὶ
καί
σὺν
σύν
αὐτῇ
αὐτός
θεωρούμενα
θεωρέω
ἀσώματα
,
,
οἷον
οἷος
ποιότητες
,
,
ποσότητες
,
,
σχηματισμοί
,
,
μεγέθη
,
,
μικρότητες
,
,
ἰσότητες
,
,
σχέσεις
,
,
ἐνέργειαι
,
,
διαθέσεις
διάθεσις
,
,
τόποι
,
,
χρόνοι
χρόνος
,
,
πάντα
πᾶς
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
,
,
οἷς
ὅς
ὅς2
περιέχεται
περιέχω
τὰ
ὁ
ἐν
ἐν
ἑκάστῳ
ἕκαστος
σώματι
σῶμα
,
,
ὑπάρχει
ὑπάρχω
καθʼ
ἑαυτὰ
ἀκίνητα
ἀκίνητος
καὶ
καί
ἀμετάπτωτα
ἀμετάπτωτος
,
,
συμβεβηκότως
δὲ
δέ
μετέχει
μετέχω
καὶ
καί
παριπολαύει
τῶν
ὁ
περὶ
περί
τὸ
ὁ
ὑποκείμενον
σῶμα
σῶμα
παθῶν
.
.
τῶν
ὁ
ὅς
δὴ
δή
τοιούτων
τοιοῦτος
ἐξαιρέτως
ἐξαιρετός
ἐπιστήμη
ἐπιστήμη
ἐστὶν
ἡ
ὁ
σοφία
σοφία
,
,
συμβεβηκότως
δὲ
δέ
καὶ
καί
τῶν
ὁ
μετεχόντων
μετέχω
αὐτῶν
αὐτός
,
,
ὅ
ὅς
ἐστι
εἰμί
σωμάτων
σῶμα
.
.
β
.
.
Ἀλλʼ
ἐκεῖνα
ἐκεῖνος
μὲν
μέν
ἄυλα
καὶ
καί
ἀίδια
ἀΐδιος
ἀίδιος
καὶ
καί
ἀτελεύτητα
καὶ
καί
διὰ
διά
παντὸς
πᾶς
ὄμοια
καὶ
καί
ἀπαράλλακτα
ἀπαράλλακτος
πέφυκε
φύω
διατελεῖν
διατελέω
,
,
ὡςαύτως
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
αὐτῶν
αὐτός
οὐσίᾳ
οὐσία
ἐπιδιαμένοντα
,
,
καὶ
καί
ἕκαστον
ἕκαστος
αὐτῶν
αὐτός
κυρίως
κύριος
κυρίως
ὂν
εἰμί
λέγεται
λέγω
,
,
τὰ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
γενέσει
γένεσις
τε
τε
καὶ
καί
φθορᾷ
φθορά
καὶ
καί
αὐξήσει
αὐξάνω
καὶ
καί
μειώσει
μειόω
καὶ
καί
μεταβολῇ
μεταβολή
παντοίᾳ
καὶ
καί
μετουσίᾳ
φαίνεται
φαίνω
διηνεκῶς
διηνεκής
τρεπόμενα
τρέπω
καὶ
καί
λέγεται
λέγω
μὲν
μέν
ὁμωνύμως
ὁμώνυμος
ἐκείνοις
ἐκεῖνος
ὄντα
εἰμί
,
,
καθʼ
ὅσον
ὅσος
αὐτῶν
αὐτός
μετέχει
μετέχω
,
,
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἑαυτῶν
ἑαυτοῦ
φύσει
φύσις
οὐκ
οὐ
ὄντως
ὄντως
ὄντα
εἰμί
·
·
οὐδὲ
οὐδέ
γὰρ
γάρ
τὸ
ὁ
βραχύτατον
βραχύς
ἐπὶ
ἐπί
ταὐτοῦ
αὐτός
διαμένει
διαμένω
,
,
ἀλλ᾿
ἀεὶ
ἀεί
μεταβαίνει
μεταβαίνω
παντοίως
παντοῖος
ἀλλασσόμενα
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
παρὰ
παρά
Πλάτωνι
Πλάτων
Τίμαιον
Τίμαιος
,
,
ὅς
ὅς
φησι
φημί
·
·
τί
τι
τὸ
ὁ
ὂν
εἰμί
ἀεί
ἀεί
,
,
γένεσιν
γένεσις
δὲ
δέ
οὐκ
οὐ
ἔχον
ἔχω
,
,
καὶ
καί
τί
τι
τὸ
ὁ
γινόμενον
μέν
μέν
,
,
ὂν
εἰμί
δὲ
δέ
οὐδέποτε
οὐδέποτε
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
δὴ
δή
νοήσει
νοέω
μετὰ
μετά
λόγου
λόγος
περιληπιόν
,
,
ἀεὶ
ἀεί
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
ὄν
εἰμί
,
,
τὸ
ὁ
δʼ
δέ
αὖ
αὖ
δόξῃ
δοκέω
μετʼ
μετά
αἰσθήσεως
αἴσθησις
ἀλόγου
ἄλογος
δοξαστόν
,
,
γινόμενόν
τε
τε
καὶ
καί
ἀπολλύμενον
ἀπόλλυμι
,
,
ὄντως
ὄντως
δὲ
δέ
οὐδέποτε
οὐδέποτε
ὄν
εἰμί
.
.
εὔλογον
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
ἀναγκαιότατον
ἀναγκαῖος
,
,
εἰ
εἰ
τοῦ
ὁ
προςήκοντος
καὶ
καί
ἀνθρώπῳ
ἄνθρωπος
πρέποντος
πρέπω
τέλους
τέλος
ἐφιέμεθα
ἐφίημι
,
,
τουτέστιν
εὐζωίας
(
(
αὕτη
οὗτος
δὲ
δέ
διὰ
διά
φιλοσοφίας
φιλοσοφία
μόνης
μόνος
,
,
ὑφʼ
ὑπό
ἑτέρου
ἕτερος
δὲ
δέ
οὐδενὸς
συντελεῖται
συντελέω
·
·
φιλοσοφία
φιλοσοφία
δὲ
δέ
ἡμῖν
,
,
ὡς
ὡς
ἔφην
φημί
,
,
σοφίας
σοφία
ὄρεξις
ὄρεξις
,
,
σοφία
σοφία
δὲ
δέ
ἐπιστήμη
ἐπιστήμη
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
οὖσιν
εἰμί
ἀληθείας
ἀλήθεια
,
,
ὄντα
εἰμί
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
κυρίως
κύριος
κυρίως
λεγόμενα
λέγω
,
,
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
ὁμωνύμως
ὁμώνυμος
)
)
,
,
ἀκριβῶς
ἀκριβής
ἀκριβῶς
διελεῖν
διαιρέω
καὶ
καί
διαρθρῶσαι
διαρθρόω
τὰ
ὁ
τοῖς
ὁ
οὖσι
εἰμί
συμβεβηκότα
συμβαίνω
.
.
τῶν
ὁ
τοίνυν
τοίνυν
ὄντων
εἰμί
τῶν
ὁ
τε
τε
κυρίως
κύριος
κυρίως
καὶ
καί
τῶν
ὁ
καθʼ
ὁμωνυμίαν
ὁμωνυμία
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
ἐστὶ
εἰμί
νοητῶν
τε
τε
καὶ
καί
αἰσθητῶν
αἰσθητής
,
,
τὰ
ὁ
ὅς
μέν
μέν
ἐστιν
εἰμί
ἡνωμένα
καὶ
καί
ἀλληλουχούμενα
,
,
οἷον
οἷος
ζῶον
ζάω
,
,
κόσμος
κόσμος
,
,
δένδρον
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅμοια
ὅμοιος
,
,
ἅπερ
ὅς
κυρίως
κύριος
κυρίως
καὶ
καί
ἰδίως
ἴδιος
καλεῖται
καλέω
μεγέθη
,
,
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
διῃρημένα
διαιρέω
τε
τε
καὶ
καί
ἐν
ἐν
παραθέσει
παράθεσις
καὶ
καί
οἷον
οἷος
κατὰ
κατά
σωρείαν
,
,
ἃ
ὅς
ὅς2
καλεῖται
καλέω
πλήθη
πλῆθος
,
,
οἷον
οἷος
ποίμνη
ποίμνη
,
,
δῆμος
δῆμος
δημός
,
,
σωρός
,
,
χορὸς
χορός
καὶ
καί
τὰ
ὁ
παραπλήσια
παραπλήσιος
.
.
τῶν
ὁ
ἄρα
ἄρα
δύο
γε
εἰδῶν
τούτων
οὗτος
ἐπιστήμην
ἐπιστήμη
νομιστέον
νομίζω
νομιστέος
τὴν
ὁ
σοφίαν
σοφία
·
·
ἀλλʼ
ἐπεὶ
ἐπεί
πᾶν
πᾶς
πλῆθος
πλῆθος
καὶ
καί
πᾶν
πᾶς
μέγεθος
μέγεθος
ἄπειρα
ἄπειρος
τῇ
ὁ
αὑτῶν
ἑαυτοῦ
φύσει
φύσις
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
ἐστί
εἰμί
(
(
τὸ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
πλῆθος
πλῆθος
ἀπὸ
ἀπό
ὡρισμένης
ῥίζης
ῥίζα
ἀρξάμενον
ἄρχω
οὐ
οὐ
παύεται
παύω
προκόπτον
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
μέγεθος
μέγεθος
ἀπὸ
ἀπό
ὡρισμένης
ὁλότητος
ὁλότης
διαιρούμενον
διαιρέω
οὐδαμὴ
δύναται
δύναμαι
παύειν
παύω
τὴν
ὁ
τομήν
τομή
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
διὰ
διά
ταῦτα
οὗτος
προχωρεῖ
προχωρέω
)
)
,
,
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἐπιστῆμαι
ἐπιστήμη
πάντως
πᾶς
πάντως
πεπερασμένων
εἰσὶν
εἰμί
ἐπιστῆμαι
,
,
ἀπείρων
δὲ
δέ
οὐδέποτε
οὐδέποτε
,
,
φαίνεται
φαίνω
δή
δή
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οὔτε
οὔτε
περὶ
περί
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
μέγεθος
μέγεθος
οὔτε
οὔτε
περὶ
περί
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
πλῆθος
πλῆθος
συσταίη
συνίστημι
ἄν
ἄν
ποτε
ποτε
ἐπιστήμη
ἐπιστήμη
(
(
ἀόριστον
ἀόριστος
γὰρ
γάρ
ἑκάτερον
ἑκάτερος
καθʼ
ἑαυτό
ἐστι
εἰμί
,
,
πλῆθος
πλῆθος
μὲν
μέν
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
πλεῖον
πλέως
,
,
μέγεθος
μέγεθος
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
ἔλαττον
ἐλάσσων
)
)
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
περί
περί
τι
τις
ἀπʼ
ἀμφοῖν
ἄμφω
ἀφωρισμένον
ἀφορίζω
,
,
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
πλήθους
πλῆθος
περὶ
περί
τὸ
ὁ
ποσόν
ποσός
πόσος
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
μεγέθους
μέγεθος
περὶ
περί
τὸ
ὁ
πηλίκον
.
.
γ
.
.
Πάλιν
δὲ
δέ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
,
,
ἐπεὶ
ἐπεί
τοῦ
ὁ
ποσοῦ
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ὁρᾶται
ὁράω
καθʼ
καθά
καθό
ἑαυτό
,
,
μηδεμίαν
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
σχέσιν
σχέσις
ἔχον
ἔχω
,
,
οἷον
οἷος
ἄρτιον
,
,
περιττόν
,
,
τέλειον
τέλειος
,
,
τὰ
ὁ
ἐοικότα
ἔοικα
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
πως
ἤδη
ἤδη
ἔχον
ἔχω
καὶ
καί
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
πρὸς
πρός
ἕτερον
ἕτερος
σχέσει
σχέσις
ἐπινοούμενον
ἐπινοέω
,
,
οἷον
οἷος
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
,
,
μεῖζον
μέγας
,
,
ἔλαττον
ἐλάσσων
,
,
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
ἡμιόλιον
,
,
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
,
,
τὰ
ὁ
ἐοικότα
ἔοικα
,
,
δῆλον
δῆλος
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἄρα
ἄρα
δύο
γε
μέθοδοι
μέθοδος
ἐπιλήψονται
ἐπιστημονικαὶ
καὶ
καί
διευκρινήσουσι
πᾶν
πᾶς
τὸ
ὁ
περὶ
περί
τοῦ
ὁ
ποσοῦ
σκέμμα
σκέμμα
,
,
ἀριθμητικὴμὲν
τὸ
ὁ
ὅς
περὶ
περί
τοῦ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
ἑαυτό
,
,
μουσικὴ
μουσικός
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
περὶ
περί
τοῦ
ὁ
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἐπεὶ
ἐπεί
τοῦ
ὁ
πηλίκου
τὸ
ὁ
ὅς
μέν
μέν
ἐστιν
εἰμί
ἐν
ἐν
μονῇ
μονή
καὶ
καί
στάσει
στάσις
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
κινήσει
κινέω
καὶ
καί
περιφορᾷ
περιφορά
,
,
δύο
γε
ἕτεραι
ἕτερος
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
ἐπιστῆμαι
ἀκρι
τὸ
ὁ
πηλίκον
πηλίκος
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
μένον
μένω
καὶ
καί
ἠρεμοῦν
ἠρεμέω
γεωμετρία
γεωμετρία
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
φερόμενον
φέρω
καὶ
καί
περιπολοῦν
σφαιρική
.
.
οὐκ
οὐ
ἄρα
ἄρα
τούτων
οὗτος
ἄνευ
ἄνευ
δυνατὸν
δυνατός
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ὄντος
εἰμί
εἴδη
εἶδος
ἀκριβῶσαι
ἀκριβόω
οὐδʼ
οὐδέ
ἄρα
ἄρα
τὴν
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
οὖσιν
εἰμί
ἀλήθειαν
ἀλήθεια
εὑρεῖν
εὑρίσκω
,
,
ἧς
ὅς
ὅς2
ἐπιστήμη
ἐπιστήμη
σοφία
,
,
φαίνεται
φαίνω
δέ
δέ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οὐδʼ
ὀρθῶς
ὀρθός
φιλοσοφεῖν
φιλοσοφέω
·
·
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
γὰρ
γάρ
ζωγραφίη
συμβάλλεται
συμβάλλω
τέχναις
τέχνη
βαναύσοις
βάναυσος
πρὸς
πρός
θεωρίης
θεωρία
ὀρθότητα
ὀρθότης
,
,
τοῦτό
τοι
τοι
γραμμαὶ
γραμμή
καὶ
καί
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
καὶ
καί
ἁρμονικὰ
ἁρμονικός
διαστήματα
διάστημα
καὶ
καί
κύκλων
κύκλος
περιπολήσιες
πρὸς
πρός
λόγων
λόγος
σοφῶν
σοφόω
μαθήσιας
συνεργίην
ἔχουσιν
ἔχω
,
,
Ἀνδροκύδης
φησὶν
φημί
ὁ
ὁ
Πυθαγορικός
.
.
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
Ἀρχύτας
Ἀρχύτης
ὁ
ὁ
Ταραντῖνος
ἀρχόμενος
ἄρχω
τοῦ
ὁ
ἁρμονικοῦ
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
οὕτω
οὕτως
πως
πως
λέγει
λέγω
·
·
καλῶς
καλός
μοι
ἐγώ
δοκοῦντι
δοκέω
περὶ
περί
τὰ
ὁ
μαθήματα
μάθημα
διαγνώμεναι
καὶ
καί
οὐδὲν
ἄτοπον
ἄτοπος
αὐτοὺς
αὐτός
ὀρθῶς
ὀρθός
,
,
οἷα
οἷος
ἐντί
,
,
περὶ
περί
ἑκάστου
ἕκαστος
φρο
νέειν
νέω
νέω2
νέω3
νεάω
.
.
περὶ
περί
γὰρ
γάρ
τᾶς
ὁ
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
φύσιος
καλῶς
καλός
διαγνόντες
ἔμελλον
μέλλω
καὶ
καί
περὶ
περί
τῶν
ὁ
κατὰ
κατά
μέρος
μέρος
,
,
οἷα
οἷος
ἐντι
,
,
καλῶς
καλός
ὀψεῖσθαι
·
·
περί
περί
τε
τε
δὴ
δή
τᾶς
ὁ
γεωμετρικᾶς
καὶ
καί
ἀριθμητικᾶς
καὶ
καί
σφαιρικᾶς
παρέδωκαν
παραδίδωμι
ἄμμιν
σαφῆ
σαφής
διάγνωσιν
,
,
οὐχ
οὐ
ἥκιστα
ἥκιστος
δὲ
δέ
καὶ
καί
περὶ
περί
μουσικᾶς
μουσική
.
.
ταῦτα
οὗτος
γὰρ
γάρ
τὰ
ὁ
μαθήματα
δοκοῦντι
δοκέω
ἔμμεναι
εἰμί
ἀδελφεά
·
·
περὶ
περί
γὰρ
γάρ
ἀδελφεὰ
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ὄντος
εἰμί
πρώτιστα
πρώτιστος
δύο
γε
εἴδεα
εἶδος
τὰν
ἀναστροφὰν
ἔχει
ἔχω
.
.
καὶ
καί
Πλάτων
Πλάτων
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
τέλει
τέλος
τοῦ
ὁ
τριςκαιδεκάτου
τῶν
ὁ
νόμων
νόμος
νομός
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
τινὲς
φιλόσοφον
φιλόσοφος
ἐπιγράφουσιν
ἐπιγράφω
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
περισκοπεῖ
περισκοπέω
καὶ
καί
διορίζεται
διορίζω
,
,
ποταπὸν
χρὴ
χρή
τὸν
ὁ
ὄντως
ὄντως
φιλόσοφον
φιλόσοφος
εἶναι
εἰμί
,
,
ἀνακεφαλαιούμενος
τὰ
ὁ
διὰ
διά
πλειόνων
πολύς
πλείων
προδιαλεχθέντα
καὶ
καί
προδιαβεβαιωθέντα
ἐπιφέρει
ἐπιφέρω
·
·
ἅπαν
ἅπας
διάγραμμα
διάγραμμα
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
τε
τε
σύστημα
σύστημα
καὶ
καί
ἁρμονίας
ἁρμονία
σύστασιν
σύστασις
ἅπασαν
ἅπας
τῆς
ὁ
τε
τε
τῶν
ὁ
ἄστρων
ἄστρον
φορᾶς
φορά
τὴν
ὁ
ἀναλογίαν
ἀναλογία
μίαν
ἀναφανῆναι
ἀναφαίνω
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
τῷ
τῷ
κατὰ
κατά
τρόπον
τρόπος
τροπός
μανθάνοντι
μανθάνω
,
,
φανήσεται
δʼ
δέ
ἂν
ἄν
ὃ
ὅς
λέγομεν
λέγω
ὀρθῶς
ὀρθός
,
,
εἴ
εἰ
τις
τις
εἰς
εἰς
ἓν
βλέπων
βλέπω
πάντα
πᾶς
μανθάνει
μανθάνω
·
·
δεσμὸς
δεσμός
γὰρ
γάρ
ἁπάντων
ἅπας
τούτων
οὗτος
εἷς
ἀναφανήσεται
·
·
εἰ
εἰ
δέ
δέ
τις
τις
ἄλλως
ἄλλος
ἄλλως
μεταχειριεῖται
φιλοσοφίαν
φιλοσοφία
,
,
τύχην
τύχη
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
καλεῖν
καλέω
συνεργόν
συνεργός
·
·
οὐ
οὐ
γὰρ
γάρ
ἄνευ
ἄνευ
τούτων
οὗτος
ἡ
ὁ
ὁδός
ὁδός
ποτε
ποτε
,
,
ἀλλʼ
οὗτος
οὗτος
ὁ
ὁ
τρόπος
τρόπος
τροπός
,
,
ταῦτα
οὗτος
τὰ
ὁ
μαθήματα
μάθημα
εἴτε
εἴτε
χαλεπὰ
χαλεπός
εἴτε
εἴτε
ῥᾴδια
ῥᾴδιος
,
,
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
ἰτέον
εἶμι
ἰτέος
,
,
ἀμελεῖν
ἀμελέω
δὲ
δέ
οὐ
οὐ
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
.
.
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ταῦτα
οὗτος
πάντα
πᾶς
οὕτω
οὕτως
λαβόντα
λαμβάνω
,
,
ὡς
ὡς
ἐγὼ
λέγω
λέγω
,
,
τοῦτον
οὗτος
ἐγὼ
καλω
σοφώτατον
σοφός
καὶ
καί
διισχυρίζομαι
διισχυρίζομαι
παίζων
παίζω
τε
τε
καὶ
καί
σπουδάζων
σπουδάζω
.
.
δῆλον
δῆλος
γάρ
γάρ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
κλίμαξί
τισι
καὶ
καί
γεφύραις
γέφυρα
ἔοικε
ἔοικα
ταῦτα
οὗτος
τὰ
ὁ
μαθήματα
μάθημα
διαβιβάζοντα
τὴν
ὁ
διάνοιαν
διάνοια
ἡμῶν
ἐγώ
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
αἰσθητῶν
αἰσθητός
καὶ
καί
δοξαστῶν
ἐπὶ
ἐπί
τὰ
ὁ
νοητὰ
καὶ
καί
ἐπιστημονικὰ
καὶ
καί
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
συντρόφων
σύντροφος
ἡμῖν
ἐγώ
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
βρεφῶν
βρέφος
ὄντων
εἰμί
συνήθων
συνήθης
ὑλικῶν
καὶ
καί
σωματικῶν
σωματικός
ἐπὶ
ἐπί
τὰ
ὁ
ἀσυνήθη
τε
τε
καὶ
καί
ἑτερόφυλα
πρὸς
πρός
τὰς
ὁ
αἰσθήσεις
αἴσθησις
,
,
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
δὲ
δέ
ἀυλίᾳ
καὶ
καί
ἀιδιότητι
συγγενέστερα
συγγενής
ταῖς
ὁ
ἡμετέραις
ἡμέτερος
ψυχαῖς
ψυχή
καὶ
καί
πολὺ
πολύς
πρότερον
πρότερος
τῷ
τῷ
ἐν
ἐν
αὐταῖς
αὐτός
νοητικῷ
.
.
καθὰ
καθά
καὶ
καί
ὁ
ὁ
παρὰ
παρά
Πλάτωνι
Πλάτων
ἐν
ἐν
τ
πολιτείᾳ
πολιτεία
Σωκράτης
τοῦ
ὁ
προςδιαλεγομένου
αἰτίας
αἰτία
τινὰς
εὐλόγους
εὔλογος
ἐπιφέρειν
ἐπιφέρω
δοκοῦντος
δοκέω
τοῖς
ὁ
μαθήμασιν
μάθημα
,
,
ὡς
ὡς
εὔχρηστά
εἰσι
εἰμί
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἀνθρώπινον
ἀνθρώπινος
βίον
βίος
βιός
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
πρός
πρός
λογισμοὺς
λογισμός
καὶ
καί
διανομὰς
διανομή
καὶ
καί
συνειςφορὰς
καὶ
καί
ἀμείψεις
ἄμειψις
καὶ
καί
κοινωνίας
κοινωνία
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
γεωμετρία
γεωμετρία
πρὸς
πρός
στρατοπεδεύσεις
στρατοπέδευσις
πόλεών
πόλις
τε
τε
καὶ
καί
ἱερῶν
ἱεραί
ἱερή
συγκτίσεις
καὶ
καί
γεωμορίας
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
μουσικὴ
μουσικός
πρὸς
πρός
ἑορτὰς
καὶ
καί
θυμηδίας
καὶ
καί
θεῶν
θεός
θρησκείας
θρησκεία
,
,
σφαιρικὴ
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἀστρονομία
ἀστρονομία
πρὸς
πρός
γεωργίας
γεωργία
τε
τε
καὶ
καί
ναυτιλίαν
ναυτιλία
καὶ
καί
τὰς
ὁ
ἄλλας
ἄλλος
καταρχὰς
καταρχή
τῶν
ὁ
πράξεων
πρᾶξις
εὐχερείας
εὐχέρεια
καὶ
καί
ἐπιτηδειότητας
προδηλοῦσα
,
,
ἐπιπλήττων
ἐπιπλήσσω
φησίν
φημί
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
ἡδὺς
ἡδύς
εἶ
εἶμι
εἰμί
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἔοικας
ἔοικα
δεδιέναι
δείδω
,
,
μὴ
μή
ἄρα
ἄρα
ἄχρηστα
ἄχρηστος
ταῦτα
οὗτος
τὰ
ὁ
μαθήματα
μάθημα
προςτάττοιμι
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
δέ
δέ
ἐστι
εἰμί
παγχάλεπον
,
,
μᾶλλον
μᾶλλον
δὲ
δέ
ἀδύνατον
ἀδύνατος
·
·
ὄμμα
ὄμμα
γὰρ
γάρ
τῆς
ὁ
ψυχῆς
ψυχή
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
ἐπιτηἡμῶν
δευμάτων
ἀποτυφλούμενον
καὶ
καί
κατορυττόμενον
κατορύσσω
διὰ
διά
τούτων
οὗτος
μόνων
ἀναζωπυρεῖται
ἀναζωπυρέω
καὶ
καί
ἀνεγείρεται
κρεῖττον
κρείσσων
ὂν
εἰμί
σωθῆναι
σῴζω
σώζω
μυρίων
μυρίος
σωματικῶν
σωματικός
ὀμμάτων
ὄμμα
·
·
μόνῳ
μόνος
γὰρ
γάρ
αὐτῷ
αὐτός
ἡ
ὁ
περὶ
περί
τοῦ
ὁ
παντὸς
πᾶς
ἀλήθεια
ἀλήθεια
ὁρᾶται
ὁράω
.
.
δ
.
.
Τίνα
οὖν
οὖν
ἀναγκαῖον
πρωτίστην
πρώτιστος
τῶν
ὁ
τεσσάρων
τούτων
οὗτος
μεθόδων
ἐκμανθάνειν
ἐκμανθάνω
;
;
ἢ
τίη
δηλονότι
τὴν
ὁ
φύσει
φύσις
πασῶν
πᾶς
προυπάρχουσαν
καὶ
καί
κυριωτέραν
κύριος
ἀρχῆς
ἀρχή
τε
τε
καὶ
καί
ῥίζης
ῥίζα
καὶ
καί
οἱονεὶ
πρὸς
πρός
τὰς
ὁ
ἄλλας
μητρὸς
μήτηρ
λόγον
λόγος
ἐπέχουσαν
ἐπώχατο
.
.
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
αὕτη
οὗτος
ἡ
ὁ
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
οὐ
οὐ
μόνον
μόνος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἔφαμεν
αὐτὴν
αὐτός
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
τεχνίτου
θεοῦ
θεός
διανοίᾳ
διάνοια
προυποστῆναι
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
ὡςανεὶ
λόγον
λόγος
τινὰ
κοσμικὸν
καὶ
καί
παραδειγματικόν
,
,
πρὸς
πρός
ὃν
ὅς
ὅς2
ἀπερειδόμενος
ὁ
ὁ
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
δημιουργὸς
δημιουργός
ὡς
ὡς
πρὸς
πρός
προκέντημά
τι
καὶ
καί
ἀρχέτυπον
ἀρχέτυπος
παράδειγμα
παράδειγμα
τὰ
ὁ
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
ὕλης
ὕλη
ἀποτελέσματα
κοσμεῖ
κοσμέω
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
οἰκείου
οἰκεῖος
τέλους
τέλος
τυγχάνειν
τυγχάνω
ποιεῖ
ποιέω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
φύσει
φύσις
προγενεστέρα
ὑπάρχει
ὑπάρχω
,
,
ὅσῳ
ὅσος
συναναιρεῖ
συναναιρέω
μὲν
μέν
ἑαυτῇ
ἑαυτοῦ
τὰ
ὁ
λοιπά
λοιπός
,
,
οὐ
οὐ
συναναιρεῖται
συναναιρέω
δὲ
δέ
ἐκείνοις
ἐκεῖνος
·
·
οἷον
οἷος
τὸ
ὁ
ζῶον
πρότερον
πρότερος
τοῦ
ὁ
ἀνθρώπου
ἄνθρωπος
φύσει
φύσις
ἐστίν
εἰμί
·
·
ἀναιρεθέντος
ἀναιρέω
γὰρ
γάρ
τοῦ
ὁ
ζώου
ἀναιρεῖται
ἀναιρέω
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ἄνθρωπος
ἄνθρωπος
,
,
οὐκέτι
οὐκέτι
δὲ
δέ
ἀναιρεθέντος
ἀναιρέω
τοῦ
ὁ
ἀνθρώπου
ἄνθρωπος
συναναιρεῖται
συναναιρέω
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ζῶον
·
·
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἄνθρωπος
ἄνθρωπος
προγενέστερος
προγενής
γραμματικοῦ
γραμματικός
·
·
μὴ
μή
γὰρ
γάρ
ὄντος
εἰμί
ἀνθρώπου
ἄνθρωπος
οὐδὲ
οὐδέ
γραμματικός
γραμματικός
ἐστι
εἰμί
,
,
μὴ
μή
ὄντος
εἰμί
δὲ
δέ
γραμματικοῦ
γραμματικός
δυνατὸν
δυνατός
ἄνθρωπον
ἄνθρωπος
εἶναι
εἰμί
·
·
ὥςτε
ἐπεὶ
ἐπεί
συναναιρεῖ
συναναιρέω
,
,
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
καὶ
καί
πρεσβύτερον
πρέσβυς
.
.
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ἐναντίου
ἐναντίος
δὲ
δέ
νεώτερον
νεώτερος
λέγεται
λέγω
καὶ
καί
ὑστερογενέστερον
,
,
ὃ
ὅς
συνεπιφέρει
μὲν
μέν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
τὸ
ὁ
ὅς
λοιπόν
λοιπός
,
,
οὐ
οὐ
συνεπιφέρεται
δὲ
δέ
ἐκείνῳ
ἐκεῖνος
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
μουσικός
μουσικός
·
·
συνεπιφέρει
γὰρ
γάρ
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
πάντως
πᾶς
πάντως
τὸν
ὁ
ἄνθρωπον
ἄνθρωπος
·
·
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἵππος
ἵππος
·
·
συνεπιφέρεται
γὰρ
γάρ
πάντως
πᾶς
πάντως
τὸ
ὁ
ζῶον
ζωός
τούτῳ
οὗτος
,
,
οὐκ
οὐ
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
δέ
δέ
·
·
ζώου
γὰρ
γάρ
ὄντος
εἰμί
οὐκ
οὐ
ἀναγκαῖον
ἀναγκαῖον
εἶναι
εἰμί
ἵππον
ἵππος
οὐδὲ
οὐδέ
ἀνθρώπου
ἄνθρωπος
ὑπάρχοντος
ὑπάρχω
συνεπιφέρεσθαι
μουσικόν
μουσικός
.
.
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
προλεχθεισῶν
ἐπιστημῶν
ἐπιστήμη
·
·
οὔσης
εἰμί
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
γεωμετρίας
γεωμετρία
ἀνάγκη
ἀνάγκη
καὶ
καί
τὴν
ὁ
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
συνεπιφέρεσθαι
·
·
ἄμα
γὰρ
γάρ
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
τρίγωνον
τρίγωνος
ἢ
τίη
τετράγωνον
τετράγωνος
ἢ
τίη
ὀκτάεδρον
ὀκτάεδρος
ἢ
τίη
εἰκοσάεδρον
εἰκοσάεδρος
ἢ
τίη
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἢ
τίη
ὀκταπλάσιον
ὀκταπλάσιος
ἢ
τίη
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
ἢ
ἤ
ἄλλο
ἄλλος
τι
τις
τοιοῦτον
,
,
ὃ
ὅς
γεωμετρία
γεωμετρία
λέγει
λέγω
,
,
καὶ
καί
οὐκ
οὐ
ἄνευ
ἄνευ
τῶν
ὁ
ἑκάστῳ
ἕκαστος
συνεπιφερομένων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
ἐπινοεῖσθαι
ἐπινοέω
τὰ
ὁ
τοιαῦτα
τοιοῦτος
δύναται
δύναμαι
·
·
πῶς
πῶς
πως
γὰρ
γάρ
οἷόν
τε
τε
τριπλάσιόν
τριπλάσιος
τι
τις
εἶναι
εἰμί
ἢ
ἤ
λέγεσθαι
λέγω
μὴ
μή
προυποκειμένου
τοῦ
ὁ
γ
γ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ὀκταπλάσιον
ὀκταπλάσιος
μὴ
μή
ὑποκειμένου
τοῦ
ὁ
η
;
;
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
δὲ
δέ
εἴη
ἐάω
ἂν
ἄν
τὰ
ὁ
γ
καὶ
καί
τὰ
ὁ
δ
δ
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
μὴ
μή
ὄντων
εἰμί
τῶν
ὁ
παρωνύμων
σχημάτων
σχῆμα
.
.
συναναιρεῖ
συναναιρέω
ἄρα
ἄρα
ἡ
ὁ
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
τὴν
ὁ
γεωμετρίαν
γεωμετρία
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
οὐ
οὐ
συναναιρεῖται
συναναιρέω
ὑπʼ
ὑπό
αὐτῆς
αὐτός
,
,
καὶ
καί
συνεπιφέρεται
μὲν
μέν
ἐκείνῃ
ἐκεῖνος
,
,
οὐ
οὐ
συνεπιφέρει
δὲ
δέ
αὐτήν
αὐτός
.
.
ε
.
.
Πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
μουσικῆς
μουσική
·
·
οὐ
οὐ
γὰρ
γάρ
μόνον
μόνος
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
προγενέστερον
τὸ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
αὑτὸ
τοῦ
ὁ
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
,
,
καθάπερ
καθά
τὸ
ὁ
ὅς
μέγα
μέγας
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
καὶ
καί
τὸ
ὁ
πλούσιον
πλούσιος
τοῦ
ὁ
πλουσιωτέρου
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ἄνθρωπος
ἄνθρωπος
τοῦ
ὁ
πατρός
πατήρ
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
αἱ
ὁ
μουσικαὶ
συμφωνίαι
συμφωνία
διὰ
διά
τεσσάρων
τέσσαρες
,
,
διὰ
διά
πέντε
πέντε
,
,
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
κατὰ
κατά
ἀριθμόν
ἀριθμός
εἰσιν
εἰμί
ὠνομασμέναι
ὀνομάζω
·
·
ὁμοίως
ὅμοιος
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
άρμονικοὺς
λόγους
λόγος
ἀριθμητικοὺς
πάντως
πᾶς
πάντως
ἔχουσιν
ἔχω
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
διὰ
διά
τεσσάρων
τέσσαρες
ἐπίτριτος
ἐπίτριτος
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
διὰ
διά
πέντε
πέντε
ἡμιόλιος
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
διπλάσιος
διπλάσιος
,
,
τριπλάσιος
τριπλάσιος
δὲ
δέ
ἡ
ὁ
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ἅμα
ἅμα
καὶ
καί
διὰ
διά
πέντε
,
,
τετραπλάσιος
δὲ
δέ
ἡ
ὁ
τελειοτάτη
ἡ
ὁ
δὶς
δίς
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
.
.
ἐκδηλότερόν
γε
γε
μὴν
μήν
ἡ
ὁ
σφαιρικὴ
διʼ
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
τυγχάνει
τυγχάνω
πάντων
πᾶς
τῶν
ὁ
προςηκόντων
αὐτῇ
αὐτός
σκεμμάτων
σκέμμα
οὐ
οὐ
μόνον
μόνος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
γεωμετρίας
γεωμετρία
μεταγενεστέρα
ἐστιν
εἰμί
(
(
ἡ
ὁ
γὰρ
γάρ
κίνησις
κίνησις
φύσει
φύω
μετὰ
μετά
τὴν
ὁ
μονήν
μονή
)
)
,
,
οὐδʼ
οὐδέ
τι
τις
ἁρμονίας
ἁρμονία
ἐκ
ἐκ
παντὸς
πᾶς
ἐμμελοῦς
ἐμμελής
τὰ
ὁ
ὅς
τῶν
ὁ
ἀστέρων
κινήματα
κίνημα
τέτευχεν
,
,
ἀλλʼ
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
ἀριθμῶν
ἀριθμός
περιόδοις
καὶ
καί
ποσότησιν
ἀνατολαί
τε
τε
καὶ
καί
δύσεις
δύσις
καὶ
καί
προποδισμοὶ
καὶ
καί
ἀναποδισμοὶ
καὶ
καί
ἐπιπροςθήσεις
καὶ
καί
φάσεις
φάσις
παντοῖαι
παντοῖος
διαρθροῦνται
.
.
ὡς
ὡς
οὖν
οὖν
προγενεστέρας
φύσει
φύσις
καὶ
καί
τιμιωτέρας
καὶ
καί
πρεσβυτέρας
πρέσβυς
ὡςανεὶ
μητρὸς
μήτηρ
καὶ
καί
τιθήνης
τιθήνη
καλῶς
καλός
προτέραν
πρότερος
τὴν
ὁ
τεχνολογίαν
ὑπεστησάμεθα
,
,
τὴν
ὁ
δὲ
δέ
ἀρχὴν
ἀρχή
τῆς
ὁ
τεχνολογίας
τοῦ
ὁ
σαφοῦς
σαφής
χάριν
χάρις
ἐντεῦθεν
ἐντεῦθεν
ποιησόμεθα
.
.
Ϛ
.
.
Πάντα
τὰ
ὁ
κατὰ
κατά
τεχνικὴν
τεχνικός
διέξοδον
διέξοδος
ὑπὸ
ὑπό
φύσεως
φύσις
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
κόσμῳ
κόσμος
διατεταγμένα
διατάσσω
κατὰ
κατά
μέρος
μέρος
τε
τε
καὶ
καί
ὅλα
ὅλος
ὅλοξ
φαίνεται
φαίνω
κατὰ
κατά
ἀριθμὸν
ἀριθμός
ὑπὸ
ὑπό
τῆς
ὁ
προνοίας
πρόνοια
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
τὰ
ὁ
ὅλα
ὅλος
ὅλοξ
δημιουργήσαντος
νοῦ
διακεκρίσθαι
διακρίνω
τε
τε
καὶ
καί
κεκοσμῆσθαι
κοσμέω
βεβαιουμένου
τοῦ
ὁ
παραδείγματος
παράδειγμα
οἷον
οἷος
λόγον
λόγος
προχαράγματος
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ἐπέχειν
ἐπέχω
ἐπώχατο
τὸν
ὁ
ἀριθμὸν
ἀριθμός
προυποστάντα
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
κοσμοποιοῦ
θεοῦ
θεός
διανοίᾳ
διάνοια
,
,
νοητὸν
αὐτὸν
αὐτός
μόνον
μόνος
καὶ
καί
παντάπασιν
ἄυλον
,
,
οὐσίαν
οὐσία
μέντοι
τὴν
ὁ
ὄντως
ὄντως
τὴν
ὁ
ἀίδιον
ἀΐδιος
ἀίδιος
,
,
ἵνα
ἵνα
πρὸς
πρός
αὐτὸν
αὐτός
ὡς
ὡς
λόγον
λόγος
τεχνικὸν
τεχνικός
ἀποτελεσθῇ
ἀποτελέω
τὰ
ὁ
σύμιπαντα
ταῦτα
οὗτος
,
,
χρόνος
χρόνος
,
,
κίνησις
κίνησις
,
,
οὐρανός
οὐρανός
,
,
ἄστρα
ἄστρον
,
,
ἐξελιγμοὶ
παντοῖοι
παντοῖος
.
.
ἀναγκαῖον
ἄρα
ἄρα
,
,
τὸν
ὁ
ἐπιστημονικὸν
ἐπιστημονικός
ἤδη
ἤδη
ἀριθμὸν
ἀριθμός
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
τοιούτων
τοιοῦτος
ὑπάρχοντα
ὑπάρχω
καθʼ
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
ἡρμόσθαι
ἁρμόζω
καὶ
καί
οὐχ
οὐ
ὑπ’
ὑπό
ἄλλου
ἄλλος
,
,
ἀλλʼ
ὑφ’
ὑπό
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
.
.
πᾶν
πᾶς
δὲ
δέ
ἡρμοσμένον
ἁρμόζω
ἐξ
ἐκ
ἐναντίων
ἐναντίος
πάντως
πᾶς
πάντως
ἥρμοσται
ἁρμόζω
καὶ
καί
ὄντων
εἰμί
γε
γε
·
·
οὔτε
οὔτε
γὰρ
γάρ
τὰ
ὁ
μὴ
μή
ὄντα
εἰμί
ἁρμοσθῆναι
ἁρμόζω
οἷά
τε
τε
οὔτε
οὔτε
τὰ
ὁ
ὄντα
εἰμί
μέν
μέν
,
,
ὅμοια
ὅμοιος
δὲ
δέ
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
,
,
οὔτε
οὔτε
τὰ
ὁ
διαφέροντα
διαφέρω
μέν
μέν
,
,
ἄλογα
ἄλογος
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
ἄλληλα
·
·
ὑπολείπεται
ὑπολείπω
δὴ
δή
τά
ὁ
ὅς
,
,
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
ἁρμόζεται
ἁρμόζω
,
,
καὶ
καί
ὄντα
εἰμί
εἶναι
εἰμί
καὶ
καί
διάφορα
καὶ
καί
λόγον
λόγος
πρὸς
πρός
ἄλληλα
ἀλλήλων
ἔχοντα
ἔχω
.
.
ἐκ
ἐκ
τοιούτων
τοιοῦτος
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ἐπιστημονικὸς
ἀριθμός
ἀριθμός
·
·
ἔστι
εἰμί
γὰρ
γάρ
τὰ
ὁ
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
πρώτιστα
πρώτιστος
εἴδη
εἶδος
δύο
γε
οὐσίαν
οὐσία
τε
τε
ἔχοντα
ἔχω
τὴν
ὁ
τῆς
ὁ
ποσότητος
ποσότης
καὶ
καί
διαφέροντα
διαφέρω
ἀλλήλων
ἀλλήλων
καὶ
καί
οὐχ
οὐ
ἑτερογενῆ
,
,
περιττὸν
περισσός
καὶ
καί
ἄρτιον
ἄρτιος
,
,
καὶ
καί
ἐναλλὰξ
ἐναλλάξ
ὑπὸ
ὑπό
θαυμαιτῆς
καὶ
καί
θείας
θεῖος
φύσεως
φύσις
διηρμοσμένα
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ἀχωρίστως
καὶ
καί
ἑνοειδῶς
,
,
ὡς
ὡς
αὐτίκα
αὐτίκα
εἰσόμεθα
εἶμι
οἶδα
.
.
ζ
.
.
Ἀριθμός
ἐστι
εἰμί
πλῆθος
πλῆθος
ὡρισμένον
ὁρίζω
ἢ
τίη
μονάδων
μονάς
σύστημα
σύστημα
ἢ
τίη
ποσότητος
ποσότης
χύμα
χύμα
ἐκ
ἐκ
μονάδων
μονάς
συγκείμενον
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
πρώτη
πρῶτος
πρότερος
τομὴ
τομή
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἄρτιον
ἄρτιος
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
περιττόν
περισσός
.
.
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
ἄρτιον
ἄρτιος
μέν
μέν
,
,
οἷόν
τε
τε
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἷσα
ἵζω
διαιρεθῆναι
διαιρέω
μονάδος
μονάς
μέσον
μέσος
μὴ
μή
παρεμπιπτούσης
,
,
περιττὸν
περισσός
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
μὴ
μή
δυνάμενον
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
μερισθῆναι
μερίζω
διὰ
διά
τὴν
ὁ
προειρημένην
προαγορεύω
τῆς
ὁ
μονάδος
μονάς
μεσιτείαν
μεσιτεία
.
.
οὗτος
οὗτος
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ὁ
ὁ
ὅρος
ὅρος
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
δημώδους
δημώδης
ὑπολήψεως
ὑπόληψις
·
·
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
Πυθαγορικὸν
Πυθαγορικός
ἄρτιος
ἄρτιος
ἀριθμός
ἀριθμός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
τὴν
ὁ
εἰς
εἰς
τὰ
ὁ
μέγιστα
μέγας
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ἐλάχιστα
ἐλάχιστος
κατὰ
κατά
ταὐτὸ
αὐτός
τομὴν
τομή
ἐπιδεχόμενος
,
,
μέγιστα
μέγας
μὲν
μέν
πηλικότητι
,
,
ἐλάχιστα
ἐλάχιστος
δὲ
δέ
ποσόττι
,
,
κατὰ
κατά
φυσικὴν
τῶν
ὁ
δύο
γε
τούτων
οὗτος
γενῶν
γενή
ἀντιπεπόνθησιν
,
,
περισσὸς
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
μὴ
μή
δυνάμενος
τοῦτο
οὗτος
παθεῖν
πάσχω
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
εἰς
εἰς
ἄνισα
δύο
γε
τεμνομενος
.
.
ἑτέρῳ
ἕτερος
δὲ
δέ
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
παλαιὸν
παλαιός
ἄρτιός
ἄρτιος
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
καὶ
καί
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
τμηθῆναι
τέμνω
δυνάμενος
καὶ
καί
εἰς
εἰς
ἄνισα
δύο
γε
.
.
πλὴν
πλήν
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
ἀρχοειδοῦς
δυάδος
δυάς
θάτερον
ἕτερος
τὸ
ὁ
διχοτόμημα
μόνον
μόνος
ἐπιδεχομένης
τὸ
ὁ
εἰς
εἰς
ἶσα
,
,
ἐν
ἐν
ᾗτινι
οὖν
οὖν
τομῇ
τομή
παρεμφαίνων
παρεμφαίνω
τὸ
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
εἶδος
εἶδος
μόνον
μόνος
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
,
,
ὅπως
ὅπως
ἂν
ἄν
διχασθῇ
,
,
ἀμέτοχον
ἀμέτοχος
τοῦ
ὁ
λοιποῦ
λοιπός
·
·
περισσὸς
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
ἡντιναοῦν
τομὴν
τομή
εἰς
εἰς
ἄνισα
πάντως
πᾶς
πάντως
γινομένην
ἀμφότερα
ἀμφότερος
ἅμα
ἅμα
ἐμφαίνων
ἐμφαίνω
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
δύο
γε
εἴδη
εἶδος
οὐδέποτε
οὐδέποτε
ἄκρατα
ἀλλήλων
ἀλλήλων
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
πάντοτε
πᾶς
πάντοτε
σὺν
σύν
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
.
.
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
διʼ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
ὅρῳ
ὅρος
περιττός
περισσός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
μονάδι
μονάς
ἐφʼ
ἐπί
ἑκάτερα
ἑκάτερος
διαφέρων
διαφέρω
ἀρτίου
ἄρτιος
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
,
,
τουτέστιν
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
μεῖζον
μέγας
καὶ
καί
ἔλαττον
,
,
ἄρτιος
ἄρτιος
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
μονάδι
μονάς
διαφέρων
διαφέρω
ἐφʼ
ἑκάτερον
ἑκάτερος
περισσοῦ
περισσός
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
,
,
τουτέστι
μονάδι
μονάς
μείζων
μέγας
καὶ
καί
μονάδι
μονάς
ἐλάσσων
ἐλάσσων
.
.
η
.
.
Πᾶς
πᾶς
ἀριθμὸς
ἀριθμός
τῶν
ὁ
παῤ
ἑκάτερα
ἑκάτερος
συντεθέντων
συντίθημι
ἅμα
ἅμα
ἥμισύς
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ὑπὲρ
ὑπέρ
ἕνα
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
κειμένων
ὁμοίως
ὅμοιος
ἥμισύς
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
ἔτι
ἔτι
τῶν
ὁ
ὑπὲρ
ὑπέρ
ἐκείνους
ἐκεῖνος
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
δυνατόν
δυνατός
.
.
μονωτάτη
δὲ
δέ
ἡ
ὁ
μονάς
μονή
διὰ
διά
τὸ
ὁ
μὴ
μή
ἔχειν
ἔχω
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
αὐτὴν
αὐτός
δύο
γε
ἀριθμοὺς
ἀριθμός
ἑνὸς
μόνου
μόνος
τοῦ
ὁ
παρακειμένου
ἥμιούς
ἐστιν
εἰμί
·
·
ἀρχὴ
ἀρχή
ἄρα
ἄρα
πάντων
πᾶς
φυσικὴ
φυσικός
ἡ
ὁ
μονάς
μονή
.
.
καθʼ
καθά
καθό
ὑποδιαίρεσιν
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἀρτίου
ἄρτιος
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιον
ἄρτιος
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
περισσάρτιον
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἀρτιοπέριττον
·
·
ἐναντία
ἐναντίος
μὲν
μέν
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ὥςπερ
ἀκρότητες
τὸ
ὁ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιον
ἄρτιος
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἀρτιοπέρισσον
,
,
κοινὸν
κοινός
δὲ
δέ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
ὥςπερ
μεσότης
τὸ
ὁ
περισσάρτιον
.
.
Ἀρτιάκις
οὖν
οὖν
ἄρτιος
ἄρτιος
ἄριθμός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
αὐτός
αὐτός
τε
τε
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
δυνάμενος
διχασθῆναι
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
γένους
γένος
φύσιν
φύσις
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μερῶν
μέρος
ὁποτερονοῦν
τοιοῦτον
ἔχων
ἔχω
δίχα
δίχα
διαιρετόν
διαιρετός
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
ἐκείνῳ
ἐκεῖνος
μερῶν
μέρος
ὁποτερονοῦν
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
διαιρετὸν
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
φύσει
φύσις
ἄτομον
ἄτομος
μονάδα
μονάς
καταντήσῃ
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἀεὶ
ἀεί
ὑπομερισμῶν
διαίρεσις
διαίρεσις
.
.
οἷον
οἷος
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
χάριν
χάρις
ὁ
ὁ
ξδ
·
·
τούτου
οὗτος
γὰρ
γάρ
ἥμισυς
ἥμισυς
ὁ
ὁ
λβ
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
ὁ
ὁ
ιϚ
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
ἥμισυς
ὁ
ὁ
η
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
ὁ
ὁ
δ
δ
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
ὁ
ὁ
β
,
,
ἔπειτα
ἔπειτα
τὸ
ὁ
τελευταῖον
τελευταῖος
μονὰς
μονή
τούτου
οὗτος
ἡμίσεια
ἡμίσεια
,
,
ἥτις
ὅστις
φύσει
φύσις
ἄτομος
ἄτομος
οὖσα
εἰμί
οὐκέτι
οὐκέτι
ἐπιδέχεται
ἐπιδέχομαι
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
.
.
παρακολουθεῖ
παρακολουθέω
δὲ
δέ
αὐτῷ
αὐτός
καί
καί
,
,
ὅ
ὅς
τι
ἂν
ἄν
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
μέρος
μέρος
ληφθῇ
λαμβάνω
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτιώνυμον
εἶναι
εἰμί
τὴν
ὁ
προςηορίαν
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
αὐτὸ
αὐτός
καὶ
καί
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ποσότητι
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
μονάδων
μονάς
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτιοδύναμον
,
,
μηδέποτε
μηδέποτε
δὲ
δέ
ἑτέρῳ
ἕτερος
γένει
γένος
κοινωνεῖν
κοινωνέω
ἑκάτερον
ἑκάτερος
τούτων
οὗτος
.
.
μήτοι
μήτοι
δὲ
δέ
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
παρὰ
παρά
τοῦτο
οὗτος
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιος
ἄρτιος
ὠνόμασται
ὀνομάζω
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
αὐτὸς
αὐτός
ἄρτιος
ἄρτιος
ὢν
εἰμί
καὶ
καί
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅς
τῶν
ὁ
μερῶν
μέρος
μέρη
μέρος
μέχρι
μέχρι
μονάδος
μονάς
ἄρτια
ἄρτιος
ἀεὶ
ἀεί
ἔχει
ἔχω
ὀνόματί
ὄνομα
τε
τε
καὶ
καί
δυνάμει
δύναμις
·
·
καὶ
καί
ἑτέρως
ἕτερος
ἑτέρως
πᾶν
πᾶς
μέρος
μέρος
,
,
ὃ
ἐὰν
ἐάν
ἔχῃ
ἔχω
,
,
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιον
ἄρτιος
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
ὄνομά
ὄνομα
ἐστι
εἰμί
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
αὐτὸ
αὐτός
καὶ
καί
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιόν
ἄρτιος
ἐστι
εἰμί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
δύναμιν
δύναμις
.
.
γένεσις
γένεσις
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίου
,
,
ὥςτε
μηδένα
διαφυγεῖν
διαφεύγω
,
,
ἀλλʼ
ἐξ
ἐκ
ἑνὸς
πάντας
πᾶς
ὑποπίπτειν
ὑποπίπτω
αὐτῇ
αὐτός
,
,
εἰ
εἰ
γένοιτο
γίγνομαι
ἂν
ἄν
οὕτως
οὕτως
·
·
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ὡς
ὡς
ὡς
ἀπὸ
ἀπό
ῥίζης
ῥίζα
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
λόγον
λόγος
προχωροῦντι
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
,
,
ὅσοι
ὅσος
καὶ
καί
ἂν
ἄν
γένωνται
γίγνομαι
,
,
οὗτοι
οὗτος
πάντες
πᾶς
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιοι
ἄρτιος
εἰσιν
εἰμί
,
,
ἄλλους
ἄλλος
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
τούτους
οὗτος
ἀμήχανόν
ἀμήχανος
ἐστιν
εἰμί
εὑρεῖν
εὑρίσκω
,
,
οἷον
οἷος
πρὸς
πρός
ὑπόδειγμα
ὑπόδειγμα
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
,
,
λβ
,
,
ξδ
,
,
ρκη
,
,
σνϚ
,
,
φιβ
καὶ
καί
ἐφ’
ἐπί
ὁσονοῦν
.
.
ἕκαστος
ἕκαστος
δὴ
δή
τῶν
ὁ
προκειμένων
γέγονε
γίγνομαι
μὲν
μέν
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
διπλασίονα
διπλασίων
ἀεὶ
ἀεί
λύγον
,
,
ὑπάρχει
ὑπάρχω
δὲ
δέ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιος
ἄρτιος
πάντως
πᾶς
πάντως
καὶ
καί
πᾶν
πᾶς
δὲ
δέ
μέρος
μέρος
,
,
ὃ
ὅς
ἂν
ἄν
εὑρεθῇ
εὑρίσκω
ἔχων
ἔχω
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
καὶ
καί
παρώνυμόν
ἐστιν
εἰμί
ἑνὸς
τῶν
ὁ
ἐντὸς
ἐντός
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
καὶ
καί
μονάδος
μονάς
σύστημα
σύστημα
ἐν
ἐν
τούτῳ
οὗτος
ὑπάρχει
ὑπάρχω
τοσοῦτον
τοσοῦτος
,
,
ὁπόσος
ὁπόσος
τῶν
ὁ
ἐντὸς
ἐντός
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
εἷς
τις
τις
ἐστί
εἰμί
,
,
κατὰ
κατά
ἀντιπερίστασιν
ἀντιπερίστασις
μέντοι
καὶ
καί
ἀμοιβήν
ἀμοιβή
,
,
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
ὦσιν
εἰμί
ἄρτιοι
ἄρτιος
αἱ
ὁ
ἐκθέσεις
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
διπλασιασμῶν
·
·
μία
μὲν
μέν
οὐχ
οἵα
οἷος
τε
τε
μεσότης
μεσότης
εὑρεθῆναι
εὑρίσκω
,
,
πᾶντως
δὲ
δέ
δύο
γε
,
,
ἀφʼ
ἀπό
ὧν
ὅς
ὅς2
ἀρχομένη
ἄρχω
ἡ
ὁ
ἀντιπερίστασις
καὶ
καί
ἀμοιβὴ
ἀμοιβή
μερῶν
μέρος
πρὸς
πρός
δυνάμεις
δύναμις
καὶ
καί
δυνάμεων
δύναμις
πρὸς
πρός
μέρη
μέρος
προχωρήσει
προχωρέω
τάξει
τάξις
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
ἐπὶ
ἐπί
τοὺς
ὁ
παῤ
παῤ
ἑκάτερα
ἑκάτερος
δύο
γε
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπὶ
ἐπί
τοὺς
ὁ
ὑπερκειμένους
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
,
,
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
ἐπὶ
ἐπί
τοὺς
ὁ
ἀκροτάτους
ἀφίκηται
ἀφικνέομαι
,
,
ὥςτε
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
ἀντιπαρωνυμεῖσθαι
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
μονάδι
μονάς
καὶ
καί
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
τῷ
τῷ
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
·
·
οἷον
οἷος
λόγου
λόγος
χάριν
χάρις
,
,
ἐὰν
ἐάν
τὸν
ὁ
ρκη
θῶμεν
θέω
τὸν
ὁ
μέγιστον
μέγας
,
,
ἀρτιογενεῖς
ἔσονται
εἰμί
αὐτῷ
αὐτός
αἱ
ὁ
ἐκθέσεις
τῶν
ὁ
ὅρων
ὅρος
,
,
ὀκτὼ
γὰρ
γάρ
αἱ
ὁ
μέχρις
μέχρι
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
πᾶσαι
πᾶς
,
,
καὶ
καί
μίαν
μεσότητα
μεσότης
οὐχ
οὐ
ἕξουσιν
,
,
ἀδύνατον
ἀδύνατος
γὰρ
γάρ
ἐν
ἐν
ἀρτίῳ
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
δύο
γε
,
,
τήν
ὁ
τε
τε
η
καὶ
καί
τὴν
ὁ
ιϛ
,
,
αἵτινες
ὅστις
ἀνταποκρινοῦνται
ἀλλήλαις
ἀλλήλων
παρὰ
παρά
μέρος
μέρος
·
·
τοῦ
ὁ
γὰρ
γάρ
ὅλου
τοῦ
ὁ
ρκη
ὄγδοον
ὄγδοος
μέν
μέν
ἐστι
εἰμί
τὰ
ὁ
ιϛ
,
,
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
δὲ
δέ
ἑκκαιδ
έκατον
τὰ
ὁ
η
·
·
καὶ
καί
προιόντες
πρόειμι
ἐφʼ
ἑκάτερον
τέταρτον
τέταρτος
μὲν
μέν
τὰ
ὁ
ὅς
λβ
,
,
τριακοστόδυον
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
ὅς
δ
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἥμισυ
ἥμισυς
μὲν
μέν
τὰ
ὁ
ὅς
ξδ
,
,
ἑξηκοστοτέταρτον
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
ὅς
β
,
,
καὶ
καί
τελευταῖον
τελευταῖος
κατὰ
κατά
τὰς
ὁ
ἀκρότητας
ἑκατοστοεικοστόγδοον
μὲν
μέν
ἡ
ὁ
μονάς
μονή
,
,
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
τὰ
ὁ
ρκή
.
.
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
περισσοῖς
ὅροις
ὅρος
ἡ
ὁ
ἔκθεσις
ἔκθεσις
γένηται
γίγνομαι
,
,
οἷον
οἷος
ἐν
ἐν
ἑπτά
,
,
προχειρισαμένων
ἡμῶν
ἐγώ
τὰ
ὁ
ξδ
,
,
ἡ
ὁ
μεσότης
μεσότης
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
μία
ἔσται
εἰμί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
περισσῶν
περισσός
φύσιν
φύσις
καὶ
καί
αὐτὴ
αὐτός
μὲν
μέν
ἑαυτῇ
ἑαυτοῦ
ἀνταποκρινεῖται
διὰ
διά
τὸ
ὁ
σύζυγον
σύζυγος
μὴ
μή
ἔχειν
ἔχω
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
αὐτῆς
αὐτός
ἀεὶ
ἀεί
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
,
,
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
εἰς
εἰς
τὰ
ὁ
ἄκρα
ἄκρον
ἡ
ὁ
ἀνταπόκρισις
τελευτήσῃ
τελευτάω
·
·
οἷον
οἷος
ἑξηκοστοτέταρτον
μὲν
μέν
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
ἔσται
,
,
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
ξδ
,
,
καὶ
καί
ἥμισυ
ἥμισυς
μὲν
μέν
τὰ
ὁ
ὅς
λβ
,
,
τριακοστόδυον
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
ὅς
β
,
,
καὶ
καί
τέταρτον
τέταρτος
μὲν
μέν
τὰ
ὁ
ὅς
ιϚ
,
,
ἑκκαιδ
έκατον
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
ὅς
δ
,
,
ὄγδοον
δὲ
δέ
ἄνευ
ἄνευ
ἀντιδιαστολῆς
αὐτὰ
αὐτός
τὰ
ὁ
ὅς
ή
ή
.
.
συμβέβηκε
συμβαίνω
δὲ
δέ
πάσαις
πᾶς
ταῖς
ὁ
ἐκθέσεσι
συντεθειμέναις
σωρηδὸν
σωρηδόν
ἴσαις
ἴσος
εἶναι
εἰμί
τῷ
τῷ
μετʼ
μετά
αὐτὰς
αὐτός
παρὰ
παρά
μονάδα
μονάς
,
,
ὥςτε
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
ἡ
ὁ
ὁπωςοῦν
συγκεφαλαίωσις
περισσὸς
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἔσται
εἰμί
·
·
αἰεὶ
ἀεί
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
παρὰ
παρά
μονάδα
μονάς
ἶσος
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀρτίῳ
περισσός
περισσός
ἐστι
εἰμί
.
.
χρησιμεύσει
χρησιμεύω
δʼ
δέ
ἡμῖν
αὕτη
οὗτος
ἡ
ὁ
ἐπίγνωσις
ἐπίγνωσις
,
,
ὅσον
ὅσος
οὐδέπω
οὐδέπω
,
,
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
τελείων
τέλειος
ἀριθμῶν
ἀριθμός
σύστασιν
σύστασις
·
·
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
δὲ
δέ
χάριν
χάριν
χάρις
τῷ
τῷ
σνϚ
οἱ
ὁ
ἐντὸς
ἐντός
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
μέχρι
μέχρι
μονάδος
μονάς
ἶσοί
εἰσι
εἰμί
συγκεφαλαιωθέντες
παρὰ
παρά
μίαν
μονάδα
μονάς
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
ρκη
τῷ
τῷ
εὐθὺς
εὐθύς
ὑπʼ
ὑπό
αὐτὸν
αὐτός
οἱ
ὁ
ἐντὸς
ἐντός
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
πάντες
πᾶς
ὁμοίως
ὅμοιος
εἰσὶν
εἰμί
ἶσοι
ἴσος
παρὰ
παρά
μίαν
μονάδα
μονάς
καὶ
καί
τοῖς
ὁ
συνεχέσι
συνεχής
δὲ
δέ
ἀεὶ
ἀεί
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
οἱ
ὁ
ἐντός
ἐντός
,
,
καθὰ
καὶ
καί
αὐτὴ
αὐτός
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
παρὰ
παρά
μονάδα
μονάς
ἴση
ἴσος
τῷ
τῷ
μετʼ
μετά
αὐτήν
αὐτός
,
,
ὅ
ὅς
ἐστι
εἰμί
τῷ
τῷ
β
,
,
καὶ
καί
οἱ
ὁ
συναμφότεροι
συναμφότεροι
παρὰ
παρά
μονάδα
μονάς
τῷ
τῷ
μετʼ
μετά
αὐτοὺς
αὐτός
καὶ
καί
οἱ
ὁ
σύντρεις
παρὰ
παρά
μονάδα
μονάς
τῷ
τῷ
ἑξῆς
ἑξῆς
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
προχωροῦν
ἄπταιστον
ἄπταιστος
εὑρήσεις
εὑρίσκω
.
.
κἀκεῖνο
ἐκεῖνος
δὲ
δέ
μεμνῆσθαι
μιμνήσκω
ἀναγκαιότατον
ἀναγκαῖος
·
·
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἄρτιοι
ἄρτιος
ὦσιν
εἰμί
αἱ
ὁ
τοῦ
ὁ
προκεχειρισμένου
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίου
ἐκθέσεις
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
πρὸς
πρός
ἄλληλα
ἀλλήλων
πολυπλασιαζομένων
συντελούμενον
ἶσον
ἴσος
ἔσται
εἰμί
τῷ
τῷ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
μέσων
πρὸς
πρός
ἄλληλα
ἀλλήλων
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
περισσαί
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
πρὸς
πρός
ἑαυτό
·
·
ἅπαξ
ἅπαξ
γὰρ
γάρ
ρκη
ἐν
ἐν
ἀρτίαις
ἐκθέσεσιν
ἶσόν
ἴσος
ἐστι
εἰμί
τῷ
τῷ
ὀκτάκις
ὀκτάκις
ιϚ
καὶ
καί
ἔτι
ἔτι
τῷ
τῷ
δὶς
δίς
ξδ
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
τῷ
τῷ
τετράκις
τετράκις
λβ
λβ
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
διʼ
ὅλου
·
·
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
περισσαῖς
ἐκθέσεσιν
ἶσον
ἴσος
τὸ
ὁ
ἅπαξ
ἅπαξ
ξδ
τῷ
τῷ
δὶς
δίς
λβ
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
τῷ
τῷ
τετράκις
τετράκις
ιϚ
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
πάλιν
πάλιν
τῷ
τῷ
ὀκτάκις
ὀκτάκις
η
μόνον
μόνος
μέσου
μέσης
πρὸς
πρός
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
πολλαπλασιαζομένου
.
.
θ
.
.
Ἀρτιοπέριττος
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
τῷ
τῷ
γένει
γένος
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ἄρτιος
ἄρτιος
ὤν
εἰμί
,
,
ἀντιδιαστελλόμενος
δὲ
δέ
ἰδικῶς
τῷ
τῷ
προφρασθέντι
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίῳ
,
,
ὁ
ὁ
τὴν
ὁ
μὲν
μέν
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
διαίρεσιν
ἐπιδεχόμενος
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
κοινὸν
κοινός
γένος
γένος
,
,
τῶν
ὁ
ὅς
μέντοι
μερῶν
μέρος
ἑκάτερον
ἑκάτερος
εὐθὺς
εὐθύς
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
ἄτμητον
ἄτμητος
ἔχων
ἔχω
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
ϛ
ϛ
,
,
ὁ
ὁ
ι
ι
,
,
ὁ
ὁ
ιδ
,
,
ὁ
ὁ
ιη
,
,
ἡ
ὁ
κβ
,
,
ὁ
ὁ
κϛ
,
,
οἱ
ὁ
ὅμοιοι
ὅμοιος
·
·
μετὰ
μετά
γὰρ
γάρ
τὸ
ὁ
διχασθῆναι
ἕκαστον
ἕκαστος
τούτων
οὗτος
ἀδίχαστα
εὐθὺς
εὐθύς
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
.
.
συμβέβηκε
συμβαίνω
δὲ
δέ
αὐτῷ
αὐτός
πᾶν
πᾶς
,
,
ὃ
ἐὰν
ἐάν
εὑρεθῇ
εὑρίσκω
μέρος
μέρος
ἔχων
ἔχω
,
,
ἐναντιώνυμον
τῇ
ὁ
δυνάμει
δύναμις
εἶναι
εἰμί
καὶ
καί
πᾶσαν
πᾶς
μέρους
μέρος
ποσότητα
ἐναντιοδύναμον
τῷ
τῷ
ὀνόματι
ὄνομα
,
,
μηδέποτε
δὲ
δέ
μηδενὶ
μηδείς
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
ὁμογενῆ
ὁμογενής
τὴν
ὁ
δύναμιν
δύναμις
τοῦ
ὁ
μέρους
μέρος
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
ὀνόματι
ὄνομα
ὑπάρχειν
ὑπάρχω
·
·
οἷον
οἷος
ἐφʼ
ἐπί
ἑνὸς
τοῦ
ὁ
ιη
τὸ
ὁ
μὲν
μέν
ἥμισυ
ἥμισυς
ἀρτιακῶς
ὠνομασμένον
ὀνομάζω
ὑπάρχει
θ
θ
,
,
περισσὸν
τῇ
ὁ
δυνάμει
δύναμις
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
περισσῶς
περισσός
περισσῶς
ὀνοματοπεποιημένον
Ϛ
Ϛ
ἄρτιον
ἄρτιος
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
δυνάμει
δύναμις
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐξ
ἐκ
ἀντιστροφῆς
γ
καὶ
καί
τὸ
ὁ
θον
β
,
,
κἀπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
ἑτέρων
ἕτερος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
εὑρεθήσεται
εὑρίσκω
τρόπος
τρόπος
τροπός
.
.
μήτοι
μήτοι
δὲ
δέ
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
παρὰ
παρά
τοῦτο
οὗτος
τοιαύτης
τοιοῦτος
προςηγορίας
τέτευχεν
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἄρτιος
ἄρτιος
ὢν
εἰμί
περισσῶν
περισσός
τῶν
ὁ
ἡμισευμάτων
εὐθὺς
εὐθύς
τετύχηκε
τυγχάνω
.
.
γεννᾶται
γεννάω
δὲ
δέ
καὶ
καί
οὗτος
οὗτος
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
δυάδι
δυάς
διαφερόντων
διαφέρω
,
,
ὅ
ὅς
ἐστι
εἰμί
περισσῶν
περισσός
,
,
εὐτάκτως
εὔτακτος
ἐκτεθέντων
ἐκτίθημι
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
,
,
δυάδι
δυάς
πολυπλασιασθέντων
·
·
οἱ
ὁ
γὰρ
γάρ
ἀποτελούμενοι
γένοιντο
ἂν
ἄν
τάξει
τάξις
οὗτοι
οὗτος
Ϛ
Ϛ
,
,
ι
ι
,
,
ιδ
,
,
ιη
,
,
κβ
,
,
κϛ
,
,
λ
,
,
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
προχωρεῖν
προχωρέω
ἐθέλῃς
ἐθέλω
·
·
διαφέρουσι
διαφέρω
δὲ
δέ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
τετράδι
τετράς
οἱ
ὁ
μείζονες
μέγας
ἀεὶ
ἀεί
τῶν
ὁ
ἐγγὺς
ἐγγύς
ἐλαττόνων
·
·
αἴτιον
αἴτιος
δὲ
δέ
τούτου
οὗτος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οἱ
ἕ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
γνώμονες
αὐτῶν
αὐτός
,
,
τουτέστιν
οἱ
ὁ
περισσοί
,
,
δυάδι
δυάς
ἀλλήλων
ἀλλήλων
ὑπερ
φέροντες
φέρω
δυάδι
δυάς
ἐμηκύνθησαν
,
,
ἵνα
ἵνα
οὗτοι
οὗτος
γένωνται
γίγνομαι
,
,
δυὰς
δὲ
δέ
δυάδα
δυάς
πολυπλασιάσασα
τετράδα
τετράς
ποιεῖ
ποιέω
.
.
ἐν
ἐν
οὖν
οὖν
τῷ
τῷ
φυσικῷ
φυσικός
ὕφει
ὕφος
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
εὑρεθήσονται
οἱ
ὁ
ἀρτιοπέρισσοι
πέμπτοι
πέμπτος
πεμπτός
μὲν
μέν
ἀπʼ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
,
,
τετράδι
τετράς
δὲ
δέ
ὑπερέχοντες
ὑπερέχω
,
,
τρεῖς
δὲ
δέ
ὑπερβαίνοντες
ὑπερβαίνω
,
,
δυάδι
δυάς
δὲ
δέ
μηκυνομένων
τῶν
ὁ
περισσῶν
περισσός
γεννώμενοι
.
.
ἐναντιοπαθεῖν
δὲ
δέ
λέγονται
λέγω
τοῖς
ὁ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίοις
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
τούτων
οὗτος
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
μέγιστον
μέγας
ἄκρον
ἄκρον
μόνον
μόνος
διαιρετόν
διαιρετός
,
,
ἐκείνων
ἐκεῖνος
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
μόνον
μόνος
ἦν
εἰμί
ἀδιαίρετον
·
·
καὶ
καί
δὴ
δή
καί
καί
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἐπʼ
ἐκείνων
ἐκεῖνος
μὲν
μέν
ἡ
ὁ
ἀντιπερίστασις
τῶν
ὁ
μερῶν
μέρα
ἀπʼ
ἀπό
ἀκροτήτων
εἰς
εἰς
μεσότητα
μεσότης
ἢ
τίη
μεσόσητας
ἀπετέλει
ἀποτελέω
τὸ
ὁ
ὑπό
ὑπό
‾
‾
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπό
ἀπό
‾
‾
ἢ
ἤ
τῷ
τῷ
ὑπό
ὑπό
‾
‾
·
·
τούτων
οὗτος
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
ἀμοιβὴν
ἀμοιβή
καὶ
καί
ἐξέτασιν
ἐξέτασις
ὑποδιπλάσιον
τὸ
ὁ
μέσον
μέσος
τῶν
ὁ
δύο
γε
ἄκρων
ἄκρον
συντεθέντων
συντίθημι
,
,
ἢ
τίη
εἰ
εἰ
δύο
γε
εἴη
εἰμί
τὰ
ὁ
μέσα
,
,
καὶ
καί
αὐτὰ
αὐτός
ἶσα
ἴσος
ἀμφότερα
ἀμφότερος
τοῖς
ὁ
δυσὶν
ἄκροις
ἄκρον
.
.
ι
.
.
Περισσάρτιος
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
τὸ
ὁ
τρίτον
τρίτος
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
ἀρτίου
ἄρτιος
ἐμφαίνων
ἐμφαίνω
,
,
κοινὸς
κοινός
ὢν
εἰμί
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τῶν
ὁ
εἰρημένων
λέγω
ὡςανεὶ
δύο
γε
ἀκροτήτων
μία
τις
τις
ὢν
εἰμί
αὐτὸς
αὐτός
μεσότης
·
·
ὅμοιος
ὅμοιος
γὰρ
γάρ
κατὰ
κατά
μέν
μέν
τι
τις
τῷ
τῷ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίῳ
ὑπάρχει
ὑπάρχω
,
,
κατὰ
κατά
δέ
δέ
τι
τι
τῷ
τῷ
ἀρτιοπερίσσῳ
,
,
καὶ
καί
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ὅς
ἑτέρου
ἕτερος
ἀπήλλακται
ἀπαλλάσσω
ἀπαλλαξείω
,
,
τούτῳ
οὗτος
κοινωνεῖ
τῷ
ὁ
λοιπῷ
,
,
δὲ
δέ
κοινόν
κοινός
τι
τις
ἔχει
ἔχω
πρὸς
πρός
ἕτερον
ἕτερος
,
,
τούτῳ
οὗτος
διαφέρει
διαφέρω
τοῦ
ὁ
λοιποῦ
λοιπός
.
.
ἔστι
εἰμί
δέ
δέ
,
,
ὅταν
ὅταν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἄρτιος
ἄρτιος
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
διαιρεθῆναι
διαιρέω
δυνάμενος
διαιρούμενα
διαιρέω
ὁμοίως
ὅμοιος
τὰ
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρη
μέρος
ἔχῃ
ἔχω
,
,
ἔστι
εἰμί
δʼ
δέ
ὅτε
καὶ
καί
τῶν
ὁ
μερῶν
μέρος
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
,
,
μέχρι
μέχρι
μέντοι
μονάδος
μονάς
μὴ
μή
δυνάμενος
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
μερῶν
μέρος
λύσιν
λύσις
ἀγαγεῖν
ἄγω
·
·
οἷός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
κδ
,
,
ὁ
ὁ
κη
,
,
ὁ
ὁ
μ
·
·
ἥμισυ
ἥμισυς
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἕκα
αστος
τούτων
οὗτος
ἴδιον
ἴδιος
ἔχει
ἔχω
καὶ
καί
πάντως
πᾶς
πάντως
ἡμίσους
ἥμισυ
ἥμισυς
·
·
ἔστι
εἰμί
δʼ
δέ
ὅτε
ἐν
ἐν
αὐτοῖς
αὐτός
τις
τις
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
πλέον
πλέως
πλέος
τὸν
ὁ
διχασμὸν
ἐπιδεχόμενος
εἰς
εἰς
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
,
,
οὐδεὶς
μέντοι
τὸ
ὁ
παράπαν
παράπαν
μέχρι
μέχρι
τῆς
ὁ
φύσει
φύσις
ἀτόμου
ἄτομος
μονάδος
μονάς
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
μεριστὰ
μεριστός
εἰς
εἰς
ἡμίση
ἥμισυς
ἕξει
ἔχω
.
.
τῷ
τῷ
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
πλείονας
πολύς
πλείων
μιᾶς
τομῆς
τομή
ἐπιδέχεσθαι
ἐπιδέχομαι
ὁμοιοῦται
ὁμοιόω
μὲν
μέν
τῷ
τῷ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίῳ
,
,
ἀφίσταται
ἀφίστημι
ἀφεστήξω
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἀρτιοπερίσσου
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
μὴ
μή
ἀπολήγειν
ἀπολήγω
ποτὲ
ποτε
εἰς
εἰς
μονάδα
μονάς
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τὰς
ὁ
τομὰς
τομή
ὁμοιοῦται
ὁμοιόω
μὲν
μέν
τῷ
τῷ
ἀρτιοπερίσσῳ
,
,
ἀφίσταται
ἀφίστημι
ἀφεστήξω
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίου
.
.
συμβέκηκε
δʼ
δέ
αὐτῷ
αὐτός
μόνῳ
μόνος
ὑφʼ
ἓν
τὰ
ὁ
ἑκατέρῳ
ἑκάτερος
ἐκείνων
ἐκεῖνος
ἰδίως
ἴδιος
συμβεβηκότα
συμβαίνω
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἃ
ὅς
ὅς2
μηδετέρῳ
μηδέτερος
·
·
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
ἐκείνων
ἐκεῖνος
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
μέγιστον
μέγας
μόνον
μόνος
μέρος
μέρος
εἶχε
ἔχω
τμητόν
τμητός
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
μικρότατον
μόνον
μόνος
ἄτμητον
ἄτμητος
,
,
οὗτος
οὗτος
δὲ
δέ
οὐδέτερον
οὐδέτερος
·
·
πλείονα
πολύς
πλείων
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
τοὺ
ἑνὸς
τμήματα
τμῆμα
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
μείζονι
μέγας
μέρει
μέρος
ἔχων
ἔχω
ὁρᾶται
ὁράω
,
,
πλείονα
πολύς
πλείων
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἑνὸς
ἄτμητα
ἄτμητος
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
ἐλάττονι
.
.
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἐστὶν
εἰμί
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
τινα
τις
μὲν
μέν
μέρη
μέρος
μὴ
μή
ἐναντιωνυμοῦντα
ταῖς
ὁ
δυνάμεσι
δύναμις
μηδʼ
ἑτερογενοῦντα
πρὸς
πρός
αὐτὰς
αὐτός
κατʼ
κατά
εἰκόνα
εἰκών
τοῦ
ὁ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίου
,
,
ἔνεστι
ἔνειμι
εἰμί
δὲ
δέ
πάντως
πᾶς
πάντως
καὶ
καί
ἕτερα
ἕτερος
ἐναντιωνυμούμενα
ἑτερογενῶς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
δυνάμεων
δύναμις
κατʼ
κατά
εἰκόνα
εἰκών
τοῦ
ὁ
ἀρτιοπερίσσου
·
·
οἷον
οἷος
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
κδ
οὐκ
οὐ
ἐναντιωνυμεῖ
μὲν
μέν
μέρη
μέρος
δυνάμεσι
δύναμις
,
,
τέταρτον
τέταρτος
Ϛ
Ϛ
,
,
ἥμισυ
ἥμισυς
ιβ
,
,
ἕκτον
ἕκτος
δ
,
,
δωδέκατον
δωδέκατος
β
,
,
ἐναντιοπαθεῖ
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
η
,
,
ὄγδοον
γ
,
,
εἰκοστοτέταρτον
α
·
·
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
λοιπῶν
λοιπός
παραπλησίως
παραπλήσιος
.
.
γεννᾶται
γεννάω
δὲ
δέ
οὗτος
οὗτος
ἐφόδῳ
ἔφοδος3
ἔφοδος
τινὶ
ποικιλωτέρᾳ
σημαίνων
σημαίνω
τρόπον
τρόπος
τροπός
τινὰ
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
γενέσει
γένεσις
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
μῖγμα
μῖγμα
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
ἐστίν
εἰμί
·
·
ἐπειδὴ
ἐπεί
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἄρτιος
ἄρτιος
ἐξ
ἐκ
ἀρτίων
ὑφίσταται
ὑφίστημι
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
διπλασίων
διπλάσιος
ἐς
εἰς
ἀεί
ἀεί
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ἀρτιοπέρισσος
ἀπὸ
ἀπό
περισσῶν
περισσός
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
προιόντων
ἐς
εἰς
ἀεί
ἀεί
,
,
ἀναγκαῖον
ἀναγκαῖος
τοῦτον
οὗτος
ἐξ
ἐκ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τῶν
ὁ
γενῶν
συνυφαίνεσθαι
,
,
ὡς
ὡς
κοινὸν
κοινός
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
.
.
ἐκθώμεθα
δὴ
δή
τοὺς
ὁ
ὅς
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
περιττοὺς
ἰδίᾳ
ἴδιος
εὐτάκτως
εὔτακτος
ἐν
ἐν
ἑνὶ
στίχῳ
στίχος
γ
γ
,
,
ε
,
,
ζ
ζ
,
,
θ
θ
,
,
ια
,
,
ιγ
,
,
ιε
,
,
ιζ
,
,
ιθ
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
τοὺς
ὁ
δὲ
δέ
ἀπὸ
ἀπό
τετράδος
τετράς
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίους
ἄρτιος
πάλιν
πάλιν
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἐν
ἐν
ἑτέρῳ
ἕτερος
στίχῳ
στίχος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τάξιν
τάξις
τὴν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
,
,
λβ
,
,
ξδ
,
,
ρκη
,
,
σνϚ
σνϚ
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
.
.
ἀπὸ
ἀπό
ὁποτέρου
δὴ
δή
στίχου
στίχος
(
(
ἀδιάφορον
γάρ
γάρ
)
)
τῷ
ὁ
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
κειμένῳ
ἀριθμῷ
ἀριθμός
πολυπλασίαζε
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
πάντας
πᾶς
ἑξῆς
ἑξῆς
τοὺς
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
λοιπῷ
λοιπός
στίχῳ
στίχος
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
ἀποτελουμένους
σημειοῦ
,
,
εἶτα
πάλιν
πάλιν
τοῦ
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
στίχου
τῷ
τῷ
δευτέρῳ
δεύτερος
ἀριθμῷ
ἀριθμός
πολυπλασίαζε
τοὺς
ὁ
αὐτοὺς
αὐτός
ἄνωθεν
ἄνωθεν
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ2
ὅς
ὅς2
ἕ
ἔχεις
ἔχω
,
,
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
γινομένους
ἀπογράφου
·
·
εἶτα
εἶτα
τῷ
τῷ
τρίτῳ
τρίτος
πάλιν
πάλιν
ἀριθμῷ
ἀριθμός
τοὺς
ὁ
αὐτοὺς
αὐτός
ἄνωθεν
ἄνωθεν
,
,
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
προχωρῇς
,
,
οὐδένες
ἄλλοι
ἄλλος
σοι
ἀπογεννήσονται
πλὴν
πλήν
οἱ
ὁ
περισσάρτιοι
.
.
χάριν
χάρις
δὲ
δέ
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
χρησώμεθα
τῷ
ὁ
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
ἀριθμῷ
ἀριθμός
τοῦ
ὁ
στίχου
στίχος
τῶν
ὁ
περισσῶν
περισσός
καὶ
καί
πολυπλασιάσωμεν
αὐτῷ
αὐτός
τοὺς
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
ἑτέρῳ
ἕτερος
στίχῳ
στίχος
τάξει
τάξις
πάντας
πᾶς
,
,
τρὶς
τρίς
δ
,
,
τρὶς
τρίς
η
,
,
τρὶς
τρίς
ιϚ
,
,
τρὶς
τρίς
λβ
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
ἤπειρος
·
·
ἔσονται
εἰμί
γὰρ
γάρ
ιβ
,
,
κδ
,
,
μη
,
,
?
?
?
?
Ϛ
Ϛ
,
,
οὓς
ὅς
ὅς2
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
σημειώσασθαι
σημειόω
ἐν
ἐν
ἑνὶ
στίχῳ
στίχος
·
·
εἶτα
εἶτα
ἀπʼ
ἄλλης
ἄλλος
ἀρχῆς
ἀρχή
πάλιν
πάλιν
τῷ
ὁ
δευτέρῳ
δεύτερος
ἀριθμῷ
ἀριθμός
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
ποίει
ποιέω
,
,
πεντάκις
πεντάκις
δ
,
,
πεντάκις
πεντάκις
η
,
,
πεντάκις
πεντάκις
ιϚ
,
,
πεντάκις
πεντάκις
λβ
·
·
ἀποτελεσθήσονται
γὰρ
γάρ
οἵδε
ὅδε
κ
κ
,
,
μ
μ
,
,
π
,
,
ρξ
·
·
εἶτα
εἶτα
πάλιν
πάλιν
τῷ
ὁ
τρίτῳ
τρίτος
ἀριθμῷ
ἀριθμός
τῷ
τῷ
ζ
ζ
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
ποίει
ποιέω
,
,
ἑπτάκις
ἑπτάκις
δ
,
,
ἑπτάκις
ἑπτάκις
η
,
,
ἑπτάκις
ἑπτάκις
ιϛ
,
,
ἑπτάκις
ἑπτάκις
λβ
·
·
οἱ
ὁ
γὰρ
γάρ
γινόμενοί
εἰσιν
εἰμί
κη
,
,
νϚ
νϚ
,
,
ριβ
,
,
σκδ
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτά
αὐτός
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
,
,
προχωρεῖν
προχωρέω
συμφωνήσει
συμφωνέω
σοι
·
·
γ
ε
ζ
θ
θ
ια
ιγ
ιε
δ
δ
η
ιϚ
λβ
λβ
ξδ
ξδ
ρκη
σνϚ
οἱ
ἕ
γνώ
-
-
μονες
τοῦ
ὁ
περισσαρ
-
-
τίου
.
.
πλάτος
πλάτος
.
.
ιβ
κδ
μη
?
?
?
?
Ϛ
Ϛ
ρ
ρ
?
?
?
?
β
τπδ
ψξη
κ
κ
μ
μ
π
π
ρξ
τκ
χμ
‚
‚
ασπ
κη
νϚ
ριβ
σκδ
υμη
ω
ω
?
?
?
?
Ϛ
Ϛ
‚
‚
αψ
?
?
?
?
β
λϚ
οβ
ρμδ
σπη
φοϚ
‚
‚
αρνβ
‚
‚
βτδ
μδ
πη
πη
ροϚ
τνβ
ψδ
‚
ανη
‚
‚
βωιϚ
οἱ
ὁ
περισσάρτιοι
.
.
μῆκος
μῆκος
.
.
ὅταν
ὅταν
δὴ
δή
τοὺς
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἑκάστου
ἕκαστος
πολυπλασιασμοὺς
ἐν
ἐν
ἰδίῳ
ἴδιος
στίχῳ
στίχος
τάξῃς
τάσσω
παραλλήλους
παράλληλος
ποιούμενος
ποιέω
τοὺς
ὁ
στίχους
στίχος
,
,
φανήσεταί
σοι
θαυμαστῶς
θαυμαστός
κατὰ
κατά
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
πλάτος
πλάτος
συμβαῖνον
συμβαίνω
τὸ
ὁ
τῶν
ὁ
ἀρτιοπερίσσων
·
·
ἰδίωμα
ἰδίωμα
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἀεὶ
ἀεί
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρων
ὁ
ὁ
μέσος
μέσος
ὑποδιπλάσιος
,
,
εἰ
εἰ
εἷς
εἴη
εἰμί
,
,
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
δύο
γε
μέσοι
,
,
ἶσοι
ἴσος
κατὰ
κατά
σύνθεσιν
·
·
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
μῆκος
μῆκος
τὸ
ὁ
τῶν
ὁ
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίων
·
·
τὸ
ὁ
γὰρ
γάρ
ὑπό
ὑπό
‾
‾
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπό
ἀπό
‾
‾
,
,
εἰ
εἰ
μία
εἴη
εἰμί
μεσότης
μεσότης
,
,
ἢ
ἤ
τῷ
τῷ
ὑπό
ὑπό
‾
‾
,
,
εἰ
εἰ
δύο
γε
εἴησαν
εἰμί
·
·
ὥςτε
τὰ
ὁ
ὅς
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
ἰδιώματα
ἰδίωμα
τούτῳ
οὗτος
μόνῳ
μόνος
συμβέβηκεν
συμβαίνω
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
ὄντι
εἰμί
φυσικῷ
φυσικός
μίγματι
μῖγμα
αὐτῶν
αὐτός
.
.
ια
.
.
Τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
περισσοῦ
περισσός
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
καθʼ
ὑποδιαίρεσιν
διακεκριμένου
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἄρτιον
ἄρτιος
καὶ
καί
κατὰ
κατά
μηδὲν
κοινωνοῦντος
,
,
εἴπερ
εἴπερ
ἐκεῖνος
ἐκεῖνος
μὲν
μέν
διχὴ
εἰς
εἰς
ἶσα
ἴσος
διαιρετός
,
,
οὗτος
οὗτος
δὲ
δέ
εἰς
εἰς
δύο
γε
ἶσα
ἴσος
ἀδιαίρετος
ἀδιαίρετος
,
,
τρία
ὁμοίως
ὅμοιος
εἴδη
εἶδος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
ἀλλήλων
ἀλλήλων
διαφέροντα
διαφέρω
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
καλεῖται
καλέω
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ἀντικείμενον
τούτῳ
οὗτος
δεύτερο
δεύτερο
καὶ
καί
σύνθετον
σύνθετος
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
μεταιχμίῳ
μεταίχμιον
μεταίχμιος
ἀμφοῖν
ἄμφω
τούτοιν
θεωρούμενον
θεωρέω
ὡς
ὡς
μεσότης
ἐν
ἐν
ἀκρότησιν
,
,
ὃ
ὅς
καθʼ
κατά
ἑαυτὸ
ἑαυτοῦ
μὲν
μέν
δεύτερον
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετον
,
,
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
δὲ
δέ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
.
.
Τὸ
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
πρώτιστον
πρώτιστος
εἶδος
εἶδος
τὸ
ὁ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
γίνεται
γίγνομαι
,
,
ὅταν
ὅταν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
περισσὸς
μόριον
μόριον
μηδὲν
μηδείς
ἕτερον
ἕτερος
ἐπιδέχηται
ἐπιδέχομαι
,
,
εἰ
εἰ
μὴ
μή
τὸ
ὁ
παρώνυμον
παρώνυμος
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
,
,
ὃ
ὅς
καὶ
καί
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
μονὰς
μονή
ἔσται
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
γ
,
,
ὁ
ὁ
ε
,
,
ὁ
ὁ
ζ
ζ
,
,
ὁ
ὁ
ια
,
,
ὁ
ὁ
ιγ
,
,
ὁ
ὁ
ιζ
,
,
ὁ
ὁ
ιθ
,
,
ὁ
ὁ
κγ
,
,
ὁ
ὁ
κθ
,
,
ὁ
ὁ
λα
·
·
τούτων
οὗτος
δὲ
δέ
ἕκαστος
ἕκαστος
οὐδεμιᾷ
οὐδείς
μηχανῇ
μηχανή
εὑρεθήσεται
εὑρίσκω
ἔχων
ἔχω
ἑτερώνυμον
μόριον
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
μόνον
μόνος
τὸ
ὁ
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
παρώνυμον
παρώνυμος
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μονάδα
μονάς
πάντως
πᾶς
πάντως
ἐν
ἐν
ἑκάστῳ
ἕκαστος
·
·
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
γ
μόνον
μόνος
τρίτον
τρίτος
τὸ
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
παρώνυμον
παρώνυμος
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
πάντως
πᾶς
πάντως
μονάδα
μονάς
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ε
μόνον
μόνος
πέμπτον
πέμπτος
πεμπτός
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ζ
ζ
μόνον
μόνος
ἕβδομον
ἕβδομος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ια
μόνον
μόνος
ἑνδέκατον
ἑνδέκατος
,
,
καὶ
καί
ἐν
ἐν
πᾶσι
πᾶς
ταῦτα
οὗτος
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
μονὰς
μονή
ὑπάρχει
ὑπάρχω
.
.
τέτευχε
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ὀνόματος
ὄνομα
τούτου
οὗτος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
τῷ
τῷ
κοινῷ
κοινός
πάντων
πᾶς
ἀριθμῷ
ἀριθμός
καὶ
καί
πρωτίστῳ
πρώτιστος
μονάδι
μονάς
μόνῃ
μόνος
δύναται
δύναμαι
μετρεῖσθαι
μετρέω
,
,
ἑτέρῳ
ἕτερος
δὲ
δέ
οὐδενί
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ὑπ’
ὑπό
οὐδενὸς
ἑτέρου
ἕτερος
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
συντεθέντος
συντίθημι
γεγένηται
γίγνομαι
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
μόνης
μόνος
μονάδος
μονάς
,
,
πεντάκις
πεντάκις
μὲν
μέν
συντεθείσης
συντίθημι
ὁ
ὁ
ε
,
,
ἑπτάκις
ἑπτάκις
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
ζ
ζ
,
,
καὶ
καί
οἱ
ὁ
λοιποὶ
λοιπός
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἑαυτῶν
ἑαυτοῦ
ποσότητα
·
·
αὐτῶν
αὐτός
μέντοι
μέντοι
συντεθέντων
συντίθημι
ἑαυτοῖς
ἑαυτοῦ
δύναιντʼ
ἂν
ἐάν
ἄλλοι
ἄλλος
γενέσθαι
γίγνομαι
ἀπὸ
ἀπό
πηγῆς
πηγή
ὡςανεὶ
καὶ
καί
ῥίζης
ῥίζα
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
ἀρχόμενοι
ἄρχω
,
,
διόπερ
διό
διόπερ
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
καλοῦνται
καλέω
ὡςανεὶ
ἀρχαὶ
ἀρχή
ἐκείνων
ἐκεῖνος
προυποκείμενοι
·
·
ἀρχὴ
ἀρχή
δὲ
δέ
πᾶσα
πᾶς
στοιχειώδης
καὶ
καί
ἀσύνθετος
ἀσύνθετος
,
,
εἰς
εἰς
ἣν
ὅς
ὅς2
πάντα
πᾶς
ἀναλύεται
ἀναλύω
καὶ
καί
ἐξ
ἐκ
ἧς
ὅς
ὅς2
πάντα
πᾶς
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
,
,
αὐτὴ
αὐτός
δὲ
δέ
εἰς
εἰς
οὐδὲν
καὶ
καί
ἐξ
ἐκ
οὐδενός
.
.
ιβ
.
.
Δεύτερος
δεύτερος
δὲ
δέ
καὶ
καί
σύνθετός
σύνθετος
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
περισσὸς
μὲν
μέν
διὰ
διά
τὸ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἑνὸς
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
γένους
γένος
διακεκρίσθαι
διακρίνω
,
,
ἀρχοειδὲς
ἀρχοειδής
δὲ
δέ
οὐδὲν
οὐδείς
ἔχων
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
·
·
συντεθέντος
συντίθημι
γὰρ
γάρ
ἑτέρου
ἕτερος
τινὸς
τὴν
ὁ
γένεσιν
γένεσις
αὐτὸς
αὐτός
ἔσχε
ἔχω
·
·
διόπερ
συμβαίνει
συμβαίνω
αὐτῷ
αὐτός
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
παρωνύμῳ
μέρει
μέρος
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
ἑτερώνυμον
ἢ
ἤ
ἑτερώνυμα
κεκτῆσθαι
κτάομαι
κτέομαι
,
,
τὸ
ὁ
μὲν
μέν
παρώνυμον
παρώνυμος
καθὰ
καθά
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
πάντων
πᾶς
μονάδα
μονάς
εἶναι
εἰμί
πάντως
πᾶς
πάντως
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ἑτερώνυμον
ἢ
τίη
ἑτερώνυμα
οὐδέποτε
οὐδέποτε
μονάδα
μονάς
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
πάντως
πᾶς
πάντως
ἢ
τίη
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
ἢ
τίη
ἐκείνους
ἐκεῖνος
,
,
ὧν
συντεθέντων
συντίθημι
ἀπετελέσθη
ἀποτελέω
,
,
οἷον
οἷος
θ
θ
,
,
ιε
,
,
κα
,
,
κε
ἄν
,
,
κζ
,
,
λγ
λγ
,
,
λε
,
,
λθ
·
·
τούτων
οὗτος
γὰρ
γάρ
ἕκαστος
ἕκαστος
καὶ
καί
ὑπὸ
ὑπό
μονάδος
μονάς
μετρεῖται
μετρέω
ὡς
ὡς
οἱ
ὁ
ἕτεροι
ἕτερος
καὶ
καί
παρώνυμον
παρώνυμος
ἔχει
ἔχω
μέρος
μέρος
ὡς
ὡς
κἀκεῖνοι
ἐκεῖνος
διὰ
διά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
κοινοῦ
γένους
γένος
φύσιν
φύσις
,
,
ἐξηλλαγμένως
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἰδιαίτερον
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
ἑτερωνύμῳ
μέρει
μέρος
ἢ
ἤ
μέρεσι
μέρος
χρῆται
χράω2
χράομαι
χραύω
χράω
,
,
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
θ
θ
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ἐνάτῳ
ἔνατος
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
τρίτῳ
τρίτος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιε
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
τρίτῳ
τρίτος
καὶ
καί
πέμπτῳ
πέμπτος
πεμπτός
πρὸς
πρός
τῷ
ὁ
ιεῳ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κα
καὶ
καί
ἑβδόμῳ
ἕβδομος
καὶ
καί
τρίτῳ
τρίτος
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
εἰκοστοπρώτῳ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κε
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
εἰκοστοπέμπτῳ
τῷ
ὁ
παρωνύμῳ
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
ἑτερωνύμῳ
χρῆται
χράω2
χράομαι
χραύω
χράω
τῷ
ὁ
πέμπτῳ
πέμπτος
πεμπτός
.
.
δεύτερος
δεύτερος
οὖν
οὖν
λέγεται
λέγω
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
ἄλλῳ
ἄλλος
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
μονάδι
μονάς
μέτρῳ
μέτρον
δύναται
δύναμαι
χρῆσθαι
χράω2
χράομαι
χραύω
χράω
,
,
καὶ
καί
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οὐκ
οὐ
ἀρχοειδής
,
,
ἀλλʼ
ἑτέρου
ἕτερος
προςτεθέντος
πρὸς
πρός
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
ἢ
ἤ
πρὸς
πρός
ἕτερον
ἕτερος
συντεθέντος
συντίθημι
αὐτὸς
αὐτός
ἐγένετο
γίγνομαι
,
,
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
θ
θ
τοῦ
ὁ
ὅς
γ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιε
τοῦ
ὁ
ὅς
ε
ἢ
τίη
νὴ
Δία
Ζεύς
τοῦ
ὁ
γ
,
,
καὶ
καί
οἱ
ἕ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
λόγον
λόγος
·
·
σύνθετος
σύνθετος
δὲ
δέ
ἐκ
ἐκ
τοιαύτης
τοιοῦτος
αἰτίας
αἰτία
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
διαλυθείη
διαλύω
ἂν
ἄν
εἰς
εἰς
ἐκείνους
ἐκεῖνος
,
,
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
συνέστηκεν
συνίστημι
,
,
εἴπερ
εἴπερ
καὶ
καί
μετρηθείη
ἂν
ἐάν
ὑπ’
ὑπό
αὐτῶν
αὐτός
·
·
οὐδὲν
δὲ
δέ
διαλυτὸν
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
πάντως
πᾶς
πάντως
σύνθετον
σύνθετος
.
.
ιγ
.
.
Ἀντικειμένων
δὴ
δή
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
τῶν
ὁ
δύο
γε
τούτων
οὗτος
εἰδῶν
εἰδοί
τοῦ
ὁ
περισσοῦ
περισσός
τρίτον
τρίτος
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
τι
θεωρεῖται
θεωρέω
οἱονεὶ
ἐξ
ἐκ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
εἰδοποιούμενον
τὸ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
αὑτὸ
ἑαυτοῦ
μὲν
μέν
δεύτερον
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετον
,
,
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
δὲ
δέ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
,
,
ὅταν
ὅταν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
κοινῷ
κοινός
μέτρῳ
μέτρον
τῇ
ὁ
μονάδι
μονάς
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
ἑτέρῳ
ἕτερος
μετρεῖταί
τινι
μέτρῳ
μέτρον
καὶ
καί
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
δυνάμενος
καὶ
καί
ἑτερώνυμον
μέρος
μέρος
ἢ
τίη
μέρη
μέρος
ἐπιδέξασθαι
ἐπιδέχομαι
ἐπιδείκνυμι
πρὸς
πρός
τῷ
ὁ
παρωνύμῳ
,
,
πρὸς
πρός
ἄλλον
ἄλλος
τινὰ
ὁμοίως
ὅμοιος
ἔχοντα
ἔχω
ἀντεξεταζόμενος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
μήτε
μήτε
κοινῷ
κοινός
μέτρῳ
μέτρον
μετρηθῆναι
μετρέω
δυνάμενος
πρὸς
πρός
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
,
,
μήτε
μήτε
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
ὁμώνυμον
ὁμώνυμος
μέρος
μέρος
ἔχων
ἔχω
τῶν
ὁ
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
ἐν
ἐν
ἐκείνῳ
ἐκεῖνος
·
·
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
θ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
κε
ἄν
·
·
ἑκάτερος
ἑκάτερος
γὰρ
γάρ
καθʼ
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
δεύτερός
δεύτερος
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
σύνθετος
σύνθετος
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
ἀλλήλους
ἀλλήλων
μονάδι
μονάς
μόνῃ
μόνος
κοινῷ
κοινός
μέτρῳ
μέτρον
χρῶνται
χράω2
χράομαι
χραύω
χράω
καὶ
καί
οὐδὲν
μόριον
μόριον
ὁμωνυμεῖ
ἐν
ἐν
ἀμφοτέροις
ἀμφότερος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τὸ
ὁ
ἐν
ἐν
τούτῳ
οὗτος
τρίτον
τρίτος
οὐκ
οὐ
ἔστιν
εἰμί
ἐν
ἐν
ἐκείνῳ
ἐκεῖνος
οὐδὲ
οὐδέ
τὸ
ὁ
ἐν
ἐν
ἐκείνῳ
ἐκεῖνος
πέμπτον
πέμπτος
πεμπτός
ἐν
ἐν
τούτῳ
οὗτος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
.
.
Ἡ
ὁ
δὲ
δέ
τούτων
οὗτος
γένεσις
γένεσις
ὑπὸ
ὑπό
Ἐρατοσθένους
Ἐρατοσθένης
καλεῖται
καλέω
κόσκινον
κόσκινον
,
,
ἐπειδὴ
ἐπεί
ἀναπεφυρμένους
τοὺς
ὁ
περισσοὺς
περισσός
λαβόντες
λαμβάνω
καὶ
καί
ἀδιακρίτους
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
τῇ
ὁ
τῆς
ὁ
γενέσεως
γένεσις
μεθόδῳ
μέθοδος
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
διαχωρίζομεν
,
,
ὡς
ὡς
διʼ
ὀργάνου
ἢ
τίη
κοσκίνου
τινὸς
καὶ
καί
ἰδίᾳ
ἴδιος
μὲν
μέν
τοὺς
ὁ
πρώτους
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσυνθέτους
ἀσύνθετος
,
,
ἰδίᾳ
ἴδιος
δὲ
δέ
τοὺς
ὁ
δευτέρους
δεύτερος
καὶ
καί
συνθέτριάδος
τους
,
,
χωρὶς
χωρίς
δὲ
δέ
τοὺς
ὁ
μικτοὺς
εὑρίσκομεν
εὑρίσκω
.
.
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
τρόπος
τρόπος
τροπός
τοῦ
ὁ
κοσκίνου
τοιοῦτος
τοιοῦτος
·
·
ἐκθέμενος
ἐκτίθημι
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
πάντας
πᾶς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
περισσοὺς
περισσός
ὡς
ὡς
δυνατὸν
δυνατός
μάλιστα
μάλιστα
ἐπὶ
ἐπί
μήκιστον
μήκιστος
στίχον
στίχος
,
,
ἀρξάμενος
ἄρχω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
ἐπισκοπῶ
ἐπισκοπέω
,
,
τίνας
οἷός
τέ
ἐστι
εἰμί
μετρεῖν
μετρέω
,
,
καὶ
καί
εὑρίσκω
εὑρίσκω
δυνατὸν
ὄντα
εἰμί
τοὺς
ὁ
δύο
γε
μέσους
μέσος
παραλείποντας
μετρεῖν
μετρέω
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
ἂν
ἄν
προχωρεῖν
προχωρέω
ἐθέλωμεν
ἐθέλω
,
,
οὐχ
οὐ
ὡς
ὡς
ἔτυχε
τυγχάνω
δὲ
δέ
καὶ
καί
εἰκῆ
εἰκῇ
μετροῦντα
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τὸν
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
πρώτως
πρῶτος
πρώτως
πρότερος
κείμενον
,
,
τουτέστι
τὸν
ὁ
ὅς
δύο
γε
μέσους
μέσος
ὑπερβαίνοντα
ὑπερβαίνω
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
πρωτίστου
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
στίχῳ
στίχος
κειμένου
ποσότητα
μετρήσει
μετρέω
,
,
τουτέστι
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
·
·
τρὶς
τρίς
γὰρ
γάρ
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
δʼ
δέ
ἀπʼ
ἀπό
ἐκείνου
ἐκεῖνος
δύο
γε
διαλείποντα
διαλείπω
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
δευτέρου
δεύτερος
τεταγμένου
τάσσω
·
·
πεντάκις
πεντάκις
γάρ
γάρ
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
περαιτέρω
πάλιν
πάλιν
δύο
γε
διαλείποντα
διαλείπω
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
τριτου
τεταγμένου
τάσσω
·
·
ἑπτάκις
ἑπτάκις
γάρ
γάρ
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἔτι
ἔτι
περαιτέρω
ὑπὲρ
ὑπέρ
δύο
γε
κείμενον
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
τετάρτου
τέταρτος
τεταγμένου
τάσσω
·
·
ἐνάκις
ἐνάκις
γάρ
γάρ
·
·
καὶ
καί
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
.
.
εἶτα
εἶτα
μετὰ
μετά
τοῦτον
οὗτος
ἀπʼ
ἀπό
ἄλλης
ἄλλος
ἀρχῆς
ἀρχή
ἐπὶ
ἐπί
τὸν
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
ἐλθὼν
ἔρχομαι
σκοπῶ
σκοπέω
,
,
τίνας
οἷός
τέ
ἐστι
εἰμί
μετρεῖν
μετρέω
,
,
καὶ
καί
εὑρίσκω
εὑρίσκω
πάντας
πᾶς
τοὺς
ὁ
τετράδα
διαλείποντας
διαλείπω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τὸν
ὁ
μὲν
μέν
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
στίχῳ
στίχος
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
τεταγμένου
τάσσω
ποσότητα
·
·
τρὶς
τρίς
γάρ
γάρ
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
δεύτερον
δεύτερος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
δευτέρου
·
·
πεντάκις
πεντάκις
γάρ
γάρ
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
τρίτου
·
·
ἑπτάκις
ἑπτάκις
γάρ
γάρ
·
·
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἀεί
ἀεί
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἄνωθεν
ἄνωθεν
ὁ
ὁ
τρίτος
τρίτος
ὁ
ὁ
ζ
ὁ
ὁ
τὸ
ὁ
μέτρον
μέτρον
παραλαβὼν
παραλαμβάνω
μετρήσει
μετρέω
τοὺς
ὁ
ἓξ
διαλείποντας
διαλείπω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τὸν
ὁ
μὲν
μέν
πρώτιστον
πρώτιστος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
γ
ποσότητα
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
κειμένου
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
δεύτερον
δεύτερος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ε
·
·
δευτεροταγὴς
γὰρ
γάρ
οὗτος
οὗτος
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ζ
ζ
·
·
τρίτην
τρίτος
γὰρ
γάρ
ἔχει
ἔχω
καὶ
καί
οὗτος
οὗτος
τάξιν
τάξις
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
στίχῳ
στίχος
.
.
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
ἀναλογίαν
ἀναλογία
διόλου
ἀπαρεμπόδιστον
προχωρήσει
προχωρέω
σοι
τοῦτο
οὗτος
,
,
ὥςτε
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
μετρεῖν
μετρέω
διαδέξονται
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
στίχῳ
στίχος
αὐτῶν
αὐτός
ἐγκειμένην
τάξιν
τάξις
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
πόσους
διαλείποντας
διαλείπω
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
εὔτακτον
εὔτακτος
τῶν
ὁ
ἀρτίων
προκοπὴν
προκοπή
ἢ
ἤ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῆς
ὁ
χώρας
χώρα
διπλασίασιν
,
,
καθʼ
ἣν
ὅς
ὅς2
ὁ
ὁ
μετρῶν
μετρέω
τέτακται
τάσσω
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ποσάκις
ποσάκις
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
περισσῶν
εὔτακτον
εὔτακτος
προχώρησιν
.
.
ἐὰν
ἐάν
οὖν
οὖν
σημείοις
τισὶν
ἐπιστίξῃς
τοὺς
ὁ
ἀριθμούς
ἀριθμός
,
,
εὑρήσεις
εὑρίσκω
τοὺς
ὁ
μεταλαμβάνοντας
μεταλαμβάνω
τὸ
ὁ
ὅς
μετρεῖν
μετρέω
οὔτε
οὔτε
ἅμα
ἅμα
πάντας
πᾶς
τὸν
ὁ
αὐτόν
αὐτός
ποτε
ποτε
μετροῦντας
μετρέω
,
,
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
ὅτε
οὐδὲ
οὐδέ
δύο
γε
τὸν
ὁ
αὐτόν
αὐτός
,
,
οὔτε
οὔτε
πάντας
πᾶς
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
τοὺς
ὁ
ἐκκειμένους
ὑποπίπτοντας
ὑποπίπτω
μέτρῳ
μέτρον
τινὶ
αὐτῶν
αὐτός
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τινὰς
μὲν
μέν
παντελῶς
παντελής
διαφεύγοντας
διαφεύγω
τὸ
ὁ
μετρηθῆναι
μετρέω
ὑφ’
ὑπό
οὑτινοςοῦν
,
,
τινὰς
δὲ
δέ
ὑπὸ
ὑπό
ἑνὸς
μόνου
μόνος
μετρουμένους
μετρέω
,
,
τινὰς
δὲ
δέ
ὑπὸ
ὑπό
δύο
γε
ἢ
ἤ
καὶ
καί
πλειόνων
πολύς
.
.
οἱ
ὁ
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
μηδαμῶς
μηδαμῶς
μηδαμός
μετρηθέντες
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
διαφυγόντες
διαφεύγω
τοῦτο
οὗτος
πρῶτοί
πρῶτος
εἰσι
εἰμί
καὶ
καί
ἀσύνθετοι
,
,
ὡς
ὡς
ὑπὸ
ὑπό
κοσκίνου
διακριθέντες
διακρίνω
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ὑπὸ
ὑπό
ἑνὸς
μόνου
μόνος
μετρηθέντες
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἑαυτῶν
ἑαυτοῦ
ποσότητα
,
,
ἓν
μόνον
μόνος
μόριον
μόριον
ἑτερώνυμον
ἕξουσι
ἔχω
πρὸς
πρός
τῷ
ὁ
παρωνύμῳ
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ὑπὸ
ὑπό
ἑνὸς
μέν
μέν
,
,
ἑτέρου
ἕτερος
δὲ
δέ
ποσότητι
καὶ
καί
μὴ
μή
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
ἢ
τίη
ὑπὸ
ὑπό
δύο
γε
ὁμοῦ
ὁμοῦ
μετρηθέντες
πλείονα
πολύς
πλείων
ἔξουσι
τὰ
ὁ
ἑτερώνυμα
μέρη
μέρος
πρὸς
πρός
τῷ
ὁ
παρωνύμῳ
·
·
οὗτοι
οὗτος
οὖν
οὖν
ἔσονται
εἰμί
δεύτεροι
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετοι
σύνθετος
.
.
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
μέρος
μέρος
τὸ
ὁ
κοινὸν
κοινός
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
,
,
ὃ
ὅς
καθʼ
κατά
ἑαυτὸ
ἑαυτοῦ
μὲν
μέν
δεύτερον
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετον
,
,
πρὸς
πρός
ἄλλο
ἄλλος
δὲ
δέ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
,
,
ἔσονται
οἱ
ὁ
ἀποτελούμενοι
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
ποσότητα
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσυνθέτου
μετρήσαντός
τινος
,
,
εἴ
εἰ
τις
τις
γενόμενος
γίγνομαι
συγκρίνοιτο
πρὸς
πρός
ἄλλον
ἄλλος
ὡςαύτως
τὴν
ὁ
γένεσιν
γένεσις
ἔχοντα
ἔχω
·
·
ὥςπερ
ὁ
ὁ
θ
(
(
ἐγίνετο
γίγνομαι
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ὅς
γ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
ποσότητα
μετρήσαντος
,
,
τρὶς
τρίς
γάρ
γάρ
)
)
,
,
εἰ
εἰ
συγκρίνοιτο
συγκρίνω
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
κε
ἄν
(
(
ἐγίνετο
γίγνομαι
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ε
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
ποσότητα
μετρήσαντος
,
,
πεντάκις
πεντάκις
γάρ
γάρ
)
)
,
,
κοινὸν
κοινός
μέτρον
μέτρον
τούτοις
οὗτος
οὐδέν
οὐδείς
,
,
εἰ
εἰ
μὴ
μή
μονάς
.
.
ὡς
ὡς
ὡς
δʼ
δέ
ἂν
ἄν
καὶ
καί
μέθοδον
μέθοδος
ἔχοιμεν
ἔχω
διαγνωστικὴν
τῶν
ὁ
ὅς
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
ἤτοι
ἤτοι
πρώτων
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσυνθέτων
ἀσύνθετος
ἢ
τίη
δευτέρων
δεύτερος
καὶ
καί
συνθέτων
σύνθετος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἐκείνων
ἐκεῖνος
μὲν
μέν
κοινὸν
κοινός
μέτρον
μονάς
μονή
ἐστι
εἰμί
,
,
τούτων
οὗτος
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
μονάδι
μονάς
καὶ
καί
ἕτερός
ἕτερος
τις
τις
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
καὶ
καί
ποῖος
ποιός
ποῖος
οὗτος
οὗτος
ὑπάρχει
ὑπάρχω
.
.
εἰ
εἰ
ὁρισθείησαν
ἡμῖν
ἐγώ
δύο
γε
περισσοὶ
ἀριθμοί
,
,
προτείναντός
προτείνω
τινος
καὶ
καί
ἐπιτάξαντος
ἐπιτάσσω
διαγνῶναι
διαγιγνώσκω
,
,
πότερον
πότερος
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
καὶ
καί
ἀσύνθετοί
εἰσιν
εἰμί
ἢ
τίη
δεύτεροι
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετοι
σύνθετος
,
,
καὶ
καί
εἰ
εἰ
δεύτεροι
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετοι
σύνθετος
,
,
ποῖος
ποιός
ποῖος
ἀριθμὸς
ἀριθμός
αὐτῶν
αὐτός
κοινὸν
κοινός
μέτρον
μέτρον
ἐστί
εἰμί
,
,
χρὴ
χρή
ἀντισυγκρίνειν
τοὺς
ὁ
προτεθέντας
ἀριθμοὺς
ἀριθμός
καὶ
καί
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
ἀεὶ
ἀεί
ἀφαιρεῖν
ἀφαιρέω
,
,
ὁσάκις
δυνατόν
δυνατός
,
,
εἶτα
εἶτα
τούτου
οὗτος
ἀφαιρεθέντος
ἀφαιρέω
ἀνταφαιρεῖν
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
λοιποῦ
λοιπός
,
,
ὁσάκις
πάλιν
πάλιν
δυνατόν
δυνατός
·
·
ἡ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
ἀντιπερίστασις
αὕτη
οὗτος
καὶ
καί
ἀνταφαίρεσις
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
ἤτοι
ἤτοι
ἐπὶ
ἐπί
μονάδα
καταλήξει
καταλήγω
ἢ
τίη
ἐπί
ἐπί
τινα
τις
ἕνα
καὶ
καί
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
ἀριθμόν
ἀριθμός
,
,
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
δὲ
δέ
περισσόν
περιίζομαι
.
.
ὅταν
ὅταν
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἐπὶ
ἐπί
μονάδα
μονάς
αἱ
ὁ
ἀφαιρέσεις
ἀφαίρεσις
περαιωθῶσι
,
,
πρώτους
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσυνθέτους
ἀσύνθετος
αὐτοὺς
αὐτός
ἀποφαίνουσι
ἀποφαίνω
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
,
,
ὅταν
ὅταν
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
ἕτερόν
ἕτερος
τινα
ἀριθμὸν
ἀριθμός
περισσὸν
περισσός
τῇ
ὁ
ποσότητι
διφορούμενον
,
,
δευτέρους
δεύτερος
λέγε
λέγω
εἶναι
εἰμί
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
καὶ
καί
συνθέτους
σύνθετος
καὶ
καί
κοινὸν
κοινός
αὐτοῖς
αὐτός
εἶναι
εἰμί
μέτρον
αὐτὸν
αὐτός
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
τὸν
ὁ
διφορούμενον
ἀριθμόν
ἀριθμός
·
·
οἷον
οἷος
ἐὰν
ὁ
ὁ
κγ
προεβλήθη
ἡμῖν
ἐγώ
καὶ
καί
ὁ
ὁ
με
,
,
ἄφελε
τὸν
ὁ
κγ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
τίς
ὅς
με
ἐγώ
,
,
λειφθήσεται
κβ
·
·
τοῦτον
οὗτος
ἀνταφαιρῶν
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
κγ
,
,
λοιπὴ
λοιπός
μονάς
μονάς
·
·
ταύτην
οὗτος
ἀφαιρῶν
ἀφαιρέω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
κβ
,
,
ὁσάκις
δυνατόν
δυνατός
,
,
εἰς
εἰς
μονάδα
μονάς
καταλήξεις
καταλήγω
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετοι
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
εἰσὶ
εἰμί
καὶ
καί
κοινὸν
κοινός
αὐτῶν
αὐτός
μέτρον
μέτρον
ἡ
ὁ
ἀπολειφθεῖσα
ἀπολείπω
μονάς
μονή
.
.
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
ἑτέρους
ἕτερος
ἀριθμοὺς
ἀριθμός
προθείη
τις
τις
,
,
τὸν
ὁ
κα
καὶ
καί
τὸν
ὁ
μθ
μθ
,
,
ἀφαιρῶ
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
ἐλάσσων
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
·
·
λείπεται
λείπω
κη
·
·
εἶτα
εἶτα
πάλιν
πάλιν
ἐκ
ἐκ
τούτου
οὗτος
ἀφαιρῶ
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
κα
(
(
δυνατὸν
δυνατός
γάρ
γάρ
)
)
,
,
λείπεται
λείπω
ζ
ζ
·
·
ταῦτα
οὗτος
ἀνταφαιρῶ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ὅς
κα
,
,
καταλείπεται
καταλείπω
καταλιμπάνω
ιδ
·
·
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
πάλιν
πάλιν
τὰ
ὁ
ζ
ζ
ἀφαιρῶ
(
(
δυνατὸν
δυνατός
γάρ
γάρ
)
)
,
,
λειφθήσεται
ζ
ζ
,
,
ἑβδομάδα
ἑβδομάς
δὲ
δέ
ἀπο
ἑβδομάδος
ἑβδομάς
οὐ
οὐ
δυνατόν
δυνατός
ἀφαιρεθῆναι
ἀφαιρέω
·
·
ἡ
ὁ
ἄρα
ἄρα
κατάληξις
αὐτῶν
αὐτός
εἰς
εἰς
διφορούμενον
τὸν
ὁ
ζ
ζ
ἐπεραιώθη
περαιόω
,
,
δευτέρους
δεύτερος
δὲ
δέ
καὶ
καί
συνθέτους
σύνθετος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
ἀποφαίνου
τοὺς
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
τὸν
ὁ
κα
καὶ
καί
τὸν
ὁ
μθ
καὶ
καί
κοινὸν
κοινός
αὐτῶν
αὐτός
μέτρον
μέτρον
πρὸς
πρός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
καθολικ
μονάδι
μονάς
τὸν
ὁ
ζ
.
.
ιδ
.
.
Πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἄνωθεν
ἄνωθεν
·
·
τῶν
ὁ
ἀπλῶς
ἀρτίων
ἄρτιος
ἀριθμῶν
ἀριθμός
οἱ
ὁ
ὅς
μέν
μέν
εἰσιν
εἰμί
ὑπερτελεῖς
,
,
οἱ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐλλιπεῖς
,
,
καθάπερ
καθά
ἀκρότητες
ἀντικείμεναι
ἀλλήλαις
ἀλλήλων
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
,
,
οἳ
ὁ
ὅς
καὶ
καί
λέγονται
λέγω
τέλειοι
τέλειος
.
.
καὶ
καί
εἰσὶν
εἰμί
οἱ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἀντικεῖσθαι
ἀντίκειμαι
λεγόμενοι
λέγω
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ὑπερτελεῖς
τε
τε
καὶ
καί
ἐλλιπεῖς
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τῆς
ὁ
ἀνισότητος
ἀνισότης
σχέσει
σχέσις
διαιρούμενοι
διαιρέω
εἴς
εἰμί
εἶμι
τε
τε
τὸ
ὁ
πλέον
πλέως
πλέος
καὶ
καί
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
ὅς
ἔλαττον
·
·
ἕτερος
ἕτερος
γὰρ
γάρ
παρὰ
παρά
ταῦτα
οὗτος
τρόπος
τρόπος
τροπός
ἀνισότητος
οὐκ
οὐ
ἂν
ἄν
ἐπινοηθείη
ἐπινοέω
,
,
καθάπερ
καθά
οὔτε
οὔτε
κακία
οὔτε
οὔτε
νόσος
νόσος
οὔτε
οὔτε
ἀσυμμετρία
ἀσυμμετρία
οὔτε
οὔτε
ἀπρέπεια
ἀπρέπεια
οὔτε
οὔτε
τῶν
ὁ
τοιούτων
τοιοῦτος
ἕκαστον
ἕκαστος
·
·
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
τῷ
τῷ
πλείονι
πολύς
αἵ
ὁ
τε
τε
ὑπερβολαὶ
ὑπερβολή
καὶ
καί
πλεονεξίαι
πλεονεξία
καὶ
καί
ὑπερεκπτώσεις
καὶ
καί
περισσότητες
γίνονται
γίγνομαι
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
ἐλάττονι
ἐλάσσων
αἱ
ὁ
ἔνδειαι
ἔνδεια
καὶ
καί
ἐλλείψεις
ἔλλειψις
καὶ
καί
στερήσεις
στερέω
καὶ
καί
ὀλιγοεξίαι
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
μεταξὺ
τοῦ
ὁ
πλέον
πολύς
πλείων
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἔλαττον
κειμένῳ
,
,
ὅ
ὅς
ἐστιν
εἰμί
ἴσῳ
ἴσος
,
,
ἀρεταί
τε
τε
καὶ
καί
ὑγεῖαι
καὶ
καί
μετριότητες
καὶ
καί
εὐπρέπειαι
καὶ
καί
κάλλη
κάλλος
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅμοια
ὅμοιος
·
·
ὧν
ὅς
ὅς2
γενικώτατον
γενικός
τὸ
ὁ
λεχθὲν
λέγω
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
εἶδος
εἶδος
τὸ
ὁ
τέλειον
τέλειος
.
.
Ὑπερτελὴς
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
ὑπὲρ
ὑπέρ
τὰ
ὁ
προςήκοντα
αὐτῷ
αὐτός
καὶ
καί
ἐπιβάλλοντα
ἐπιβάλλω
μέρη
μέρος
ἔχων
ἔχω
ἕτερα
ἕτερος
πλείονα
πολύς
πλείων
·
·
ὡς
ὡς
ἂν
ἄν
εἴ
εἰ
τι
τι
ζῶον
ζάω
πλείοσι
πολύς
μέρεσιν
μέρος
ἢ
τίη
μέλεσι
μέλος
τελεσιουργούμενον
εἴη
εἰμί
,
,
δέκα
δέκα
μὲν
μέν
γλώσσας
γλῶσσα
ἔχον
ἔχω
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
ποιητήν
ποιητής
,
,
δέκα
δὲ
δέ
στόματα
στόμα
,
,
ἢ
τίη
ἐννεάχειλον
ἢ
τίη
τριστοίχοις
κεχρημένον
χράω2
ὀδοῦσιν
ἢ
τίη
ἑκατόγχειρον
ἢ
τίη
πλείονας
πολύς
πλείων
δακτύλους
δάκτυλος
ἐν
ἐν
ἑτέρᾳ
ἕτερος
τῶν
ὁ
χειρῶν
χείρ
ἔχον
ἔχω
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
εἴ
εἰ
τις
τις
ἀριθμὸς
ἀριθμός
πάντων
πᾶς
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
μερῶν
μέρος
ἐξετασθέντων
καὶ
καί
εἰς
εἰς
ἓν
ἄθροισμα
ἄθροισμα
συγκεφαλαιωθέντων
ἀντεξεταζόμενος
εὑρίσκοιτο
πλείονα
πολύς
πλείων
τὰ
ὁ
ἴδια
ἴδιος
μέρη
μέρος
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
ἔχων
ἔχω
,
,
ὑπερτελὴς
ὑπερτελής
οὗτος
οὗτος
καλεῖται
καλέω
·
·
ὑπερβαίνει
ὑπερβαίνω
γὰρ
γάρ
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
τελείου
τέλειος
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρη
μέρος
συμμετρίαν
συμμετρία
·
·
οἷός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
ιβ
,
,
ὁ
ὁ
κδ
καὶ
καί
ἄλλοι
τινές
τις
·
·
ἔχει
ἔχω
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
ιβ
ιβ
,
,
ἥμισυ
ἥμισυς
ϛ
ϛ
,
,
τρίτον
τρίτος
δ
δ
,
,
τέταρτον
τέταρτος
γ
,
,
ἕκτον
ἕκτος
β
,
,
δωδέκατον
δωδέκατος
α
,
,
ἅπερ
ὅς
ὁμοῦ
ὁμοῦ
συγκεφαλαιωθέντα
ποιεῖ
ποιέω
ιϚ
ιϚ
,
,
ὃς
ὅς
πλείων
πολύς
πλείων
ἐστὶ
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
ιβ
·
·
τὰ
ὁ
ἄρα
ἄρα
μέρη
μέρος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
πλείονα
πολύς
πλείων
τοῦ
ὁ
ὅλου
ὑπάρχει
ὑπάρχω
.
.
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κδ
ἔχει
ἔχω
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
τρίτον
τρίτος
,
,
τέταρτον
τέταρτος
,
,
ἕκτον
ἕκτος
,
,
ὄγδοον
ὄγδοος
,
,
δωδέκατον
δωδέκατος
,
,
εἰκοστοτέταρτον
,
,
ἅπερ
ὅς
ὑπάρχει
ὑπάρχω
ιβ
ιβ
,
,
η
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
δ
δ
,
,
γ
,
,
β
,
,
α
·
·
συγκεφαλαιωθέντα
δὲ
δέ
συνάγει
συνάγω
τὸν
ὁ
λς
,
,
ὃς
ὅς
συγκρινόμενος
τῷ
τῷ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
τῷ
τῷ
κδ
μείζων
μέγας
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
,
,
καίτοι
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ἐκείνου
ἐκεῖνος
μερῶν
μέρος
μόνων
συντεθείς
·
·
πλείονα
πολύς
πλείων
ἄρα
ἄρα
κἀνταῦθα
ἐνταῦθα
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
τοῦ
ὁ
ὅλου
.
.
ιε
.
.
Ἐλλιπὴς
δὲ
δέ
ἀριθμός
ἀριθμός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
τὸ
ὁ
ἐναντίον
ἐναντίος
ἐναντίον
τοῖς
ὁ
δειχθεῖσι
πεπονθὼς
πάσχω
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρη
μέρος
συντεθέντα
συντίθημι
ὑφʼ
ἓν
κατὰ
κατά
σύγκρισιν
σύγκρισις
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
ἐλάττονα
κεκτημένος
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
εἴ
εἰ
τι
τι
ζῶον
ζάω
τῶν
ὁ
κατὰ
κατά
φύσιν
φύσις
μελῶν
μέλος
ἢ
τίη
μερῶν
μέρος
ἐλαττοῦται
ἐλασσόω
,
,
ἢ
ἤ
εἴ
εἰ
τις
τις
μονόφθαλμος
μονόφθαλμος
εἴη
εἰμί
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
τὸ
ὁ
ὅς
κυκλοτερὴς
δʼ
δέ
ὀφθαλμὸς
ὀφθαλμός
ἕεις
ἐνέκειτο
ἔγκειμαι
μετώπῳ
μέτωπον
,
,
ἢ
ἤ
εἴ
εἰ
τις
τις
μονόχειρ
εἴη
εἰμί
ἢ
τίη
ἐν
ἐν
ἑτέρᾳ
ἕτερος
τῶν
ὁ
χειρῶν
χείρ
ἐλάττονας
ἐλάσσων
τῶν
ὁ
ε
δακτύλους
δάκτυλος
κεκτημένος
εἴη
εἰμί
ἢ
τίη
ἄγλωσσος
ἄγλωσσος
ἢ
ἤ
τοιούτου
τοιοῦτος
τινὸς
ἐστερημένος
στερέω
,
,
ἐλλιπὴς
ἐλλιπής
ἂν
ἐάν
ὁ
ὁ
τοιοῦτος
τοιοῦτος
λέγοιτο
λέγω
καὶ
καί
οἱονεὶ
πηρὸς
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἰδιότητα
ἰδιότης
τοῦ
ὁ
ἔχοντος
ἔχω
τὰ
ὁ
ἴδια
ἴδιος
μέρη
μέρος
ἐλάττονα
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
·
·
οἷός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
η
,
,
ὁ
ὁ
ιδ
·
·
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
η
μέρος
μέρος
ἔχει
ἔχω
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
τέταρτον
τέταρτος
,
,
ὄγδοον
ὄγδοος
,
,
ἅπερ
ὅς
ἐστὶ
εἰμί
δ
δ
,
,
β
,
,
α
,
,
συγκεφαλαιωθέντα
δὲ
δέ
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
ζ
ζ
γίνονται
γίγνομαι
καὶ
καί
ἐλάττονα
ἐλάσσων
τοῦ
ὁ
ὅς
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
·
·
τὰ
ὁ
ἄρα
ἄρα
μέρη
μέρος
ἐλλείπει
ἐλλείπω
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ὅλου
συμπλήρωσιν
.
.
πάλιν
πάλιν
ὁ
ὁ
ιδ
ἔχει
ἔχω
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
ἔβδομον
,
,
τεσσαρεςκαιδέκατον
,
,
ἅπερ
ὅς
εἰσὶν
εἰμί
ζ
ζ
,
,
β
,
,
α
,
,
σύμπαντα
δὲ
δέ
ὁμοῦ
ὁμοῦ
ι
ι
,
,
ἐλάττονα
τοῦ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
·
·
ἐλλείπει
ἐλλείπω
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
οὗτος
οὗτος
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μέρεσι
μέρος
πρὸς
πρός
τὸ
ὁ
συμπληρωθῆναι
τὸ
ὁ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
.
.
ιϚ
.
.
Ἀντικειμένων
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
δύο
γε
τούτων
οὗτος
εἰδῶν
εἰδοί
ὡςανεὶ
ἐν
ἐν
ἀκροτήτων
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
μεσότης
φαίνεται
φαίνω
ὁ
ὁ
λεγόμενος
λέγω
τέλειος
τέλειος
ἐν
ἐν
ἰσότητι
ἰσότης
εὑρισκόμενος
εὑρίσκω
καὶ
καί
οὔτε
οὔτε
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
πλείονα
πολύς
πλείων
ἀποτελῶν
ἀποτελέω
συντεθέντα
συντίθημι
οὔτε
οὔτε
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
μείζονα
μέγας
τῶν
ὁ
μερῶν
μέρος
ἀποφαίνων
ἀποφαίνω
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
αἰεὶ
ἀεί
ἶσος
ἴσος
τοῖς
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρεσιν
μέρος
ὑπάρχων
ὑπάρχω
·
·
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ἶσον
ἴσος
τοῦ
ὁ
πλείονος
πολύς
πλείων
καὶ
καί
ἐλάττονος
ἐλάσσων
πάντως
πᾶς
πάντως
ἐν
ἐν
μεταιχμίῳ
μεταίχμιον
μεταίχμιος
θεωρεῖται
θεωρέω
καὶ
καί
ἔστιν
εἰμί
ὥςπερ
τὸ
ὁ
μέτριον
τοῦ
ὁ
ὑπερβάλλοντος
ὑπερβάλλω
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἐλλείποντος
μεταξὺ
μεταξύ
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ὁμόφωνον
ὁμόφωνος
τοῦ
ὁ
ὀξυτέρου
καὶ
καί
βαρυτέρου
βαρύς
.
.
ὅταν
ὅταν
οὖν
οὖν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
πάνθʼ
,
,
ὅσα
ὅσος
ἐνδέχεται
ἐνδέχομαι
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
εἶναι
εἰμί
,
,
μέρη
μέρος
συναχθέντα
καὶ
καί
συγκεφαλαιωθέντα
ἐν
ἐν
συγκρίσει
σύγκρισις
τῆ
πρὸς
πρός
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
ἔχων
ἔχω
μήτε
ὑπερβάλλῃ
ὑπερβάλλω
τῷ
τῷ
πλήθει
πλῆθος
αὐτὰ
αὐτός
μήτε
μήτε
ὑπερβάλληται
ὑπερβάλλω
ὑπʼ
ὑπό
αὐτῶν
αὐτός
,
,
τότε
τότε
τοτέ
ὁ
ὁ
τοιοῦτος
τοιοῦτος
τέλειος
τέλειος
κυρίως
κύριος
κυρίως
λέγεται
λέγω
,
,
ὁ
ὁ
τοῖς
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρεσιν
μέρος
ἶσος
ἴσος
ὤν
εἰμί
·
·
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
ὁ
ὁ
κη
·
·
ὅ
ὁ
τε
τε
γὰρ
γάρ
Ϛ
Ϛ
ἔχει
ἔχω
μέρη
μέρος
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
τρίτον
τρίτος
,
,
ἕκτον
ἕκτος
,
,
ἅπερ
ὅς
εἰσὶ
εἰμί
γ
γ
,
,
β
,
,
α
,
,
ἅπερ
ὅς
συγκεφαλαιωθέντα
ὁμοῦ
ὁμοῦ
καὶ
καί
γενόμενα
γίγνομαι
Ϛ
Ϛ
ἶσα
ἴσος
τῷ
τῷ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
ὑπάρχει
ὑπάρχω
καὶ
καί
οὔτε
οὔτε
πλείονα
πολύς
πλείων
οὔτε
οὔτε
ἐλάττονα
·
·
καὶ
καί
ὁ
ὁ
κη
μέρη
μέρος
μὲν
μέν
ἔχει
ἔχω
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
τέταρτον
τέταρτος
,
,
ἕβδομον
ἕβδομος
,
,
τεσσαρεςκαιδέκατον
,
,
εἰκοστόγδοον
,
,
ἅπερ
ὅς
γίνεται
γίγνομαι
ιδ
,
,
ζ
ζ
,
,
δ
δ
,
,
β
,
,
α
,
,
καὶ
καί
ὑφοʼ
ἓν
συναθροισθέντα
ἀποτελεῖ
ἀποτελέω
τὸν
ὁ
ὅς
κη
καὶ
καί
οὕτως
οὕτως
οὔτε
οὔτε
τὰ
ὁ
μέρη
μέρος
πλείονα
πολύς
πλείων
τοῦ
ὁ
ὅλου
ὅλος
ὅλοξ
οὔτε
οὔτε
τὸ
ὁ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
τῶν
ὁ
μερῶν
μέρος
,
,
ἀλλʼ
ἡ
ὁ
σύγκρισις
σύγκρισις
ἐν
ἐν
ἰσότητι
ἰσότης
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
τελείου
ἰδιότης
.
.
συμβέβηκε
συμβαίνω
δέ
δέ
,
,
καθάπερ
καθά
τὰ
ὁ
καλὰ
καλός
τά
ὁ
τε
τε
κατʼ
ἀρετὴν
ἀρετή
σπάνια
καὶ
καί
εὐαρίθμητα
,
,
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
αἰσχρὰ
καὶ
καί
ἐν
ἐν
κακίᾳ
κακία
εἶναι
εἰμί
πολύχοα
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
ὑπερτελεῖς
μὲν
μέν
καὶ
καί
ἐλλιπεῖς
παμπόλλους
πάμπολυς
καὶ
καί
ἀτάκτους
ἄτακτος
εὑρίσκεσθαι
εὑρίσκω
ἀκόσμου
ἄκοσμος
οὔσης
εἰμί
τῆς
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
εὑρέσεως
εὕρεσις
,
,
τελείους
τέλειος
δὲ
δέ
εὐαριθμήτους
εὐαρίθμητος
τε
τε
καὶ
καί
τεταγμένους
τάσσω
μετὰ
μετά
τος
κόσμου
κόσμος
·
·
εἷς
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
μόνος
μόνος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
ἐν
ἐν
μονάσιν
μονάς
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
ἕτερος
ἕτερος
δὲ
δέ
μόνος
μόνος
ἐν
ἐν
δεκάσιν
δεκάς
ὁ
ὁ
κη
,
,
τρίτος
τρίτος
δέ
δέ
τις
τις
ἐν
ἐν
βαθμῷ
ἑκατοντάδων
μόνος
μόνος
ὁ
ὁ
υ
?
?
?
?
ς
,
,
τέταρτος
τέταρτος
ὁ
ὁ
ἐν
ἐν
χιλιάδων
χιλιάς
ὅρῳ
ὅρος
,
,
τουτέστιν
ὁ
ὁ
ἐντὸς
ἐντός
μυριάδων
μυριάς
ὁ
ὁ
‚
‚
ηρκη
·
·
καὶ
καί
παρέπεται
παρέπομαι
αὐτοῖς
αὐτός
μίαν
παρὰ
παρά
μίαν
εἰς
εἰς
ἑξάδα
ἢ
ἤ
ὀγδοάδα
καταλήγειν
καταλήγω
καὶ
καί
πάντως
πᾶς
πάντως
εἶναι
εἰμί
νἐ
ἀρτίοις
.
.
Γένεσις
δὲ
δέ
αὐτῶν
αὐτός
γλαφυρά
τε
τε
καὶ
καί
ἀσφαλὴς
ἀσφαλής
οὔτε
οὔτε
παραλείπουσά
τινα
τις
τῶν
ὁ
τελείων
οὔτε
οὔτε
ἀδιαφοροϋσά
τινα
τις
τῶν
ὁ
ὅς
μὴ
μή
τοιούτων
τοιοῦτος
τούτῳ
οὗτος
γινομένη
τῷ
ὁ
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
.
.
ἐκθέσθαι
ἐκτίθημι
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
τοὺς
ὁ
ὅς
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἀρτιάκις
ἀρτιάκις
ἀρτίους
ἄρτιος
προβιβάζοντα
ἑξῆς
ἑξῆς
ἐν
ἐν
ἑνὶ
στίχῳ
στίχος
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
,
,
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
,
,
λβ
,
,
ξδ
,
,
ρκη
,
,
σνϚ
,
,
φιβ
,
,
‚
‚
ακδ
,
,
‚
‚
βμη
,
,
‚
‚
δ
δ
?
?
?
?
ϛ
ϛ
,
,
εἶτα
εἶτα
ἀεὶ
ἀεί
κατὰ
κατά
ἑνὸς
πρόςθεσιν
ἐπισωρεύειν
,
,
καὶ
καί
καθʼ
ἑκάστην
ἕκαστος
ἐπισώρευσιν
σκοπεῖν
σκοπέω
τὸν
ὁ
γινόμενον
,
,
οἷός
ἐστι
εἰμί
·
·
καὶ
καί
ἂν
ἄν
μὲν
μέν
εὕρῃς
εὑρίσκω
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
ὑπάρχοντα
ὑπάρχω
,
,
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
ἐσχάτου
ἔσχατος
προςληφθέντος
ποσότητι
πολλαπλασιάσεις
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ἀποτελεσθεὶς
πάντως
πᾶς
πάντως
τέλειος
τέλειος
ἔσται
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
δεύτερον
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετον
,
,
οὐ
οὐ
πολλαπλασιάσεις
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ἐπισωρεύσεις
τὸν
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἐπισκέψῃ
,
,
τίς
τις
ὁ
ὁ
ἀποτελούμενος
ἀποτελέω
,
,
καὶ
καί
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
δεύτερος
δεύτερος
καὶ
καί
σύνθετος
σύνθετος
,
,
πάλιν
πάλιν
παραλείψεις
καὶ
καί
οὐ
οὐ
πολλαπλασιάσεις
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ἐπισωρεύσεις
τὸν
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετος
ἀσύνθετος
,
,
τῷ
τῷ
ἐσχάτῳ
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σύνθεσιν
σύνθεσις
παραληφθέντι
πολλαπλασιάσεις
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
ὁ
ὁ
γινόμενος
τέλειος
τέλειος
ἔσται
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
ἤπειρος
·
·
παραπλησίως
παραπλήσιος
πάντας
πᾶς
ἑξῆς
ἑξῆς
ἀπογεννήσεις
τοὺς
ὁ
τελείους
τέλειος
μηδενὸς
παραλειπομένου
·
·
οἷον
οἷος
τῷ
τῷ
α
ἐπισωρεύω
τὸν
ὁ
β
β
καὶ
καί
σκοπῶ
σκοπέω
τὸ
ὁ
συναμφότερον
,
,
τίς
τις
ἀριθμός
ἀριθμός
ἐστι
εἰμί
,
,
καὶ
καί
εὑρίσκω
εὑρίσκω
τὸν
ὁ
γ
ἀριθμόν
ἀριθμός
,
,
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
προαπεδείχθη
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
·
·
ἑτερώνυμον
γὰρ
γάρ
μόριον
μόριον
οὐκ
ἔχει
ἔχω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
μόνον
μόνος
τὸ
ὁ
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
παρώνυμον
παρώνυμος
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
αὐτὸν
αὐτός
πολλαπλασιάζω
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
ὑστέρου
ὕστερος
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σωρείαν
ληφθέντος
λαμβάνω
ποσότητι
,
,
τουτέστι
τοῦ
ὁ
β
,
,
καὶ
καί
γεννᾶταί
μοι
ἐγώ
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
τοῦτον
οὗτος
ἀποφαίνομαι
ἀποφαίνω
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
εἶναι
εἰμί
τέλειον
τέλειος
καὶ
καί
ἔχειν
ἔχω
μέρη
μέρος
ἐκεῖνα
ἐκεῖνος
τὰ
ὁ
ἐνθεωρούμενα
τοῖς
ὁ
ἀριθμοῖς
ἀριθμός
,
,
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
συνέστη
συνίστημι
·
·
μονάδα
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἐκ
ἐκ
παρωνύμου
μέρους
μέρος
ἕξει
ἔχω
,
,
ὅ
ὅς
ἐστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἕκτου
,
,
γ
δὲ
δέ
ἐξ
ἐκ
ἡμίσους
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
β
θεωρουμένου
θεωρέω
,
,
ἀντιστρόφως
ἀντίστροφος
δὲ
δέ
δυάδα
δυάς
ἐκ
ἐκ
τρίτου
τρίτος
.
.
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κη
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ἑτέρου
ἕτερος
προςεπισωρευθέντος
τοῖς
ὁ
προτέροις
πρότερος
τοῦ
ὁ
δ
γεννᾶται
γεννάω
τῇ
ὁ
αὐτῇ
αὐτός
ἐφόδῳ
ἔφοδος3
ἔφοδος
·
·
τὸ
ὁ
γὰρ
γάρ
συγκεφαλαίωμα
τῶν
ὁ
τριῶν
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
τε
τε
α
καὶ
καί
β
β
καὶ
καί
δ
δ
,
,
γίνεται
γίγνομαι
μὲν
μέν
ζ
ζ
,
,
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
δὲ
δέ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
σύνθετος
σύνθετος
·
·
μόνον
μόνος
γὰρ
γάρ
τὸ
ὁ
παρώνυμον
παρώνυμος
μόριον
μόριος
ἐπιδέχεται
ἐπιδέχομαι
τὸ
ὁ
ὅς
ἕβδομον
ἕβδομος
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
πολυπλασιάζω
αὐτὸν
αὐτός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
ἐσχάτου
προςληφθέντος
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σωρείαν
ποσότητι
καὶ
καί
ἀποβαίνει
ἀποβαίνω
μοι
ὁ
ὁ
κη
τοῖς
ὁ
ἰδίοις
ἴδιος
μέρεσιν
μέρος
ἶσος
ἴσος
,
,
ἔχων
ἔχω
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
προηγουμένων
τὰ
ὁ
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
μέρη
μέρος
,
,
ἥμισυ
ἥμισυς
μὲν
μέν
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
δυάδα
δυάς
,
,
τέταρτον
τέταρτος
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
ἑπτάδα
,
,
ἕβδομον
ἕβδομος
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
τὸ
ὁ
δ
,
,
τεσσαρεςκαιδέκατον
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ἡμίσους
ἀντιδιαστολήν
,
,
εἰκοστόγδοον
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
παρωνυμίαν
,
,
ἥτις
ὅστις
ἐν
ἐν
πᾶσι
πᾶς
μονὰς
μονή
ὑπάρχει
ὑπάρχω
.
.
εὑρημένων
δὲ
δέ
τούτων
οὗτος
,
,
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
μονάσι
τοῦ
ὁ
ὅς
Ϛ
Ϛ
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
δεκάσι
τοῦ
ὁ
ὅς
κη
,
,
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
πλάσιν
τὸ
ὁ
αὐτό
αὐτός
σε
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
ποιῆσαι
ποιέω
.
.
πάλιν
πάλιν
γὰρ
γάρ
ἐπισύνθες
τὸν
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
τὸν
ὁ
η
,
,
γίνονται
γίγνομαι
ὁμοῦ
ὁμοῦ
ιε
·
·
ἐπισκοπῶν
ἐπισκοπέω
αὐτὸν
αὐτός
εὑρίσκω
εὑρίσκω
οὐκέτι
οὐκέτι
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
παρωνύμῳ
μορίῳ
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
πέμπτον
πέμπτος
πεμπτός
ἔχει
ἔχω
καὶ
καί
τρίτον
τρίτος
ἑτερώνυμον
·
·
διὸ
διό
οὐ
οὐ
πολλαπλασιάζω
τῷ
τῷ
η
αὐτόν
αὐτός
,
,
ἀλλʼ
ἐπισωρεύω
τὸν
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
τὸν
ὁ
ιϚ
καὶ
καί
γίνεται
γίγνομαι
ὁ
ὁ
λα
·
·
οὗτος
οὗτος
ἐπειδὴ
ἐπεί
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετός
ἐστιν
εἰμί
,
,
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
πολυπλασιασθήσεται
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
τῆς
ὁ
ἐφόδου
ἔφοδος3
ἔφοδος
καθολικὸν
καθολικός
πρόςταγμα
τῷ
τῷ
ἐσχάτῳ
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σωρείαν
προςληφθέντι
τῷ
τῷ
ιϚ
καὶ
καί
γενήσεται
γίγνομαι
ὁ
ὁ
υ
υ
?
?
?
?
Ϛ
Ϛ
ἐν
ἐν
ἑκατοντάσιν
,
,
ἔπειτα
ἔπειτα
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
καὶ
καί
ὁ
ὁ
‚
‚
ηρκη
ἐν
ἐν
χιλιάσι
,
,
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
,
,
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
εὐτονῇ
τις
τις
παρέπεσθαι
παρέπομαι
.
.
ἡ
ὁ
ὅς
ἄρα
ἄρα
μονὰς
μονή
δυνάμει
δύναμις
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
οὔπω
οὔπω
ἐστὶ
εἰμί
τέλειος
τέλειος
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
·
·
ἐκ
ἐκ
γὰρ
γάρ
τοῦ
ὁ
στίχου
πρωτίστην
πρώτιστος
αὐτὴν
αὐτός
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σωρείαν
λαβὼν
λαμβάνω
ἐπεσκόπησα
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
πρόςταγμα
,
,
ποταπή
τις
τις
ὑπάρχει
ὑπάρχω
,
,
καὶ
καί
εὗρον
εὑρίσκω
πρώτην
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἀσύνθετον
ἀσύνθετος
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
ἀληθῶς
ἀληθής
γάρ
γάρ
,
,
οὐ
οὐ
κατὰ
κατά
μετοχὴν
μετοχή
ὡς
ὡς
οἱ
ὁ
ἄλλοι
ἄλλος
,
,
πρώτη
πρῶτος
πρότερος
τε
τε
ὑπάρχει
ὑπάρχω
παντὸς
πᾶς
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
καὶ
καί
ἀσύνθετος
ἀσύνθετος
μόνη
μόνος
.
.
πολυπλασιάζω
οὖν
οὖν
αὐτὴν
αὐτός
τῷ
τῷ
ληφθέντι
λαμβάνω
ἐσχάτῳ
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σωρείαν
,
,
τουτέστιν
ἑαυτῇ
ἑαυτοῦ
,
,
καὶ
καί
γεννᾶταί
μοι
μονάς
μονή
·
·
ἅπαξ
ἅπαξ
γὰρ
γάρ
α
μονάς
μονή
.
.
τελεία
τέλειος
ἄρα
ἄρα
ἐστὶ
εἰμί
δυνάμει
δύναμις
ἡ
ὁ
μονάς
μονή
·
·
ἴση
ἴσος
γὰρ
γάρ
τοῖς
ὁ
ἰδίοις
ἴδιος
μέρεσι
μέρος
κατὰ
κατά
δύναμιν
δύναμις
αὕτη
οὗτος
,
,
οἱ
ὁ
δʼ
δέ
ἄλλοι
ἄλλος
κατʼ
ἐνέργειαν
.
.
ιζ
.
.
Προτετεχνολογημένου
δὲ
δέ
ἡμῖν
ἐγώ
περὶ
περί
τοῦ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
αὑτὸ
ἑαυτοῦ
ποσοῦ
νῦν
νῦν
μετερχόμεθα
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
πρός
πρός
τι
τις
.
.
τοῦ
ὁ
ὅς
πρός
πρός
τι
τι
τοίνυν
τοίνυν
ποσοῦ
δύο
γε
αἱ
ὁ
ἀνωτάτω
ἄνω
γενικαὶ
διαιρέσεις
διαίρεσις
εἰσίν
εἰμί
,
,
ἰσότης
καὶ
καί
ἀνισότης
·
·
πᾶν
πᾶς
γὰρ
γάρ
ἐν
ἐν
συγκρίσει
σύγκρισις
πρὸς
πρός
ἕτερον
ἕτερος
θεωρούμενον
θεωρέω
ἤτοι
ἤτοι
ἶσον
ἴσος
ὑπάρχει
ὑπάρχω
ἢ
ἤ
ἄνισον
,
,
τρίτον
τρίτος
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
ταῦτα
οὗτος
οὐδέν
οὐδείς
.
.
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἶσον
ἴσος
θεωρεῖται
θεωρέω
,
,
ὅταν
ὅταν
τῶν
ὁ
συγκρινομένων
συγκρίνω
τὸ
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
μήτε
μήτε
ὑπερέχῃ
ὑπερέχω
μήτε
μήτε
ἐλλείπῃ
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
λοιποῦ
λοιπός
παραβολήν
παραβολή
,
,
οἷον
οἷος
ἑκατὸν
πρὸς
πρός
ἑκατὸν
ἢ
ἤ
δέκα
δέκα
πρὸς
πρός
δέκα
δέκα
ἢ
ἤ
δύο
γε
πρὸς
πρός
δύο
γε
ἢ
ἤ
μνᾶ
πρὸς
πρός
μνᾶν
μνᾶ
ἢ
ἤ
τάλαντον
τάλαντον
πρὸς
πρός
τάλαντον
τάλαντον
ἢ
ἤ
πῆχυς
πῆχυς
πρὸς
πρός
πῆχυν
πῆχυς
καὶ
καί
τὰ
ὁ
παραπλήσια
παραπλήσιος
εἴτε
εἴτε
ἐν
ἐν
ὄγκῳ
ὄγκος
ὄγκος2
εἴτε
εἴτε
ἐν
ἐν
μήκει
μῆκος
εἴτε
εἴτε
ἐν
ἐν
βάρει
βάρος
εἴτε
εἴτε
ἐν
ἐν
ποσότητι
ᾑτινιοῦν
.
.
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἰδίως
ἴδιος
ἡ
ὁ
σχέσις
σχέσις
αὕτη
οὗτος
ἡ
ὁ
τῆς
ὁ
ἰσότητος
ἰσότης
ἄσχιστος
καθʼ
κατά
ἑαυτὴν
ἑαυτοῦ
καὶ
καί
ἀδιαίρετος
ἀδιαίρετος
,
,
ὡς
ὡς
ἂν
ἄν
ἀρχικωτάτη
,
,
διαφορὰν
διαφορά
γὰρ
γάρ
οὐδεμίαν
οὐδείς
ἐπιδέχεται
ἐπιδέχομαι
·
·
οὐ
οὐ
γάρ
γάρ
ἐστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἴσου
ἴσος
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
τοιόνδε
τοιόσδε
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
τοιόνδε
τοιόσδε
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ἑνὶ
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
καὶ
καί
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
τὸ
ὁ
ἶσόν
ἴσος
ἐστιν
εἰμί
.
.
ἀμέλει
ἀμέλει
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἀνθυπακοῦον
τῷ
τῷ
ἴσῳ
ἴσος
οὐχ
οὐ
ἑτερωνυμεῖ
πρὸς
πρός
αὐτό
αὐτός
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
συνωνυμεῖ
,
,
ὥςπερ
φίλος
φίλος
,
,
γείτων
γείτων
,
,
συστρατιώτης
συστρατιώτης
,
,
οὕτω
οὕτως
δὴ
δή
καὶ
καί
ἶσος
ἴσος
·
·
ἴσῳ
ἴσος
γάρ
γάρ
ἐστιν
εἰμί
ἶσος
ἴσος
.
.
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἄνισον
καὶ
καί
αὐτὸ
αὐτός
καθʼ
ὑποδιαίρεσιν
διχῆ
σχίζεται
σχίζω
καὶ
καί
ἔστιν
εἰμί
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τὸ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
μεῖζον
μέγας
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἔλαττον
,
,
ἀντωνυμούμενά
τε
τε
καὶ
καί
ἀντίθετα
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
κατὰ
κατά
ποσότητα
καὶ
καί
σχέσιν
σχέσις
αὐτῶν
αὐτός
·
·
τὸ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
μεῖζον
μέγας
ἑτέρου
ἕτερος
τινὸς
μεῖζον
μέγας
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ἔλαττον
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
ἑτέρου
ἕτερος
τινὸς
ἔλαττον
ἐν
ἐν
συγκρίσει
σύγκρισις
,
,
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὀνόματα
ὄνομα
οὐ
οὐ
τὰ
ὁ
αὐτά
αὐτός
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
διαφέροντα
διαφέρω
ἔχει
ἔχω
ἑκάτερα
ἑκάτερος
,
,
ὡς
ὡς
πατὴρ
πατήρ
καὶ
καί
υὑὸς
καὶ
καί
τύπτων
τύπτω
καὶ
καί
τυπτόμενος
τύπτω
καὶ
καί
διδάσκων
διδάσκω
καὶ
καί
μανθάνων
μανθάνω
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅμοια
ὅμοιος
.
.
τοῦ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
μείζονος
μέγας
καθʼ
ὑποδιαίρεσιν
δευτέραν
δεύτερος
εἰς
εἰς
πέντε
πέντε
εἴδη
εἶδος
διαιρουμένου
τὸ
ὁ
μέν
μέν
ἐστι
εἰμί
πολλαπλάσιον
πολλαπλάσιος
πολλαπλασίων
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐπιμόριον
ἐπιμόριος
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐπιμερές
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
πολλαπλασιεπιμόριον
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
πολλαπλασιεπιμερές
.
.
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἀντιθέτου
δὲ
δέ
τούτῳ
οὗτος
,
,
τουτέστι
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
,
,
πέντε
πέντε
εἴδη
εἶδος
ὁμοίως
ὅμοιος
καθʼ
ὑποδιαίρεσιν
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
ἀντικείμενα
τοῖς
ὁ
προειρημένοις
προαγορεύω
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
πέντε
πέντε
εἴδεσιν
εἶδος
(
(
ὡς
ὡς
ὡς
ὅλον
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
,
,
τὸ
ὁ
ἔλαττον
τῷ
τῷ
μείζονι
μέγας
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
ἕκαστον
ἕκαστος
ἑκάστῳ
ἕκαστος
τῇ
ὁ
προλεχθείσῃ
τάξει
τάξις
μετὰ
μετά
τῆς
ὁ
ὑπο
προθέσεως
πρόθεσις
ἀντιδιαστελλόμενα
)
)
,
,
ὑποπολλαπλάσιον
,
,
ὑπεπιμόριον
,
,
ὑπεπιμερές
,
,
ὑποπολλαπλασιεπιμόριον
καὶ
καί
ὑποπολλαπλασιεπιμερές
.
.
ιη
.
.
Ἄνωθεν
οὖν
οὖν
πολλαπλάσιόν
ἐστιν
εἰμί
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
τὸ
ὁ
πρώτιστον
πρώτιστος
καὶ
καί
προγενέστερον
φύσει
φύσις
,
,
ὡς
ὡς
εὐθὺς
εὐθύς
εἰσόμεθα
εἶμι
οἶδα
,
,
καὶ
καί
ἔστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
,
,
ἐπειδὰν
ἐπεί
ἐν
ἐν
συγκρίσει
σύγκρισις
πρὸς
πρός
ἕτερον
ἕτερος
θεωρῆται
,
,
ἔχων
ἔχω
αὐτὸν
αὐτός
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
πλεονάκις
πλεονάκις
ἢ
ἤ
ἅπαξ
ἅπαξ
·
·
οἷον
οἷος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
πάντες
πᾶς
οἱ
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἀρξάμε
νοι
συγκρινόμενοι
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εὔτακτα
εἴδη
εἶδος
ἀπογεννῶσι
τῇ
ὁ
οἰκείᾳ
οἰκεῖος
ἀκολουθία
ἀκολουθία
·
·
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
β
διπλάσιος
διπλάσιος
καὶ
καί
ἔστι
εἰμί
καὶ
καί
λέγεται
λέγω
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
γ
τριπλάσιος
τριπλάσιος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
δ
τετραπλάσιος
τετραπλάσιος
,
,
καὶ
καί
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
πλεονάκις
πλεονάκις
ἢ
ἤ
ἅπαξ
ἅπαξ
ἤτοι
δὶς
δίς
ἢ
τίη
τρὶς
τρίς
σημαίνει
σημαίνω
ἢ
ἤ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
.
.
ἀντιδιέσταλται
δὲ
δέ
τούτῳ
οὗτος
τὸ
ὁ
ὑποπολλαπλάσιον
καὶ
καί
αὐτὸ
αὐτός
φύσει
φύσις
πρώτιστον
πρώτιστος
ὑπάρχον
ὑπάρχω
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
ἐλάττονι
ἐλάσσων
τῆς
ὁ
ἀνισότητος
ἀνισότης
μέρει
μέρος
,
,
καὶ
καί
ἔστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
,
,
ἐπειδὰν
ἐπεί
μείζονι
μέγας
συγκρίνηται
,
,
δυνάμενος
μετρεῖν
μετρέω
αὐτὸν
αὐτός
πληρούντως
πλεονάκις
πλεονάκις
ἢ
τίη
ἅπαξ
ἅπαξ
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
πλεονάκις
πλεονάκις
ἢ
ἤ
ἅπαξ
ἅπαξ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
δὶς
δίς
ἄρχεται
ἄρχω
καὶ
καί
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
πρόεισιν
πρόειμι
.
.
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
δὶς
δίς
μόνον
μόνος
μετρῇ
τὸν
ὁ
ἐν
ἐν
συγκρίσει
σύγκρισις
μείζονα
μέγας
,
,
ὑποδιπλάσιος
λέγεται
λέγω
ἰδίως
ἴδιος
,
,
ὥςπερ
τὸ
ὁ
α
τῶν
ὁ
β
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
τρίς
τρίς
,
,
ὑποτριπλάσιος
,
,
ὥςπερ
τῶν
ὁ
γ
τὸ
ὁ
α
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
τετράκις
τετράκις
,
,
ὑποτετραπλάσιος
,
,
ὥςπερ
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
α
τῶν
ὁ
δ
,
,
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
οὕτως
οὕτως
.
.
γενικῶς
γενικός
δὲ
δέ
ἀπείρου
ὑπάρχοντος
ὑπάρχω
ἑκατέρου
ἑκάτερος
,
,
τοῦ
ὁ
τε
τε
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ὑποπολλαπλασίου
,
,
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
αἱ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
ὑποδιαίρεσιν
διαφοραὶ
διαφορά
καὶ
καί
τὰ
ὁ
εἴδη
εἶδος
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
φύσει
φύσις
προιόντα
θεωρεῖται
θεωρέω
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἀρχόμενον
ἄρχω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
β
διὰ
διά
πάντων
πᾶς
ἀρτίων
πρόεισιν
πρόειμι2
πρόειμι
,
,
ἕνα
παῤ
ἕνα
λαμβανόντων
λαμβάνω
ἡμῶν
ἐγώ
τοὺς
ὁ
ἀριθμοὺς
ἀριθμός
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
φυσικοῦ
φυσικός
χύματος
·
·
ἐν
ἐν
συγκρίσει
σύγκρισις
δὲ
δέ
οὗτοι
οὗτος
διπλάσιοι
διπλάσιος
λεχθήσονται
πρὸς
πρός
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἑξῆς
ἑξῆς
κειμένους
ἀρτίους
ἄρτιος
τε
τε
καὶ
καί
περισσούς
περισσός
.
.
τριπλάσιοι
τριπλάσιος
δὲ
δέ
πάντες
πᾶς
εἰσὶν
εἰμί
οἱ
ὁ
ἀπʼ
ἀρχῆς
ἀρχή
δύο
γε
παραλειπομένων
ἐκλεγόμενοι
ἐκλέγω
τρίτοι
τῇ
ὁ
τάξει
τάξις
,
,
οἷον
οἷος
γ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
θ
θ
,
,
ιβ
,
,
ιε
,
,
ιη
,
,
κα
,
,
κδ
,
,
οἷς
ὅς
ὅς2
συμβέβηκεν
συμβαίνω
ἕνα
παῤ
ἕνα
ἀρτίοις
τε
τε
καὶ
καί
περισσοῖς
εἶναι
εἰμί
,
,
καὶ
καί
αὐτοὶ
αὐτός
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
ἀπὸ
ἀπό
τῆς
ὁ
μονάδος
μονάς
ἀριθμῷ
ἀριθμός
εὐτάκτῳ
τῶν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
πάντων
πᾶς
τριπλάσιοί
εἰσι
εἰμί
προχωροῦντες
,
,
ἐφ’
ἐπί
ὅσον
ὅσος
βούλεταί
τις
τις
παρακολουθεῖν
παρακολουθέω
.
.
τετραπλάσιοι
δέ
δέ
εἰσιν
εἰμί
οἱ
ἕ
τριῶν
παραλειπομένων
πάντη
πᾶς
πάντῃ
τέταρτοι
,
,
οἷον
οἷος
δ
δ
,
,
η
,
,
ιβ
,
,
ιϚ
,
,
κ
κ
,
,
κδ
,
,
κη
,
,
λβ
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
καὶ
καί
οὗτοι
οὗτος
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
εὐτάκτων
εὔτακτος
τετραπλάσιοί
εἰσι
εἰμί
προιόντες
πρόειμι
,
,
ἐφʼ
ἐπί
ὅσον
ὅσος
ἂν
ἐάν
εὐτονῇ
τις
τις
ἕπεσθαι
·
·
συμβέβηκε
συμβαίνω
δὲ
δέ
καὶ
καί
τούτοις
οὗτος
πάντας
πᾶς
εἶναι
εἰμί
ἀρτίους
ἄρτιος
·
·
ἕνα
γὰρ
γάρ
παῤ
ἕνα
μόνον
μόνος
παραλειπτέον
παραλείπω
παραλειπτέος
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
τῶν
ὁ
ὅς
ἄνωθεν
ἄνωθεν
διακεκριμένων
ἀρτίων
,
,
ὥςτε
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
ὑπάρχειν
ὑπάρχω
τοῖς
ὁ
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
ἀρτίοις
διπλασίοις
διπλάσιος
μὲν
μέν
ἅπασιν
ἅπας
εἶναι
εἰμί
,
,
τετραπλασίοις
δὲ
δέ
ἕνα
παῤ
ἕνα
καὶ
καί
ἑξαπλασίοις
ἕνα
παρὰ
παρά
δύο
γε
καὶ
καί
ὀκταπλασίοις
ἕνα
παρὰ
παρά
τρεῖς
,
,
καὶ
καί
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
οὕτως
οὕτως
ἀνάλογον
ἀνάλογος
ἡ
ὁ
προκοπή
προκοπή
.
.
πενταπλάσιοι
δὲ
δέ
ὀφθήσονται
οἱ
ὁ
τέσσαρας
τέσσαρες
μὲν
μέν
παραλείποντες
παραλείπω
,
,
πέμπτοι
πέμπτος
πεμπτός
δὲ
δέ
τεταγμένοι
τάσσω
ἀπʼ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
καὶ
καί
αὐτοὶ
αὐτός
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἑξῆς
ἑξῆς
τεταγμένων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
πενταπλάσιοι
,
,
καὶ
καί
εἷς
παῤ
ἕνα
περισσὸς
καὶ
καί
ἄρτιος
ἄρτιος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
τῶν
ὁ
τριπλασίων
τριπλάσιος
τάξιν
τάξις
.
.
ιθ
.
.
Ἐπιμόριος
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
τὸ
ὁ
τοῦ
ὁ
ὅς
μείζονος
μέγας
δεύτερον
δεύτερος
τῇ
ὁ
φύσει
φύσις
εἶδος
εἶδος
καὶ
καί
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τάξει
τάξις
,
,
ὁ
ὁ
ἔχων
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
τὸν
ὁ
συγκρινόμενον
συγκρίνω
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
καὶ
καί
μόριον
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ἕν
τι
.
.
ἀλλʼ
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
ἥμισυ
ἥμισυς
τὸ
ὁ
μόριον
μόριον
,
,
καλεῖται
καλέω
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
εἰδικῶς
εἰδικός
ὁ
ὁ
τῶν
ὁ
συγκρινομένων
συγκρίνω
μείζων
μέγας
,
,
ὑφημιόλιος
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
ἐλάσσων
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
,
,
ἐπίτριτός
τε
τε
καὶ
καί
ὑπεπίτριτος
,
,
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
μέχρι
μέχρι
παντὸς
πᾶς
προχωροῦντι
συμφωνήσει
συμφωνέω
σοι
,
,
ὥςτε
καὶ
καί
ταῦτα
οὗτος
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
τὰ
ὁ
εἴδη
εἶδος
πρόεισι
καίτοι
ἀπείρου
τινὸς
εἴδη
εἶδος
ὄντα
εἰμί
γένους
γένος
·
·
τὸ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
πρώτιστον
πρώτιστος
αὐτῶν
αὐτός
τὸ
ὁ
ἡμιόλιον
συμβαίνει
συμβαίνω
τοὺς
ὁ
μὲν
μέν
ὑπολόγους
ἔχειν
ἔχω
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἀρτίους
ἄρτιος
,
,
ἄλλον
ἄλλος
δὲ
δέ
οὐδαμῶς
οὐδαμῶς
οὐδαμός
οὐδένα
,
,
τοὺς
ὁ
δὲ
δέ
προλόγους
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τριπλασίους
τριπλάσιος
,
,
ἄλλον
ἄλλος
δὲ
δέ
οὐδένα
.
.
συζευκτέον
δὲ
δέ
αὐτοὺς
αὐτός
εὐτάκτως
εὔτακτος
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
,
,
δεύτερον
δεύτερος
δευτέρῳ
δεύτερος
,
,
τρίτον
τρίτος
τρίτῳ
τρίτος
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
γ
τῷ
τῷ
β
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
Ϛ
Ϛ
τῷ
τῷ
δ
δ
,
,
τὸν
ὁ
θ
θ
τῷ
τῷ
ϛ
ϛ
,
,
τὸν
ὁ
ιβ
τῷ
τῷ
η
,
,
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
ἀναλόγους
τοῖς
ὁ
ὁμοταγέσιν
.
.
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
ἐπισκέψασθαι
ἐπισκοπέω
θέλωμεν
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
,
,
τουτέστι
τὸ
ὁ
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
(
(
συνεχὲς
συνεχής
γὰρ
γάρ
μέρος
μέρος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
φυσικῶς
φυσικός
μετὰ
μετά
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
ὑπάρχει
ὑπάρχω
τὸ
ὁ
τρίτον
τρίτος
)
)
,
,
ὅρον
ὅρος
μὲν
μέν
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ἕξομεν
ἔχω
τοῦτον
οὗτος
·
·
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
ἔχων
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
τε
τε
τὸν
ὁ
ὅς
συγκρινόμενων
καὶ
καί
μέρος
μέρος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τρίτον
τρίτος
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
.
.
ὑποδείγματα
ὑπόδειγμα
δὲ
δέ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
εὔτακτα
ληφθήσεται
ἡμῖν
ἐγώ
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τετράδος
τετράς
συνεχεῖς
συνεχής
τετραπλάσιοι
συνεζευγμένοι
συζεύγνυμι
τοῖς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
τριπλασίοις
τριπλάσιος
ὁμοταγεῖς
ὁμοταγέσιν
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
δ
δ
τῷ
τῷ
γ
,
,
ὁ
ὁ
η
τῷ
τῷ
ϛ
ϛ
,
,
ὁ
ὁ
ιβ
τῷ
τῷ
θ
θ
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
ταὐτὰ
ἐφ
ὁσονοῦν
.
.
δῆλον
δῆλος
δέ
δέ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ὁ
ὁ
ἀνθυπακούων
τῷ
τῷ
ἐπιτρίτῳ
,
,
λεγόμενος
λέγω
δὲ
δέ
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ὑπὸ
ὑπό
προθέσει
πρόθεσις
ὑπεπίτριτος
,
,
ἐστὶν
εἰμί
ὁ
ὁ
ἐμπεριεχόμενος
ἐκείνῳ
ἐκεῖνος
ὅλος
ὅλος
ὅλοξ
τε
τε
καὶ
καί
προςέτι
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
τρίτον
τρίτος
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
γ
τῷ
τῷ
δ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ϛ
ϛ
τῷ
τῷ
η
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
θ
θ
τῷ
τῷ
ιβ
,
,
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἀκόλουθοι
τῶν
ὁ
ὁμοταγῶν
ὁμοταγής
.
.
παρατηρητέον
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
παρεπόμενον
πᾶσι
πᾶς
τούτοις
οὗτος
γλαφυρόν
γλαφυρός
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οἱ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
πυθμένες
πυθμήν
λεγόμενοι
λέγω
ἐγγύς
ἐγγύς
εἰσιν
εἰμί
ἀλλήλων
ἀλλήλων
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
φυσικῷ
φυσικός
χύματι
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
δεύτεροι
δεύτερος
ἀπὸ
ἀπό
πυθμένος
ἕνα
μόνον
μόνος
ἀριθμὸν
ἀριθμός
διαλείπουσιν
διαλείπω
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
τρίτοι
δύο
γε
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
τέταρτοι
τέταρτος
τρεῖς
καὶ
καί
οἱ
ὁ
πέμπτοι
πέμπτος
πεμπτός
τέσσαρας
τέσσαρες
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
.
.
ἔτι
ἔτι
γε
γε
P
μὴν
μήν
καί
καί
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
τὸ
ὁ
μόριον
μόριον
,
,
οὗ
οὗ
παρώνυμος
παρώνυμος
ἕκαστός
ἕκαστος
ἐστι
εἰμί
τῶν
ὁ
ἐπιμορίων
,
,
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἥττοσι
θεωρεῖται
θεωρέω
τῶν
ὁ
πυθμένων
πυθμήν
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τοῖς
ὁ
μείζοσιν
μέγας
οὐδαμῶς
οὐδαμῶς
οὐδαμός
.
.
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
δὲ
δέ
φυσικῶς
φυσικός
καὶ
καί
οὐχ
οὐ
ἡμῶν
ἐγώ
θεμένων
,
,
ἀρχεγονώτερον
τὸ
ὁ
πολλαπλάσιον
πολλαπλάσιος
πολλαπλασίων
καὶ
καί
πρεσβύτερον
πρέσβυς
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
,
,
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τοῖς
ἑξῆς
ἑξῆς
μὲν
μέν
ποικιλώτερον
ποικίλος
εἰσόμεθα
εἶμι
οἶδα
,
,
ὅσον
ὅσος
οὔπω
οὔπω
·
·
κἀνταῦθα
ἐνταῦθα
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
ἁπλῆν
ἁπλόος
ἔμφασιν
ἔμφασις
προχειριστέον
κατʼ
εὐτάκτους
εὔτακτος
καὶ
καί
παραλλήλους
παράλληλος
στίχους
στίχος
τοὺς
ὁ
προφρασθέντας
ἡμῖν
πολλαπλασίους
πολλαπλάσιος
εἰδικῷς
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἐν
ἐν
ἑνὶ
στίχῳ
στίχος
,
,
εἶτα
ἐν
ἐν
δευτέρῳ
δεύτερος
τριπλάσιον
τριπλάσιος
,
,
εἶτα
εἶτα
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
ἐν
ἐν
τρίτῳ
τρίτος
καὶ
καί
μέχρι
μέχρι
δεκαπλασίων
,
,
ἵνα
ἵνα
καὶ
καί
τάξιν
τάξις
καὶ
καί
ποικιλίαν
ποικιλία
αὐτῶν
αὐτός
καὶ
καί
πρόβασιν
πρόβασις
ἔντεχνον
ἔντεχνος
καὶ
καί
ὅ
ὅς
τι
πρότερον
πρότερος
φύσει
φύσις
κατίδωμεν
καὶ
καί
δὴ
δή
καὶ
καί
ἕτερά
ἕτερος
τινα
τερπνὰ
τερπνός
καὶ
καί
γλαφυρὰ
παροκολουθήματα
.
.
ἔστω
εἰμί
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
διάγραμμα
διάγραμμα
τοιοῦτον
·
·
μῆκος
μῆκος
α
β
γ
δ
ε
Ϛ
Ϛ
ζ
ζ
η
θ
θ
ι
ι
β
δ
δ
Ϛ
Ϛ
η
ι
ι
ιβ
ιβ
ιδ
ιϚ
ιη
κ
κ
γ
γ
Ϛ
Ϛ
θ
θ
ιβ
ιε
ιη
κα
κδ
κζ
λ
λ
δ
δ
η
ιβ
ιϚ
ιϚ
κ
κ
κδ
ξη
λβ
λβ
λϚ
μ
μ
ε
ι
ι
ιε
κ
κε
ἄν
λ
λε
μ
με
ν
Ϛ
ιβ
ιη
κδ
λ
λϚ
μβ
μη
νδ
ξ
ζ
ιδ
κη
πη
λε
μβ
μθ
νϚ
ξγ
ο
η
ιϚ
κδ
λβ
μ
μη
νϚ
ξδ
οβ
π
θ
ιη
κζ
λϚ
με
νδ
ξγ
οβ
κα
ἄν
Ϟ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
Ϟ
ρ
ἐκκείσθω
ἔκκειμαι
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
τῷ
ὁ
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
στίχῳ
στίχος
ὁ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
φυσικὸς
φυσικός
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
εἶτα
εἶτα
ἑξῆς
ἑξῆς
οἱ
ὁ
κελευσθέντες
κελεύω
τῶν
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εἰδῶν
εἰδοί
.
.
οὐκοῦν
οὐκοῦν
οὔκουν
τῶν
ὁ
μὲν
μέν
πρώτων
στίχων
στίχος
ἀρχομένων
ἄρχω
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἐπί
ἐπί
τε
τε
πλάτος
πλάτος
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
βάθος
βάθος
γαμμοειδῶς
οἱ
ὁ
δεύτεροι
δεύτερος
ἐφ’
ἐπί
μα
ἑκάτερα
ἑκάτερος
καὶ
καί
αὐτοὶ
αὐτός
γαμμοειδῶς
ἀπὸ
ἀπό
τετράδος
τετράς
ἀρχόμενοι
ἄρχω
πολλαπλάσιοί
εἰσι
εἰμί
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
,
,
διπλάσιοι
διπλάσιος
γάρ
γάρ
,
,
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
πρῶιος
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
μονάδι
μονάς
διαφέρων
διαφέρω
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
δεύτερος
δεύτερος
τοῦ
ὁ
δευτέρου
δυάδι
δυάς
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τρίτος
τρίτος
τοῦ
ὁ
τρίτου
τρίτος
τριάδι
τριάς
καὶ
καί
τετράδι
τετράς
οἱ
ὁ
συνεχεῖς
συνεχής
καὶ
καί
πεντάδι
οἱ
ὁ
μετʼ
μετά
αὐτοὺς
αὐτός
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
ὅλου
ἀκόλουθον
εὑρήσπς
·
·
οἱ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τρίτοι
ἐφʼ
ἑκάτερα
ἑκάτερος
ἀπὸ
ἀπό
ἑνάδος
κοινῆς
κοινός
ἀρχόμενοι
ἄρχω
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
στίχῳ
στίχος
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
τριπλάσιοι
τριπλάσιος
ἔσονται
εἰμί
συνεξεταζομένων
αὐτοῖς
αὐτός
καὶ
καί
τῶν
ὁ
εἰς
εἰς
τριάδα
τριάς
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
χιασμῶν
.
.
συμπροκόψει
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἡ
ὁ
διαφορὰ
διαφορά
τούτοις
οὗτος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἀρτίων
φύσιν
φύσις
,
,
τῷ
τῷ
μὲν
μέν
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
δυὰς
οὖσα
εἰμί
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τετράς
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
τρίτῳ
τρίτος
ἑξάς
,
,
ἣν
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
διαφορὰν
διαφορά
αὐτομάτως
αὐτόματος
ἡμῖν
ἡ
ὁ
φύσις
φύσις
ἐμεσεμβόλησε
μεταξύ
μεταξύ
τούτων
οὗτος
τῶν
ὁ
ἐξεταζομένων
ἐξετάζω
,
,
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
διαγράμματι
διάγραμμα
φαίνεται
φαίνω
.
.
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
τέταρτος
τέταρτος
στίχος
στίχος
,
,
οὗ
οὗ
κοινὴ
κοινός
μὲν
μέν
ἀρχὴ
ἀρχή
ἐφʼ
ἑκάτερα
ἑκάτερος
ὁ
ὁ
ιϚ
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
χιασμοὶ
περαιοῦνται
περαιόω
εἰς
εἰς
τὰς
ὁ
τετράδας
τετράς
,
,
τὸ
ὁ
τρίτον
τρίτος
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
δεικύντες
,
,
τουτέστι
τὸ
ὁ
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
,
,
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
ἐξεταζόμενοι
ἐξετάζω
πρώτιστον
πρώτιστος
στίχον
ὁμοταγῶς
,
,
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
πρὸς
πρός
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
,
,
δευτέρου
δεύτερος
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
δεύτερον
δεύτερος
καὶ
καί
τρίτου
τρίτος
πρὸς
πρός
τρίτον
τρίτος
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
·
·
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
αἱ
ὁ
τούτων
οὗτος
διαφοραὶ
διαφορά
τριάς
,
,
ἑξάς
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐνάς
,
,
εἶτα
εἶτα
δωδεκὰς
καὶ
καί
αἱ
ὁ
κατὰ
κατά
τριάδος
τριάς
προκοπὴν
προκοπή
ποσότητες
·
·
καὶ
καί
αὗται
οὗτος
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
τοῦ
ὁ
διαγράμματος
διάγραμμα
ὕφει
ὑφάω
πεφώρανται
τάξει
τάξις
ἐκκείμεναι
ὑπὲρ
ὑπέρ
αὐτούς
αὐτός
τοὺς
ὁ
τετραπλασίους
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
ἀκολούθων
ἀκόλουθος
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εἰδῶν
τὸ
ὁ
ἀνάλογον
μέχρι
μέχρι
παντὸς
πᾶς
προχωρεῖ
προχωρέω
.
.
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
ἐφʼ
ἑκάτερα
ἑκάτερος
δεύτερον
δεύτερος
στίχον
ἀπὸ
ἀπό
κοινῆς
κοινός
ἀρχῆς
ἀρχή
τοῦ
ὁ
δ
ἀρχόμενον
ἄρχω
,
,
ὑπερεκπίπτοντα
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
χιασμὸν
χιασμός
εἰς
εἰς
ἰδίαν
ἴδιος
ἑκατέρων
ἑκάτερος
δυάδα
δυάς
,
,
οἱ
ὁ
ὑποβεβηκότες
ὑποβαίνω
τάξει
τάξις
στίχοι
στίχος
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
τὸ
ὁ
πρώτιστον
πρώτιστος
εἶδος
εἶδος
παρεμφαίνουσι
,
,
τουτέστι
τὸ
ὁ
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
,
,
ὁμοταγεῖς
πρὸς
πρός
ὁμοταγεῖς
·
·
οὕτω
οὕτως
φύσει
φύσις
θείᾳ
θεῖος
καὶ
καί
οὐ
οὐ
νόμῳ
νόμος
νομός
ἡμετέρῳ
ἡμέτερος
οὐδὲ
οὐδέ
συνθήματι
σύνθημα
μεταγενέστεροι
μεταγενέστερος
τῶν
ὁ
πολλαπλασίων
πολλαπλάσιος
οἱ
ὁ
ἐπιμόριοι
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
γ
τοῦ
ὁ
β
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ϛ
ϛ
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
,
,
ὁ
ὁ
θ
θ
τοῦ
ὁ
ϛ
,
,
ὁ
ὁ
ιβ
τοῦ
η
,
,
ὁ
ὁ
ιε
τοῦ
ὁ
ὅς
ι
,
,
καὶ
καί
μέχρι
μέχρι
παντός
·
·
διαφορὰν
διαφορά
δὲ
δέ
καὶ
καί
οὗτοι
οὗτος
ἔχουσι
ἔχω
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἀριθμούς
,
,
ὡς
ὡς
οἱ
ἕ
πρὸ
πρό
αὐτῶν
αὐτός
.
.
Ἐπίτριτοι
δέ
δέ
,
,
τὸ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
,
,
ἴσῃ
ἴσος
τινὶ
καὶ
καί
ὁμοίᾳ
ὅμοιος
προκοπῇ
προκοπή
προχωροῦσιν
προχωρέω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
γ
καὶ
καί
η
πρὸς
πρός
ϛ
ϛ
καὶ
καί
ιβ
πρὸς
πρός
θ
θ
καὶ
καί
ιϛ
πρὸς
πρός
ιβ
,
,
καὶ
καί
ἀκολούθως
ἀκόλουθος
ἴσην
ἴσος
καὶ
καί
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
διαφορῶν
διαφορέω
αὔξησιν
αὔξησις
λαμβάνοντες
λαμβάνω
.
.
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
λοιπῶν
λοιπός
σχέσεων
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
τε
τε
καὶ
καί
ἐπιμορίου
σύμφωνα
τὰ
ὁ
ἀποτελέσματα
καὶ
καί
οὐδαμῶς
οὐδαμῶς
οὐδαμός
ἐναντιούμενα
προβαίνων
προβαίνω
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ὄψει
ὄψος
.
.
κἀκεῖνο
ἐκεῖνος
δὲ
δέ
οὐκ
οὐ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
ἀκριβείας
ἀκρίβεια
τέτευχεν
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
διαγράμματι
διάγραμμα
·
·
ἐπιγώνιοι
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
αὐτῶν
αὐτός
εἰσι
εἰμί
μονάδες
μονάς
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
κατʼ
ἀρχὴν
ἀρχή
ἁπλῆ
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
τέλει
τέλος
τριοδουμένη
,
,
δευτεροδούμεναι
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
διφορήσει
αἱ
ὁ
δύο
γε
λοιπαί
λοιπός
,
,
ὥςτε
ἀποτελεῖν
ἀποτελέω
τὸ
ὁ
ύπό
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπό
ἀπό
.
.
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
ἴση
ἴσος
πρόβασις
πρόβασις
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
εἰς
εἰς
τὰς
ὁ
δεκάδας
δεκάς
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἀντιθέτως
ἑκάτεραι
ἑκάτερος
αἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δεκάδος
δεκάς
προχωρήσεις
προχωρέω
εἰς
εἰς
ἑκατοντάδα
.
.
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
διαγώνιοι
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
εἰς
εἰς
ἑκατοντάδα
τετράγωνοι
τετράγωνος
πάντως
πᾶς
πάντως
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
ἰσάκις
ἰσάκις
ἶσοι
ἴσος
μηκυνθέντες
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
παρασπίζοντες
αὐτοὺς
αὐτός
ἑτερομήκεις
πάντως
πᾶς
πάντως
ἄνισοι
ἄνισος
καὶ
καί
μονάδι
μονάς
μείζοσιν
μέγας
ἀλλήλων
ἀλλήλων
πλευραῖς
πλευρά
μηκυνθέντες
·
·
ὥςτε
ἐξ
ἐκ
ἅπαξ
ἅπαξ
δύο
γε
ἐφεξῆς
τετραγώνων
καὶ
καί
δὶς
τοῦ
ὁ
ὅς
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
αὐτῶν
αὐτός
ἑτερομήκους
τετράγωνον
τετράγωνος
πάντως
πᾶς
πάντως
ἀποτελεῖσθαι
ἀποτελέω
καὶ
καί
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
ἐξ
ἐκ
ἅπαξ
ἅπαξ
δύο
γε
παρακειμένων
ἑτερομηκῶν
καὶ
καί
δὶς
τοῦ
ὁ
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
αὐτῶν
αὐτός
τετραγώνου
τετράγωνος
τετράγωνον
πάντως
πᾶς
πάντως
ἀποτελεῖσθαι
ἀποτελέω
.
.
Καὶ
καί
ἕτερα
ἕτερος
πολλὰ
πολύς
τοιαῦτα
τοιοῦτος
φιλοτιμούμενος
εὕροι
εὑρίσκω
τις
τις
ἂν
ἄν
τερπνὰ
τερπνός
ἐμφαινόμενα
ἐμφαίνω
τῷδε
ὅδε
τῷ
τῷ
διαγράμματι
διάγραμμα
,
,
περὶ
περί
ὧν
ὅς
ὅς2
οὐ
οὐ
καιρὸς
καιρός
νῦν
νῦν
μηκύνειν
μηκύνω
·
·
οὔπώ
γὰρ
γάρ
τὴν
ὁ
ἐπίγνωσιν
ἐπίγνωσις
αὐτῶν
αὐτός
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
εἰςαγωγῆς
εἰλήφαμεν
,
,
ὥςτε
ἐπὶ
ἐπί
τὰ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
τρεπτέον
τρέπω
τρεπτέος
·
·
μετὰ
μετά
γὰρ
γάρ
τὰς
ὁ
δύο
γε
ταύτας
οὗτος
γενικὰς
σχέσεις
σχέσις
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
καὶ
καί
ἐπιμορίου
καὶ
καί
τὰς
ὁ
ἀντιθέτους
αὐταῖς
αὐτός
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ὑπο
προθέσει
πρόθεσις
ἐκφερομένας
ἄλλας
ἄλλος
δύο
γε
ὑποπολλαπλάσιόν
τε
τε
καὶ
καί
ὑπεπιμόριον
εἰσὶν
εἰμί
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
τῷ
τῷ
μείζονι
μέγας
τοῦ
ὁ
ἀνίσου
μέρει
μέρος
ἡ
ὁ
ἐπιμερής
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
ἐλάττονι
ἐλάσσων
ἡ
ὁ
ἀντικειμένη
αὐτῇ
αὐτός
ἡ
ὁ
ὑπεπιμερής
.
.
κ
.
.
Ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
ἐπιμερὴς
μὲν
μέν
σχέσις
σχέσις
,
,
ὅταν
ὅταν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
τὸν
ὁ
συγκρινόμενον
συγκρίνω
ἔχῃ
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
καὶ
καί
προςέτι
μέρη
μέρος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
πλείονα
πολύς
πλείων
ἑνός
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
πλείονα
πολύς
πλείων
ἑνὸς
ἄρχεται
ἄρχω
πάλιν
πάλιν
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
β
β
καὶ
καί
πρόεισιν
πρόειμι
ἐπὶ
ἐπί
πάντας
πᾶς
τοὺς
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἀριθμούς
ἀριθμός
·
·
ὥςτε
τοῦ
ὁ
ὅς
ἐπιμεροῦς
πυθμήν
πυθμήν
ἐστιν
εἰμί
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
ὁ
ὁ
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
δύο
γε
μέρη
μέρος
τοῦ
ὁ
ἀντισυγκρινομένου
ἔχων
ἔχω
καὶ
καί
κληθήσεται
ἐπιδιμερὴς
εἰδικῶς
εἰδικός
,
,
μετὰ
μετά
δὲ
δέ
τοῦτον
οὗτος
ὁ
ὁ
τρία
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
ἔχων
ἔχω
κληθήσεται
ἐπιτριμερὴς
εἰδικῶς
εἰδικός
,
,
καὶ
καί
μετὰ
μετά
τοῦτον
οὗτος
ἐπιτετραμερής
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπιπενταμερής
,
,
καὶ
καί
οὕτως
οὕτως
ἀεί
ἀεί
.
.
τὰ
ὁ
ὅς
δέ
δέ
μέρη
μέρος
ῥίζαν
ῥίζα
ἔχει
ἔχω
καὶ
καί
ἀρχὴν
ἀρχή
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
τρίτου
·
·
ἀδύνατον
ἀδύνατος
γὰρ
γάρ
ἐνθάδε
ἐνθάδε
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
ἅρχεσθαι
·
·
ἂν
ἄν
γὰρ
γάρ
καί
καί
τινα
τις
ὑποθώμεθα
ὑποθέω
β
β
ἡμίση
ἥμισυς
ἔχειν
ἔχω
τοῦ
ὁ
ἀντιθέτου
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
,
,
λήσομεν
λανθάνω
ἑαυτοὺς
ἑαυτοῦ
πολλαπλάσιον
πολλαπλάσιος
ἀντὶ
ἀντί
ἐπιμεροῦς
τιθέντες
τίθημι
·
·
ἕκαστον
ἕκαστος
γὰρ
γάρ
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
καὶ
καί
β
ἡμίση
ἥμισυς
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
συντιθέμενα
συντίθημι
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
γίνεται
γίγνομαι
τοῦ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
·
·
ὥςτε
ἀναγκαιότατον
ἀναγκαῖος
ἀπὸ
ἀπό
β
τρίτων
τρίτος
ἄρχεσθαι
ἄρχω
,
,
εἶτα
εἶτα
β
πέμπτων
,
,
εἶτα
εἶτα
β
β
ἑβδόμων
,
,
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
β
β
ἐνάτων
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
περισσῶν
πρόβασιν
πρόβασις
·
·
τὰ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
β
τέταρτα
τέταρτος
λόγου
λόγος
χάριν
χάρις
πάλιν
πάλιν
ἥμισύ
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅς
β
ἔκτα
κτείνω
τρίτον
τρίτος
καὶ
καί
οὕτω
οὕτως
πάλιν
πάλιν
ἐπιμόριοι
ἀντὶ
ἀντί
ἐπιμερῶν
γενήσονται
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
οὐ
οὐ
πρόκειται
πρόκειμαι
οὕτε
ἡμῖν
ἐγώ
οὔτε
οὔτε
τῇ
ὁ
τῆς
ὁ
τεχνολογίας
καταλληλίᾳ
.
.
μετὰ
μετά
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
ἐπιμερῆ
εὐθύς
εὐθύς
συνυφίσταται
ὁ
ὁ
ὑπεπιμερής
,
,
ὅταν
ὅταν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
συγκρινομένῳ
ὅλος
ὅλος
ὅλοξ
ἔχηται
ἔχω
αὐτός
αὐτός
τε
τε
καὶ
καί
προςέτι
πλείονα
πολύς
πλείων
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
μέρη
μέρος
ἢ
ἤ
β
ἢ
τίη
γ
ἢ
τίη
δ
ἢ
τίη
ε
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
.
.
κα
.
.
Τάξις
τάξις
δὲ
δέ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
καὶ
καί
ἀκόλουθος
ἀκόλουθος
γένεσις
γένεσις
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
,
,
ὅταν
ὅταν
ἐκθέμενοι
ἐκτίθημι
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
ἑξῆς
ἑξῆς
ἀρτίους
ἄρτιος
καὶ
καί
περιττοὺς
περισσός
ἀριθμοὺς
ἀριθμός
πρὸς
πρός
τούτους
οὗτος
συγκρίνωμεν
συγκρίνω
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
πεντάδος
καθαροὺς
συνεχεῖς
συνεχής
περισσοὺς
περισσός
μόνους
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
πρὸς
πρός
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
,
,
οἷον
οἷος
τὸν
ὁ
ε
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
γ
,
,
καὶ
καί
δεύτερον
δεύτερος
πρὸς
πρός
δεύτερον
δεύτερος
,
,
οἷον
οἷος
τὸν
ὁ
ζ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
δ
,
,
καὶ
καί
τρίτον
τρίτος
πρὸς
πρός
τρίτον
τρίτος
,
,
οἷον
οἷος
τὸν
ὁ
θ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ε
,
,
καὶ
καί
τέταρτον
τέταρτος
πρὸς
πρός
τέταρτον
τέταρτος
,
,
οἷον
οἷος
τὸν
ὁ
ια
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
καὶ
καί
ἐφεξῆς
τῇ
ὁ
αὐτῇ
αὐτός
τάξει
τάξις
ἐφʼ
ὁσονοῦν
·
·
οὕτως
οὕτως
γὰρ
γάρ
εὔτακτα
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐπιμεροῦς
τε
τε
καὶ
καί
ὑπεπιμεροῦς
εἴδη
εἶδος
κατὰ
κατά
τοὺς
ὁ
ἑκάστου
ἕκαστος
πυθμένας
δηλωθήσεται
δηλόω
,
,
ἐπιδιμερὲς
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπιτριμερὲς
καὶ
καί
ἐπιτετραμερὲς
καὶ
καί
ἐπιπενταμερὲς
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἐπὶ
ἐπί
πλέον
πολύς
πλείων
παραπλησίως
παραπλήσιος
·
·
μετὰ
μετά
γὰρ
γάρ
τοὺς
ὁ
πυθμένας
ἑκάστου
ἕκαστος
γενήσονται
οἱ
ὁ
συνεχεῖς
συνεχής
διπλασιαζομένων
διπλασιάζω
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τῶν
ὁ
ὅρων
ὅρος
ἢ
τίη
τριπλασιαζομένων
καὶ
καί
ὅλως
ὅλος
ὅλοξ
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εὔτακτα
εἴδη
εἶδος
μεγεθυνομένων
.
.
οἱ
ὁ
πυθμένες
πυθμήν
.
.
ε
γ
ζ
ζ
δ
θ
θ
ε
ια
Ϛ
Ϛ
ιγ
ζ
ζ
ι
ι
ς
ιδ
η
ιη
ι
ι
κβ
ιβ
κϚ
κϚ
ιβ
ιβ
ιε
θ
θ
κα
ιβ
κζ
ιε
λγ
λγ
ιη
λθ
κα
κ
κ
ιβ
ιβ
κη
ιϚ
κ
κ
μδ
κδ
νβ
νβ
κη
κε
ἄν
ιε
λε
κ
με
κε
ἄν
νε
λ
ξε
λε
λ
ιη
μβ
κδ
νδ
λ
ξϚ
λϚ
οη
μβ
λε
κα
ἄν
μθ
κη
πη
ξγ
λε
οζ
μβ
Ϟα
μθ
μ
κδ
νϚ
λβ
οβ
μ
πη
πη
μη
ρδ
νϚ
με
κζ
ξγ
λϚ
κα
ἄν
με
Ϟθ
νθ
ριζ
εγ
ἐπιδί
-
-
ἐπιτρι
-
-
ἐπιτετρά
-
-
ἐπιπέν
-
-
ἐφεκτέ
-
-
τριτοι
τέταρτοι
τέταρτος
πεμπτοι
θεκτοι
βδομοι
προςεκτέον
δέ
δέ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
τῶν
ὁ
δύο
γε
μερῶν
μέρος
τῶν
ὁ
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
ἐνόντων
ἔνειμι
τῷ
ὁ
μείζονι
μέγας
τὸ
ὁ
τρίτον
τρίτος
ὑπακούεται
,
,
ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
τριῶν
τὸ
ὁ
τέταρτον
τέταρτος
,
,
ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
τεσσάρων
τέσσαρες
τὸ
ὁ
πέμπτον
πέμπτος
πεμπτός
,
,
ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
πέντε
τὸ
ὁ
ἕκτον
ἕκτος
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
,
,
ἵνα
ἵνα
ἡ
ὁ
πρόβασις
πρόβασις
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ὀνομασίαν
ὀνομασία
τοιαύτη
τοιοῦτος
τις
τις
ᾖ
εἰμί
·
·
ἐπιδίτριτος
,
,
ἐπιτριτέταρτος
,
,
ἐπιτετράπεμπτος
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπιπένθεκτος
καὶ
καί
παραπλησίως
παραπλήσιος
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
λοιπῶν
λοιπός
.
.
Αἱ
ὁ
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
τοῦ
ὁ
πρός
πρός
τι
τις
ποσοῦ
ἁπλαῖ
καὶ
καί
ἀσύνθετοὶ
σχέσεις
σχέσις
αἵδε
ὅδε
εἰσὶν
εἰμί
αἱ
ὁ
προλεχθεῖσαι
,
,
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
σύνθετοι
σύνθετος
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
καὶ
καί
οἷον
οἷος
συμπλακεῖσαι
ἐκ
ἐκ
δυοῖν
εἰς
εἰς
μίαν
εἰσὶν
εἰμί
αἵδε
ὅδε
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
πρόλογοι
μὲν
μέν
πολλαπλασιεπιμόριος
καὶ
καί
πολλαπλασιεπιμερής
,
,
ὑπόλογοι
ὑπόλογος
δὲ
δέ
αἱ
ὁ
εὐθύς
εὐθύς
ἑκατέρᾳ
ἑκάτερος
τούτων
οὗτος
συνυφιστάμεναι
,
,
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
ὅς
ὑπο
προθέσει
πρόθεσις
ὀνομαζόμεναι
,
,
πολλαπλασιεπιμορίῳ
μὲν
μέν
ἡ
ὁ
ὑποπολλαπλασιεπιμόριος
,
,
πολλαπλασιεπιμερεῖ
δὲ
δέ
ἡ
ὁ
ὑποπολλαπλασιεπιμερής
,
,
καὶ
καί
καθʼ
ὑποδιαίρεσιν
τῶν
ὁ
γενῶν
αἱ
ὁ
εἰδικαὶ
ταῖς
ὁ
εἰδικαῖς
ἀνθυπακούσονται
,
,
μετὰ
μετά
τῆς
ὁ
ὑπο
προθέσεως
πρόθεσις
καὶ
καί
αὗται
οὗτος
ὀνομαζόμεναι
ὀνομάζω
.
.
κβ
.
.
Πολλαπλασιεπιμόριος
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἐστι
εἰμί
σχέσις
σχέσις
,
,
ὅταν
ὅταν
τῶν
ὁ
συγκρινομένων
συγκρίνω
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
πλεονάκις
πλεονάκις
ἢ
τίη
ἅπαξ
ἅπαξ
ἔχῃ
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
τὸν
ὁ
ἐλάσσονα
καὶ
καί
πρὸς
πρός
τούτῳ
οὗτος
μοριόν
τι
τις
ἓν
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
οἷον
οἷος
δήποτε
.
.
διττῶς
δισσός
δὲ
δέ
ὡς
ὡς
ὡς
ἂν
ἄν
δὴ
δή
σύνθετος
σύνθετος
ὁ
ὁ
τοιοῦτος
τοιοῦτος
ποικίλλεται
ποικίλλω
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
συμπλεκομένων
συμπλέκω
ὀνομάτων
ὄνομα
καθʼ
κατά
ἑκάτερον
ἑκάτερος
ἰδιότητα
ἰδιότης
·
·
ἐπεὶ
ἐπεί
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
πολλαπλασιεπιμόριος
ἔκ
ἐκ
τε
τε
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
γενικῶς
γενικός
σύγκειται
σύγκειμαι
,
,
ἕξει
ἔχω
ἐν
ἐν
ταῖς
ὁ
εἰδικαῖς
ὑποδιαιρέσεσι
ποικιλίαν
ποικιλία
τινὰ
καὶ
καί
ἐξαλλαγήν
ἐξαλλαγή
,
,
ἰδίᾳ
ἴδιος
μὲν
μέν
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
πρότερον
πρότερος
μέρος
μέρος
τοῦ
ὁ
ὀνόματος
ὄνομα
,
,
ἰδέα
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
,
,
οἷον
οἷος
κατὰ
κατά
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
πρότερον
πρότερος
τὸ
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
τὸ
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἢ
τίη
τριπλάσιον
τριπλάσιος
ἢ
τίη
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
ἢ
τίη
πενταπλάσιον
πενταπλάσιος
πενταπλασίων
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
γενικῶς
γενικός
τὰ
ὁ
εἰδικὰ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
εὔτακτα
τὸ
ὁ
ἐφημιόλιον
,
,
τὸ
ὁ
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
,
,
τὸ
ὁ
ἐπιτέταρτον
,
,
τὸ
ὁ
ἐπίπεμπτον
ἐπίπεμπτος
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
ὥςτε
τὴν
ὁ
σύνθεσιν
σύνθεσις
τοιαύτῃ
τοιοῦτος
τινὶ
τάξει
τάξις
προχωρεῖν
προχωρέω
·
·
διπλασιεφήμισυς
,
,
διπλασιεπίτριτος
,
,
διπλασιεπιτέταρτος
,
,
διπλασιεπίπεμπτος
,
,
διπλασιεπίεκτος
καὶ
καί
ἀνάλογον
ἀνάλογος
,
,
καὶ
καί
ἀπʼ
ἄλλης
ἄλλος
ἀρχῆς
ἀρχή
τριπλασιεφήμισυς
,
,
τριπλασιεπίτριτος
,
,
τριπλασιεπιτέταρτος
,
,
τριπλασιεπίπεμπτος
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἄνωθεν
ἄνωθεν
τετραπλασιεφήμισυς
,
,
τετραπλασιεπίτριτος
,
,
τετραπλασιεπιτέταρτος
,
,
τετραπλασιεπίπεμπτος
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἄνωθεν
ἄνωθεν
πενταπλασιεφήμισυς
,
,
πενταπλασιεπίτιτρος
,
,
πενταπλασιεπιτέταρτος
,
,
πενταπλασιεπίπεμπτος
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅς
τούτοις
οὗτος
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἀναλογοῦντα
ἀναλογέω
·
·
ὁσάκις
ὁσάκις
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
ἔχει
ἔχω
,
,
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
τοσαύτην
τοσοῦτος
ποσότητα
παρονομασθήσεται
τὸ
ὁ
πρότερον
πρότερος
μέρος
μέρος
τοῦ
ὁ
λόγου
λόγος
τῶν
ὁ
συμπλεκομένων
συμπλέκω
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
πολλαπλασιεπιμορίῳ
,
,
οἷον
οἷος
δʼ
δέ
ἂν
ἄν
τὸ
ὁ
μόριον
μόριον
τὸ
ὁ
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
πολλάκις
πολλάκις
ὅλῳ
ὅλος
ὅλοξ
ἐνυπάρχον
ὑπάρχω
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
μείζονι
μέγας
ᾖ
εἰμί
,
,
πρὸς
πρός
ἐκεῖνο
ἐκεῖνος
παρώνυμον
παρώνυμος
ἔσται
εἰμί
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
του
ὁ
λόγου
λόγος
,
,
ἀφʼ
οὗ
οὗ
σύνθετον
σύνθετος
τὸ
ὁ
πολλαπλασιεπιμόριον
.
.
ὑποδείγματα
ὑπόδειγμα
δὲ
δέ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
·
·
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ε
τοῦ
ὁ
β
διπλασιεφημιόλιος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ζ
ζ
τοῦ
ὁ
ὅς
γ
διπλασιεπίτριτος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
θ
θ
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
διπλασιεπιτέταρτος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ια
τοῦ
ὁ
ὅς
ε
διπλασιεπίπεμπτος
·
·
καὶ
καί
αἰεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
εὐτάκτους
εὔτακτος
αὐτοὺς
αὐτός
γεννήσεις
γεννάω
συγκρίνων
συγκρίνω
τοῖς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἑξῆς
ἑξῆς
ἀρτίοις
καὶ
καί
περισσοῖς
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
πεντάδος
καθαρούς
περισσούς
περισσός
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
,
,
δεύτερον
δεύτερος
δευτέρῳ
δεύτερος
,
,
τρίτον
τρίτος
τρίτῳ
τρίτος
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
ἄλλους
ὁμοταγεῖς
τοῖς
ὁ
ὁμοταγέσιν
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
πάντων
πᾶς
ἀρτίων
οἱ
ἕ
ἀπὸ
ἀπό
πεντάδος
συνεχεῖς
συνεχής
πεντάδι
διαφέροντες
διαφέρω
διπλασιεφημιόλιοι
καθαροὶ
καθαρός
ἔσονται
εἰμί
ὁμοταγεῖς
ὁμοταγῶν
ὁμοταγής
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
τρίτου
τρίτος
πάντων
πᾶς
τῶν
ὁ
ὅς
τριάδι
τριάς
διαφερόντων
διαφέρω
ἐκτεθέντων
ἐκτίθημι
,
,
οἷον
οἷος
γ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
θ
θ
,
,
ιβ
,
,
ιε
,
,
ιη
,
,
κα
,
,
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἄλλῳ
ἄλλος
στίχῳ
στίχος
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
ἑβδομάδος
ἑβδομάς
ἑβδομάδι
διαφερόντων
διαφέρω
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἐκτεθέντων
ἐκτίθημι
,
,
οἷον
οἷος
ζ
ζ
,
,
ιδ
,
,
κα
,
,
κη
,
,
λε
,
,
μβ
,
,
μθ
,
,
καὶ
καί
συγκρινομένων
συγκρίνω
μειζόνων
μέγας
ἐλάττοσι
,
,
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
,
,
δευτέρου
δεύτερος
δευτέρῳ
δεύτερος
,
,
τρίτου
τρίτος
τρίτῳ
τρίτος
,
,
τετάρτου
τετάρτῳ
τέταρτος
,
,
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
ἀναφαίνεται
ἀναφαίνω
τὸ
ὁ
ὅς
τῶν
ὁ
διπλασιεπιτρίτων
μετὰ
μετά
τῆς
ὁ
οἰκείας
οἰκεῖος
εὐταξίας
εὐταξία
ἐκκείμενον
.
.
εἶτα
εἶτα
πάλιν
πάλιν
ἀπʼ
ἀπό
ἄλλης
ἄλλος
ἀρχῆς
ἀρχή
ἂν
ἐάν
ἐκτεθῇ
ὁ
ὁ
τῶν
ὁ
τετραπλασίων
τετραπλάσιος
καθαρὸς
καθαρός
στίχος
στίχος
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιβ
,
,
ιϚ
,
,
κ
κ
,
,
κδ
,
,
κη
,
,
λβ
,
,
εἶτα
εἶτα
παρεκτεθῇ
αὐτῷ
αὐτός
ἐν
ἐν
ἄλλῳ
ἄλλος
στίχῳ
στίχος
ὁ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τῆς
ὁ
ἑνάδος
ἀρχόμενος
ἄρχω
κατὰ
κατά
ἐνάδος
προκοπὴν
προκοπή
συνεχὴς
συνεχής
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
οἷον
οἷος
θ
θ
,
,
ιη
.
.
κζ
,
,
λϚ
,
,
με
ἐγώ
,
,
νδ
,
,
ἕξομεν
ἔχω
ἀναφαινόμενον
ἀναφαίνω
πάλιν
πάλιν
τὸν
ὁ
εἰδικὸν
πολλαπλασιεπιμόριον
,
,
τουτέστι
τὸν
ὁ
διπλασιεπιτέταρτον
εὔτακτον
εὔτακτος
·
·
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐπινοεῖν
ἐπινοέω
πάρεστι
πάρειμι
τῷ
τῷ
βουλομένῳ
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
ἤπειρος
.
.
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἕτερον
ἕτερος
εἶδος
εἶδος
ἄρχεται
ἄρχω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
τριπλασιεφημίσους
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
ζ
ζ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
β
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ιδ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
δ
δ
καὶ
καί
ἀπλῶς
οἱ
ὁ
καθʼ
καθά
καθό
ἑβδομάδα
προχωροῦντες
πρὸς
πρός
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
εὐτάκτους
εὔτακτος
ἀρτίους
ἄρτιος
.
.
εἶτα
εἶτα
πάλιν
πάλιν
ἐξ
ἐκ
ὑπαρχῆς
ὑπαρχή
ὁ
ὁ
ι
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
γ
τριπλασιεπίτριτός
ἐστι
εἰμί
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
τριπλασιεπίτριτος
δεύτερος
δεύτερος
,
,
καὶ
καί
ἀπλῶς
οἱ
ὁ
δεκαπλάσιοι
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
πρὸς
πρός
τοὺς
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τριπλασίους
τριπλάσιος
·
·
ἃ
ὅς
ὅς2
δὴ
δή
ἀκριβέστερον
ἀκριβής
κατιδεῖν
καθοράω
κατεῖδον
δυνάμεθα
δύναμαι
καὶ
καί
τρανότερον
τρανής
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
προεπιγνωσθέντι
διαγράμματι
διάγραμμα
·
·
πρὸς
πρός
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
τὸν
ὁ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
στίχον
οἱ
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τάξει
τάξις
συγκείμενοι
ὅλοι
πρὸς
πρός
ὅλον
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εὔτακτα
εἴδη
εἶδος
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
ὑποδεικνύουσι
ὑποδείκνυμι
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
ἀεὶ
ἀεί
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
ἅπαντες
ἅπας
συγκρινόμενοι
συγκρίνω
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τούς
ὁ
ὑπεράνω
ὑπεράνω
πάντας
πᾶς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
εἷς
ἕκαστος
ἕκαστος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
γείτονα
γείτων
·
·
τῆς
ὁ
ἀρχῆς
ἀρχή
ᾑμῖν
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
δευτέρου
δεύτερος
γινομένης
στίχου
στίχος
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
εἴδη
εἶδος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
οἰκείαν
οἰκεῖος
εὐταξίαν
εὐταξία
γεννᾶται
γεννάω
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
τρίτου
τρίτος
στίχου
στίχος
πρὸς
πρός
αὐτόν
αὐτός
τε
τε
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
συνεχεῖς
συνεχής
αὐτῷ
αὐτός
καθʼ
καθά
καθό
ἕκαστον
ἕκαστος
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
πέμπτου
πέμπτος
πεμπτός
περισσοταγεῖς
πάντες
πᾶς
ἀντεξεταζόμενοι
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐπιμεροῦς
πάντα
πᾶς
εἴδη
εἶδος
εὔτακτα
ὑποδείξουσι
·
·
τοῦ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
πολλαπλασιεπιμορίου
αἱ
ὁ
συγκρίσεις
τάξιν
τάξις
φυσικὴν
φυσικός
καὶ
καί
ἰδίαν
ἴδιος
ἕξουσιν
,
,
ἐὰν
ἐάν
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
δευτέρου
στίχου
στίχος
ἀρχόμενοι
ἄρχω
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
πέμπτου
πέμπτος
πεμπτός
συγκρίνωμεν
συγκρίνω
ἀριθμούς
ἀριθμός
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
πρὸς
πρός
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
δεύτερον
δεύτερος
πρὸς
πρός
δεύτερον
δεύτερος
καὶ
καί
τρίτον
τρίτος
πρὸς
πρός
τρίτον
τρίτος
καὶ
καί
οὕτως
οὕτως
ἑξῆς
ἑξῆς
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
τρίτον
τρίτος
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἑβδόμου
ἕβδομος
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
τέταρτον
τέταρτος
τοὺς
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἐνάτου
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἁρμόζουσαν
ἁρμόζω
εὐταξίαν
εὐταξία
,
,
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
εὐτονῇ
τις
τις
παρέπεσθαι
παρέπομαι
.
.
δῆλον
δῆλος
δέ
δέ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οἱ
ὁ
ἐλάττονες
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ὑπο
προ
ἀντονομάζονται
καὶ
καί
ἐνθάδε
ἐνθάδε
πρὸς
πρός
τοὺς
ὁ
μείζονας
μέγας
κατὰ
κατά
τὰς
ὁ
ἐγκειμένας
πᾶσι
πᾶς
προςηγορίας
.
.
κγ
.
.
Πολλαπλασιεπιμερὴς
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἡ
ὁ
λοιπὴ
λοιπός
σχέ
-
-
σις
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
·
·
αὕτη
οὗτος
τε
τε
καὶ
καί
ἡ
ὁ
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ὑπο
προθέσει
πρόθεσις
ἀντονομαζομένη
αὐτῇ
αὐτός
ἔστιν
εἰμί
,
,
ὅταν
ὅταν
ἀριθμὸς
ἀριθμός
τὸν
ὁ
συγκρινόμενον
συγκρίνω
ἀριθμὸν
ἀριθμός
ὅλον
ὅλος
ὅλοξ
τε
τε
ἔχῃ
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
πλεονάκις
πλεονάκις
ἢ
τίη
ἅπαξ
ἅπαξ
(
(
τουτέστι
δὶς
δίς
ἢ
τίη
τρὶς
τρίς
ἢ
τίη
ὁσακιςοῦν
)
)
καὶ
καί
πρὸς
πρός
τούτῳ
οὗτος
μέρη
μέρος
τινὰ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
πλείονα
πολύς
πλείων
ἑνὸς
ἢ
ἤ
β
ἢ
ἤ
γ
ἢ
τίη
δ
ἢ
τίη
ε
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
.
.
ταῦτα
οὗτος
δὲ
δέ
οὐκ
οὐ
ἔστι
εἰμί
μὲν
μέν
ἡμίση
ἥμισυς
διὰ
διά
τὰ
ὁ
προλεχθέντα
ἤτοι
ἤτοι
δὲ
δέ
τρίτα
τρίτος
ἢ
τίη
τέταρτα
ἢ
τίη
πέμπτα
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ὁμοίαν
ὅμοιος
ἀκολουθίαν
ἀκολουθία
.
.
οὐ
οὐ
χαλεπὸν
χαλεπός
δὲ
δέ
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
προφρασθέντων
νοῆσαι
νοέω
καὶ
καί
τὰ
ὁ
τούτου
οὗτος
εἴδη
εἶδος
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
ὁμοίως
ὅμοιος
καὶ
καί
ἀπαραλλάκτως
τοῖς
ὁ
πρὸ
πρό
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ποικίλλεται
ποικίλλω
,
,
διπλασιεπιδιμερής
,
,
εἶτα
εἶτα
διπλασιεπιτριμερής
,
,
εἶτα
εἶτα
διπλασιεπιτετραμερής
,
,
καὶ
καί
ἀνάλογον
ἀνάλογος
·
·
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
η
τοῦ
ὁ
γ
διπλασιεπιδιμερὴς
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ιϚ
ιϚ
τοῦ
ὁ
ὅς
διπλασιεπιδιμερὴς
καὶ
καί
καθόλου
καθόλου
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
ὀγδοάδος
ὀγδοάδι
διαφέροντες
διαφέρω
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
τριάδι
τριάς
διαφερόντων
διαφέρω
,
,
ὁμοταγεῖς
ὁμοταγῶν
,
,
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
λοιπῶν
λοιπός
εἰδῶν
εἰδοί
δύναιτʼ
ἄν
ἄν
τις
τις
ἀκολουθῶν
ἀκολουθέω
τοῖς
ὁ
προειρημένοις
προαγορεύω
εὑρίσκειν
εὑρίσκω
τὴν
ὁ
εὐταξίαν
εὐταξία
·
·
κἀνταῦθα
ἐνταῦθα
δὲ
δέ
σὺν
σύν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ὑπὸ
ὑπό
προθέσει
πρόθεσις
νοητέον
νοέω
προιοῦσαν
πρόειμι
καὶ
καί
συμμεταβαλλομένην
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
συγκρινομένου
ἀντονομασίαν
.
.
Καὶ
καί
οὕτως
οὕτως
αἱ
ὁ
δέκα
ἀριθμητικαὶ
ἀριθμητικός
σχέσεις
σχέσις
πέρας
πέρας
ἡμῖν
ἐγώ
τῆς
ὁ
θεωρίας
θεωρία
,
,
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
πρώτῃ
πρῶτος
πρότερος
λαμβάνουσιν
λαμβάνω
εἰςαγωγῇ
·
·
ἔστι
εἰμί
δέ
δέ
τις
τις
γλαφυρωτέρα
ἔφοδος
ἔφοδος3
ἔφοδος
καὶ
καί
ἀναγκαιοτάτη
ἀναγκαῖος
πρὸς
πρός
πᾶσαν
πᾶς
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
φυσιολογίαν
φυσιολογία
,
,
ἥτις
ὅστις
ἡμῖν
σαφέστατα
σαφής
καὶ
καί
ἀναμφιλέκτως
ἀναμφίλογος
παρίστησιν
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
καλὸν
καλός
καὶ
καί
ὡρισμένον
ὁρίζω
καὶ
καί
ὑπὸ
ὑπό
ἐπιστήμην
ἐπιστήμη
πῖπτον
πίπτω
φύσει
φύσις
προγενέστερον
τοῦ
ὁ
ἀορίστου
ἀόριστος
καὶ
καί
ἀπεριλήπτου
καὶ
καί
αἰσχροῦ
αἰσχρός
,
,
εἶτα
εἶτα
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἀπείρου
καὶ
καί
ἀορίστου
ἀόριστος
μέρη
μέρος
καὶ
καί
εἴδη
εἶδος
ὑπʼ
ὑπό
ἐκείνου
ἐκεῖνος
μορφοῦται
καὶ
καί
περαίνεται
περαίνω
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
προςήκοντος
κόσμου
κόσμος
καὶ
καί
εὐταξίας
εὐταξία
τυγχάνει
τυγχάνω
καὶ
καί
ὥςπερ
ὑπὸ
ὑπό
σφραγιστῆρός
τινος
ἢ
τίη
μέτρου
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
ἐμπίπτοντα
μεταλαμβάνει
μεταλαμβάνω
τῆς
ὁ
ὁμοιότητος
ὁμοιότης
καὶ
καί
ὁμωνυμίας
ὁμωνυμία
·
·
οὕτω
οὕτως
γὰρ
γάρ
εὐλόγως
εὔλογος
καὶ
καί
τὸ
ὁ
τῆς
ὁ
ψυχῆς
ψυχή
λογικὸν
λογικός
τοῦ
ὁ
ἀλόγου
ἄλογος
κοσμητικὸν
κοσμητικός
ἔσται
εἰμί
καὶ
καί
ὁ
ὁ
θυμὸς
θυμός
καὶ
καί
ἡ
ὁ
ἐπιθυμία
ἐπιθυμία
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
τῆς
ὁ
ἀνισότητος
ἀνισότης
δυσὶν
εἴδεσι
εἶδος
τεταγμένα
τάσσω
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
διανοητικοῦ
διανοητικός
εὐτακτηθήσονται
ὡς
ὡς
ὑπό
ὑπό
τινος
ἰσότητος
ἰσότης
καὶ
καί
ταυτότητος
.
.
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
ἀπισώσεως
ταύτης
οὗτος
ὀρθῶς
ὀρθός
ἡμῖν
ἀποβήσονται
αἱ
ὁ
λεγόμεναι
ἠθικαὶ
ἠθικός
ἀρεταί
ἀρετή
,
,
σωφροσύνη
σωφροσύνη
,
,
ἀνδρεία
ἀνδρεία
,
,
πρᾳότης
πραότης
,
,
ἐγκράτεια
ἐγκράτεια
,
,
καρτερία
καρτερία
καὶ
καί
αἱ
ὁ
ὅμοιαι
ὅμοιος
.
.
Φέρε
φέρω
οὖν
οὖν
ἐπισκεψώμεθα
,
,
ποταπὸν
τὸ
ὁ
εἰς
εἰς
τὰ
ὁ
φυσικὰ
ταῦτα
οὗτος
συντεῖνον
συντείνω
θεώρημα
θεώρημα
·
·
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
ἀποδεικτικὸν
ἀποδεικτικός
τοῦ
ὁ
ἀπ’
ἀπό
ἰσότητος
ἰσότης
μονωτάτης
καὶ
καί
πρωτίστης
οἷον
οἷος
μητρός
μήτηρ
τινος
καὶ
καί
ῥίζης
ῥίζα
γεννᾶσθαι
γεννάω
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
τῆς
ὁ
ἀνισότητος
ἀνισότης
ποικίλα
ποικίλος
εἴδη
εἶδος
καὶ
καί
εἰδῶν
διαφοράς
διαφορά
.
.
προκείσθωσαν
γὰρ
γάρ
ἡμῖν
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὅροις
ὅρος
ἶσοί
τινες
τις
ἀριθμοί
ἀριθμός
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
μονάδες
μονάς
,
,
εἶτα
εἶτα
δυάδες
δυάς
ἐν
ἐν
ἄλλοις
τρισίν
,
,
εἶτα
τριάδες
τριάς
,
,
καὶ
καί
·
·
ἑξῆς
ἑξῆς
τετράδες
,
,
ἔπειτα
ἔπειτα
πεντάδες
πεντάς
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
·
·
οὕτω
οὕτως
γὰρ
γάρ
τῆς
ὁ
τούτων
οὗτος
ἐκθέσεως
θείῳ
θεῖος2
θεῖος
τινὶ
καὶ
καί
οὐκ
οὐ
ἀνθρωπίνῳ
ἀνθρώπινος
λόγῳ
λόγος
,
,
ἀλλʼ
ἀπὸ
ἀπό
φύσεως
φύσις
αὐτῆς
αὐτός
γεγονυίας
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
γενήσονται
πολλαπλάσιοι
πολλαπλάσιος
,
,
καὶ
καί
τούτων
οὗτος
αὐτῶν
αὐτός
ἡγήσεται
ἡγέομαι
μὲν
μέν
διπλάσιος
διπλάσιος
,
,
μετʼ
μετά
αὐτὸν
αὐτός
δὲ
δέ
τριπλάσιος
τριπλάσιος
,
,
ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
τούτῳ
οὗτος
τετραπλάσιος
τετραπλάσιος
,
,
εἶτα
εἶτα
πενταπλάσιος
πενταπλάσιος
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
προεπιγνωσθεῖσαν
ἡμῖν
ἐγώ
τάξιν
τάξις
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
·
·
δεύτερος
δεύτερος
δὲ
δέ
ἐπιμόριος
,
,
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
πάλιν
πάλιν
ἡγήσεται
ἡγέομαι
τὸ
ὁ
πρώτιστον
πρώτιστος
εἶδος
εἶδος
ἡμιόλιος
,
,
ἐπὶ
ἐπί
τούτῳ
οὗτος
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
ὅς
μετʼ
μετά
αὐτὸ
αὐτός
ἐπίτριτος
ἐπίτριτος
,
,
ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
τούτοις
οὗτος
ὁ
ὁ
τάξει
τάξις
ἑξῆς
ἑξῆς
ἐπτέταρτος
καὶ
καί
ἐπίπεμπτος
καὶ
καί
ἔφεκτος
ἔφεκτος
καὶ
καί
ἀνάλογον
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
·
·
τρίτον
τρίτος
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
ἐπιμερές
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τούτου
οὗτος
ἐπιδιμερὲς
μὲν
μέν
ἡγήσεται
ἡγέομαι
,
,
ἕπεται
δʼ
δέ
εὐθὺς
εὐθύς
ἐπὶ
ἐπί
τούτῳ
τὸ
ὁ
ἐπιτριμερές
,
,
εἶτα
εἶτα
τὸ
ὁ
ἐπιτετραμερές
,
,
καὶ
καί
εὐθὺς
εὐθύς
τὸ
ὁ
ἐπιπενταμερές
,
,
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
προχωρῇ
προχωρέω
τις
τις
ἀκολούθως
ἀκόλουθος
τοῖς
ὁ
ἔμπροσθεν
ἔμπροσθεν
.
.
προςτάγματα
οὖν
οὖν
τινα
τις
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
ἔχειν
ἔχω
οἷον
οἷος
νόμους
νόμος
νομός
φυσικοὺς
φυσικός
ἀπαρεγκλίτους
καὶ
καί
ἀπαραβάτους
,
,
οἷς
ὅς
ὅς2
πᾶσα
πᾶς
ἡ
ὁ
προλεχθεῖσα
πρόβασις
πρόβασις
καὶ
καί
προχώρησις
ἀπὸ
ἀπό
τῆς
ὁ
ἰσότητος
ἰσότης
εὐοδώσει
μὴ
μή
λειποτακτουμένη
·
·
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
προςτάγματα
ταῦτά
ἐστι
εἰμί
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
ἶσον
ἴσος
ποιῆσαι
ποιέω
,
,
δεύτερον
δεύτερος
δὲ
δέ
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
ἅμα
ἅμα
καὶ
καί
δευτέρῳ
δεύτερος
,
,
τρίτον
τρίτος
δὲ
δέ
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
δυσὶ
δευτέροις
δεύτερος
ἅμα
ἅμα
καὶ
καί
τρίτῳ
τρίτος
·
·
γένοιτο
γίγνομαι
γὰρ
γάρ
μετὰ
μετά
τούτων
οὗτος
τῶν
ὁ
νόμων
νόμος
νομός
πλάσσοντί
σοι
εὐθὺς
εὐθύς
μὲν
μέν
τὰ
ὁ
ὅς
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
ἅπαντα
ἅπας
εἴδη
εἶδος
τάξει
τάξις
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
τῆς
ὁ
ἰσότητος
ἰσότης
τριῶν
ἐκκειμένων
ὅρων
ὅρος
οἷον
οἷος
βλαστάνοντα
βλαστάνω
καὶ
καί
ἐκφυόμενα
,
,
σοῦ
σός
μηδὲν
ἐπιτηδεύοντος
μηδὲ
μηδέ
συλλαμβάνοντος
συλλαμβάνω
·
·
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
ἰσότητος
ἰσότης
εὐθὺς
εὐθύς
τὸ
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
,
,
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
διπλασίου
εὐθὺς
εὐθύς
τὸ
ὁ
τριπλάσιον
τριπλάσιος
,
,
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τριπλασίου
ἑξῆς
ἑξῆς
τὸ
ὁ
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τούτου
οὗτος
τὸ
ὁ
πενταπλάσιον
πενταπλάσιος
πενταπλασίων
εὐτάκτως
εὔτακτος
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
ἀεί
ἀεί
.
.
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
τῶν
ὁ
εὐτάκτως
εὔτακτος
πολλαπλασίων
πολλαπλάσιος
ἀναστραφέντων
εὐθὺς
εὐθύς
γεννῶνται
γεννάω
φύσει
φύσις
τινὶ
ἀναγκαίᾳ
ἀνάγκη
διὰ
διά
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
τριῶν
προςταγμάτων
οἱ
ὁ
ἐπιμόριοι
,
,
καὶ
καί
οὗτοι
οὗτος
οὐχ
οὐ
ὡς
ὡς
ὡς
ἔτυχεν
τυγχάνω
οὐδὲ
οὐδέ
ἀτάκτως
ἄτακτος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τῇ
ὁ
προςηκούσῃ
ἀκολουθίᾳ
ἀκολουθία
·
·
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
διπλασίου
διπλάσιος
ἀναστραφέντος
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
,
,
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
δευτέρου
τριπλασίου
ὁ
ὁ
ἐν
ἐν
ἐκείνοις
ἐκεῖνος
δεύτερος
δεύτερος
ἐπίτριτος
ἐπίτριτος
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπιτέταρτος
ἐκ
ἐκ
τετραπλασίου
,
,
καὶ
καί
ἀπλῶς
ἕκαστος
ἕκαστος
ἀπʼ
ἀπό
ἐκείνου
ἐκεῖνος
,
,
ᾧ
ὅς
ὅς2
παρώνυμός
ἐστιν
εἰμί
.
.
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
ἄλλης
ἄλλος
ἀρχῆς
ἀρχή
αὐτῶν
αὐτός
τῶν
ὁ
ἐπιμορίων
ἐκκειμένων
,
,
ὥςπερ
καὶ
καί
ἀνεφύησαν
,
,
ἀναστρόφως
μέντοι
,
,
γεννῶνται
γεννάω
οἱ
ὁ
φύσει
φύσις
μετʼ
μετά
αὐτοὺς
αὐτός
ἐπιμερεῖς
·
·
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ἡμιολίου
ἐπιδιμερής
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἐπιτρίτου
ἐπιτριμερὴς
καὶ
καί
ἐπιτετραμερὴς
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ἐπιτετάρτου
καὶ
καί
ἐπʼ
ἄπειρον
ἄπειρος
τῇ
ὁ
αὐτῇ
αὐτός
ἀναλογίᾳ
ἀναλογία
.
.
μὴ
μή
ἀναστρεφομένων
ἀναστρέφω
δέ
δέ
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ὀρθῶς
ὀρθός
ἐκκειμένων
τῶν
ὁ
εὐτάκτων
εὔτακτος
ἐπιμορίων
γεννῶνται
γεννάω
διὰ
διά
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
προςταγμάτων
οἱ
ὁ
πολλαπλασιεπιμόριοι
·
·
διπλασιεφήμισυς
μὲν
μέν
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
ἡμιολίου
,
,
διπλασιεπίτριτος
δὲ
δέ
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
δευτέρου
ἐπιτρίτοu
,
,
διπλασιεπιτέταρτος
δὲ
δέ
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
τρίτου
τρίτος
ἐπιτετάρτου
,
,
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
.
.
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀναστροφῆς
ἀναστροφή
τῶν
ὁ
ἐπιμορίων
γεννηθέντων
γεννάω
,
,
τουτέστι
τῶν
ὁ
ἐπιμερῶν
,
,
καὶ
καί
τῶν
ὁ
μὴ
μή
ἐξ
ἐκ
ἀναστροφῆς
ἀναστροφή
,
,
τουτέστι
πολλαπλασιεπιμορίων
,
,
πάλιν
πάλιν
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
διὰ
διά
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
προςταγμάτων
ἀπογεννῶνται
ὀρθῶς
ὀρθός
τε
τε
κειμένων
καὶ
καί
ἀναστρεφομένων
ἀναστρέφω
οἱ
ὁ
τὰς
ὁ
λοιπὰς
λοιπός
σχέσεις
σχέσις
ἐμφαίνοντες
ἐμφαίνω
ἀριθμοί
.
.
πάντων
πᾶς
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
προειρημένων
προαγορεύω
,
,
γενέσεώς
τε
τε
αὐτῶν
αὐτός
καὶ
καί
τάξεως
τάξις
,
,
ὀρθότητός
τε
τε
καὶ
καί
ἀναστροφῆς
ἀναστροφή
ὑποδείγματα
ὑπόδειγμα
ἀρκείτω
ἀρκέω
ἡμῖν
πρὸς
πρός
ὑπόμνησιν
ὑπόμνησις
τὰ
ὁ
τοσαῦτα
τοσοῦτος
.
.
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
ἡμιολίοις
σχέσεως
σχέσις
καὶ
καί
ἀναλογίας
ἀναλογία
ἀνεστραμμένης
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
ὅρου
ὅρος
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
σχέσις
σχέσις
ἐν
ἐν
ἐπιμερέσι
λόγοις
λόγος
ἐπιδίτριτος
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
κειμένης
ὀρθῶς
ὀρθός
πολλαπλασιεπιμόριος
ἤτοι
ἤτοι
διπλασιεφήμισυς
,
,
ὡς
ὡς
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ὅς
θ
θ
,
,
ϛ
,
,
δ
δ
ἤτοι
ἤτοι
θ
θ
,
,
ιε
,
,
κε
ἄν
ἢ
τίη
δ
δ
,
,
ι
,
,
κε
ἄν
·
·
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
ἐπιτρίτοις
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
ἐπιμερὴς
ἤτοι
ἤτοι
τριςεπιτέταρτος
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἐλάσσονος
ἐλάσσων
διπλασιεπίτριτος
,
,
ὡς
ὡς
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ιϚ
,
,
ιβ
,
,
θ
θ
ἤτοι
ἤτοι
ιϚ
ιϚ
,
,
κη
,
,
μθ
ἢ
τίη
θ
θ
,
,
κα
,
,
μθ
·
·
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
ἐπιτετάρτοις
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ὑπερέχοντος
ὑπερέχω
ἐπιμερὴς
ἤτοι
ἤτοι
τετρακιςεπίπεμπτος
,
,
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
πολλαπλασιεπιμόριος
ἤτοι
ἤτοι
διπλασιεπιτέταρτος
,
,
ὡς
ὡς
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
τίς
ὅς
κε
ἄν
,
,
κ
,
,
ιϚ
ἤτοι
ἤτοι
κε
ἄν
,
,
μδ
,
,
πα
ἢ
τίη
ιϚ
ιϚ
,
,
λϚ
,
,
πα
.
.
ἐπὶ
ἐπί
πασῶν
πᾶς
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
διαζευχθεισῶν
καὶ
καί
ἀφʼ
ἀπό
ἧς
ὅς
ὅς2
ἀμφότεραι
ἀμφότερος
,
,
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ἔσχατος
ἔσχατος
τετράγωνος
τετράγωνος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
μένει
μένω
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
εἰς
εἰς
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
μεταβαίνει
μεταβαίνω
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
δὲ
δέ
οἱ
ὁ
ἄκροι
τετράγωνοι
τετράγωνος
.
.
ἀλλὰ
ἀλλά
μὴν
μήν
καὶ
καί
ἑτέρως
ἕτερος
ἑτέρως
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ἐπιμερῶν
οἱ
ὁ
πολλαπλασιεπιμερεῖς
καὶ
καί
ἑτερογενεῖς
ἑτερογενής
ἐπιμερεῖς
ἀναφαίνονται
ἀναφαίνω
,
,
οἷον
οἷος
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
τῆς
ὁ
διςεπιτρίτου
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ὅρου
ὅρος
ἡ
ὁ
διπλασία
καὶ
καί
διςεπίτριτος
·
·
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
μείζονος
ἡ
ὁ
τριςεπίπεμπτος
,
,
ὡς
ὡς
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ὅς
θ
θ
,
,
ιε
,
,
κε
ἄν
ἤτοι
ἤτοι
θ
θ
,
,
κδ
,
,
ξδ
ξδ
ἢ
ἤ
κε
ἄν
,
,
μ
,
,
ξδ
·
·
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
τριςεπιτετάρτου
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
μικροτέρου
ἡ
ὁ
διπλασία
καὶ
καί
τριςεπιτέταρτος
,
,
ἐκ
ἐκ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
μείζονος
ἡ
ὁ
τετρακιςεφέβδομος
,
,
ὡς
ὡς
ἐπὶ
ἐπί
τοῦ
ὁ
ὅς
ιϚ
ιϚ
,
,
κη
,
,
μθ
ἤτοι
ἤτοι
ιϚ
,
,
μδ
,
,
ρκα
ἢ
τίη
μθ
μθ
,
,
οζ
,
,
ρκα
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
τετράκιςἐπιπέμπτου
,
,
οἷον
οἷος
τῆς
ὁ
κε
,
,
μδ
,
,
πσ
,
,
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ἐλάσσονος
ἐλάσσων
ἡ
ὁ
διπλασία
καὶ
καί
τετρακιςεπίπεμπτος
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
,
,
κε
ἄν
,
,
ο
,
,
ρϞϚ
,
,
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
πάλιν
πάλιν
ἐπιμερὴς
ᾔ
ᾔ
πεντακιςεπένατος
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
πα
,
,
ρκϚ
,
,
ρϞϚ
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
ἐξῆς
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἀνάλογα
ἀνάλογος
καὶ
καί
εὐάρμοστα
εὑρήσεις
εὑρίσκω
.
.
1
.
.
(
(
§
.
.
8
)
)
:
:
ὅρα
ὁράω
,
,
πῶς
πῶς
πως
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
ἰσότητος
ἰσότης
ἀπογεννῶνται
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εὔτακτα
εἴδη
εἶδος
·
·
α
α
α
διπλ
.
.
α
β
δ
τριπλ
.
.
α
γ
θ
τετραπλ
.
.
α
δ
ιϚ
πενταπλ
.
.
α
ε
κε
ἄν
ἑξαπλ
.
.
α
Ϛ
Ϛ
λϚ
ἑπταπλ
.
.
α
ζ
μθ
ὀκταπλ
.
.
α
η
ξδ
ἐναπλ
.
.
α
θ
θ
πα
δεκαπλ
.
.
α
ι
ι
ρ
ρ
2
.
.
(
(
§
.
.
9
)
)
:
:
ὅρα
ὁράω
,
,
πῶς
πῶς
πως
οἱ
ὁ
ἡμιόλιοι
ἡμιόλιος
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
διπλασίων
διπλάσιος
ἀναστραφέντων
·
·
διπλάσιοι
διπλάσιος
ἀναστραφέντες
δ
β
α
ἡμιόλιοι
ἡμιόλιος
δ
ϛ
ϛ
θ
θ
·
·
ὅρα
ὁράω
,
,
πῶς
πῶς
πως
οἱ
ὁ
ἐπίτριτοι
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
τριπλασίων
τριπλάσιος
,
,
ἀναστραφέντων
καὶ
καί
τούτων
οὗτος
·
·
τριπλάσιοι
τριπλάσιος
ἀναστραφέντες
θ
θ
γ
α
ἐπίτριτοι
θ
θ
ιβ
ιϛ
·
·
ὅρα
ὁράω
,
,
πῶς
πῶς
πως
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐπιτέταρτοι
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
τετραπλασίων
τετραπλάσιος
ἀναστραφέντων
·
·
τετραπλάσιοι
ιϚ
δ
δ
α
ἐπιτέταρτοι
ιϚ
κ
κ
κε
ἄν
·
·
πῶς
πῶς
πως
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
πενταπλασίων
πενταπλάσιος
οἱ
ὁ
ἐπέπεμιπτοι
·
·
κε
ἄν
ε
α
κε
ἄν
λ
λϚ
·
·
πῶς
πῶς
πως
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ἑξαπλασίων
ἑξαπλάσιος
οἱ
ὁ
ἔφεκτοι
ἔφεκτος
·
·
λϚ
Ϛ
Ϛ
α
λϚ
μβ
μθ
·
·
πῶς
πῶς
πως
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ἑπταπλασίων
οἱ
ὁ
ἐφέβδομοι
·
·
μθ
ζ
ζ
α
μθ
νϛ
ξδ
·
·
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ὀκταπλασίων
οἱ
ὁ
ἐπόγδοοι
·
·
ξδ
η
α
ξδ
οβ
πα
·
·
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ἐναπλασίωον
οἱ
ὁ
ἐπένατοι
·
·
πα
θ
θ
α
πα
Ϟ
Ϟ
ρ
ρ
·
·
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
δεκαπλασίων
δεκαπλάσιος
οἱ
ὁ
ἐπιδέκατοι
·
·
ρ
ι
ι
α
ρ
ρ
ρι
ρκα
.
.
3
.
.
(
(
§
.
.
10
)
)
:
:
ὅρα
ὁράω
,
,
πῶς
πῶς
πως
ἀναστρόφως
ἐκκείμενοι
οἱ
ὁ
ἐπιμόριοι
ἀπεγέννησαν
τοὺς
ὁ
ἐπιμερεῖς
·
·
τὰ
ὁ
εἴδη
εἶδος
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
·
·
ἡμιόλιοι
ἡμιόλιος
ἀναστραφέντες
ἐπίτριτοι
ἐπιτέταρτοι
θ
θ
ϛ
ϛ
δ
δ
ιϛ
ιϛ
ιβ
θ
θ
κε
ἄν
κ
κ
ιϚ
ἐπιδιμερεῖς
ἐπιτριμερεῖς
ἐπιτετραμερεῖς
θ
θ
ιε
κε
ἄν
ιϚ
κη
πη
μθ
κε
ἄν
με
πα
πη
ἐπίπεμπτοι
ἔφεκτοι
ἔφεκτος
ἐφέβδομοι
λϚ
λ
κε
ἄν
μθ
με
λϛ
ξδ
νϚ
μθ
ἐπιπενταμερεῖς
ἐφεξαμερεῖς
ἐφεπταμερείς
ξϚ
ρκα
μθ
Ϟα
ρξθ
ρξθ
ξδ
ρκ
σκε
ἐπόγδοοι
ἐπένατοι
ἐπιδέκατοι
πα
οβ
ξδ
ξδ
ρ
ρ
Ϟ
Ϟ
πα
ρκα
ρι
ρι
ρ
ρ
ἐποκταμερεῖς
ἐπεναμερεῖς
ἐπιδεκαμερεῖς
πα
ρνγ
σπθ
ρ
ρ
ρϞ
τξα
ρκα
σλα
υμα
(
(
in
exemplis
tribus
extremis
extremis
cod
.
.
G
G
articulum
adponit
:
:
οἱ
ὁ
ἐπόγδ
.
.
cet
.
.
)
)
Τέλος
P
P
.
.
Τέλος
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
εἰσαγωγῆς
εἰσαγωγή
εἰς
εἰς
δύο
γε
τοῦ
ὁ
Γερασυνοῦ
μ
μ
.
.
Τέλος
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
βιβλίου
βιβλίον
ΗΓ
ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ
ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ
ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ
ΤΩΝ
ΕΙΣ
ΔΥΟ
ΤΟ
ΔΕΥΤΓΡΟΝ
.
.
α
.
.
Ἐπειδὴ
στοιχεῖον
στοιχεῖον
λέγεται
λέγω
καὶ
καί
ἔστιν
εἰμί
,
,
ἐξ
ἐκ
οὗ
οὗ2
ὅς
ὅς2
ἕ
ἐλαχίστου
ἐλάχιστος
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
τι
τις
καὶ
καί
εἰς
εἰς
ὃ
ὅς
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
ἀναλύεται
ἀναλύω
(
(
οἷον
οἷος
γράμματα
γράμμα
μὲν
μέν
τῆς
ὁ
ἐγγραμμάτου
φωνῆς
φωνή
στοιχεῖα
στοιχεῖον
λέγεται
λέγω
,
,
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
τε
τε
γὰρ
γάρ
ἡ
ὁ
σύστασις
σύστασις
τῆς
ὁ
συμπάσης
σύμπας
ἐνάρθρου
φωνῆς
φωνή
καὶ
καί
εἰς
εἰς
αὐτὰ
αὐτός
ἔσχατα
ἔσχατος
ἀναλύεται
ἀναλύω
·
·
φθόγγοι
φθόγγος
δὲ
δέ
μελῳδίας
μελῳδία
ἁπάσης
ἅπας
,
,
ἀφʼ
ἀπό
ὧν
ὅς
ὅς2
ἄρχεται
ἄρχω
συγκρίνεσθαι
συγκρίνω
καὶ
καί
εἰς
εἰς
οὓς
ὅς
ὅς2
ἀναλύεται
ἀναλύω
·
·
κοινῇ
κοινῇ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
κόσμου
κόσμος
τὰ
ὁ
λεγόμενα
λέγω
τέσσαρα
τέσσαρες
στοιχεῖα
ἁπλᾶ
ἁπλόος
ὑπάρχει
ὑπάρχω
σώματα
σῶμα
,
,
πῦρ
πῦρ
,
,
ὕδωρ
ὕδωρ
,
,
ἀήρ
ἀήρ
,
,
γῆ
γῆ
·
·
ἐκ
ἐκ
γὰρ
γάρ
πρωτίστων
αὐτῶν
αὐτός
ἡ
ὁ
σύστασις
σύστασις
τοῦ
ὁ
παντὸς
πᾶς
φυσιολογεῖται
καὶ
καί
εἰς
εἰς
αὐτὰ
αὐτός
ἔσχατα
ἔσχατος
ἐπινοεῖται
ἐπινοέω
ἡ
ὁ
ἀνάλυσις
ἀνάλυσις
)
)
,
,
ἀποδεῖξαι
ἀποδείκνυμι
δὲ
δέ
βουλόμεθα
βούλομαι
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
ἡ
ὁ
ἰσότης
ἰσότης
στοιχεῖόν
στοιχεῖον
ἐστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
πρός
πρός
τι
τις
ποσοῦ
·
·
τοῦ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
ἀπλῶς
καὶ
καί
καθʼ
αὑτὸ
ἑαυτοῦ
ποσοῦ
μονὰς
μονή
ἦν
εἰμί
καὶ
καί
δυὰς
τὰ
ὁ
ἀρχικώτατα
στοιχεῖα
στοιχεῖον
,
,
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
ἐλαχίστων
ἐλάχιστος
καὶ
καί
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἀεὶ
ἀεί
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
καὶ
καί
αὔξεται
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
μεῖον
μείων
ἀναλυόμενον
ἀναλύω
ἵσταται
ἵστημι
ἱστάω
.
.
ἀλλὰ
ἀλλά
τὴν
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
ἀνισότητος
ἀνισότης
προκοπὴν
προκοπή
καὶ
καί
ἐπαύξησιν
ἐπαύξησις
ἀπεδείξαμεν
ἀποδείκνυμι
ἀπὸ
ἀπό
ἰσότητος
ἰσότης
γινομένην
ἐπὶ
ἐπί
πάσας
πᾶς
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
τὰς
ὁ
σχέσεις
σχέσις
μετά
μετά
τινος
εὐταξίας
εὐταξία
διὰ
διά
τριῶν
προςταγμάτων
·
·
λοιπὸν
λοιπός
δʼ
δέ
,
,
ἵνʼ
ἵνα
ὡς
ὡς
ὡς
ἀληθῶς
ἀληθής
στοιχεῖον
στοιχεῖον
ᾖ
εἰμί
,
,
ἀποδεικνύειν
ἀποδείκνυμι
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
αἱ
ὁ
ἀναλύσεις
ἐπʼ
ἐπί
αὐτὴν
αὐτός
ἐσχάτην
ἔσχατος
περαιοῦνται
περαιόω
·
·
ἔφοδον
ἔφοδος3
ἔφοδος
ἰστέον
οἶδα
τοιαύτην
τοιοῦτος
καθολικήν
.
.
·
·
β
.
.
Δοθέντων
σοι
τριῶν
ὅρων
ἐν
ἐν
ᾑτινιοῦν
σχέσει
καὶ
καί
ἀναλογίᾳ
ἀναλογία
,
,
εἴτε
εἴτε
πολλαπλασίῳ
πολλαπλάσιος
εἴτε
εἴτε
ἐπιμορίῳ
εἴτε
εἴτε
ἐπιμερεῖ
εἴτε
εἴτε
συνθέτῳ
ἀπὸ
ἀπό
τούτων
οὗτος
πολλαπλασιεπιμορίῳ
ἤτοι
ἤτοι
πολλαπλασιεπιμερεῖ
,
,
μόνον
μόνος
ἵνα
ἵνα
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
αὐτ
ῷ
λόγῳ
λόγος
ὁ
ὁ
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
θεωρῆται
,
,
ἐν
ἐν
ᾧ
ὅς
ὅς2
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
ἢ
τίη
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
,
,
αἰεὶ
ἀεί
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
ἀφαίρει
ἀφαιρέω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσος
,
,
ἐάν
ἐάν
τε
τε
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
ᾖ
εἰμί
κείμενος
ἐάν
ἐάν
τε
τε
ἔσχατος
ἔσχατος
,
,
καὶ
καί
τίθει
τίθημι
αὐτὸν
αὐτός
μὲν
μέν
τὸν
ὁ
ἐλάσσονα
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
ὅρον
ὅρος
,
,
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
λειφθὲν
λείπω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
δευτέρου
μετὰ
μετά
τὴν
ὁ
ἀφαίρεσιν
ἀφαίρεσις
δεύτερον
δεύτερος
τάσσε
ὅρον
ὅρος
,
,
ἑνὸς
δὲ
δέ
τοιούτου
τοιοῦτος
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
δύο
γε
τοιούτων
τοιοῦτος
δεύτερων
ἀφαιρεθέντων
ἀφαιρέω
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
λοιποῦ
λοιπός
,
,
τουτέστιν
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
τῶν
ὁ
δοθέντων
δίδωμι
σοι
,
,
τὸ
ὁ
λειπόμενον
λείπω
ποίει
ποιέω
τρίτον
τρίτος
ὅρον
ὅρος
καὶ
καί
ἔσονται
εἰμί
αἱ
ὁ
γινόμεναι
ἐν
ἐν
ἄλλῃ
ἄλλος
τινὶ
σχέσει
σχέσις
προγενεστέρᾳ
κατὰ
κατά
φύσιν
φύσις
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἀπʼ
ἀπό
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
ἂν
ἐάν
ἀφέλῃς
ὅρου
ὅρος
τὸ
ὁ
λειπόμενον
λείπω
,
,
οἱ
ὁ
τρεῖς
ὅροι
ὅρος
ἀναπεποδισμένοι
σοι
εὑρεθήσονται
εἰς
εἰς
πυθμενικωτέρους
ἄλλους
τρεῖς
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἀεὶ
ἀεί
ἀκόλουθον
εὑρήσεις
εὑρίσκω
γινόμενον
,
,
μέχρις
μέχρι
ἂν
ἄν
εἰς
εἰς
ἰσότητα
ἰσότης
ἀναχθῶσιν
·
·
ἐξ
ἐκ
οὗ
οὗ
πᾶσα
πᾶς
ἀνάγκη
ἀνάγκη
δηλονότι
ἀποφαίνεσθαι
ἀποφαίνω
,
,
τῆν
ἰσότητα
ἰσότης
τοῦ
ὁ
πρός
πρός
τι
τις
ποσοῦ
στοιχεῖον
στοιχεῖον
πάντως
πᾶς
πάντως
εἶναι
εἰμί
.
.
παρέπεται
παρέπομαι
δὲ
δέ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοιαύτῃ
τοιοῦτος
θεωρίᾳ
θεωρία
ἐμμουσότατόν
τι
θεώρημα
θεώρημα
καὶ
καί
χρησιμώτατον
χρήσιμος
εἴς
εἰς
τε
τε
τὴν
ὁ
Πλατωνικὴν
Πλατωνικός
ψυχογονίαν
καὶ
καί
εἰς
εἰς
τὰ
ὁ
ἁρ
μονικὰ
διαστήματα
διάστημα
πάντα
πᾶς
·
·
κελευόμεθα
γὰρ
γάρ
ἐκεῖ
ἐκεῖ
πυκνῶς
πυκνός
λόγου
λόγος
χάριν
χάρις
ἀποστῆσαι
ἀφίστημι
ἀφεστήξω
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
δύο
γε
ἡμιολίους
ἡμιόλιος
λόγους
λόγος
ἢ
τίη
τρεῖς
ἢ
ἤ
τέσσαρας
τέσσαρες
ἢ
τίη
πέντε
ἢ
ἤ
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἢ
τίη
δύο
γε
ἐπιτρίτους
ἢ
τίη
ἐπιτετάρτους
ἢ
τίη
ἐπογδόους
ἢ
ἤ
οἵους
οἷος
δήποτε
ἐπιμορίους
καὶ
καί
καθʼ
ἕκαστον
ἕκαστος
αὐτῶν
αὐτός
ἢ
τίη
τρεῖς
ἢ
τίη
τέσσαρας
τέσσαρες
ἢ
τίη
πέντε
ἢ
ἤ
μέχρις
μέχρι
ὅσων
ὅσος
τις
τις
προςτάσσει
.
.
εὔλογον
εὔλογος
δέ
δέ
ἐστι
εἰμί
,
,
μὴ
μή
ἰδιωτικῶς
ἰδιωτικός
καὶ
καί
ἀνεπιστημόνως
ἀνεπιστήμων
,
,
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
ὅτε
καὶ
καί
διημαρτημένως
τὸ
ὁ
τοιοῦτον
ποιεῖν
ποιέω
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ἐντέχνως
ἔντεχνος
τε
τε
καὶ
καί
ἀπταίστως
ἄπταιστος
καὶ
καί
τάχιστα
ταχύς
ἐφόδῳ
ἔφοδος3
ἔφοδος
τοιαύτῃ
τοιοῦτος
.
.
γ
.
.
Ἅπας
πολλαπλάσιος
πολλαπλάσιος
τοσούτων
τοσοῦτος
ἐπιμορίων
ἡγήσεται
ἡγέομαι
λόγων
λόγος
ἀντιπαρωνύμων
αὐτῷ
αὐτός
,
,
ὁπόστος
ὁπόστος
ἂν
ἄν
αὐτὸς
αὐτός
ὥν
ἐάν
τυγχάνῃ
τυγχάνω
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
,
,
οὔτε
οὔτε
δὲ
δέ
πλειόνων
πολύς
πλείων
οὔτε
οὔτε
ἐλαττόνων
οὐδεμιᾷ
οὐδείς
μηχανῇ
μηχανή
.
.
διπλάσιοι
διπλάσιος
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἡμιολίους
ἡμιόλιος
φύσουσιν
,
,
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
ἕνα
,
,
ὁ
ὁ
δεύτερος
δεύτερος
δύο
γε
,
,
ὁ
ὁ
τρίτος
τρίτος
τρεῖς
,
,
ὁ
ὁ
τέταρτος
τέταρτος
τέσσαρας
τέσσαρες
,
,
ὁ
ὁ
πέμπτος
πέμπτος
πεμπτός
πέντε
πέντε
,
,
ὁ
ὁ
ἕκτος
ἕκτος
ἕξ
καὶ
καί
οὔτε
οὔτε
πλείονας
πολύς
πλείων
οὔτε
οὔτε
ἐλάττονας
ἐλάσσων
,
,
ἀλλʼ
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
πάσης
πᾶς
,
,
ὅταν
ὅταν
τὴν
ὁ
σύμμετρον
σύμμετρος
ποσότητα
ἀπολάβωσιν
ἀπολαμβάνω
οἱ
ὁ
γεννηθέντες
γεννάω
ἐπιμόριοι
ἰσάριθμοι
ἰσάριθμος
γενόμενοι
γίγνομαι
τοῖς
ὁ
γεννήσασι
γεννάω
πολλαπλασίοις
πολλαπλάσιος
,
,
τότε
τότε
τοτέ
δὴ
δή
ἔκ
ἐκ
τινος
δαιμονίας
μηχανῆς
μηχανή
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
ὁ
ὁ
πάντας
πᾶς
περαίνων
περαίνω
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἀνεπίδεκτος
ὢν
εἰμί
φύσει
φύσις
ἐκείνου
ἐκεῖνος
.
.
τοῦ
ὁ
ὅς
μορίου
μόριον
,
,
καθʼ
ὃ
ὁ
προέκοπτον
προκόπτω
οἱ
ὁ
ἐπιμόριοι
·
·
ἀπὸ
ἀπό
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
τριπλασίων
τριπλάσιος
οἱ
ὁ
ἐπίτριτοι
πάντες
πᾶς
προκόψουσι
καὶ
καί
αὐτοὶ
αὐτός
ἰσάριθμοι
ἰσάριθμος
τοῖς
ὁ
γεννῶσιν
οἱ
ὁ
γεννώμενοι
καὶ
καί
περαιούμενοί
γε
γε
μετὰ
μετά
τὴν
ὁ
αὐτάρκειαν
αὐτάρκεια
τῆς
ὁ
προκοπῆς
προκοπή
εἰς
εἰς
ἀριθμούς
ἀριθμός
μὴ
μή
ἐπιδεκτικοὺς
τρίτου
τρίτος
·
·
καὶ
καί
ἐπιτέταρτοι
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
ταυτὸν
ἐκ
ἐκ
τετραπλασίων
ἐπικορύφωσιν
λαμβάνοντες
λαμβάνω
ἀριθμὸν
ἀριθμός
μετὰ
μετά
τὴν
ὁ
αὐτάρκη
αὐτάρκης
πρόβασιν
πρόβασις
τετάρτου
μὴ
μή
ἐπιδεκτικόν
ἐπιδεκτικός
.
.
οἷον
οἷος
διπλασίων
διπλάσιος
μὲν
μέν
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
χάριν
χάρις
ἰσαρίθμους
ἰσάριθμος
γεννώντων
γεννάω
ἡμιολίους
ἡμιόλιος
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ἄνω
ἄνω2
ἄνω
στίχος
ἔσται
πολλαπλασίων
πολλαπλασίων
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
,
,
λβ
,
,
ξδ
·
·
ἐπεὶ
ἐπεί
δὲ
δέ
πρῶτός
πρῶτος
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
β
μετὰ
μετά
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
,
,
ἑνὸς
κατάρξει
κατάρχω
οὗτος
οὗτος
ἡμιολίου
ἡμιόλιος
μόνου
τοῦ
ὁ
γ
,
,
ὅςτις
ἡμίσους
ἐπιδεκτικὸς
οὐκ
οὐ
ἔστιν
εἰμί
,
,
ἵνα
ἵνα
καὶ
καί
ἄλλος
ἄλλος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
γένηται
γίγνομαι
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
·
·
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
ἄρα
ἄρα
διπλάσιος
διπλάσιος
ἑνὸς
μόνου
μόνος
γεννητικός
ἐστιν
εἰμί
ἡμιολίου
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
δεύτερος
δεύτερος
ὁ
ὁ
δ
δυεῖν
γεννητικὸς
ἡμιολίων
ἡμιόλιος
,
,
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
Ϛ
Ϛ
ὁ
ὁ
θ
θ
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
θ
θ
οὐκ
οὐ
ἔστιν
εἰμί
ἄλλος
ἄλλος
,
,
ἥμισυ
ἥμισυς
γὰρ
γάρ
οὐκ
οὐ
ἔχει
ἔχω
·
·
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
η
τρίτος
τρίτος
ὢν
εἰμί
διπλάσιος
διπλάσιος
τριῶν
ἡμιολίων
ἔσται
εἰμί
πατήρ
πατήρ
,
,
ἑνὸς
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
αὐτόν
αὐτός
,
,
ἑτέρου
ἕτερος
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ιη
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ιβ
,
,
τρίτου
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
κζ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ιη
,
,
τετάρτου
τέταρτος
δὲ
δέ
οὐκέτι
οὐκέτι
διὰ
διά
τὸ
ὁ
καθολικόν
καθολικός
,
,
ὁ
ὁ
γὰρ
γάρ
κζ
ἥμισυ
ἥμισυς
οὐκέτι
οὐκέτι
ἐπιδέχεται
ἐπιδέχομαι
·
·
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιϚ
τέταρτος
τέταρτος
ὢν
εἰμί
διπλάσιος
διπλάσιος
τεσσάρων
τέσσαρες
ἡγήσεται
ἡγέομαι
ἡμιολίων
ἡμιόλιος
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
τε
τε
κδ
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
λϚ
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
νδ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
πα
τελευταίου
τελευταῖος
,
,
ἵνα
ἵνα
ἰσάριθμοι
ἰσάριθμος
ἀνάγκαίως
ὦσι
εἰμί
τοῖς
ὁ
γεννήσασιν
γεννάω
,
,
ὁ
ὁ
γὰρ
γάρ
πα
οὐκέτι
οὐκέτι
ἥμισυ
ἥμισυς
φύσει
φύσις
ἐπιδέχεται
ἐπιδέχομαι
·
·
καὶ
καί
τούτο
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
ἤπειρος
προιών
ἀνάλογον
εὑρήσεις
εὑρίσκω
.
.
οἷον
οἷος
ὑποδείξεως
ἕνεκα
ἕνεκα
γεγράφθω
γράφω
οὕτως
οὕτως
διπλασίου
διπλάσιος
διάγραμμα
διάγραμμα
Διπλασίων
διάγραμμα
διάγραμμα
·
·
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
πλάτος
πλάτος
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
.
.
α
β
δ
η
ιϚ
λβ
ξδ
γ
Ϛ
Ϛ
ιβ
κδ
μη
ϞϚ
θ
ιη
λϚ
οβ
ρμδ
κζ
νδ
ρη
σιϚ
πα
πη
ρξβ
τκδ
σμη
υπϚ
ψκθ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ὑποτείνουσαν
ὑποτείνω
τριπλάσιον
τριπλάσιος
.
.
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
βάθος
βάθος
ἡμιόλοιν
δ
.
.
Τριπλασίου
δὲ
δέ
ὑπόδειγμα
ὑπόδειγμα
παραπλήσιον
παραπλήσιος
διαγράφειν
διαγράφω
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
·
·
Τριπλασίων
διάγραμμα
διάγραμμα
·
·
κατὰ
κατά
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
πλάτος
πλάτος
τριπλάσιον
τριπλάσιος
.
.
α
γ
θ
κζ
πα
πη
σμγ
ψκθ
δ
ιβ
λϚ
ρη
τκδ
Ϡοβ
ιϚ
μη
ρμδ
υλβ
ᾳσϞϚ
ξδ
ρϞβ
φοϚ
ᾳψκη
σνϚ
ψξη
βτδ
ᾳκδ
γοβ
ᾳκδ
γοβ
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὴν
ὁ
ὑποτείνουσαν
ὑποτείνω
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
.
.
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
βάθος
βάθος
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
.
.
ἐν
ἐν
ᾧ
ὅς
ὅς2
κατὰ
κατά
ταυτὰ
ὀψόμεθα
ὁράω
τὸν
ὁ
μὲν
μέν
πρῶτον
τὸν
ὁ
γ
ἑνὸς
μόνου
μόνος
ἐπιτρίτου
ἡγούμενον
λόγου
λόγος
τοῦ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
αὐτόν
αὐτός
,
,
ὅςτις
ἀποκλείει
ἀποκλείω
εὐθύς
εὐθύς
ἑτέρου
ἕτερος
γένεσιν
γένεσις
ὁμοίου
ὅμοιος
·
·
τρίτον
τρίτος
γὰρ
γάρ
οὐκ
οὐ
ἐπιδέχεται
ἐπιδέχομαι
ὁ
ὁ
δ
,
,
οὐκ
οὐ
ἄρα
ἄρα
οὐδʼ
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
ἕξει
ἔχω
·
·
δεύτερος
δεύτερος
δὲ
δέ
τριπλάσιός
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
θ
θ
,
,
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
δυεῖν
μόνων
ἐπιτρίτων
ἐπίτριτος
κατάρξει
κατάρχω
λόγων
λόγος
τοῦ
ὁ
τε
τε
ιβ
πρὸς
πρός
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ιϚ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ιβ
·
·
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιϚ
ἀνακόπτει
ἀνακόπτω
τὴν
ὁ
πρόβασιν
πρόβασις
λοιπόν
,
,
τρίτου
τρίτος
γὰρ
γάρ
οὐκ
οὐ
ἔστιν
εἰμί
ἐπιδεκτικός
,
,
διόπερ
οὐδὲ
οὐδέ
ἐπίτριτόν
τινα
τις
ἔχει
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
.
.
ἑξῆς
ἑξῆς
δὲ
δέ
τέτακται
τάσσω
τριπλάσιος
τριπλάσιος
ὁ
ὁ
κζ
ἐν
ἐν
τρίτῃ
τρίτος
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
χώρᾳ
χώρα
τριπλασίων
τριπλάσιος
προχωρούντων
προχωρέω
α
,
,
γ
,
,
θ
θ
,
,
κζ
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
τριῶν
μόνων
κατάρξει
κατάρχω
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ἐπιτρίτων
ἐπίτριτος
λόγων
λόγος
,
,
πλειόνων
πολύς
πλείων
δὲ
δέ
οὐδαμῶς
οὐδαμῶς
οὐδαμός
·
·
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
ὁ
ὁ
λϚ
,
,
τούτου
οὗτος
δὲ
δέ
δεύτερος
δεύτερος
ὁ
ὁ
μη
,
,
τρίτος
τρίτος
δὲ
δέ
τούτου
οὗτος
ὁ
ὁ
ξδ
,
,
ὃς
ὅς
οὐκέτι
οὐκέτι
τρίτον
τρίτος
μέρος
μέρος
ἔχει
ἔχω
,
,
διὸ
διό
οὐδʼ
οὐδέ
ἐπιτρίτου
δεκτικός
,
,
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τέταρτος
τέταρτος
τεσσάρων
ἡγεμών
ἡγεμών
ἐστι
εἰμί
λόγων
λόγος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
πέμπτος
πέμπτος
πεμπτός
δηλονότι
δηλονότι
πέντε
πέντε
.
.
τὸ
ὁ
δὲ
δέ
ὑπόδειγμα
ὑπόδειγμα
τοιοῦτον
·
·
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
λοιπῶν
λοιπός
δὲ
δέ
πολυπλασίων
πολυπλάσιος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
τῶν
ὁ
διαγραμμάτων
διάγραμμα
ἔστω
εἰμί
σοι
τρόπος
τρόπος
τροπός
παρατηροῦντι
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
ἐνταῦθα
ἐνταῦθα
ἡ
ὁ
φύσις
φύσις
,
,
ὥςπερ
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
προτεχνολογηθεῖσιν
εὕρομεν
εὑρίσκω
,
,
προγενεστέρους
ἡμῖν
παρεμφαίνει
ἐμφαίνω
διπλασίους
διπλάσιος
μὲν
μέν
τριπλασίων
τριπλάσιος
,
,
τριπλασίους
τριπλάσιος
δὲ
δέ
τετραπλασίων
,
,
τούτους
οὗτος
δὲ
δέ
πενταπλασίων
,
,
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
μέχρι
μέχρι
παντός
πᾶς
·
·
οἱ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἐπὶ
ἐπί
πλάτος
πλάτος
στίχοι
οἱ
ὁ
ὅς
ἀνωτάτω
ἄνω
,
,
ἐὰν
ἐάν
ὦσι
εἰμί
διπλάσιοι
διπλάσιος
,
,
ὁμοίως
ὅμοιος
ἕξουσι
ἔχω
τοὺς
ὁ
ὅς
ὑπ’
ὑπό
αὐτοὺς
αὐτός
παραλλήλους
παράλληλος
κειμένους
,
,
τοὺς
ὁ
δὲ
δέ
ὑποτείνοντας
διαγωνίους
διαγώνιος
τοῦ
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
γένους
γένος
τὸ
ὁ
συνεχὲς
συνεχής
καὶ
καί
μονάδι
μονάς
μεῖζον
μέγας
εἶδος
εἶδος
,
,
ὅ
ὅς
ἐστι
εἰμί
τριπλασίους
τριπλάσιος
,
,
ἐν
ἐν
παραλλήλῳ
παράλληλος
ἐξετάσει
ἐξετάζω
θεωρουμένους
θεωρέω
·
·
εἰ
εἰ
δʼ
δέ
οἱ
ὁ
ἐπὶ
ἐπί
πλάτος
πλάτος
εἶεν
εἰμί
τριπλάσιοι
τριπλάσιος
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
οἱ
ὁ
διαγώνιοι
ἔσονται
εἰμί
τετραπλάσιοι
,
,
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
ἐκεῖνοι
ἐκεῖνος
τετραπλάσιοι
,
,
εὐθὺς
εὐθύς
οὗτοι
οὗτος
πενταπλάσιοι
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
ἀεί
ἀεί
.
.
ε
.
.
Λοιπὸν
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
,
,
σαφηνίσαντας
τὰς
ὁ
τῶν
ὁ
λόγων
λόγος
συνθέσεις
σύνθεσις
,
,
τίνων
ἑτέρων
ἕτερος
ἀποδοτικαί
εἰσι
εἰμί
,
,
μεταβῆναι
ἐπὶ
ἐπί
τὰ
ὁ
τῆς
ὁ
εἰςαγωγῆς
ἀκόλουθα
ἀκόλουθος
.
.
οἱ
ὁ
πρῶτοι
πρῶτος
πρότερος
τοίνυν
τοίνυν
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
δύο
γε
λόγοι
λόγος
συλληφθέντες
συλλαμβάνω
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
γεννῶσι
γεννάω
τὸν
ὁ
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
λόγον
λόγος
,
,
τουτέστι
τὸν
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
·
·
πᾶς
πᾶς
γὰρ
γάρ
διπλάσιος
διπλάσιος
σύστημα
σύστημα
ἔσται
εἰμί
ἡμιολίου
ἡμιόλιος
καὶ
καί
ἐπιτρίτου
καὶ
καί
πᾶς
πᾶς
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
καὶ
καί
ἐπίτριτος
ἐπίτριτος
συντεθέντες
συντίθημι
ἀποδοτικοὶ
ἑνὸς
διπλασίου
διπλάσιος
πάντως
πᾶς
πάντως
ἔσονται
εἰμί
·
·
οἷον
οἷος
ἐπεὶ
ὁ
ὁ
γ
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
τοῦ
ὁ
β
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
δ
ἐπίτριτος
ἐπίτριτος
τοῦ
ὁ
γ
,
,
ἔσται
εἰμί
τοῦ
ὁ
β
ὁ
ὁ
δ
διπλάσιος
διπλάσιος
σύνθετος
σύνθετος
ὢν
εἰμί
ἐξ
ἐκ
ἡμιολίου
ἡμιόλιος
καὶ
καί
ἐπιτρίτου
·
·
πάλιν
πάλιν
ἐπεὶ
ἐπεί
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
διπλάσιός
ἐστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
γ
,
,
εὑρήσομεν
εὑρίσκω
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
αὐτῶν
αὐτός
ἀριθμόν
ἀριθμός
τινα
τις
τεταγμένον
τάσσω
,
,
ὃς
ὅς
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
πρὸς
πρός
μὲν
μέν
τὸν
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
τὸν
ὁ
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
σώζει
σῴζω
σώζω
λόγον
λόγος
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
λοιπὸν
λοιπός
τὸν
ὁ
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
·
·
ὁ
ὁ
γοῦν
γοῦν
δ
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
κείμενος
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ὅς
γ
πρὸς
πρός
μὲν
μέν
τὸν
ὁ
γ
ἀποδίδωσι
ἀποδίδωμι
λόγον
λόγος
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
Ϛ
τὸν
ὁ
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
.
.
ὀρθῶς
ὀρθός
ἄρα
ἄρα
ἐλέχθη
λέγω
διαλυόμενον
διαλύω
μὲν
μέν
τὸν
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
εἰς
εἰς
ἡμιόλιον
καὶ
καί
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
διαλύεσθαι
διαλύω
,
,
συντιθεμένων
συντίθημι
δὲ
δέ
πάντως
πᾶς
πάντως
ἡμιολίου
καὶ
καί
ἐπιτρίτου
μόνον
μόνος
συνίστασθαι
συνίστημι
συνιστάω
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
καὶ
καί
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
δύο
γε
πρώτιστα
πρώτιστος
εἴδη
εἶδος
συντεθέντα
συντίθημι
ποιητικὰ
ποιητικός
εἶναι
εἰμί
τοῦ
ὁ
τῶν
ὁ
πολλαπλασίων
πολλαπλάσιος
πρωτίστου
εἴδους
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἐξ
ἐκ
ἄλλης
ἄλλος
ἀρχῆς
ἀρχή
τὸ
ὁ
γεννηθὲν
γεννάω
τοῦτο
οὗτος
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
πρώτιστον
πρώτιστος
εἶδος
εἶδος
μετὰ
μετά
τοῦ
ὁ
πρώτου
τῶν
ὁ
ἐπιμορίων
εἴδους
εἶδος
ἀποδοτικὸν
γίνεται
γίγνομαι
τοῦ
ὁ
ὁμογενοῦς
ὁμογενής
αὐτῶν
αὐτός
συνεχοῦς
εἴδους
,
,
τουτέστι
τοῦ
ὁ
δευτέρου
δεύτερος
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
ἐστὶ
εἰμί
τριπλασίου
τριπλάσιος
·
·
ἐκ
ἐκ
γὰρ
γάρ
παντὸς
πᾶς
διπλασίου
διπλάσιος
καὶ
καί
ἡμιολίου
ἡμιόλιος
συντεθέντων
συντίθημι
τριπλάσιον
τριπλάσιος
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
φύεται
φύω
·
·
οἷον
οἷος
ἐπεὶ
ἐπεί
τοῦ
ὁ
Ϛ
διπλάσιος
διπλάσιος
ὁ
ὁ
ιβ
,
,
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
δὲ
δέ
τούτου
οὗτος
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
ὁ
ὁ
ιη
,
,
εὐθὺς
εὐθύς
καὶ
καί
τριπλάσιος
τριπλάσιος
ὁ
ὁ
ιη
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
·
·
καὶ
καί
ἑτέρῳ
ἕτερος
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
ἐὰν
ἐάν
μὴ
μή
τὸν
ὁ
ιβ
θέλω
ἐθέλω
μέσον
μέσος
ποιεῖν
ποιέω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
μᾶλλον
μᾶλλον
τὸν
ὁ
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
τὸν
ὁ
θ
θ
,
,
τὸ
ὁ
αὐτό
αὐτός
μοι
ἀπαράλλακτον
ἀπαράλλακτος
καὶ
καί
σύμφωνον
σύμφωνος
συμβήσεται
συμβαίνω
·
·
τοῦ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
θ
ὁ
ὁ
ιη
διπλάσιος
διπλάσιος
ὢν
εἰμί
τὸν
ὁ
τριπλάσιον
τριπλάσιος
λόγον
λόγος
σώσει
σῴζω
σώζω
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
·
·
ἐξ
ἐκ
ἡμιολίου
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
διπλασίου
διπλάσιος
πρώτων
πρῶτος
πρότερος
εἰδῶν
εἰδοί
ἐπιμορίου
καὶ
καί
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
μιγέντων
μείγνυμι
τὸ
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
τὸ
ὁ
τριπλάσιον
τριπλάσιος
καὶ
καί
εἰς
εἰς
αὐτὰ
αὐτός
δὲ
δέ
πάντως
πᾶς
πάντως
ἀναλύεται
ἀναλύω
.
.
ἰδού
ἰδού
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
τοῦ
ὁ
β
τριπλάσιος
τριπλάσιος
ὢν
εἰμί
ἕξει
ἔχω
μέσον
μέσος
τὸν
ὁ
γ
,
,
ὃς
ὅς
δύο
γε
λόγους
λόγος
παραδείξει
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
,
,
πρὸς
πρός
ἑαυτὸν
ἑαυτοῦ
δὲ
δέ
διπλάσιον
διπλάσιος
τὸν
ὁ
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
·
·
ἐὰν
δὲ
δέ
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τριπλάσιος
τριπλάσιος
οὗτος
οὗτος
δεύτερον
δεύτερος
εἶδος
εἶδος
ὢν
εἰμί
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
συντεῇ
ἐπτρίτῳ
δευτέρῳ
δεύτερος
εἴδει
εἶδος
ὄντι
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἐπιμορίου
γένοιτ᾿
ἂν
ἐάν
ἐξ
ἐκ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τὸ
ὁ
συνεχὲς
συνεχής
τοῦ
ὁ
πολλαπλασίου
πολλαπλάσιος
εἶδος
εἶδος
,
,
τουτέστι
τὸ
ὁ
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
,
,
ὃ
ὅς
καὶ
καί
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
εἰς
εἰς
ἀμφότερα
ἀμφότερος
ἀναλυθήσεται
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
τοῖς
ὁ
προδεδηλωμένοις
φύσιν
φύσις
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
προςλαβὸν
τὸ
ὁ
ἐπιτέταρτον
ποιητικὸν
ποιητικός
ἔσται
εἰμί
τοῦ
ὁ
πενταπλασίου
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἐκεῖνο
ἐκεῖνος
σὺν
σύν
τῷ
τῷ
ἐπιπέμπτῳ
τοῦ
ὁ
ἑξαπλασίου
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρι
μέχρι
παντός
πᾶς
,
,
ἵνα
ἵνα
εὔτακτοι
εὔτακτος
οἱ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
πολλαπλάσιοι
πολλαπλάσιος
μετὰ
μετά
εὐτάκτων
εὔτακτος
τῶν
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
ἐπιμορίων
ἀποδοτικοὶ
εὑρίσκωνται
τῶν
ὁ
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
μεῖζον
μέγας
συνεχῶν
πολλαπλασίων
πολλαπλασίων
·
·
διπλάσιος
διπλάσιος
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
μεθʼ
μετά
ἡμιολίου
τριπλασιότητος
ποιητικός
ποιητικός
,
,
τριπλάσιος
τριπλάσιος
δὲ
δέ
μετʼ
μετά
ἐπιτρίτου
τετραπλασιότητος
,
,
τετραπλάσιος
δὲ
δέ
μετʼ
μετά
ἐπιτετάρτου
πεντα
πλασιότητος
καί
καί
,
,
ἕως
ἕως
προχωρεῖν
προχωρέω
θέλεις
ἐθέλω
,
,
οὐδὲν
ὑπεναντίον
ὑπεναντίος
σοι
συμβαῖνον
συμβαίνω
φανεῖται
φαίνω
.
.
ϛ
.
.
Μέχρι
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
τοῦδε
ὅδε
ἱκανῶς
ἱκανός
περὶ
περί
τοῦ
ὁ
πρὸς
πρός
ἕτερόν
πως
πως
πῶς
ἔχοντος
ἔχω
ποσοῦ
διειλέγμεθα
συμμετρησάμενοι
κατʼ
κατά
ἐκλογην
τὰ
ὁ
προςήκοντα
καὶ
καί
εὐπερίληπτα
τῇ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄρτι
ἄρτι
εἰςαγομένων
ἕξει
ἔχω
·
·
τὰ
ὁ
γὰρ
γάρ
εἰς
εἰς
τὸν
ὁ
τόπον
τόπος
τοῦτον
οὗτος
ὑπόλοιπα
ὑπόλοιπος
προςπληρωθήσεται
διαλιπόντων
πάλιν
πάλιν
ἡμῶν
καὶ
καί
προτεχνολογησάντων
ἕτερά
τινα
προὐργιατέραν
τὴν
ὁ
σκέψιν
σκέψις
ἔχοντα
ἔχω
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
συμβεβηκότων
συμβαίνω
τῷ
τῷ
καθʼ
καθά
καθό
αὑτὸ
ἑαυτοῦ
ποσῷ
καὶ
καί
μὴ
μή
τῷ
τῷ
πρὸς
πρός
,
,
ἕτερόν
ἕτερος
πως
πως
ἔχοντι
ἔχω
,
,
αἰεὶ
ἀεί
γὰρ
γάρ
δἰ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
φιλεῖ
φιλέω
πως
πως
πῶς
διαρθροῦσθαι
καὶ
καί
σαφηνίζεσθαι
σαφηνίζω
τὰ
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μαθήμασι
μάθημα
θεωρήματα
θεώρημα
·
·
ἃ
ὅς
ὅς2
δὲ
δέ
χρὴ
χρή
προεπισκοπῆσαι
καὶ
καί
προθεάσασθαι
,
,
ἔστι
εἰμί
περί
περί
τε
τε
γραμμικῶν
ἀριθμῶν
ἀριθμός
καὶ
καί
ἐπιπέδων
καὶ
καί
στερεῶν
,
,
κυβικῶν
τε
τε
καὶ
καί
σφαιρικῶν
σφαιρικός
,
,
καὶ
καί
ἰσοπλεύρων
ἰσόπλευρος
καὶ
καί
σκαληνῶν
,
,
πλινθίδων
πλινθίς
τε
τε
καὶ
καί
δοκίδων
καὶ
καί
σφηνίσκων
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ὁμοίων
,
,
ἃ
ὅς
ὅς2
δὴ
δή
ἰδίως
ἴδιος
μὲν
μέν
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
γεωμετρικῇ
γεωμετρικός
παραδίδοται
εἰςαγωγῇ
τοῦ
ὁ
πηλίκου
οἰκειότερα
οἰκεῖος
ὄντα
εἰμί
,
,
σπερματικώτερον
δὲ
δέ
προςπαραλαμβάνεται
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ἀριθμητικῇ
ἀριθμητικός
ὡςὰν
μητρὶ
μήτηρ
καὶ
καί
ἀρχεγονωτέρᾳ
ἐκείνης
ἐκεῖνος
·
·
μεμνήμεθα
μιμνήσκω
γάρ
γάρ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
πρὸ
πρό
βραχέος
βραχύς
τοιαύτη
τοιοῦτος
ἡμῖν
ἐφάνη
φαίνω
συναναιροῦσα
μὲν
μέν
τὰς
ὁ
ἄλλας
ἄλλος
ἐπιστήμας
ἐπιστήμη
ἑαυτῇ
ἑαυτοῦ
,
,
οὐ
οὐ
συναναιρουμένη
δὲ
δέ
ἐκείναις
,
,
καὶ
καί
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
συνεπιφερομένη
μὲν
μέν
ἐκείναις
ἐκεῖνος
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
,
,
οὐ
οὐ
συνεπιφέρουσα
δὲ
δέ
αὐτὰς
αὐτός
ἑαυτῇ
ἑαυτοῦ
.
.
Πρότερον
δὲ
δέ
ἐπιγνωστέον
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἕκαστον
ἕκαστος
γράμμα
γράμμα
,
,
ᾧ
ὅς
ὅς2
σημειούμεθα
ἀριθμόν
ἀριθμός
,
,
οἷον
οἷος
τὸ
ὁ
ι
ι
,
,
ᾧ
ὅς
ὅς2
τὰ
ὁ
δέκα
,
,
τὸ
ὁ
κ
κ
,
,
τὰ
ὁ
ὅς
εἴκοσι
εἴκοσι
,
,
τὸ
ὁ
ω
ω
,
,
ᾧ
ὅς
ὅς2
τὰ
ὁ
ὀκτακόσια
ὀκτακόσιοι
,
,
νόμῳ
νόμος
νομός
καὶ
καί
συνθήματι
σύνθημα
ἀνθρωπίνῳ
ἀνθρώπινος
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
οὐ
οὐ
φύσει
φύσις
σημαντικόν
σημαντικός
ἐστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
φυσικὴ
φυσικός
καὶ
καί
ἀμέθοδος
καὶ
καί
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
ἁπλουστάτη
ἁπλόος
σημείωσις
τῶν
ὁ
ἀριθμῶν
ἀριθμός
εἴη
ἐάω
ἂν
ἐάν
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
μονάδων
μονάς
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
ἑκάστῳ
ἕκαστος
οὐσῶν
εἰμί
παράλληλος
παράλληλος
ἔκθεσις
ἔκθεσις
·
·
οἷον
οἷος
μιᾶς
μὲν
μέν
μονάδος
μονάς
γραφὴ
γραφή
διὰ
διά
τοῦ
ὁ
ἑνὸς
ἄλφα
σημεῖον
σημεῖον
ἔσται
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἑνός
,
,
δυεῖν
δὲ
δέ
μονάδων
μονάς
παραλλήλων
παράλληλος
,
,
τουτέστι
δυεῖν
ἄλφα
ἔκθεσις
ἔκθεσις
σημεῖον
σημεῖον
ἔσται
εἰμί
τῆς
ὁ
δυάδος
δυάς
,
,
τριῶν
δὲ
δέ
ἐπʼ
ἐπί
εὐθείας
εὐθεῖα
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
κειμένων
τριάδος
τριάς
ἔσται
χαρακτήρ
χαρακτήρ
καὶ
καί
τεσσάρων
ἐπʼ
εὐθὺ
εὐθύς
τεταγμένων
τετράδος
τετράς
καὶ
καί
πέντε
πέντε
πεντάδος
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
·
·
διὰ
διά
γὰρ
γάρ
τῆς
ὁ
τοιαύτης
τοιοῦτος
γραφῆς
γραφή
καὶ
καί
σημάνσεως
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
φρασθησομένων
ἐπιπέδων
τε
τε
καὶ
καί
στερεῶν
σχηματογραφία
τρανωθῆναι
δύναιτʼ
ἂν
ἄν
μόνως
μόνος
μόνως
καὶ
καί
σαφηνισθῆναι
,
,
οἷον
οἷος
μονὰς
μὲν
μέν
α
,
,
δυὰς
δὲ
δέ
αα
,
,
τριὰς
τριάς
δὲ
δέ
ααα
,
,
τετρὰς
τετράς
δὲ
δέ
αααα
,
,
πεντὰς
δὲ
δέ
ααααα
,
,
καὶ
καί
εἰς
εἰς
πλείονα
πολύς
πλείων
ἀεὶ
ἀεί
ἀναλόγως
ἀνάλογος
.
.
ἔσται
οὖν
οὖν
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
μονὰς
μονή
σημείου
σημεῖον
τόπον
τόπος
ἐπέχουσα
ἐπέχω
καὶ
καί
τρόπον
τρόπος
τροπός
ἀρχή
ἀρχή
μὲν
μέν
διαστημάτων
διάστημα
καὶ
καί
ἀριθμῶν
ἀριθμός
,
,
οὔπω
οὔπω
δὲ
δέ
διάστημα
διάστημα
οὐδὲ
οὐδέ
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
τὸ
ὁ
σημεῖον
σημεῖον
ἀρχὴ
ἀρχή
μὲν
μέν
γραμμῆς
γραμμή
καὶ
καί
διαστήματος
διάστημα
,
,
οὔπω
οὔπω
δὲ
δέ
γραμμὴ
γραμμή
οὐδὲ
οὐδέ
διάστημα
διάστημα
·
·
ἀμέλει
ἀμέλει
οὔτε
οὔτε
σημείῳ
σημεῖον
σημεῖον
σημεῖον
συντεθὲν
συντίθημι
πλεῖόν
πλέως
τι
τις
ποιεῖ
ποιέω
,
,
ἀδιάστατον
γὰρ
γάρ
ἀδιαστάτῳ
συντεθὲν
συντίθημι
διάστημα
διάστημα
οὐχ
οὐ
ἕξει
ἔχω
,
,
ὥςπερ
εἴ
εἰ
τις
τις
τὸ
ὁ
οὐδὲν
οὐδείς
οὐδενὶ
συντεθὲν
συντίθημι
σκέπτοιτο
σκέπτομαι
,
,
οὐδὲν
γὰρ
γάρ
ποιεῖ
ποιέω
·
·
κατὰ
κατά
ταυτὰ
γὰρ
γάρ
ἐφαίνετο
φαίνω
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
ἰσότητος
ἰσότης
ἡμῖν
ἐγώ
ἐν
ἐν
ταῖς
ὁ
σχέσεσι
σχέσις
,
,
σώζεται
σῴζω
σώζω
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἀναλογία
ἀναλογία
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
δεύτερος
δεύτερος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
τρίτον
τρίτος
,
,
οὐ
οὐ
μὴν
μήν
διάστημα
διάστημα
γεννᾶταί
τι
τις
τοῖς
ὁ
ἄκροις
ἄκρον
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
,
,
ὥςπερ
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
τῶν
ὁ
χωρὶς
χωρίς
ἰσότητος
ἰσότης
σχέσεων
σχέσις
πασῶν
πᾶς
·
·
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
δὴ
δή
τρόπον
τρόπος
τροπός
καὶ
καί
μονὰς
μονή
ἐκ
ἐκ
παντὸς
πᾶς
μόνη
μόνος
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἑαυτὴν
ἑαυτοῦ
πολλαπλασιάσασα
οὐδὲν
πλέον
πλέως
πλέος
ἑαυτῆς
ἑαυτοῦ
γεννᾷ
γεννάω
·
·
ἀδιάστατος
ἄρα
ἄρα
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
καὶ
καί
ἀρχοειδής
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
δὲ
δέ
διάστημα
διάστημα
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
καὶ
καί
φαίνεται
φαίνω
ἐν
ἐν
δυάδι
δυάς
,
,
εἶτʼ
ἐν
ἐν
τριάδι
τριάς
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐν
ἐν
τετράδι
τετράς
καὶ
καί
ἑξῆς
ἑξῆς
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἀκολούθοις
ἀκόλουθος
·
·
διάστημα
γάρ
γάρ
ἐστι
εἰμί
δυεῖν
ὅρων
τὸ
ὁ
μεταξὺ
θεωρούμενον
θεωρέω
.
.
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
δὲ
δέ
διάστημα
διάστημα
γραμμὴ
γραμμή
λέγεται
λέγω
,
,
γραμμὴ
γραμμή
γάρ
γάρ
ἐστι
εἰμί
τὸ
ὁ
ἐφʼ
ἓν
διαστατόν
διαστατός
·
·
δύο
γε
δὲ
δέ
διαστήματα
διάστημα
ἐπιφάνεια
ἐπιφάνεια
,
,
ἐπιφάνεια
ἐπιφάνεια
γάρ
γάρ
ἐστι
εἰμί
τὸ
ὁ
ὅς
διχῆ
διαστατόν
διαστατός
·
·
τρία
δὲ
δέ
διαστήματα
διάστημα
στερεόν
στερέω
,
,
στερεὸν
στερεός
γάρ
γάρ
ἐστι
εἰμί
τὸ
ὁ
ὅς
τριχῆ
διαστατὸν
καὶ
καί
οὐκ
οὐ
ἔστιν
εἰμί
οὐδαμῶς
οὐδαμῶς
οὐδαμός
ἐπινοεῖν
ἐπινοέω
στερεόν
στερεός
,
,
ὃ
ὁ
πλεόνων
πολύς
τέτευχε
διαστημάτων
διάστημα
ἢ
ἤ
τριῶν
,
,
βάθους
,
,
πλάτους
,
,
μήκους
·
·
τούτοις
οὗτος
γὰρ
γάρ
αἱ
ὁ
λεγόμεναι
λέγω
περὶ
περί
πᾶν
πᾶς
σῶμα
σῶμα
ὑπάρχειν
ὑπάρχω
ἓξ
περιστάσεις
περίστασις
ὁρίζονται
ὁρίζω
,
,
καθʼ
κατά
ἃς
ὅς
αἱ
ὁ
κατὰ
κατά
τόπον
τόπος
κινήσεις
κινέω
διακρίνονται
,
,
πρόσω
πρόσω
,
,
ὀπίσω
ὀπίσω
,
,
ἄνω
ἄνω2
ἄνω
,
,
κάτω
κάτω
,
,
δεξιά
δεξιός
,
,
ἀριστερά
ἀριστερός
·
·
ἑκάστῳ
ἕκαστος
γὰρ
γάρ
διαστήματι
διάστημα
δύο
γε
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
περιστάσεις
περίστασις
παρέπονται
παρέπομαι
ἀλλήλαις
ἀλλήλων
ἀντίθετοι
,
,
ἑνὶ
μὲν
μέν
αἱ
ὁ
ἄνω
ἄνω2
ἄνω
καὶ
καί
κάτω
κάτω
,
,
ἑτέρῳ
ἕτερος
δὲ
δέ
αἱ
ὁ
πρόσω
πρόσω
καὶ
καί
ὀπίσω
ὀπίσω
,
,
τῷ
τῷ
τρίτῳ
τρίτος
δὲ
δέ
αἱ
ὁ
ἐπὶ
ἐπί
δεξιὰ
δεξιός
καὶ
καί
ἀριστερά
ἀριστερός
.
.
καὶ
καί
συμβαίνει
συμβαίνω
πως
πως
πῶς
οὕτως
οὕτως
ἀναστρέφειν
ἀναστρέφω
τὸν
ὁ
λόγον
λόγος
·
·
εἴ
εἰ
τι
τι
γὰρ
γάρ
στερεόν
στερεός
ἐστιν
εἰμί
,
,
ἐκεῖνο
ἐκεῖνος
τὰς
ὁ
τρεῖς
διαστάσεις
διάστασις
πάντως
πᾶς
πάντως
ἔχει
ἔχω
,
,
μῆκος
μῆκος
,
,
βάθος
βάθος
,
,
πλάτος
πλάτος
καὶ
καί
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
,
,
εἴ
εἰ
τι
τι
ἔχει
ἔχω
τὰς
ὁ
τρεῖς
διαστάσεις
διάστασις
,
,
ἐκεῖνο
ἐκεῖνος
πάντως
πᾶς
πάντως
στερεόν
ἔστιν
εἰμί
,
,
ἄλλο
ἄλλος
δʼ
δέ
οὐδέν
οὐδείς
.
.
οὐκ
οὐ
ἄρα
ἄρα
τὸ
ὁ
δύο
γε
μόνον
μόνος
ἔχον
ἔχω
διαστάσεις
διάστασις
ἔσται
στερεόν
στερέω
,
,
ἀλλʼ
ἐπιφάνεια
ἐπιφάνεια
,
,
αὕτη
οὗτος
γὰρ
γάρ
διαστημάτων
διάστημα
ἐπιδεκτικὴ
δυεῖν
ἐστι
εἰμί
μόνων
·
·
καὶ
καί
ἐπʼ
ἐπί
αὐτῆς
αὐτός
δυνατὸν
δυνατός
ὁμοιοτρόπως
ὁμοιότροπος
ἀντιστρέφειν
ἀντιστρέφω
τὸν
ὁ
λόγον
λόγος
,
,
ἐπι
-
-
φάνειά
τε
τε
γὰρ
γάρ
ὀρθῶς
ὀρθός
τὸ
ὁ
διχῆ
διχῆ
διαστατὸν
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
τὸ
ὁ
διχῆ
διαστατὸν
πάντως
πᾶς
πάντως
ἐπιφάνεια
ἔσται
.
.
ἑνὶ
ἄρα
ἄρα
διαστήματι
διάστημα
ἠλάττωται
ἐπιφάνεια
ἐπιφάνεια
στερεοῦ
,
,
ἑνὶ
δὲ
δέ
καὶ
καί
γραμμὴ
γραμμή
ἐπιφανείας
ἐπιφάνεια
οὖσα
εἰμί
τὸ
ὁ
ἐφ’
ἐπί
ἓν
διαστατὸν
καὶ
καί
ἑνὸς
μόνου
μόνος
τετευχυῖα
δικστήματος
,
,
λειπομένη
λείπω
δὲ
δέ
στερεοῦ
δυσὶ
διαστήμασι
διάστημα
·
·
ταύτης
οὗτος
δʼ
δέ
αὐτῆς
αὐτός
λείπεται
λείπω
ἑνὶ
διαστήματι
διάστημα
τὸ
ὁ
σημεῖον
σημεῖον
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
προελέχθη
εἶναι
εἰμί
ἀδιάστατον
στερεοῦ
μὲν
μέν
τρισὶ
τρεῖς
διαστήμασι
διάστημα
λειπόμενον
λείπω
,
,
ἐπιφανείας
ἐπιφάνεια
δὲ
δέ
δυσί
,
,
γραμμῆς
γραμμή
δὲ
δέ
ἑνί
.
.
ζ
.
.
Ἔστιν
οὖν
οὖν
σημεῖον
σημεῖον
ἀρχὴ
ἀρχή
διαστήματος
διάστημα
,
,
οὐ
οὐ
διάστημα
διάστημα
δέ
δέ
,
,
τὸ
ὁ
δʼ
δέ
αὐτὸ
αὐτός
καὶ
καί
ἀρχὴ
ἀρχή
γραμμῆς
γραμμή
,
,
οὐ
οὐ
γραμμὴ
γραμμή
δέ
δέ
·
·
καὶ
καί
γραμμὴ
γραμμή
ἀρχὴ
ἀρχή
ἐπιφανείας
ἐπιφάνεια
,
,
οὐκ
οὐ
ἐπιφάνεια
δέ
δέ
,
,
καὶ
καί
ἀρχὴ
ἀρχή
τοῦ
ὁ
ὅς
διχῆ
διαστατοῦ
,
,
οὐ
οὐ
διχῆ
δὲ
δέ
διαστατόν
.
.
καὶ
καί
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
ἡ
ὁ
ἐπιφάνεια
ἐπιφάνεια
ἀρχὴ
ἀρχή
μὲν
μέν
σώματος
σῶμα
,
,
οὐ
οὐ
σῶμα
σῶμα
δέ
δέ
,
,
καὶ
καί
ἡ
ὁ
ὅς
αὐτὴ
αὐτός
ἀρχὴ
ἀρχή
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
τριχῆ
διαστατοῦ
,
,
οὐ
οὐ
τριχῆ
δὲ
δέ
διαστατόν
.
.
οὕτως
οὕτως
δὴ
δή
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἀριθμοῖς
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
μονὰς
μονάς
ἀρχὴ
ἀρχή
παντὸς
πᾶς
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἐφʼ
ἐπί
ἓν
διάστημα
διάστημα
κατὰ
κατά
μονάδα
μονάς
προβιβαζομένου
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
γραμμικὸς
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἀρχὴ
ἀρχή
ἐπιπέδου
ἐπίπεδος
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἐφʼ
ἐπί
ἕτερον
ἕτερος
διάστημα
διάστημα
ἐπιπέδως
ἐπίπεδος
πλατυνομένου
πλατύνω
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ἐπίπεδος
ἐπίπεδος
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἀρχὴ
ἀρχή
στερεοῦ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἐπὶ
ἐπί
τρίτον
τρίτος
διάστημα
διάστημα
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
βάθος
βάθος
τι
τις
προςκτωμένου
·
·
οἷον
οἷος
καθʼ
ὑποδιαίρεσιν
γραμμικοὶ
μέν
μέν
εἰσιν
εἰμί
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
ἅπαντες
ἅπας
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἀρχόμενοι
ἄρχω
καὶ
καί
κατὰ
κατά
μονάδος
μονάς
πρόςθεσιν
ἐπὶ
ἐπί
ἓν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
προχωροῦντες
διάστημα
διάστημα
,
,
ἐπίπεδοι
ἐπίπεδος
δὲ
δέ
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
ἀρχόμενοι
ἄρχω
ἀρχικωτάτης
ῥίζης
ῥίζα
καὶ
καί
διὰ
διά
τῶν
ὁ
ἐξῆς
συνεχῶν
ἀριθμῶν
ἀριθμός
προιόντες
πρόειμι
,
,
λαμβάνοντες
λαμβάνω
καὶ
καί
τὴν
ὁ
ἐπωνυμίαν
ἐπωνυμία
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
τάξιν
τάξις
·
·
πρώτιστοι
γὰρ
γάρ
τρίγωνοι
τρίγωνος
,
,
εἶτα
μετʼ
μετά
αὐτοὺς
αὐτός
τετράγωνοι
τετράγωνος
,
,
εἶτα
εἶτα
μετʼ
μετά
αὐτοὺς
αὐτός
πεντάγωνοι
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
ἑξάγωνοι
καὶ
καί
ἑπτάγωνοι
καὶ
καί
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
·
·
προςαγορεύονται
δέ
δέ
,
,
ὡς
ὡς
ἔφαμεν
,
,
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τριάδος
τριάς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
κειμένων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
.
.
ἀρχικώτατον
ἀρχικός
ἄρα
ἄρα
σχῆμα
σχῆμα
ἐπιπέδων
καὶ
καί
στοιχειωδέστατον
τὸ
ὁ
τρίγωνον
τρίγωνος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
·
·
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
γραμμικοῖς
ἐπιπέδοις
ἐὰν
ἐάν
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
γωνιῶν
γωνία
ἐπὶ
ἐπί
τὰ
ὁ
μέσα
εὐθεῖαι
εὐθύς
ἀχθῶσι
,
,
λυθήσεται
ἕκαστον
ἕκαστος
εὐθύγραμμον
εὐθύγραμμος
σχῆμα
σχῆμα
πάντως
πᾶς
πάντως
εἰς
εἰς
τρίγωνα
τρίγων
τοσαῦτα
τοσοῦτος
,
,
ὅσαιπερ
ἂν
ἀνά
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τυγχάνωσιν
αἱ
ὁ
πλευραί
πλευρά
,
,
αὐτὸ
αὐτός
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
τρίγωνον
τρίγωνος
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
τοῖς
ὁ
ἄλλοις
ἄλλος
παθὸν
πάσχω
εἰς
εἰς
ἕτερόν
τι
τις
οὐ
οὐ
μεταπεσεῖται
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
εἰς
εἰς
ἑαυτό
·
·
στοιχεῖον
στοιχεῖον
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἐκείνοις
ἐκεῖνος
τὸ
ὁ
ρίγωνον
·
·
εἰς
εἰς
αὐτὸ
αὐτός
γὰρ
γάρ
τὰ
ὁ
ἄλλα
ἄλλος
πάντα
πᾶς
ἀναλύεται
ἀναλύω
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
,
,
αὐτὸ
δὲ
δέ
οὐκ
οὐ
εἰς
εἰς
ἕτερον
ἕτερος
·
·
ἐκ
ἐκ
τούτου
οὗτος
ἂν
ἄν
καὶ
καί
συσταίη
συνίστημι
τὰ
ὁ
λοιπά
λοιπός
,
,
αὐτὸ
αὐτός
δὲ
δέ
ἐξ
ἐκ
οὐδενός
·
·
στοιχεῖον
στοιχεῖον
ἄρα
ἄρα
τοῦτο
οὗτος
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
,
,
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
δὲ
δέ
οὐδέν
οὐδείς
.
.
κἀν
ἐν
εἰς
τοῖς
ὁ
ἀριθμητικοῖς
ἀριθμητικός
δὲ
δέ
ἐπιπέδοις
ἐπίπεδος
προιὼν
ὁ
ὁ
λόγος
λόγος
βεβαιώσει
βεβαιόω
τὸ
ὁ
λεγόμενον
λέγω
.
.
η
.
.
Τρίγωνος
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
διαλυόμενος
διαλύω
εἰς
εἰς
μονάδας
μονάς
καὶ
καί
τὴν
ὁ
κατʼ
κατά
ἐπίπεδον
ἐπίπεδος
θέσιν
θέσις
τῶν
ὁ
μορίων
μορία
ἰσόπλευρον
σχηματογραφῶν
εἰς
εἰς
τριγωνισμόν
,
,
οὗ
οὗ
ὑποδείγμαπα
ὁ
ὁ
γ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ι
ι
,
,
ιε
,
,
κα
,
,
κη
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
·
·
σχηματογραφίαι
γὰρ
γάρ
αὐτῶν
αὐτός
εὔτακτοι
εὔτακτος
ἔσονται
εἰμί
τρίγωνοί
τε
τε
ἅμα
ἅμα
καὶ
καί
ἰσόπλευροι
,
,
καὶ
καί
τὸ
ὁ
τοιοῦτον
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
,
,
προκόπτων
προκόπτω
τριγωνιζόμενον
εὑρήσεις
εὑρίσκω
πρὸ
πρό
πάντων
πᾶς
στοιχειωδέστατον
στοιχειώδης
τάττων
τάσσω
τὸ
ὁ
ἐκ
ἐκ
μονάδος
μονάς
γινόμενον
,
,
ἵνα
ἵνα
καὶ
καί
τρίγωνος
τρίγων
δυνάμει
δύναμις
φαίνηται
φαίνω
ἡ
ὁ
μονάς
μονή
,
,
ἐνεργείᾳ
δὲ
δέ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
ὁ
ὁ
γ
.
.
πλευραὶ
πλευρά
δὲ
δέ
παραυξηθήσονται
τῷ
τῷ
συνεχεῖ
συνόχωκα
ἀριθμῷ
ἀριθμός
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
δυνάμει
δύναμις
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
πλευρὰ
πλευρόν
μονάς
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
πλευρὰ
πλευρόν
δυάς
,
,
τουτέστι
τοῦ
ὁ
γ
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
δευτέρου
πλευρὰ
πλευρόν
τριάς
,
,
τουτέστι
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
τρίτου
τρίτος
πλευρὰ
πλευρόν
τετρὰς
τετράς
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
τετάρτου
τέταρτος
πεντὰς
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
πέμπτου
πέμπτος
πεμπτός
ἑξὰς
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
.
.
γεννᾶται
γεννάω
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
φυσικοῦ
φυσικός
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
στοιχηδὸν
στοιχηδόν
ἐκτεθέντος
ἐκτίθημι
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
ἀπʼ
ἀπό
ἀρχῆς
ἀρχή
τῶν
ὁ
συνεχῶν
κατὰ
κατά
ἕνα
συντιθεμένων
συντίθημι
,
,
κατὰ
κατά
γὰρ
γάρ
ἑκάστην
ἕκαστος
σύνθεσιν
σύνθεσις
καὶ
καί
προςσώρευσιν
οἱ
ὁ
εὔτακτοι
εὔτακτος
τρίγωνοι
συντελοῦνται
συντελέω
·
·
οἷον
οἷος
ἐκ
ἐκ
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
φυσικοῦ
φυσικός
στίχου
στίχος
τούτου
οὗτος
α
,
,
β
,
,
γ
,
,
δ
δ
,
,
ε
ε
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ζ
ζ
,
,
η
,
,
θ
θ
,
,
ι
ι
,
,
ια
,
,
ιβ
,
,
ιγ
,
,
ιδ
,
,
ιε
τὸν
ὁ
μὲν
μέν
πρώτιστον
πρώτιστος
λαβὼν
λαμβάνω
ἔχω
ἔχω
τὸν
ὁ
ὅς
δυνάμει
δύναμις
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
τρίγωνον
τρίγωνος
,
,
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
1
1
,
,
εἶτα
εἶτα
τὸν
ὁ
συνεχῆ
συνεχής
αὐτῷ
αὐτός
ἐπισωρεύσας
ἔχω
ἔχω
τὸν
ὁ
ὅς
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
τρίγωνον
τρίγωνος
,
,
β
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
α
ὁ
ὁ
γ
γ
ἐστί
εἰμί
,
,
καὶ
καί
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
γε
γε
σχηματογραφίᾳ
οὕτως
οὕτως
συνίσταται
συνίστημι
συνιστάω
·
·
ἐπὶ
ἐπί
μιᾷ
μονάδι
μονάς
δύο
γε
μονάδες
μονάς
παράλληλοι
παράλληλος
ὑποτίθενται
ὑποτίθημι
καὶ
καί
τριγωνίζεται
ὁ
ὁ
γ
ἀριθμός
ἀριθμός
2
·
·
εἶτα
εἶτα
ἑξῆς
ἑξῆς
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
ὁ
ὁ
γ
συνεχὴς
συνεχής
προςσωρευθεὶς
καὶ
καί
ἐξαπλωθείς
γε
γε
εἰς
εἰς
μονάδα
μονάς
καὶ
καί
συντεθεὶς
συντίθημι
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
ἀποδίδωσι
ἀποδίδωμι
δεύτερον
δεύτερος
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
τρίγωνον
τρίγωνος
καὶ
καί
προςέτι
σχηματογραφεῖ
3
3
·
·
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ὁ
ὁ
φύσει
φύσις
ἀκόλουθος
ἀκόλουθος
ὁ
ὁ
δ
δ
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
σωρευθεὶς
καὶ
καί
μοναδιστὶ
ὑπογραφεὶς
τὸν
ὁ
εὔτακτον
εὔτακτος
μετὰ
μετά
τοὺς
ὁ
εἰρημένους
λέγω
ἀποδίδωσι
ἀποδίδωμι
τὸν
ὁ
ὅς
ι
ι
καὶ
καί
τριγωνιστί
γε
γε
σχηματίζεται
σχηματίζω
4
·
·
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ε
ἐπὶ
ἐπί
τούτῳ
οὗτος
,
,
εἶτα
εἶτα
ὁ
ὁ
ϛ
ϛ
,
,
εἶτα
εἶτα
ὁ
ὁ
ζ
ζ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
ἅπαντες
ἅπας
,
,
ὥςτʼ
ἐμμελῶς
ἐμμελής
καὶ
καί
τὰς
ὁ
πλευρὰς
πλευρά
ἑκάστου
ἕκαστος
τοσούτων
εἶναι
εἰμί
μονάδων
μονάς
,
,
ὁπόσοιπερ
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
συνετέθησαν
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
φυσικοῦ
φυσικός
στίχου
στίχος
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
σύστασιν
σύστασις
5
5
6
6
7
·
·
θ
.
.
Τετράγωνος
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
συνεχὴς
συνεχής
τούτῳ
οὗτος
καὶ
καί
μηκέτι
μηκέτι
τρεῖς
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
πρόσθεν
πρόσθεν
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τέσσαρας
τέσσαρες
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
καταγραφῇ
γωνίας
γωνία
ἀποδιδούς
,
,
ἐν
ἐν
ἰσοπλεύρῳ
μέντοι
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
σχηματισμῷ
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
δ
δ
,
,
θ
θ
,
,
ιϚ
,
,
κε
ἄν
,
,
λϚ
,
,
μθ
,
,
ξδ
,
,
πα
,
,
ρ
·
·
τούτων
οὗτος
γὰρ
γάρ
αἱ
ὁ
καταγραφαὶ
καταγραφή
ἰσόπλευροι
τετραγωνισμοὶ
οὕτω
οὕτως
πως
πως
γίνονται
γίγνομαι
·
·
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
οὕτως
οὕτως
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
.
.
καὶ
καί
τούτοις
οὗτος
δὲ
δέ
συμβέβηκεν
συμβαίνω
,
,
ὥςπερ
καὶ
καί
τοῖς
ὁ
πρὸ
πρό
αὐτῶν
αὐτός
,
,
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
πλευρῶν
πλευρά
πρόβασιν
πρόβασις
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
φυσικὸν
φυσικός
ἀριθμὸν
ἀριθμός
προκόπτειν
προκόπτω
·
·
τῷ
τῷ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
δυνάμει
δύναμις
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
τῷ
ὁ
ἑνὶ
πλευρὰ
πλευρόν
μονάς
μονή
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
τῷ
τῷ
δ
δ
πλευρὰ
πλευρόν
δυάς
δύη
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
δευτέρῳ
δεύτερος
τῷ
τῷ
θ
θ
πλευρὰ
πλευρόν
τριάς
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
μετʼ
μετά
αὐτὸν
αὐτός
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
τρίτῳ
τρίτος
τῷ
τῷ
ιϚ
πλευρὰ
πλευρόν
τετρὰς
τετράς
καὶ
καί
τῷ
τῷ
τετάρτῳ
τέταρτος
πεντὰς
καὶ
καί
τῷ
ὁ
πέμπτῳ
πέμπτος
πεμπτός
ἑξὰς
καὶ
καί
καθόλου
καθόλου
ἑξῆς
ἑξῆς
τοῖς
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
.
.
γεννᾶται
γεννάω
δὲ
δέ
καὶ
καί
οὗτος
οὗτος
στοιχηδὸν
ἐκτεθέντος
ἐκτίθημι
φυσικοῦ
φυσικός
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
μονάδι
μονάς
ἐπισωρευθέντων
οὐκέτι
οὐκέτι
τῶν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τοῖς
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
ὡς
ὡς
δέδεικται
δείκνυμι
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τῶν
ὁ
παῤ
ἕνα
κειμένων
πάντων
πᾶς
,
,
τουτέστι
τῶν
ὁ
περισσῶν
περισσός
·
·
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
α
δυνάμει
δύναμις
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
τετράγωνος
τετράγωνος
,
,
δεύτερος
δεύτερος
ὁ
ὁ
α
καὶ
καί
γ
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
τετράγωνος
τετράγωνος
,
,
τρίτος
τρίτος
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
α
καὶ
καί
γ
καὶ
καί
ε
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
δεύτερος
δεύτερος
τετράγωνος
τετράγωνος
,
,
τέταρτος
τέταρτος
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
α
καὶ
καί
γ
γ
καὶ
καί
ε
καὶ
καί
ζ
ζ
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
τρίτος
τρίτος
τετράγωνος
τετράγωνος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
τοῖς
ὁ
προτέροις
πρότερος
προςσωρευθέντος
τοῦ
ὁ
ὅς
θ
θ
γίνεται
γίγνομαι
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μετ’
μετά
αὐτόν
αὐτός
τοῦ
ὁ
ὅς
ια
προςτεθέντος
καὶ
καί
οὕτως
οὕτως
ἀεί
ἀεί
.
.
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τούτων
οὗτος
δὲ
δέ
συμβέβηκε
συμβαίνω
τοσούτων
τοσοῦτος
μονάδων
μονάς
τὴν
ὁ
ἑκάστου
ἕκαστος
πλευρὰν
πλευρά
εἶναι
εἰμί
,
,
ὁπόσοιπερ
ἂν
ἐάν
ὦσιν
εἰμί
οἱ
ὁ
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
γένεσιν
γένεσις
ἐπισωρευθέντες
ἀριθμοί
ἀριθμός
.
.
ι
.
.
Πεντάγωνος
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἐξάπλωσιν
τὴν
ὁ
εἰς
εἰς
μονάδα
μονάς
σχηματογραφούμενος
ἐπιπέδως
ἐπίπεδος
εἰς
εἰς
πενταγωνικὸν
σχῆμα
σχῆμα
πάντη
πᾶς
πάντῃ
ἰσόπλευρον
ἰσόπλευρος
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
ε
,
,
ιβ
ιβ
,
,
κβ
,
,
λε
,
,
να
,
,
ο
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἀνάλογοι
.
.
ἀλλʼ
ἔστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
μὲν
μέν
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
κατʼ
κατά
ἐνέργειαν
ἐνέργεια
,
,
τουτέστι
τοῦ
ὁ
ὅς
ε
ἑκάστη
ἕκαστος
πλευρὰ
δυάς
δυάς
,
,
μονὰς
μονάς
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
τοῦ
ὁ
δυνάμει
δύναμις
πρωτίστου
πενταγώνου
ὑπάρχει
ὑπάρχω
τοῦ
ὁ
ἑνός
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἐκκειμένων
δευτέρου
δεύτερος
τοῦ
ὁ
ιβ
πλευρὰ
πλευρόν
τριὰς
τριάς
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
μετʼ
μετά
αὐτὸν
αὐτός
τοῦ
ὁ
κβ
τετρὰς
τετράς
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
τοῦ
ὁ
λε
πεντὰς
καὶ
καί
ἑξὰς
τοῦ
ὁ
ὅς
ἐπὶ
ἐπί
τούτῳ
οὗτος
τοῦ
ὁ
να
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
·
·
καθόλου
καθόλου
γὰρ
γάρ
τοσούτων
μονάδων
μονάς
ἡ
ὁ
πλευρά
ἐστιν
εἰμί
,
,
ὅσοιπερ
ὅσος
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
σύστασιν
σύστασις
συνεσωρεύθησαν
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
ἐκλεγέντες
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
κατὰ
κατά
φύσιν
φύσις
στοιχηδὸν
στοιχηδόν
ἐκκειμένου
ἀριθ
χύματος
·
·
παραπλησίως
παραπλήσιος
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
ὁμοιοτρόπως
ὁμοιότροπος
ἐπισωρεύονται
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
εἰς
εἰς
πενταγώνου
πεντάγωνος
γένεσιν
γένεσις
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
δύο
γε
διαλείποντες
διαλείπω
ἐφʼ
ὁσονοῦν
,
,
τουτέστιν
οἱ
ὁ
τριάδι
τριάς
ἀλλήλων
ἀλλήλων
ὑπερέχοντες
ὑπερέχω
·
·
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
μονὰς
μονή
δυνάμει
δύναμις
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
σχηματογραφεῖται
οὕτως
οὕτως
1
1
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ε
δεύτερος
δεύτερος
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ὅς
α
καὶ
καί
δ
συντεθέντων
συντίθημι
σχηματογραφούμενος
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
οὕτως
οὕτως
2
2
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιβ
ὁ
ὁ
τρίτος
τρίτος
ἔκ
ἐκ
τε
τε
τῶν
ὁ
ὅς
δύο
γε
προτέρων
πρότερος
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ζ
ζ
ἐπισωρευθέντος
αὐτοῖς
αὐτός
,
,
ἵνα
ἵνα
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
τριάδα
τριάς
πλευρὰν
πλευρά
σχῇ
ἔχω
,
,
ὡς
ὡς
τριῶν
συντεθέντων
συντίθημι
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
σύστασιν
σύστασις
,
,
ὡς
ὡς
καὶ
καί
ὁ
ὁ
πρὸ
πρό
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ὁ
ὁ
ε
δυάδα
πλευρὰν
πλευρά
εἶχεν
ἔχω
ἐκ
ἐκ
δύο
γε
συντεθείς
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
σχηματογραφία
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τοιαύτη
τοιοῦτος
ἐστίν
εἰμί
·
·
οἱ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
γενήσονται
καθεξῆς
καθεξῆς
προςσωρευομένων
τῶν
ὁ
κατὰ
κατά
τριάδος
τριάς
ὑπεροχὴν
ὑπεροχή
εὐτάκτων
εὔτακτος
μετὰ
μετά
τὴν
ὁ
ἑβδομάδα
ἑβδομάς
.
.
ὄντων
εἰμί
,
,
οἷον
οἷος
τοῦ
ὁ
ι
ι
,
,
ιγ
,
,
ιϚ
,
,
ιθ
,
,
κβ
,
,
κε
ἄν
καὶ
καί
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
·
·
ἔσονται
εἰμί
γὰρ
γάρ
κβ
,
,
λε
,
,
να
,
,
ο
,
,
Ϟβ
,
,
ριζ
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρι
μέχρι
παντός
πᾶς
.
.
ια
.
.
Ἑξάγωνοι
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἑπτάγωνοι
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
ἔφοδον
ἔφοδος3
ἔφοδος
προβιβασθήσονται
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
φυσικοῦ
φυσικός
χύματος
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
στοιχηδὸν
στοιχηδόν
ἐκτεθέντος
ἐκτίθημι
αἰεὶ
ἀεί
κατὰ
κατά
μονάδος
μονάς
πρόςθεσιν
τῶν
ὁ
ἀποστάσεων
ἀπόστασις
γινομένων
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
τρίγωνος
τρίγωνος
τοὺς
ὁ
ὅς
μονάδι
μονάς
διαφέροντας
διαφέρω
,
,
μηδὲν
παραλείποντας
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
σωρείαν
δεχόμενος
ἀπετελεῖτο
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
τετράγωνος
τετράγωνος
τοὺς
ὁ
δυάδι
δυάς
μὲν
μέν
διαφέροντας
διαφέρω
,
,
ἕνα
δὲ
δέ
παραλείποντας
,
,
πεντάγωνος
δὲ
δέ
ἀκολούθως
ἀκόλουθος
τοὺς
ὁ
τριάδι
τριάς
μὲν
μέν
διαφέροντας
διαφέρω
,
,
δύο
γε
δὲ
δέ
παραλείποντας
,
,
οὓς
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
ἀπεδείξαμεν
ἀποδείκνυμι
ὑποδείγματα
ὑπόδειγμα
αὐτῶν
αὐτός
τε
τε
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ἀποτελουμένων
ἐκθέμενοι
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ἑξάγωνοι
γνώμονας
γνώμων
ἕξουσι
ἔχω
τοῦς
τετράδι
τετράς
μὲν
μέν
διαφέροντας
διαφέρω
,
,
τρεῖς
δὲ
δέ
παραλείποντας
,
,
ἐξ
ἐκ
ὧν
ὅς
ὅς2
συντεθέντων
συντίθημι
σωρηδὸν
σωρηδόν
ἀποτελοῦνται
ἀποτελέω
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
ε
,
,
θ
θ
,
,
ιγ
,
,
ιζ
,
,
κα
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
ἵνα
ἵνα
οἱ
ὁ
ἀποτελούμενοι
ἑξάγωνοι
ὦσιν
εἰμί
α
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ιε
,
,
κη
,
,
με
ἐγώ
,
,
ξϛ
ξϛ
καὶ
καί
ἀεί
ἀεί
,
,
μέχρις
μέχρι
ἄν
ἄν
τις
τις
θέλῃ
ἐθέλω
.
.
οἱ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τούτοις
οὗτος
ἀκόλουθοι
ἑπτάγωνοι
τοὺς
ὁ
μὲν
μέν
γνώμονας
γνώμων
ἔχουσι
ἔχω
πεντάδι
μὲν
μέν
διαφέροντας
διαφέρω
,
,
τετράδι
τετράς
δὲ
δέ
διαλείποντας
διαλείπω
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ια
,
,
ιϚ
,
,
κα
,
,
κϚ
,
,
λα
,
,
λϚ
καὶ
καί
ἐφʼ
ὁσονοῦν
,
,
αὐτοὶ
αὐτός
δὲ
δέ
οἱ
ὁ
συνιστάμενοί
εἰσιν
εἰμί
α
,
,
ζ
ζ
,
,
ιη
,
,
λδ
,
,
νε
,
,
πα
,
,
ριβ
,
,
ρμη
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρι
μέχρι
παντός
πᾶς
.
.
ὀκτάγωνοι
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
τάξιν
τάξις
τοῖς
ὁ
τε
τε
γνώμοσιν
ἑξάδι
διαφέροντες
διαφέρω
προκόπτουσι
καὶ
καί
τοῖς
ὁ
συστήμασιν
σύστημα
ἀναλόγως
ἀνάλογος
.
.
ἵνα
ἵνα
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
πάντων
πᾶς
παρατηροῦντι
τοῦτο
οὗτος
καθολικὸν
καθολικός
σύμφωνον
ᾖ
εἰμί
,
,
ἑκάστου
ἕκαστος
πολυγώνου
τοὺς
ὁ
γνώμονας
γνώμων
διαφέρειν
διαφέρω
ἀλλήλων
ἀλλήλων
δυάδι
δυάς
ἐλαττόνως
ἐλάσσων
,
,
ἢ
ἤ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
ὀνόματι
ὄνομα
ποσότητα
τῶν
ὁ
γωνιῶν
γωνία
,
,
τουτέστι
μονάδι
μονάς
μὲν
μέν
τὸν
ὁ
τρίγωνον
,
,
δυάδι
δυάς
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
τετράγωνον
τετράγωνος
,
,
τριάδι
τριάς
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
πεντάγωνον
πεντάγωνος
,
,
τετράδι
τετράς
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
ἑξάγωνον
ἑξάγωνος
καὶ
καί
πεντάδι
τὸν
ὁ
ἑπτάγωνον
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
κατὰ
κατά
παραύξησιν
οὕτως
οὕτως
.
.
ιβ
.
.
Καὶ
καί
περὶ
περί
μὲν
μέν
τῆς
ὁ
τῶν
ὁ
πολυγώνων
φύσεως
φύσις
Xl
τῶν
ὁ
ἐπιπέδων
ἱκανὰ
ἱκανός
ταῦτα
οὗτος
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
πρώτῃ
πρῶτος
πρότερος
εἰςαγωγῇ
·
·
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
δὲ
δέ
συμφωνοτάτη
διδασκαλία
διδασκαλία
ἡ
ὁ
περὶ
περί
αὐτῶν
αὐτός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
γραμμικῇ
καὶ
καί
οὐκ
οὐ
ἀπᾴδουσα
,
,
δῆλον
δῆλος
ἂν
ἄν
εἴη
εἰμί
οὐ
οὐ
μόνον
μόνος
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
σχηματογραφίας
τῆς
ὁ
καθʼ
κατά
ἕκαστον
ἕκαστος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
κἀκεῖθεν
ἐκεῖθεν
·
·
πᾶν
πᾶς
τετράγωνον
τετράγωνος
σχῆμα
σχῆμα
διαγωνίως
διαιρεθὲν
εἰς
εἰς
δύο
γε
τρίγωνα
τρίγων
λύεται
λύω
καὶ
καί
πᾶς
πᾶς
τετράγωνος
τετράγωνος
ἀριθμὸς
ἀριθμός
εἰς
εἰς
δύο
γε
τριγώνους
τρίγωνος
συνεχεῖς
συνεχής
λύεται
λύω
καὶ
καί
ἐξ
ἐκ
ἄρα
ἄρα
δύο
γε
τριγώνων
συνεχῶν
συνεχής
συνέστηκεν
συνίστημι
·
·
οἷον
οἷος
τρίγωνοι
μέν
μέν
εἰσιν
εἰμί
α
,
,
γ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ι
ι
,
,
ιε
,
,
κα
,
,
κη
,
,
λϚ
λϚ
,
,
με
ἐγώ
,
,
νε
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
,
,
τετράγωνοι
τετράγωνος
δὲ
δέ
α
,
,
δ
δ
,
,
θ
θ
,
,
ιϚ
,
,
κε
ἄν
,
,
λϚ
,
,
μθ
,
,
ξδ
,
,
πα
,
,
ρ
ρ
δύο
γε
δή
δή
,
,
οὓς
ὅς
ὅς2
ἂν
ἄν
θέλῃς
ἐθέλω
,
,
τριγώνους
τρίγωνος
συνεχεῖς
συνεχής
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
συνθεὶς
συντίθημι
πάντως
πᾶς
πάντως
τετράγωνον
τετράγωνος
ποιήσεις
ποιέω
καὶ
καί
ὁντινοῦν
τετράγωνον
ἄρα
ἄρα
διαλύσας
διαλύω
δυνήσῃ
δύο
γε
ἀπʼ
ἀπό
αὐτῶν
αὐτός
τριγώνους
τρίγωνος
ποιῆσαι
ποιέω
·
·
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
παντὶ
πᾶς
τετραγώνῳ
τετράγωνος
σχήματι
σχῆμα
τρίγωνον
τρίγωνος
προςζευχθὲν
ὁθενοῦν
πεντάγωνον
πεντάγωνος
ποιεῖ
ποιέω
,
,
οἷον
οἷος
τῷ
τῷ
δ
τετραγώνῳ
τετράγωνος
ὁ
ὁ
α
τρίγωνος
τρίγων
προςζευχθεὶς
τὸν
ὁ
ε
πεντάγωνον
πεντάγωνος
ποιεῖ
ποιέω
καὶ
καί
τῷ
τῷ
θ
θ
τῷ
τῷ
ἑξῆς
ἑξῆς
ὁ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
προςτεθείς
,
,
δηλονότι
δηλονότι
ὁ
ὁ
γ
γ
,
,
πεντάγωνον
πεντάγωνος
τὸν
ὁ
ὅς
ιβ
ποιεῖ
ποιέω
,
,
τῷ
τῷ
δὲ
δέ
ιϛ
ὄντι
εἰμί
ἀκολούθῳ
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
ἀκόλουθος
ἀκόλουθος
ἐπισυντεθεὶς
τὸν
ὁ
κβ
ἀκόλουθον
ἀποδίδωσιν
καὶ
καί
τῷ
τῷ
κε
ὁ
ὁ
ι
τὸν
ὁ
λε
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
.
.
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
κἂν
ἐάν
τοῖς
ὁ
πενταγώνοις
οἱ
ὁ
τρίγωνοι
προςτιθοῖντο
τῇ
ὁ
αὐτῇ
αὐτός
τάξει
τάξις
,
,
τοὺς
ὁ
εὐτάκτους
εὔτακτος
γεννήσουσιν
ἑξαγώνους
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἐκείνοις
ἐκεῖνος
οἱ
ὁ
αὐτοὶ
προςπλεκόμενοι
τοὺς
ὁ
ἐν
ἐν
τάξει
τάξις
ἑπταγώνους
ποιήσουσι
ποιέω
καὶ
καί
μετʼ
μετά
ἐκείνους
ἐκεῖνος
τοὺς
ὁ
ὀκταγώνους
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
.
.
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
ὑπόμνησιν
ὑπόμνησις
ἐκκείσθωσαν
ἡμῖν
πολυγώνων
στίχοι
παραλλήλως
παράλληλος
γεγραμμένοι
γράφω
οἵδε
ὅδε
,
,
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
τρίγωνων
,
,
ὁ
ὁ
μετʼ
μετά
αὐτὸν
αὐτός
τετραγώνων
,
,
μετὰ
μετά
δὲ
δέ
ἀμφοτέρους
ἀμφότερος
πενταγώνων
,
,
εἶτα
εἶτα
ἑξαγώνων
,
,
εἶτα
εἶτα
ἑπταγώνων
,
,
εἶτα
,
,
εἰ
εἰ
ἐθέλοι
ἐθέλω
τις
τις
,
,
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
πολυγώνων
·
·
μῆκος
μῆκος
καὶ
καί
πλάτος
πλάτος
τρίγωνοι
τρίγωνος
α
γ
Ϛ
Ϛ
ι
ι
ιε
κα
κη
λϚ
με
νε
τετράγωνο
α
δ
θ
θ
ιϚ
κε
ἄν
λϚ
μθ
ξδ
πα
πη
ρ
πεντάγωνοι
α
ε
ιβ
κβ
λε
να
ο
Ϟβ
ριζ
ρμε
ἑξάγωνοι
α
Ϛ
Ϛ
ιε
κ
με
ξϚ
ξϚ
Ϟα
Ϟα
ρκ
ρνγ
ρϞ
ἑπτάγωνοι
α
ζ
ζ
ιη
λδ
νε
πα
ριβ
ρμη
ρπθ
σλε
βάθος
βάθος
ἔξεστι
ἔξεστι
δὲ
δέ
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
πολυγώνων
τὴν
ὁ
ἔκθεσιν
ἐν
ἐν
παραλλήλοις
παράλληλος
οὕτω
οὕτως
στίχοις
ποιήσασθαι
ποιέω
.
.
καθολικῶς
καθολικός
γὰρ
γάρ
εὑρήσεις
εὑρίσκω
τοὺς
ὁ
μὲν
μέν
τετραγώνους
τετράγωνος
τῶν
ὁ
ὑπὲρ
ὑπέρ
αὐτοὺς
αὐτός
σύστημα
σύστημα
ὄντας
εἰμί
ὁμοταγῶν
ὁμοταγής
τριγώνων
καὶ
καί
ἔτι
ἔτι
τῶν
ὁ
ὑπερκειμένων
ἐκείνοις
ἐκεῖνος
ὁμογενῶν
ὁμογενής
,
,
οἷον
οἷος
τὸν
ὁ
δ
δ
τοῦ
ὁ
γ
γ
καὶ
καί
α
,
,
τὸν
ὁ
θ
θ
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
γ
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
ιϚ
τοῦ
ὁ
ι
ι
καὶ
καί
Ϛ
Ϛ
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
κε
ἄν
τοῦ
ὁ
ὅς
ιε
καὶ
καί
ι
ι
,
,
τὸν
ὁ
δὲ
δέ
λϚ
τοῦ
ὁ
ὅς
κα
καὶ
καί
ιε
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
·
·
τοὺς
ὁ
δὲ
δέ
πενταγώνους
τῶν
ὁ
ὑπὲρ
ὑπέρ
αὐτοὺς
αὐτός
ὁμοταγῶν
ὁμοταγής
τετραγώνων
σύστημα
σύστημα
ὄντας
εἰμί
καὶ
καί
προςέτι
τῶν
ὁ
πρωτογενῶν
τριγώνων
,
,
ὅσοι
ὅσος
εἰσὶ
εἰμί
μονάδι
μονάς
ἔλαττον
ὁμοταγεῖς
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ε
τοῦ
ὁ
δ
δ
καὶ
καί
α
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιβ
τοῦ
ὁ
ὅς
θ
θ
καὶ
καί
γ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κβ
τοῦ
ὁ
ὅς
ιϛ
ιϛ
καὶ
καί
ϛ
ϛ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
λε
τοῦ
ὁ
τίς
ὅς
κε
καὶ
καί
ι
ι
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
οἱ
ὁ
ἑξάγωνοι
τῶν
ὁ
ὑπὲρ
ὑπέρ
αὐτοὺς
αὐτός
ὁμοταγῶν
πενταγώνων
καὶ
καί
τῶν
ὁ
προεκτεθέντων
τριγώνων
ὁμοίως
ὅμοιος
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
τοῦ
ὁ
ὅς
ε
καὶ
καί
α
,
,
ὁ
ὁ
ιε
τοῦ
ὁ
ιβ
καὶ
καί
γ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
κη
τοῦ
ὁ
ὅς
κῆ
κῆ
καὶ
καί
Ϛ
Ϛ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
με
τοῦ
ὁ
ὅς
λε
καὶ
καί
ι
ι
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλει
βούλομαι
.
.
τῶν
ὁ
δὲ
δέ
ἑπταγώνων
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
τρόπος
τρόπος
τροπός
·
·
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ζ
σύστημα
σύστημα
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
α
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιη
τοῦ
ὁ
ὅς
ιε
καὶ
καί
γ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
λδ
τοῦ
ὁ
ὅς
κη
κη
καὶ
καί
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
ἀκολούθως
ἀκόλουθος
,
,
ἵνα
ἵνα
ἕκαστος
ἕκαστος
πολύγωνος
σύστημα
σύστημα
τοῦ
ὁ
τε
τε
ὑπὲρ
ὑπέρ
αὐτὸν
αὐτός
ὁμοταγοῦς
μονάδι
μονάς
ἐλάττονος
ἐλάσσων
ὁμογωνίου
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἀνωτάτου
ἀνώτατος
τριγώνου
τοῦ
ὁ
μονάδι
μονάς
ἐλάττονος
ἐλάσσων
ὁμοταγοῦς
παῤ
ἓν
κειμένου
.
.
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
ἄρα
ἄρα
στοιχεῖον
πολυγώνων
τὸ
ὁ
τρίγωνον
τρίγωνος
καὶ
καί
ἐν
ἐν
γραμμαῖς
γραμμή
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἀριθμοῖς
·
·
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
κατὰ
κατά
βάθος
βάθος
καὶ
καί
κατὰ
κατά
πλάτος
πλάτος
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
διαγράμματι
διάγραμμα
εὑρίσκονται
εὑρίσκω
οἱ
ὁ
συνεχεῖς
συνεχής
αἰεὶ
ἀεί
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
κατὰ
κατά
τοὺς
ὁ
στίχους
στίχος
αὐτούς
αὐτός
ἔχοντες
ἔχω
διαφορὰς
διαφορά
τοὺς
ὁ
εὐτάκτους
εὔτακτος
τριγώνους
.
.
ιγ
.
.
Ἐντεῦθεν
ἐντεῦθεν
ἤδη
ἤδη
ῥᾴδιον
συνιδεῖν
συνοράω
εἶδον
,
,
τίς
τις
τε
τε
ὁ
ὁ
στερεὸς
στερεός
ἀριθμὸς
ἀριθμός
καὶ
καί
πῶς
πῶς
πως
ἰσοπλεύρως
ὁ
ὁ
τοιοῦτος
τοιοῦτος
προκόπτει
προκόπτω
·
·
ὁ
ὁ
γὰρ
γάρ
πρὸς
πρός
τοῖς
ὁ
δυσὶ
διαστήμασι
διάστημα
τοῖς
ὁ
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ἐπιπέδῳ
σχηματογραφίᾳ
θεωρουμένοις
θεωρέω
ἐπὶ
ἐπί
μῆκος
μῆκος
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
πλάτος
πλάτος
τρίτον
τρίτος
διάστημα
διάστημα
προςειληφώς
,
,
ὅ
ὅς
τινες
τις
μὲν
μέν
βάθος
βάθος
,
,
τινὲς
δὲ
δέ
πάχος
πάχος
καλοῦσιν
καλέω
,
,
ἔνιοι
ἔνιοι
δὲ
δέ
ὕψος
ὕψος
,
,
ἐκεῖνος
ἐκεῖνος
ἂν
ἄν
εἴη
εἰμί
στερεὸς
στερεός
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ὁ
ὁ
τριχῆ
διαστατὸς
καὶ
καί
ἔχων
ἔχω
ἐν
ἐν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
μῆκος
μῆκος
,
,
βάθος
βάθος
,
,
πλάτος
πλάτος
.
.
Πρώτιστα
δὲ
δέ
οὗτος
οὗτος
φαντάζεται
φαντάζω
φαντάζομαι
ἐν
ἐν
ταῖς
ὁ
λεγομέναις
λέγω
πυραμίσιν
πυραμίς
.
.
αὗται
οὗτος
δὲ
δέ
γίνονται
γίγνομαι
ἐκ
ἐκ
πλατυτέρων
βάσεων
βάσις
μειουριζόμεναι
εἰς
εἰς
ὀξεῖαν
ὀξύς2
ὀξύς
κορυφήν
κορυφή
,
,
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
κατὰ
κατά
τριγωνισμὸν
ἀπὸ
ἀπό
τριγώνου
τρίγωνος
βάσεως
βάσις
,
,
δεύτερον
δεύτερος
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τετραγωνισμὸν
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
,
,
ἑξῆς
ἑξῆς
δὲ
δέ
τούτοις
οὗτος
κατὰ
κατά
πενταγωνισμὸν
ἀπὸ
ἀπό
πενταγώνου
πεντάγωνος
βάσεως
βάσις
,
,
εἶτα
ἀνάλογον
ἀπὸ
ἀπό
ἑξαγώνου
καὶ
καί
ἑπταγώνου
καὶ
καί
ὀκταγώνου
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
.
.
καθάπερ
καθά
ἀμέλει
ἀμέλει
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
γεωμετρικοῖς
στερεοῖς
στερεός
σχήμασιν
σχῆμα
ἀπὸ
ἀπό
τριγώνου
ἰσοπλεύρου
ἰσόπλευρος
ἐάν
ἐάν
τις
τις
εὐθείας
εὐθεῖα
ἐννοήσῃ
ἐννοέω
τρεῖς
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
γωνιῶν
γωνία
τῷ
τῷ
μήκει
μῆκος
ἴσας
ἴσος
ταῖς
ὁ
τοῦ
ὁ
τριγώνου
πλευραῖς
πλευρά
καθʼ
κατά
ὕψος
ὕψος
συννευούσας
συννεύω
εἰς
εἰς
ἓν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
σημεῖον
σημεῖον
,
,
πυραμὶς
ἂν
ἄν
ἀποτελεσθείη
ὑπὸ
ὑπό
τεσσάρων
περιεχομένη
περιέχω
τριγώνων
ἰσοπλεύρων
τε
τε
καὶ
καί
ἴσων
ἴσος
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
,
,
ἑνὸς
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
τριγώνου
τρίγωνος
,
,
τριῶν
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
περιγραφέντων
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
λεχθεισῶν
λέγω
τριῶν
εὐθειῶν
εὐθεῖα
.
.
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
ἐπιπέδου
ἐάν
ἐάν
τις
τις
τέσσαρας
τέσσαρες
εὐθείας
εὐθύς
λογίσηται
λογίζομαι
τῷ
τῷ
μήκει
μῆκος
ἴσας
ἴσος
ταῖς
ὁ
τοῦ
ὁ
τετραγώνου
τετράγωνος
πλευραῖς
πλευρά
ἑκάστην
ἕκαστος
ἑκάστῃ
ἕκαστος
πάλιν
πάλιν
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
ὕφος
ὕφος
συννευούσας
συννεύω
εἰς
εἰς
ἓν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
σημεῖον
σημεῖον
,
,
πυραμὶς
ἂν
ἐάν
ἀποτελεσθείη
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
τετραγωνικῶς
μειουριζομένη
,
,
περιεχομένη
περιέχω
δὲ
δέ
ὑπὸ
ὑπό
τεσσάρων
μὲν
μέν
τριγώνων
ἰσοπλεύρων
,
,
ἑνὸς
δὲ
δέ
τετραγώνου
τετράγωνος
τοῦ
ὁ
ὅς
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
.
.
καὶ
καί
ἀπὸ
ἀπό
πενταγώνου
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἑξαγώνου
καὶ
καί
ἑπταγώνου
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
βούλεταί
τις
τις
προχωρεῖν
προχωρέω
,
,
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
εὐθεῖαι
εὐθύς
ἰσάριθμοι
ἰσάριθμος
ταῖς
ὁ
γωνίαις
γωνία
ἀπʼ
ἀπό
αὐτῶν
αὐτός
τῶν
ὁ
γωνιῶν
γωνία
ἀνεγειρόμεναι
καὶ
καί
εἰς
εἰς
ἓν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ὅς
αὐτὸ
αὐτός
συννεύουσαι
σημεῖον
σημεῖον
πυραμίδα
πυραμίς
ἀποκορυφοῦσιν
ἀποκορυφόω
ὀνομαζομένην
ὀνομάζω
ἀπὸ
ἀπό
πενταγώνου
πεντάγωνος
βάσεως
βάσις
ἢ
τίη
ἑξαγώνου
ἑξάγωνος
ἢ
ἤ
ἑπταγώνου
ἢ
ἤ
ἀνάλογον
ἀνάλογος
.
.
οὕτω
οὕτως
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἀριθμοῖς
ἀριθμός
ἀπὸ
ἀπό
μὲν
μέν
μονάδος
μονάς
ὡς
ὡς
ὡς
ἀπὸ
ἀπό
σημείου
πᾶς
πᾶς
γραμμικὸς
ηὐξήθη
αὐξάνω
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
β
γ
,
,
δ
,
,
ε
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
ἐπʼ
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
·
·
ἀπʼ
αὐτῶν
αὐτός
δὲ
δέ
τούτων
οὗτος
γραμμικῶν
ὄντων
εἰμί
καὶ
καί
ἐφ’
ἐπί
ἓν
διαστατῶν
πως
πως
πῶς
συντεθέντων
συντίθημι
καὶ
καί
οὐχ
οὐ
ὡς
ὡς
ἔτυχεν
τυγχάνω
οἱ
ὁ
πολύγωνοι
καὶ
καί
ἐπίπεδοι
ἀριθμοὶ
πλάσσονται
,
,
τρίγωνοι
τρίγωνος
μὲν
μέν
παρὰ
παρά
μηδένα
συντεθέντων
συντίθημι
τῶν
ὁ
γνωμόνων
γνώμων
,
,
τετράγωνοι
τετράγωνος
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
ἕνα
,
,
πεντάγωνοι
δὲ
δέ
παρὰ
παρά
δύο
γε
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
.
.
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
δὴ
δή
τρόπον
τρόπος
τροπός
καὶ
καί
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
τῶν
ὁ
ἐπιπέδων
ἐπίπεδος
πολυγώνων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
ἐπισωρευομένων
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
καὶ
καί
ὡςανεὶ
ἐποικοδομουμένων
αἱ
ὁ
ὁμογενεῖς
ὁμογενής
ἑκάστῳ
ἕκαστος
πυραμίδες
πυραμίς
γεννῶνται
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἀπὸ
ἀπό
τριγώνου
τρίγωνος
βάσεως
βάσις
ἀπʼ
ἀπό
αὐτῶν
αὐτός
τῶν
ὁ
τριγώνων
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
ἀπʼ
ἀπό
αὐτῶν
αὐτός
τῶν
ὁ
τετραγώνων
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
ἀπὸ
ἀπό
πενταγώνου
πεντάγωνος
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
πενταγώνων
καὶ
καί
ἡ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
ἑξαγώνου
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
ἑξαγώνων
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
δι’
διά
ὅλου
.
.
εἰσὶν
εἰμί
οὖν
οὖν
αἱ
ὁ
μὲν
μέν
ἀπὸ
ἀπό
τριγώνου
τρίγωνος
βάσεως
βάσις
εὔτακτοι
εὔτακτος
αὗται
οὗτος
α
,
,
δ
δ
,
,
ι
ι
,
,
κ
κ
,
,
λε
,
,
νϚ
,
,
πδ
πδ
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
ἡ
ὁ
γένεσις
γένεσις
αὐτοὶ
αὐτός
οἱ
ὁ
τρίγωνοι
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ἐπισωρευόμενοι
,
,
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
ὁ
ὁ
α
,
,
εἶτα
εἶτα
ὁ
ὁ
αγ
,
,
P
P
εἶτα
εἶτα
ὁ
ὁ
αγϚ
,
,
εῖτα
πρὸς
πρός
τούτοις
οὗτος
ὁ
ὁ
ι
ι
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
σύν
σύν
τοῖς
ὁ
πρόσθεν
πρόσθεν
ὁ
ὁ
ιε
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
ὁ
ὁ
κα
καὶ
καί
ἐξῆς
ὁ
ὁ
κη
καὶ
καί
ἐπʼ
ἄπειρον
ἤπειρος
.
.
δῆλον
δῆλος
δέ
δέ
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
τῶν
ὁ
ἀριθμῶν
ἀριθμός
κατώτατος
νοεῖται
,
,
αὐτὸς
αὐτός
γὰρ
γάρ
βάσις
βάσις
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
εὐθύς
εὐθύς
μετ’
μετά
αὐτὸν
αὐτός
ὑπὲρ
ὑπέρ
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μετ’
μετά
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
ὑπὲρ
ὑπέρ
τοῦτον
οὗτος
,
,
ἕως
ἕως
ἄν
ἄν
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
ἐπὶ
ἐπί
τῇ
ὁ
κορυφῇ
κορυφή
φανῇ
φαίνω
καὶ
καί
ὡςανεὶ
εἰς
εἰς
σημεῖον
σημεῖον
ἀπομειουρίσῃ
τὴν
ὁ
τελείωσιν
τελείωσις
τῆς
ὁ
πυραμίδος
πυραμίς
.
.
ιδ
.
.
Αἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἐξῆς
πυραμίδες
πυραμίς
εἰσὶν
εἰμί
αἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
ὁμοιοσχημόνως
ὁμοιοσχήμων
ἀνιστάμεναι
ἀνίστημι
ἐφʼ
ἓν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
σημεῖον
σημεῖον
·
·
αὗται
οὗτος
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
πλάσσονται
ταῖς
ὁ
προλεχθείσαις
τριγωνικαῖς
·
·
τούς
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
εὐτάκτους
εὔτακτος
τετραγώνους
τετράγωνος
στοιχηδὸν
στοιχηδόν
ἐκθέμενος
α
,
,
δ
δ
,
,
θ
θ
,
,
ιϚ
,
,
κε
ἄν
,
,
λϚ
,
,
μθ
,
,
ξδ
,
,
πα
,
,
ρ
ρ
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
πάλιν
πάλιν
σωρηδὸν
σωρηδόν
ἐπιτίθημι
ἐπιτίθημι
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
κατὰ
κατά
βάθος
βάθος
αὐτούς
αὐτός
,
,
τὸν
ὁ
α
ἐπάνω
ἐπάνω
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
,
,
καὶ
καί
γίνεται
γίγνομαι
πυραμὶς
πυραμίς
ἡ
ὁ
ε
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
πρώτη
πρῶτος
πρότερος
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
,
,
δυνάμει
δύναμις
γὰρ
γάρ
πρώτη
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
ἐνταῦθα
ἐνταῦθα
ἡ
ὁ
μονάς
μονή
.
.
πάλιν
πάλιν
δ᾿
αὐτὴν
αὐτός
ταύτην
οὗτος
,
,
ὡς
ὡς
ἔχει
ἔχω
,
,
τὴν
ὁ
πυραμίδα
πυραμίς
τὴν
ὁ
ἐκ
ἐκ
πέντε
πέντε
μονάδων
μονάς
ἐπιτίθημι
ἐπιτίθημι
ὅλην
ὅλος
ὅλοξ
τῷ
τῷ
θ
θ
τετραγώνῳ
τετράγωνος
καὶ
καί
συνίσταταί
μοι
ἡ
ὁ
ιδ
πυραμὶς
πυραμίς
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
πλευρὰν
πλευρά
ἔχουσα
ἔχω
πάντοθι
πάντοθι
τριάδα
τριάς
,
,
τῆς
ὁ
προτέρας
πρότερος
δυάδα
δυάς
ἐχούσης
ἔχω
τῆς
ὁ
ε
,
,
τῆς
ὁ
δὲ
δέ
δυνάμει
δύναμις
πρωτίστης
μονάδα
·
·
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
ἐνθάδε
ἐνθάδε
τοσούτων
τοσοῦτος
ἑκάστην
ἕκαστος
πλευρὰν
πλευρά
ἡςτινοςοῦν
πυραμίδος
πυραμίς
μονάδων
μονάς
εἶναι
εἰμί
,
,
ὅσοιπέρ
εἰσι
εἰμί
τὸν
ὁ
ἀριθμὸν
ἀριθμός
οἱ
ἕ
εἰς
εἰς
σύστασιν
σύστασις
αὐτῆς
αὐτός
συσσωρευθέντες
πολύγωνοι
.
.
πάλιν
πάλιν
γὰρ
γάρ
τὴν
ὁ
ιδ
πυραμίδα
πυραμίς
συνόλην
βάσιν
βάσις
ἔχουσαν
ἔχω
τὸν
ὁ
θ
θ
τετράγωνον
τετράγωνος
ἐπιτίθημι
ἐπιτίθημι
τῷ
τῷ
ιϚ
τετραγώνῳ
τετράγωνος
καὶ
καί
ἀποτελεῖταί
μοι
ἐγώ
ἡ
ὁ
λ
πυραμὶς
πυραμίς
τρίτη
τρίτος
κατ’
κατά
ἐνέργειαν
ἐνέργεια
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τετραγώνου
τετράγωνος
βάσεως
βάσις
οὖσα
εἰμί
·
·
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
δ᾿
αὐτῇ
αὐτός
τάξει
τάξις
καὶ
καί
ἀγωγῇ
ἀγωγή
καὶ
καί
ἀπὸ
ἀπό
πενταγώνου
πεντάγωνος
βάσεως
βάσις
καὶ
καί
ἀπὸ
ἀπό
ἑξαγώνου
καὶ
καί
ἑπταγώνου
βάσεως
βάσις
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
πλεῖον
πλέως
ἀεὶ
ἀεί
προχωροῦντες
πυραμίδας
πυραμίς
συστησόμεθα
τούς
ὁ
ἀναλογοῦντας
ἑκάστῃ
ἕκαστος
πολυγώνους
πολύγωνος
ἐπισωρεύοντες
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἀρχόμενοι
ἄρχω
ὡς
ὡς
ἀπὸ
ἀπό
ἐλαχίστου
καὶ
καί
προχωροῦντες
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
καθ’
κατά
ἑκάστην
ἕκαστος
.
.
καὶ
καί
ἐκ
ἐκ
τούτου
οὗτος
δῆλον
δῆλος
γίνεται
γίγνομαι
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
στοιχειωδέστερα
τὰ
ὁ
τρίγωνα
τρίγωνος
·
·
πᾶσαι
πᾶς
γὰρ
γάρ
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
αἱ
ὁ
δεικνύμεναι
καὶ
καί
φαινόμεναι
φαίνω
πυραμίδες
πυραμίς
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
καθ’
κατά
ἑκάστην
ἕκαστος
πολυγώνων
πολύγωνος
βάσεων
βάσις
τριγώνοις
τρίγωνος
μέχρι
μέχρι
κορυφῆς
κορυφή
περιέχονται
περιέχω
.
.
Ἵνα
ἵνα
δὲ
δέ
μὴ
μή
ἀνήκοοι
ἀνήκοος
ὦμεν
κολούρων
καὶ
καί
δικολούρων
καὶ
καί
τρικολούρων
πυραμίδων
πυραμίς
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
τοῖς
ὁ
ὀνόμασιν
ὄνομα
ἐντευξόμεθα
ἐντυγχάνω
ἐν
ἐν
συγγράμμασι
σύγγραμμα
μάλιστα
μάλιστα
τοῖς
ὁ
θεωρηματικοῖς
,
,
ἰστέον
οἶδα
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
,
,
ἐὰν
ἐάν
πυραμὶς
πυραμίς
ἀφ’
ἀπό
ἡςτινοςοῦν
βάσεως
βάσις
,
,
τουτέστιν
ὁντιναοῦν
πολύγωνον
πολύγωνος
ἔχουσα
ἔχω
βάσιν
βάσις
εἴτε
εἴτε
τρίγωνον
τρίγωνος
εἴτε
εἴτε
τετράγωνον
εἴτε
εἴτε
πεντάγωνον
εἴτε
εἴτε
τῶν
ὁ
ἐξῆς
τινα
τις
τῶν
ὁ
ὁμογενῶν
ὁμογενής
πολυγώνων
,
,
κατὰ
κατά
σωρείαν
αὐξηθεῖσα
αὐξάνω
μὴ
μή
ἐπὶ
ἐπί
μονάδα
μονάς
μειουρισθῇ
,
,
κόλουρος
ἀπλῶς
λέγεται
λέγω
ἐστερημένη
στερέω
τῆς
ὁ
φυσικῆς
φυσικός
καὶ
καί
πᾶσιν
πᾶς
ἐπιβαλλούσης
κορυφώσεως
·
·
οὐ
οὐ
γὰρ
γάρ
εἰς
εἰς
τὸν
ὁ
δυνάμει
δύναμις
πολύγωνον
πολύγωνος
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
τελευτᾷ
τελευτάω
αὕτη
οὗτος
ὡς
ὡς
εἰς
εἰς
ἕν
τι
σημεῖον
σημεῖον
,
,
ἀλλ᾿
εἰς
εἰς
ἕτερον
ἕτερος
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
,
,
καὶ
καί
οὐκέτι
οὐκέτι
μονὰς
μονή
κορυφή
,
,
ἀλλ᾿
ἐπίπεδον
αὐτῇ
αὐτός
τὸ
ὁ
πέρας
πέρας
γίνεται
γίγνομαι
ἰσογώνιον
ἰσογώνιος
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
βάσει
βάσις
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
μὴ
μή
εἰς
εἰς
μονάδα
μονάς
τελευτᾶν
τελευτάω
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
μὴ
μή
εἰς
εἰς
τὸν
ὁ
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
ἐνεργεία
ἐνέργεια
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
τελευτήσῃ
τελευτάω
,
,
δικόλουρος
λέγεται
λέγω
ἡ
ὁ
τοιαύτη
τοιοῦτος
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἔτι
ἔτι
μὴ
μή
ἔχῃ
ἔχω
τὸν
ὁ
ὅς
ἐνεργείᾳ
ἐνέργεια
δεύτερον
δεύτερος
πολύγωνον
πολύγωνος
ἐπὶ
ἐπί
τῷ
τῷ
συμπεράσματι
συμπέρασμα
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
μόνον
μόνος
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτόν
αὐτός
,
,
τρικόλουρος
κεκλήσεται
καὶ
καί
τετρακόλουρός
γε
γε
,
,
ἂν
ἐάν
καὶ
καί
τὸν
ὁ
μετ’
μετά
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
μὴ
μή
ἔχῃ
ἔχω
,
,
καὶ
καί
πεντακόλουρος
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
μέχρι
μέχρι
βούλει
βούλομαι
παρεκτείνειν
παρεκτείνω
τὸ
ὁ
ὄνομα
ὄνομα
.
.
ιε
.
.
Καὶ
καί
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
τῶν
ὁ
ἰσοπλεύρων
ἰσόπλευρος
στερεῶν
ἀριθμῶν
ἀριθμός
πυραμοειδῶν
γένεσις
γένεσις
καὶ
καί
προκοπὴ
προκοπή
καὶ
καί
ἐπαύξησις
ἐπαύξησις
καὶ
καί
φύσις
φύσις
τοιαύτη
τοιοῦτος
σπέρμα
σπέρμα
καὶ
καί
ῥίζαν
ῥίζα
ἔχουσα
ἔχω
τούς
ὁ
πολυγώνους
αὐτούς
αὐτός
καὶ
καί
τὴν
ὁ
ἐκείνων
ἐκεῖνος
εὔτακτον
εὔτακτος
ἐπισωρείαν
,
,
ἑτέρα
ἕτερος
δέ
δέ
τις
τις
στερεῶν
ἑτερογενῶν
ἑτερογενής
εὐταξία
εὐταξία
ἐστὶ
εἰμί
τῶν
ὁ
λεγομένων
λέγω
κύβων
,
,
δοκίδων
,
,
πλινθίδων
πλινθίς
,
,
σφηνίσκων
,
,
σφαιρικῶν
,
,
παραλληλεπιπέδων
,
,
τήν
ὁ
ὅς
τῆς
ὁ
προβάσεως
πρόβασις
τάξιν
τάξις
ἔχουσα
ἔχω
τοιαύτην
τοιοῦτος
τινά
τις
.
.
οἱ
ὁ
προφρασθέντες
τετράγωνοι
τετράγωνος
α
,
,
δ
δ
,
,
θ
θ
,
,
ιϚ
,
,
κε
ἄν
,
,
λϚ
μθ
,
,
ξδ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
διχῆ
διχῆ
ὄντες
εἰμί
διαστατοὶ
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ἐπιπέδῳ
σχηματογραφίᾳ
μῆκος
μῆκος
καὶ
καί
πλάτος
πλάτος
μόνον
μόνος
ἔχοντες
ἔχω
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
τρίτον
τρίτος
προςλήψονται
διάστημα
διάστημα
καὶ
καί
ἔσονται
εἰμί
στερεοὶ
καὶ
καί
τριχῆ
διαστατοί
,
,
ἐὰν
ἐάν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἰδίᾳ
ἴδιος
πλευρᾷ
πλευρά
ἕκαστος
ἕκαστος
πολλαπλασιασθῇ
,
,
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
δ
δὶς
δίς
β
ὢν
εἰμί
πάλιν
πάλιν
δὶς
δίς
γενόμενος
γίγνομαι
,
,
ἵνα
ἵνα
ὀγδοὰς
ἀποτελεσθῇ
ἀποτελέω
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
θ
θ
τρὶς
τρίς
γ
ὤν
εἰμί
πάλιν
πάλιν
τριάδι
τριάς
ἐπ’
ἐπί
ἄλλο
ἄλλος
διάστημα
διάστημα
αὐξηθῇ
αὐξάνω
καὶ
καί
γένηται
γίγνομαι
ὁ
ὁ
κζ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιϚ
τετράκις
τετράκις
δ
δ
ὑπάρχων
ὑπάρχω
πάλιν
πάλιν
τετράδι
τετράς
τῇ
ὁ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
πλευρᾷ
πλευρά
μεγεθυνθῇ
καὶ
καί
γένηται
γίγνομαι
ὁ
ὁ
ξδ
,
,
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑξῆς
ἑξῆς
παραπλησίως
παραπλήσιος
μέχρι
μέχρι
παντός
.
.
τοσούτων
τοσοῦτος
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἐνθάδε
ἐνθάδε
μονάδων
αἱ
ὁ
πλευραὶ
πλευρά
ἔσονται
εἰμί
,
,
ὅσωνπερ
ἧσαν
καὶ
καί
αἱ
ὁ
τῶν
ὁ
τετραγώνων
,
,
ἀφ’
ἀπό
ὧν
ὅς
ὅς2
ἐγένοντο
γίγνομαι
,
,
ἕκαστος
ἕκαστος
ἀφ’
ἀπό
ἑκάστου
ἕκαστος
,
,
αἱ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ὅς
η
δυάδων
δυάς
,
,
ὅσων
ὅσος
καὶ
καί
αἱ
ὁ
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
δ
,
,
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
κζ
τριάδων
τριάς
,
,
ὅσων
ὅσος
καὶ
καί
αἱ
ὁ
τοῦ
ὁ
ὅς
θ
θ
,
,
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ξδ
τετράδων
τετράς
,
,
ὅσων
ὅσος
καὶ
καί
αἱ
ὁ
τοῦ
ὁ
ὅς
ιϚ
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
ὥςτε
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τῆς
ὁ
δυνάμει
δύναμις
κύβου
κύβας
κύβης
κύβος
μονάδος
μονάς
πλευρὰ
πλευρόν
μονὰς
μονή
ἔσται
πανταχόθι
πανταχοῦ
,
,
ὅσηπερ
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τῆς
ὁ
δυνάμει
δύναμις
τετραγώνου
τετράγωνος
μονάδος
μονάς
.
.
καθόλου
καθόλου
δὲ
δέ
ἕκαστος
ἕκαστος
τετράγωνος
τετράγωνος
ἓν
μὲν
μέν
ἐπίπεδόν
ἐπίπεδος
ἐστι
εἰμί
,
,
γωνίας
γωνία
δὲ
δέ
ἔχει
ἔχω
τέσσαρας
τέσσαρες
καὶ
καί
πλευρὰς
πλευρά
τέσσαρας
τέσσαρες
,
,
ἕκαστος
ἕκαστος
δὲ
δέ
κύβος
κύβος
ηὐξημένος
αὐξάνω
ὢν
εἰμί
ἐξ
ἐκ
ἑκάστου
ἕκαστος
τετραγώνου
τετράγωνος
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἰδίᾳ
ἴδιος
πλευρᾷ
πλευρά
πολυπλασιασθέντος
ἐπίπεδα
μὲν
μέν
ἕξει
ἔχω
πάντως
πᾶς
πάντως
ἔξ
ἐκ
ἐξ
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
ἕκαστον
ἕκαστος
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
προγόνῳ
πρόγονος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τετραγώνῳ
,
,
πλευρὰς
πλευρά
δὲ
δέ
δώδεκα
δώδεκα
,
,
ὦν
ἑκάστῃ
ἕκαστος
ἴση
ἴσος
καὶ
καί
μο
νάδων
γε
γε
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
προγόνου
πρόγονος
τετραγώνου
τετράγωνος
πλευρᾷ
πλευρά
,
,
γωνίας
γωνία
δὲ
δέ
ὀκτώ
ὀκτώ
στερεάς
στερεός
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
ἑκάστη
ἕκαστος
περιέχεται
περιέχω
ὑπὸ
ὑπό
τριῶν
πλευρῶν
,
,
οἵα
οἷος
ἐστὶν
εἰμί
ἑκάστη
ἕκαστος
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
προγόνῳ
τετραγώνῳ
τετράγωνος
.
.
ιϚ
.
.
Ἐπειδὴ
οὖν
οὖν
πάντη
πᾶς
πάντῃ
ἰσόπλευρον
ἐπὶ
ἐπί
μῆκος
μῆκος
καὶ
καί
βάθος
βάθος
καὶ
καί
πλάτος
πλάτος
σχῆμα
σχῆμα
στερεὸν
στερεός
ὑπάρχει
ὑπάρχω
ὁ
ὁ
κύβος
κύβος
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τὰς
ὁ
λεγομένας
λέγω
ἓξ
περιστάσεις
περίστασις
ἰσοδιάστατον
,
,
ἀκόλουθον
ἄρα
ἄρα
ἐστίν
εἰμί
,
,
ἀντικεῖσθαι
ἀντίκειμαι
αὐτῷ
αὐτός
τὸ
ὁ
μηδαμῆ
μηδαμῆ
ἴσας
ἴσος
ἔχον
ἔχω
τὰς
ὁ
διαστάσεις
διάστασις
ἀλλήλαις
ἀλλήλων
,
,
ἀλλ᾿
ἄνισον
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
βάθους
βάθος
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
πλάτους
πλάτος
καὶ
καί
ἑκατέρᾳ
ἑκάτερος
τούτων
οὗτος
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μήκους
,
,
οἷον
οἷος
δὶς
δίς
τρὶς
τρίς
τετράκις
τετράκις
ἢ
τίη
δὶς
δίς
τετράκις
τετράκις
ὀκτάκις
ὀκτάκις
ἢ
τίη
τρὶς
τρίς
πεντάκις
πεντάκις
δωδεκάκις
δωδεκάκις
ἢ
τίη
κατά
κατά
τινα
τις
ἄλλην
ἄλλος
ἀνισότητα
ἀνισότης
τοιαύτην
τοιοῦτος
.
.
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
τοιαῦτα
τοιοῦτος
στερεὰ
στερεός
σχήματα
σχῆμα
λέγεται
λέγω
σκαληνὰ
σκαληνός
ἁπλῶς
ἁπλόος
ἁπλῶς
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
πάντη
πᾶς
πάντῃ
τὰ
ὁ
διαστήματα
διάστημα
ἄνισα
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ἐστι
εἰμί
·
·
τινὲς
δὲ
δέ
αὐτὰ
αὐτός
πωλυνωύμως
σφηνίσκους
καλοῦσι
καλέω
,
,
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
σφῆνες
σφήν
ἀνισόπλευροι
πανταχῆ
τεκτονικοί
τε
τε
καὶ
καί
οἰκοδομικοὶ
καὶ
καί
χαλκευτικοὶ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
τεχνῶν
πλάσσονται
ἀπὸ
ἀπό
ὀξυτέρου
ἄκρου
διαδύνειν
ἀρχόμενοι
ἄρχω
καὶ
καί
αἰεὶ
ἀεί
μᾶλλον
μᾶλλον
πλατυνόμενοι
πλατύνω
ἀνομοίως
ἀνόμοιος
κατὰ
κατά
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
διαστήματα
διάστημα
·
·
τινὲς
δὲ
δέ
τούς
ὁ
ὅς
αὐτούς
αὐτός
σφηκίσκους
καλοῦσι
καλέω
,
,
τοιοῦτος
τοιοῦτος
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τῶν
ὁ
σφηκῶν
σφήξ
μάλιστα
μάλιστα
ἄγκος
ἀποσφιγγόμενος
κατὰ
κατά
μέσον
μέσος
καὶ
καί
τὴν
ὁ
λεχθεῖσαν
λέγω
ὁμοιότητα
ὁμοιότης
ἐμφαίνων
ἐμφαίνω
·
·
παρὰ
παρά
τοῦτο
οὗτος
εἰκὸς
ἔοικα
καὶ
καί
τὸ
ὁ
σφήκωμα
σφήκωμα
ὠνομάσθαι
ὀνομάζω
,
,
ἔνθα
ἔνθα
ἔνθα
γὰρ
γάρ
ἂν
ἄν
ἀποσφίγξῃ
,
,
τὴν
ὁ
τού
σφηκὸς
σφηκός
ἐντομὴν
ἐντομή
μιμεῖται
μιμέομαι
·
·
ἕτεροι
ἕτερος
δὲ
δέ
τούς
ὁ
ὅς
αὐτούς
αὐτός
βωμίσκους
προςαγορεύουσιν
ἀπὸ
ἀπό
οἰκείας
οἰκεῖος
εἰκόνος
εἰκών
,
,
οἱ
ὁ
γὰρ
γάρ
παλαιότροποι
βωμοί
βωμός
,
,
μάλιστα
μάλιστα
δὲ
δέ
ἰωνικοί
,
,
οὔτε
οὔτε
τὸ
ὁ
πλάτος
πλάτος
τῷ
τῷ
βάθει
βάθος
οὔτε
οὔτε
συναμφότερα
τῴ
μήκει
μῆκος
ἶσα
ἴσος
ἔχουσιν
ἔχω
οὕτε
τὴν
ὁ
βάσιν
βάσις
τῇ
ὁ
κορυφῇ
κορυφή
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
πάντη
πᾶς
πάντῃ
εἰσὶν
εἰμί
ἐξηλλαγμένοι
ταῖς
ὁ
διαστάσεσιν
διάστασις
.
.
ὡς
ὡς
οὖν
οὖν
ἀκροτήτων
δύο
γε
κύβου
κύβας
κύβης
κύβος
τε
τε
καὶ
καί
σκαληνοῦ
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
κατ’
κατά
ἰσότητα
ἰσότης
διεστῶτος
διΐστημι
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
κατ’
κατά
ἀνισότητα
ἀνισότης
πάντη
πᾶς
πάντῃ
,
,
μέσοι
εἰσὶ
εἰμί
στερεοὶ
ἀριθμοὶ
οἱ
ὁ
λεγόμενοι
λέγω
παραλληλεπίπεδοι
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ἐπίπεδα
ἑτερομήκεις
ὑπάρχουσιν
ὑπάρχω
ἀριθμοί
ἀριθμός
,
,
ὥςπερρ
καὶ
καί
τῶν
ὁ
κύβων
κύβος
αὐτῶν
αὐτός
τετράγωνοι
τετράγωνος
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
ἦσαν
εἰμί
τὰ
ὁ
ἐπίπεδα
,
,
ὡς
ὡς
ἐδείχθη
δείκνυμι
.
.
ιζ
.
.
Πάλιν
πάλιν
οὖν
οὖν
ἄνωθεν
ἄνωθεν
ἑτερομήκης
ἑτερομήκης
ἀριθμὸς
ἀριθμός
λέγεται
λέγω
,
,
οὐ
οὐ
ἐπιπέδως
ἐπίπεδος
σχηματογραφηθέντος
τετράπλευρος
μὲν
μέν
καὶ
καί
τετραγώνιος
γίνεται
γίγνομαι
ἡ
ὁ
καταγραφή
καταγραφή
,
,
οὐ
οὐ
μὴν
μήν
ἴσαι
ἀλλήλαις
ἀλλήλων
αἱ
ὁ
πλευραὶ
πλευρά
οὐδὲ
οὐδέ
τὸ
ὁ
μῆκος
μῆκος
τῷ
τῷ
πλάτει
ἶσον
ἴσος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
παρὰ
παρά
μονάδα
μονάς
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
β
,
,
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
ὁ
ὁ
ιβ
,
,
ὁ
ὁ
κ
κ
,
,
ὁ
ὁ
λ
,
,
ὁ
ὁ
μβ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐξῆς
·
·
ἂν
ἄν
γὰρ
γάρ
αὐτούς
αὐτός
ἐπιπέδως
ἐπίπεδος
διαγράφῃ
τις
τις
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
οὕτω
οὕτως
ποιήσει
ποιέω
·
·
ἅπαξ
ἅπαξ
β
β
,
,
δὶς
δίς
γ
Ϛ
Ϛ
,
,
τρὶς
τρίς
δ
δ
ιβ
καὶ
καί
τοὺς
ὁ
ὅς
ἐξῆς
ἀναλόγως
ἀνάλογος
·
·
τετράκις
τετράκις
ε
,
,
πεντάκις
πεντάκις
ς
,
,
ἑξάκις
ἑξάκις
ζ
ζ
,
,
ἑπτάκις
ἑπτάκις
η
καὶ
καί
ἐπ’
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
,
,
μόνον
μόνος
ἵνα
ἵνα
μονάδι
μονάς
μείζων
μέγας
ἡ
ὁ
ἑτέρα
ἕτερος
πλευρὰ
πλευρόν
τῆς
ὁ
λοιπῆς
ᾖ
εἰμί
,
,
ἄλλῳ
ἄλλος
δὲ
δέ
μηδενὶ
μηδείς
ἀριθμῷ
ἀριθμός
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
ἄλλως
ἄλλος
ἄλλως
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
διαφέρωσιν
ἀλλήλων
ἀλλήλων
αἱ
ὁ
πλευραὶ
πλευρά
,
,
οἷον
οἷος
δυάδι
δυάς
,
,
τριάδι
τριάς
,
,
τετράδι
τετράς
ἢ
ἤ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
ὡς
ὡς
τὰ
ὁ
δὶς
δίς
δ
ἢ
τίη
τρὶς
τρίς
Ϛ
Ϛ
ἢ
τίη
τετράκις
τετράκις
η
ἢ
ἤ
ὅπως
ὅπως
ὅπως
ποτὲ
ποτε
οὖν
οὖν
ἑτέρως
ἕτερος
ἑτέρως
,
,
οὐκέτι
οὐκέτι
κυρίως
κύριος
κυρίως
ὁ
ὁ
τοιοῦτος
τοιοῦτος
ἑτερομήκης
ἑτερομήκης
κληθήσεται
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
προμήκης
·
·
ἕτερον
ἕτερος
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
ἑτερότητα
ἑτερότης
οἱ
ὁ
παλαιοὶ
παλαιός
οἱ
ὁ
περί
περί
τε
τε
Πυθαγόραν
καὶ
καί
τούς
ὁ
ἐκείνου
ἐκεῖνος
διαδόχους
διάδοχος
πυθμενικῶς
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
δυάδιἐθεώρουν
,
,
ταυτὸν
δὲ
δέ
καὶ
καί
ταυτότητα
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
μονάδι
μονάς
,
,
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
δυσὶν
ἀρχαῖς
ἀρχή
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
·
·
εὑρίσκονται
εὑρίσκω
δὲ
δέ
αὗται
οὗτος
μονάδι
μονάς
μόνον
μόνος
ἀλλήλων
ἀλλήλων
διαφέρουσαι
διαφέρω
,
,
ὥςτε
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
σπερματικῶς
μονάδι
μονάς
ἕτερόν
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
οὐκ
οὐ
ἄλλῳ
ἄλλος
ἀριθμῷ
ἀριθμός
·
·
διόπερ
καὶ
καί
συνήθως
συνήθης
ἐπὶ
ἐπί
δυοῖν
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
οὐκ
οὐ
ἐπὶ
ἐπί
πλειόνων
πολύς
πλείων
τὸ
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
λέγεται
λέγω
παρὰ
παρά
τοῖς
ὁ
ὀρθῶς
ὀρθός
διαλεγομένοις
.
.
ἀλλὰ
ἀλλά
μὴν
μήν
καὶ
καί
μονάδι
μονάς
μὲν
μέν
εἰδοποιεῖσθαι
ἀπεδείχθη
ἀποδείκνυμι
ὁ
ὁ
περισσὸς
πᾶς
πᾶς
ἀριθμός
ἀριθμός
,
,
δυάδι
δυάς
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
ἄρτιος
ἄρτιος
πᾶς
πᾶς
Ὅθεν
ὅθεν
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
τὸν
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
περισσὸν
τῆς
ὁ
ταυτοῦ
φύσεως
φύσις
ἐροῦμεν
ἐρέω
μετέχειν
μετέχω
,
,
τὸν
ὁ
δὲ
δέ
ἄρτιον
ἄρτιος
τῆς
ὁ
θατέρου
,
,
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
δὴ
δή
καὶ
καί
κατὰ
κατά
σωρείαν
ἑκατέρου
ἑκάτερος
ἀποτελοῦνται
ἀποτελέω
φύσει
φύσις
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
οὐχ
οὐ
ἡμῶν
ἐγώ
θεμένων
,
,
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
μὲν
μέν
τοῦ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
περισσοῦ
ἐπ’
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἡ
ὁ
τετραγώνων
φύσις
φύσις
,
,
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἀρτίου
ἐπ’
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἑτερομηκῶν
.
.
πᾶσα
πᾶς
ἄρα
ἄρα
ἀνάγκη
ἀνάγκη
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
τετράγωνον
τετράγωνος
οἴεσθαι
οἴομαι
πάλιν
πάλιν
τῆς
ὁ
ταυτοῦ
φύσεως
φύσις
μετέχειν
μετέχω
·
·
τὸν
ὁ
γὰρ
γάρ
αὐτὸν
αὐτός
λόγον
λόγος
καὶ
καί
ὅμοιον
ὅμοιος
καὶ
καί
ἀπαράλλακτον
ἀπαράλλακτος
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἰσότητι
ἰσότης
κείμενον
αἱ
ὁ
πλευραὶ
πλευρά
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ἀποδεικνύουσι
ἀποδείκνυμι
πρὸς
πρός
ἑαυτάς
ἑαυτοῦ
,
,
τὸν
ὁ
δὲ
δέ
ἑτερομήκη
ἑτερομήκης
τῆς
ὁ
θατέρου
·
·
ὃν
ὅς
ὅς2
γὰρ
γάρ
μονὰς
μονή
πρὸς
πρός
δυάδα
δυάς
τρόπον
τρόπος
τροπός
παρήλλακται
μονάδι
μονάς
μόνῃ
μόνος
διαφέρουσα
διαφέρω
,
,
τοῦτον
οὗτος
καὶ
καί
παντὸς
πᾶς
ἑτερομήκους
αἱ
ὁ
πλευραὶ
πλευρά
πρὸς
πρός
ἀλλήλας
ἀλλήλων
διαλλάσσουσιν
,
,
ἡ
ὁ
ἑτέρα
ἕτερος
τῆς
ὁ
ἑρέρας
μονάδι
μόνον
μόνος
διαφέρουσα
διαφέρω
·
·
οἷον
οἷος
ἐκκειμένου
μοι
τοῦ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
συνεχοῦς
συνεχής
ἐξῆς
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἐκλεξάμενος
ἰδίᾳ
ἴδιος
μὲν
μέν
τούς
ὁ
ὅς
περισσούς
περισσός
τάσσω
ἐν
ἐν
ἑνὶ
στίχῳ
στίχος
,
,
ἰδία
ἴδιος
δὲ
δέ
τούς
ὁ
ἀρτίους
ἄρτιος
ἐν
ἐν
ἑτέρῳ
ἕτερος
,
,
καὶ
καί
γίνονταί
μοι
δύο
γε
στίχοι
στίχος
τοιοῦτοι
τοιοῦτος
·
·
α
,
,
γ
,
,
ε
,
,
ζ
ζ
,
,
θ
θ
,
,
ια
,
,
ιγ
,
,
ιε
,
,
ιζ
,
,
ιθ
ιθ
,
,
κα
,
,
κγ
,
,
κε
ἄν
,
,
κζ
·
·
β
,
,
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
η
,
,
ι
ι
,
,
ιβ
,
,
ιδ
,
,
ιϚ
,
,
ιη
,
,
κ
κ
,
,
κβ
,
,
κδ
,
,
κϚ
,
,
κη
.
.
ἀρχὴ
ἀρχή
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
τοῦ
ὁ
τῶν
ὁ
περισσῶν
περισσός
στίχου
στίχος
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
ὁμογενής
ὁμογενής
τε
τε
οὖσα
εἰμί
καὶ
καί
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ταυτοῦ
φύσιν
φύσις
ἔχουσα
ἔχω
·
·
διὸ
διό
οὔτε
οὔτε
ἐὰν
τε
τε
ἑαυτὴν
ἑαυτοῦ
πολυπλασιάσῃ
ἐπιπέδως
ἐπίπεδος
ἢ
τίη
στερεῶς
στερεός
,
,
ἑτεροιοῦται
ἑτεροιόω
οὔτε
οὔτε
ἄλλον
ἄλλος
ὁντιναοῦν
ἐξίστησι
ἐξίστημι
τοῦ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀρχῆς
ἀρχή
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τηρεῖ
τηρέω
αὐτὸν
αὐτός
ἐν
ἐν
ταυτῷ
·
·
τὸ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τοιοῦτον
περὶ
περί
ἄλλον
ἄλλος
ἀριθμὸν
ἀριθμός
εὑρεῖν
εὑρίσκω
ἀδύνατον
ἀδύνατος
.
.
τοῦ
ὁ
δ᾿
ἄλλου
ἄλλος
στίχου
στίχος
ἄρχει
ἄρχω
ἡ
ὁ
δυὰς
ὁμογενὴς
ὁμογενής
αὐτῷ
αὐτός
οῡσα
καὶ
καί
ἑτερότητος
καταρκτική
·
·
εἴτε
εἴτε
γὰρ
γάρ
ἑαυτὴν
ἑαυτοῦ
εἴτε
εἴτε
ἄλλον
ἄλλος
πολυπλασιάσειεν
,
,
ἔκστασιν
ἔκστασις
ποιεῖ
ποιέω
,
,
οἷον
οἷος
δὶς
δίς
β
,
,
θὶς
γ
.
.
Ὅταν
δὲ
δέ
ᾖ
εἰμί
ὀκτάκις
ὀκτάκις
η
δὶς
δίς
ἢ
τίη
τρίς
τρίς
,
,
τὰ
ὁ
τοιαῦτα
τοιοῦτος
στερεὰ
σχήματα
σχῆμα
πλινθίδες
λέγονται
λέγω
ἰσάκις
ἰσάκις
ἶσοι
ἴσος
ἐλαττονάκις
ἐλαττονάκις
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
καὶ
καί
μείζονα
μέγας
τὰ
ὁ
ὕψη
ὕψος
τῷ
τῷ
τετραγώνῳ
τετράγωνος
προςγένηται
,
,
δοκίδες
οἱ
ὁ
τοιοῦτοι
τοιοῦτος
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
λέγονται
λέγω
,
,
οἷον
οἷος
τρὶς
τρίς
γ
ἑπτάκις
ἑπτάκις
ἢ
τίη
ὀκτάκις
ὀκτάκις
ἢ
τίη
ἐνάκις
ἐνάκις
ἢ
ἤ
ὁσακιςοῦν
μόνον
μόνος
ὑπερβαλλόντως
ὑπερβαλλόντως
·
·
ἔστι
εἰμί
δὲ
δέ
δοκὶς
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἰσάκις
ἶσος
ἴσος
μειζονάκις
·
·
οἱ
ὁ
ὅς
δέ
δέ
γε
γε
σφηνίσκοι
ἦσαν
εἰμί
ἀνισάκις
ἄνισοι
ἄνισος
ἀνισάκις
καὶ
καί
οἱ
ὁ
κύβοι
κύβος
ἰσάκις
ἰσάκις
ἶσοι
ἴσος
ἰσάκις
ἰσάκις
.
.
αὐτῶν
αὐτός
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
κύβων
κύβος
ὅσοι
ὅσος
πρὸς
πρός
τῷ
τῷ
ἰσάκις
ἰσάκις
ἶσοι
ἰσάκις
ἰσάκις
εἶναι
εἰμί
ἔτι
ἔτι
ἔχουσι
ἔχω
καὶ
καί
τὸ
ὁ
αἰεὶ
ἀεί
καταλήγειν
καταλήγω
κατὰ
κατά
πᾶσαν
πᾶς
πολυπλασίασιν
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
αὐτό
αὐτός
,
,
ἀφ’
ἀπό
οὗπερ
οὗ
οὗπερ
ἤρξαντο
ἄρχω
ἔρδω
,
,
σφαιρικοὶ
καλοῦνται
καλέω
,
,
οἱ
ὁ
ὅς
δʼ
δέ
αὐτοὶ
αὐτός
καὶ
καί
ἀποκαταστατικοί
,
,
ὥςπερ
ἀμέλει
ἀμέλει
ὁ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τῆς
ὁ
ε
πλευρᾶς
πλευρά
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τῆς
ὁ
Ϛ
Ϛ
·
·
ὅσαις
γὰρ
γάρ
ἂν
ἀνά
αὐξήσεσιν
αὐξήσω
αὐξάνω
τούτων
οὗτος
ἑκάτερον
ἑκάτερος
,
,
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
συμπέρασμα
συμπέρασμα
ἀεὶ
ἀεί
τελευτήσει
τελευτάω
πάντως
πᾶς
πάντως
,
,
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ἀπὸ
ἀπό
τοὺ
Ϛ
Ϛ
εἰς
εἰς
αὐτὸ
αὐτός
τὸ
ὁ
Ϛ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ε
εἰς
εἰς
αὐτὸ
αὐτός
τὸ
ὁ
ὅς
ε
·
·
οἷον
οἷος
πεντάκις
πεντάκις
ε
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
ὅς
ε
τελευτήσει
τελευτάω
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
πεντάκις
πεντάκις
καὶ
καί
εἰ
εἰ
δέοι
δέω
δέω2
δεῖ
πάλιν
πάλιν
πεντάκις
πεντάκις
τοῦτο
οὗτος
καὶ
καί
μέχρις
μέχρι
ἀπείρου
ἑτέρα
ἕτερος
τις
τις
τελευτὴ
τελευτή
οὐχ
εὑρεθήσεται
,
,
πλὴν
εἰ
εἰ
μὴ
μή
ἡ
ὁ
ε
,
,
καὶ
καί
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
τρόπον
τρόπος
τροπός
ἡ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
ἄλλη
ἄλλος
οὐδεμία
·
·
ὥςτε
καὶ
καί
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
δυνάμει
δύναμις
σφαιρική
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
ἀποκαταστατική
,
,
τὸ
ὁ
γὰρ
γάρ
αὐτὸ
αὐτός
πάσχει
πάσχω
τοῦτο
οὗτος
,
,
ὡς
ὡς
εἰκός
ἔοικα
,
,
πάθος
πάθος
τὸ
ὁ
περὶ
περί
τὰς
ὁ
σφαίρας
σφαῖρα
καὶ
καί
τούς
ὁ
κύκλους
κύκλος
·
·
ἐκείνων
ἐκεῖνος
γὰρ
γάρ
ἑκάτερον
ἑκάτερος
,
,
ὅθεν
ὅθεν
ἄρχεται
ἄρχω
,
,
ἐκεῖ
ἐκεῖ
καὶ
καί
τελευτὰ
τελευτή
περικυκλούμενον
καὶ
καί
περιστρεφόμενον
.
.
ὡς
ὡς
ὡς
καὶ
καί
οἱ
ὁ
λεχθέντες
λέγω
οὗτοι
οὗτος
ἀριθμοὶ
μονώτατοι
μόνος
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
τῶν
ὁ
ἰσάκις
ἰσάκις
ἴσων
καταστρέφουσιν
εἰς
εἰς
τὴν
ὁ
αὐτὴνἀρχήν
,
,
ὅθεν
ὅθεν
ἤρξαντο
ἄρχω
ἔρδω
,
,
κατὰ
κατά
πάσας
πᾶς
τὰς
ὁ
αὐξήσεις
αὔξησις
·
·
ἀλλ᾿
ἄν
ἄν
μὲν
μέν
ἐπιπέδως
ἐπίπεδος
δυσὶ
διαστήμασι
διάστημα
προκόψωσι
,
,
κυκλικοὶ
λέγονται
λέγω
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
α
,
,
κε
ἄν
,
,
λϚ
ἐκ
ἐκ
τοῦ
ὁ
ἅπαξ
ἅπαξ
α
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
πεντάκις
πεντάκις
ε
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ὅς
ἑξάκις
ἑξάκις
Ϛ
Ϛ
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
τρία
τρεῖς
διαστήματα
διάστημα
ἔχωσιν
ἔχω
ἢ
ἤ
ἐπὶ
ἐπί
πλέον
πολύς
πλείων
τούτων
οὗτος
πολλαπλασιασθῶσι
,
,
σφαιρικοὶ
στερεοὶ
λέγονται
λέγω
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
α
,
,
ρκε
,
,
σιϚ
ἤ
ἤ
ἄλλως
ἄλλος
ἄλλως
α
,
,
χκε
,
,
σσ
σσ
?
?
?
?
Ϛ
Ϛ
.
.
ιη
.
.
Καὶ
καί
περὶ
περί
μὲν
μέν
στερεῶν
ἀριθμῶν
ἀριθμός
ἱκανὰ
ἱκανός
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
παρόντι
πάρειμι
καὶ
καί
ταῦτα
οὗτος
·
·
ἐπεὶ
ἐπεί
δὲ
δέ
ἀρχὰς
ἀρχή
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
οἵ
ὁ
τε
τε
φυσικοὶ
φυσικός
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
μαθημάτων
μάθημα
ὁρμώμενοι
ὁρμάω
τὸ
ὁ
ταυτὸν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
λέγουσιν
λέγω
,
,
ἀπεδείχθη
ἀποδείκνυμι
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
ταυτὸντὸν
μὲν
μέν
ὑπάρχουσα
ὑπάρχω
ἡ
ὁ
μονὰς
μονή
καὶ
καί
οἱ
ὁ
κατὰ
κατά
εἰδοποίησιν
αὐτῆς
αὐτός
περισσοί
περισσός
,
,
πολύ
πολύς
δὲ
δέ
μᾶλλον
μᾶλλον
οἱ
ὁ
ἐκ
ἐκ
τούτων
οὗτος
συσσωρευομένων
συνιστάμενοι
συνίστημι
τετράγωνοι
τετράγωνος
ὡς
ὡς
ἂν
ἄν
δὴ
δή
ἰσότητος
ἰσότης
ἐν
ἐν
ταῖς
ὁ
πλευραῖς
πλευρά
μετέχοντες
μετέχω
,
,
ἕτερον
ἕτερος
δὲ
δέ
δυάς
δύη
τε
τε
καὶ
καί
ὁ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
ταύτης
οὗτος
εἰδοποιούμενος
πᾶς
πᾶς
ἄρτιος
ἄρτιος
,
,
μάλιστα
μάλιστα
δὲ
δέ
οἱ
ἕ
ὑπὸ
ὑπό
τούτων
οὗτος
συσσωρευομένων
συνιστάμενοι
συνίστημι
ἑτερομήκεις
διὰ
διά
τὸ
ὁ
πρώτης
πρῶτος
πρότερος
ἀνισότητος
ἀνισότης
καὶ
καί
ἑτερότητος
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τῶν
ὁ
πλευρῶν
πλευρά
διαφορᾷ
μετέχειν
μετέχω
,
,
ἔτι
ἔτι
τοῦτο
οὗτος
ἀποδεικτέον
ἀναγκαιότατα
ἀναγκαῖος
,
,
πῶς
πῶς
πως
ἐν
ἐν
ἀμφοτέροις
ἀμφότερος
τούτοις
οὗτος
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
ἀρχαῖς
ἀρχή
καὶ
καί
σπέρμασι
σπέρμα
δυνάμει
δύναμις
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
ἰδιώματα
ἰδίωμα
προυπόκειται
εἰδῶν
εἰδοί
τε
τε
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
καὶ
καί
ὑποδιαιρέσεων
σχέσεών
τε
τε
πασῶν
πᾶς
καὶ
καί
πολυγώνων
πολύγωνος
καὶ
καί
τῶν
ὁ
παραπλησίων
παραπλήσιος
.
.
πρότερον
πρότερος
δὲ
δέ
διασταλτέον
ἡμῖν
ἐγώ
,
,
ᾗ
ὅς
ᾗ
διαφέρει
διαφέρω
προμήκης
προμήκης
ἀριθμὸς
ἀριθμός
ἑτερομήκους
·
·
ἑτερομήκης
ἑτερομήκης
μὲν
μέν
γάρ
γάρ
ἐστιν
εἰμί
,
,
ὡς
ὡς
προελέχθη
,
,
ὁ
ὁ
γινόμενος
ὑπὸ
ὑπό
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
τὸν
ὁ
μονάδι
μονάς
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μείζονα
μέγας
πολυπλασιάσαντος
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
ὑπὸ
ὑπό
τού
δὶς
δίς
γ
,
,
ὁ
ὁ
ιβ
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
τρὶς
τρίς
δ
δ
,
,
προμήκης
δέ
δέ
ἐστιν
εἰμί
ὁ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
δύο
γε
μὲν
μέν
ἀριθμῶν
ἀριθμός
διαφέρόντων
ὁμοίως
ὅμοιος
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
γινόμενος
,
,
οὐ
οὐ
μὴν
μήν
μονάδι
μονάς
γε
γε
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
μείζονί
τινι
ἀριθμῷ
ἀριθμός
,
,
οἷον
οἷος
δὶς
δίς
δ
δ
,
,
τρὶς
τρίς
Ϛ
Ϛ
,
,
τετράκις
τετράκις
,
,
καὶ
καί
οἱ
ὁ
παραπλήσιοι
παραπλήσιος
τῴ
τῷ
μήκει
μῆκος
προπεπτωκότες
προπίπτω
τρόπον
τρόπος
τροπός
τινὰ
καὶ
καί
ὑπερβεβηκότες
τὴν
ὁ
τῆς
ὁ
μονάδος
μονάς
διαφοράν
διαφορά
.
.
οὐκοῦν
οὐκοῦν
οὔκουν
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
μὲν
μέν
οἱ
ὁ
τετράγωνοι
τετράγωνος
ὑπό
ὑπό
τινων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
ἰδίῳ
ἴδιος
μήκει
μῆκος
μηκυνθέντων
γίνονται
γίγνομαι
,
,
ταυτὸν
ἔχοντες
ἔχω
τὸ
ὁ
μῆκος
μῆκος
τῷ
ὁ
πλάτει
πλάτος
,
,
ἰδιομήκεις
ἄν
ἄν
κυρίως
κύριος
κυρίως
καὶ
καί
ταυτομήκεις
λέγοιντο
λέγω
,
,
οἶον
οἶος
δὶς
δίς
β
,
,
τρὶς
τρίς
γ
,
,
τετράκις
τετράκις
δ
δ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
·
·
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
τοῦτο
οὗτος
,
,
ἐπιδεκτικοὶ
πάντως
πᾶς
πάντως
ταυτότητος
καὶ
καί
ἰσότητος
ἰσότης
,
,
διόπερ
ὡρισμένοι
ὁρίζω
τε
τε
καὶ
καί
περαίνοντες
περαίνω
·
·
τὸ
ὁ
γὰρ
γάρ
ἶσον
ἴσος
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ταυτὸν
ἑνὶ
τρόπῳ
τρόπος
τροπός
καὶ
καί
ὡρισμένῳ
ὁρίζω
οιοῦτον
·
·
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
δὲ
δέ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἑτερομήκεις
ἀριθμοὶ
ἀριθμός
οὐκ
οὐ
ἰδίῳ
ἴδιος
μήκει
μῆκος
,
,
ἀλλ᾿
ἑτέρου
ἕτερος
μηκυνθέντος
ἀποτελοῦνται
ἀποτελέω
,
,
ἑτερομήκεις
τε
τε
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
καὶ
καί
ἑτερότητος
ἐπιδεκτικοὶ
ἀπειρίας
ἀπειρία
τε
τε
καὶ
καί
ἀοριστίας
.
.
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
δὲ
δέ
ἄρα
ἄρα
διχοστατεῖ
καὶ
καί
διανενέμηται
διανέμω
καὶ
καί
ἐναντία
ἐναντίος
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
φαίνεται
φαίνω
τά
ὁ
τε
τε
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
πάντα
πᾶς
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ἐν
ἐν
κόσμῳ
κόσμος
πρὸς
πρός
ταῦτα
οὗτος
ἀποτελεσθέντα
καὶ
καί
καλῶς
καλός
οἱ
ὁ
παλαιοὶ
παλαιός
φυσιολογεῖν
φυσιολογέω
ἀρχόμενοι
ἄρχω
τὴν
ὁ
πρώτην
πρῶτος
πρότερος
διαίρεσιν
διαίρεσις
τῆς
ὁ
κοσμοποιίας
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
ποιοῦνται
ποιέω
·
·
Πλάτων
Πλάτων
μὲν
μέν
τῆς
ὁ
ταυτοῦ
.
.
φύσεως
φύσις
καὶ
καί
τῆς
ὁ
θατέρου
ὀνομάζων
ὀνομάζω
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
τῆς
ὁ
ἀμερίστου
ἀμέριστος
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
ἐχούσης
ἔχω
οὐσίας
οὐσία
τῆς
ὁ
τε
τε
οὖ
οὐ
μερι
στῆς
γινομένης
,
,
Φιλόλαος
Φιλόλαος
δὲ
δέ
ἀναγκαῖον
ἀναγκαῖον
τὰ
ὁ
ἐόντα
εἰμί
πάντα
πᾶς
εἶμεν
εἰμί
ἤτοι
ἤτοι
ἄπειρα
ἢ
τίη
περαίνοντα
περαίνω
ἢ
τίη
περαίνοντα
περαίνω
ἄμα
καὶ
καί
ἄπειρα
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
μᾶλλον
μᾶλλον
συγκατατίθεται
συγκατατίθημι
εἶναι
εἰμί
,
,
ἐκ
ἐκ
περαινόντων
περαίνω
ἅμα
ἅμα
καὶ
καί
ἀπείρων
ἀπείρων
ἀπείρων2
συνεστάναι
συνίστημι
τὸν
ὁ
κόσμον
κόσμος
,
,
κατ’
κατά
εἰκόνα
δηλονότι
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
·
·
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
οὗτος
οὗτος
σύμπας
ἐκ
ἐκ
μονάδος
μονάς
καὶ
καί
δυάδος
δυάς
σύγκειται
σύγκειμαι
ἀρτίου
τε
τε
καὶ
καί
περιττοῦ
περισσός
,
,
ἃ
ὅς
ὅς2
δὴ
δή
ἰσότητός
τε
τε
καὶ
καί
ἀνισότητος
ἐμφαντικὰ
ταυτότητὸς
τε
τε
καὶ
καί
ἑτερότητος
περαίνοντός
τε
τε
καὶ
καί
ἀπείρου
ὡρισμένου
τε
τε
καὶ
καί
ἀορίστου
ἀόριστος
.
.
ιθ
.
.
Ἵνα
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἐναργῶς
ἐναργής
πεισθῶμεν
περὶ
περί
τῶν
ὁ
λεγομένων
λέγω
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἄρα
ἄρα
ἐκ
ἐκ
μαχομένων
καὶ
καί
ἐναντίων
ἐναντίος
συνέστη
συνίστημι
τὰ
ὁ
ὄντα
εἰμί
καὶ
καί
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
ἁρμονίαν
ἁρμονία
ὑπεδέξατο
ὑποδέχομαι
ὑποδείκνυμι
(
(
ἁρμονία
ἁρμονία
δὲ
δέ
πάντως
πᾶς
πάντως
ἐξ
ἐκ
ἐναντίων
ἐναντίος
γίνεται
γίγνομαι
·
·
ἔστι
εἰμί
γὰρ
γάρ
ἁρμονία
ἁρμονία
πολυμιγέων
ἕνωσις
καὶ
καί
δίχα
δίχα
φρονεόντων
φρονέω
συμφρόνησις
συμφρόνησις
)
)
,
,
ἐκθώμεθα
ἐν
ἐν
δυσὶ
παραλλήλοις
ἐπὶ
ἐπί
μῆκος
μῆκος
στίχοις
στίχος
μηκέτι
μηκέτι
ἰδίᾳ
ἴδιος
ἀρτίους
ἄρτιος
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
καὶ
καί
περισσούς
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
,
,
ὡς
ὡς
πρὸ
πρό
μικροῦ
μικρός
σμικρός
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
τούς
ὁ
ὅς
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
συσσωρευθέντων
αὐτοῖς
αὐτός
ἀποτελεσθέντας
ἀποτελέω
,
,
τετραγώνους
τετράγωνος
μὲν
μέν
ἀπὸ
ἀπό
περισσῶν
περισσός
,
,
ἑτερομήκεις
δὲ
δέ
ἀπὸ
ἀπό
ἀρτίων
ἄρτιος
·
·
ἐνατενίζοντες
γὰρ
γάρ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἐκθέσει
ἔκθεσις
αὐτῶν
αὐτός
θαυμάσομεν
τὴν
ὁ
φιλαλληλίαν
καὶ
καί
τὸ
ὁ
συλληπτικὸν
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
εἰς
εἰς
τὸ
ὁ
ὅς
ἀπογεννᾶν
τὰ
ὁ
λοιπὰ
λοιπός
καὶ
καί
ἐκτελεῖν
ἐκτελέω
,
,
ἵνα
ἵνα
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
ἐπινοῶμεν
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
φύσει
φύσις
ἐντεῦθέν
ἐντεῦθεν
ποθεν
ποθεν
πόθεν
τὸ
ὁ
τοιοῦτον
ὑπὸ
ὑπό
τῆς
ὁ
κοσμικῆς
κοσμικός
προνοίας
πρόνοια
συντελεῖσθαι
συντελέω
.
.
ἔστωσαν
οὖν
οὖν
οἱ
ὁ
δύο
γε
στίχοι
στίχος
τοιοῦτοι
τοιοῦτος
·
·
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
τῶν
ὁ
τετραγώνων
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
α
,
,
δ
δ
,
,
θ
θ
,
,
ιϚ
,
,
κε
ἄν
,
,
λϚ
μθ
,
,
ξδ
,
,
πα
,
,
ρ
ρ
,
,
ρκα
,
,
ρμδ
,
,
ρξθ
,
,
ρ
ρ
?
?
?
?
ϛ
ϛ
,
,
σκε
·
·
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἑτερομηκῶν
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἀρχόμενος
ἄρχω
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
οὕτως
οὕτως
·
·
β
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ιβ
,
,
κ
κ
,
,
λ
λ
,
,
μβ
,
,
νϛ
,
,
οβ
,
,
?
?
?
?
,
,
ρι
,
,
ρλβ
,
,
ρνϚ
,
,
ρπβ
,
,
σι
,
,
σμ
.
.
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
πυθμὴν
πυθμήν
πολλαπλάσιος
πολλαπλάσιος
,
,
δεύτερος
δεύτερος
δὲ
δέ
δευτέρου
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
,
,
τρίτος
τρίτος
δὲ
δέ
τρίτου
ἐπίτριτος
,
,
τέταρτος
δὲ
δέ
τετάρτου
ἐπιτέταρτος
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπίπεμπτος
καὶ
καί
ἔφεκτος
ἔφεκτος
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐπ’
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
ἀναλόγως
ἀνάλογος
·
·
διαφοραὶ
διαφορά
δὲ
δέ
αὐτῶν
αὐτός
προκόψουσι
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
συνεχῆ
συνεχής
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἀριθμόν
ἀριθμός
,
,
μονὰς
μονή
μὲν
μέν
τῶν
ὁ
πρώτων
,
,
δυὰς
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
δευτέρων
δεύτερος
,
,
τριὰς
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
τρίτων
τρίτος
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
·
·
εἶτα
εἶτα
δὲ
δέ
ἐὰν
ἀρξάμενος
ἄρχω
ὁ
ὁ
τῶν
ὁ
τετραγώνων
δεύτερος
δεύτερος
συγκρίνηται
κατὰ
κατά
δυασμὸν
τῷ
τῷ
πρώτῳ
πρῶτος
πρότερος
τῶν
ὁ
ἑτερομηκῶν
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τρίτος
τρίτος
δευτέρῳ
δεύτερος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τέταρτος
τέταρτος
τρίτῳ
τρίτος
καὶ
καί
ἀκολούθως
ἀκόλουθος
οἱ
ὁ
λοιποί
λοιπός
,
,
τούς
ὁ
ὅς
αὐτούς
αὐτός
ἀπαραλλάκτους
λόγους
λόγος
διατηρήσουσι
τοῖς
ὁ
πρόσθεν
πρόσθεν
,
,
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
διαφοραὶ
διαφορά
οὐκέτι
οὐκέτι
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
,
,
ἀλλ᾿
ἀπὸ
ἀπό
δυάδος
δυάς
ἄρξονται
προχωρεῖν
προχωρέω
αἱ
ὁ
αὐταί
αὐτός
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
πρόβασιν
πρόβασις
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
προτέρᾳ
πρότερος
συγκρίσει
σύγκρισις
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
πυθμένα
πυθμήν
πολλαπλάσιον
πολλαπλάσιος
ἕξει
ἔχω
,
,
δεύτερος
δεύτερος
δὲ
δέ
δευτέρου
δεύτερον
δεύτερος
ἀπὸ
ἀπό
πυθμένος
ἡμιόλιον
,
,
τρίτος
τρίτος
δὲ
δέ
τρίτου
τρίτος
τρίτον
τρίτος
ἀπὸ
ἀπό
πυθμένος
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
,
,
καὶ
καί
παραπλησίως
παραπλήσιος
προκόψουσιν
οἱ
ὁ
ἐξῆς
.
.
ἔτι
ἔτι
δὲ
δέ
οἱ
ὁ
μὲν
μέν
τετράγωνοι
τετράγωνος
πρὸς
πρός
ἑαυτούς
ἑαυτοῦ
διαφορὰς
διαφορά
τούς
ὁ
περισσούς
περισσός
μόνον
μόνος
ἔχουσιν
ἔχω
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἑτερομήκεις
τούς
ὁ
ἀρτίους
ἄρτιος
·
·
ἂν
ἀνά
δὲ
δέ
καὶ
καί
τὸν
ὁ
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
ἑτερομήκη
ἑτερομήκης
μέσον
μέσος
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τῶν
ὁ
πρώτων
πρῶτος
πρότερος
τετραγώνων
θῶμεν
,
,
τὸν
ὁ
δὲ
δέ
δεύτερον
δεύτερος
τῶν
ὁ
ἐξῆς
,
,
τὸν
ὁ
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
τῶν
ὁ
μετ’
μετά
αὐτούς
αὐτός
,
,
τὸν
ὁ
τέταρτον
τέταρτος
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
,
,
τούτοις
οὗτος
ὀφθήσονται
εὐτακτότεραι
αἱ
ὁ
σχέσεις
σχέσις
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὅροις
ὅρος
·
·
ἣν
ὅς
ὅς2
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
σχέσιν
σχέσις
ἔχει
ἔχω
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
β
β
πρὸς
πρός
μονάδα
μονάς
,
,
καὶ
καί
ἣν
ὅς
ὅς2
ὁ
ὁ
θ
θ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
ἡμιολίως
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
δ
,
,
καὶ
καί
ἣν
ὅς
ὅς2
ὁ
ὁ
ιϚ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ιβ
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
θ
θ
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐφεξῆς
τῶν
ὁ
ἀριθμῶν
καὶ
καί
τῶν
ὁ
λόγων
λόγος
προκοπτόντων
προκόπτω
εὐτάκτως
εὔτακτος
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
ἔσται
εἰμί
,
,
καὶ
καί
οὐ
οὐ
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
λόγῳ
λόγος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
ποικίλῳ
ποικίλος
ἀεὶ
ἀεί
κατὰ
κατά
προκοπήν
προκοπή
·
·
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
πασῶν
πᾶς
τῶν
ὁ
συζυγιῶν
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπό
ὑπό
·
·
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπό
ἀπό
·
·
-
-
καὶ
καί
ἅπαξ
ἅπαξ
τὰ
ὁ
ἄκρα
ἄκρον
σύν
σύν
δὶς
δίς
τῷ
τῷ
μέσῳ
μέσος
ἐναλλὰξ
ἐναλλάξ
τετράγωνον
τετράγωνος
πάντως
πᾶς
πάντως
ποιήσει
ποιέω
καὶ
καί
τό
ὁ
ὅς
πάντων
πᾶς
τούτων
οὗτος
γλαφυρώτατον
,
,
ἐξ
ἐκ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
συντιθεμένων
συντίθημι
τριγώνων
γένεσις
γένεσις
εὔτακτος
εὔτακτος
γίνεται
γίγνομαι
σημαίνουσα
σημαίνω
,
,
ὡς
ὡς
τῆς
ὁ
τῶν
ὁ
πάντων
πᾶς
ἀρχῆς
ἀρχή
ἀρχικωτέρα
ἡ
ὁ
τούτων
οὗτος
φύσις
φύσις
,
,
α
καὶ
καί
β
,
,
καὶ
καί
β
β
καὶ
καί
δ
δ
,
,
καὶ
καί
δ
δ
καὶ
καί
Ϛ
Ϛ
,
,
καὶ
καί
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
θ
θ
,
,
καὶ
καί
θ
θ
καὶ
καί
ιβ
,
,
καὶ
καί
ιβ
ιβ
καὶ
καί
ιϛ
,
,
καὶ
καί
ιϚ
ιϚ
καὶ
καί
κ
κ
,
,
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
οἱ
ὁ
τῶν
ὁ
πολυγώνων
γεννητικοὶ
γεννητικός
τρίγωνοι
τρίγωνος
εὔτακτοι
εὔτακτος
γίνονται
γίγνομαι
.
.
κ
.
.
Ἔτι
ἔτι
δὲ
δέ
καὶ
καί
πᾶς
πᾶς
πετράγωνος
προςλαβὼν
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
πλευρὰν
πλευρά
ἑτερομήκης
ἑτερομήκης
γίνεται
γίγνομαι
ἢ
τίη
νὴ
Δί᾿
ἀφαιρεθεὶς
ἀφαιρέω
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
πλευράν
πλευρά
·
·
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἕτερον
ἕτερος
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
πλεῖον
πλέως
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
ἔλαττον
ἐλάσσων
νοεῖται
τοῦ
ὁ
ταυτοῦ
,
,
εἴπερ
εἴπερ
κατὰ
κατά
πρόςθεσιν
καὶ
καί
ἀφαίρεσιν
ἀφαίρεσις
συντελεῖται
συντελέω
,
,
καθὰ
καθά
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἀνίσου
τὰ
ὁ
ὅς
δύο
γε
εἴδη
εἶδος
τό
ὁ
ὅς
τε
τε
μεῖζον
μέγας
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἔλαττον
κατὰ
κατά
πρόςθεσιν
ἢ
ἤ
ἀφαίρεσιν
ἀφαίρεσις
προςγινομένην
τῷ
τῷ
ἴσῳ
ἴσος
τὴν
ὁ
γένεσιν
γένεσις
λαμβάνει
λαμβάνω
.
.
ἱκανὸν
ἱκανός
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
τεκμήριον
τεκμήριον
τοῦ
ὁ
ταυτότητος
καὶ
καί
ἑτερότητος
μετέχειν
μετέχω
τὰ
ὁ
εἴδη
εἶδος
ἀμφότερα
ἀμφότερος
,
,
ἑτερότητος
μὲν
μέν
ἀορίστως
ἀόριστος
,
,
ταυτότητος
δὲ
δέ
ὡρισμένως
ὁρίζω
,
,
γενικῶς
γενικός
μὲν
μέν
μονάδα
καὶ
καί
δυάδα
δυάς
,
,
ὑποβεβηκότως
δὲ
δέ
περισσόν
περισσός
μὲν
μέν
ταυτότητος
διὰ
διά
τὸ
ὁ
μονάδι
μονάς
ὁμογενὲς
ὁμογενής
εἶναι
εἰμί
,
,
ἄρτιον
ἄρτιος
δὲ
δέ
ἑτερότητος
διὰ
διά
τὸ
ὁ
δυάδι
δυάς
.
.
καὶ
καί
ἔτι
ἔτι
ἐκδηλότερον
,
,
τετράγωνον
τετράγωνος
μὲν
μέν
διὰ
διά
τὸ
ὁ
σύνθεσιν
περισσοῦ
εἶναι
εἰμί
ταυτότητι
συγγενῆ
συγγενής
ὑπάρχειν
ὑπάρχω
,
,
ἑτερομήκη
δὲ
δέ
διὰ
διά
τὸ
ὁ
ἀρτίου
ἑτερότητι
·
·
καὶ
καί
γὰρ
γάρ
καὶ
καί
ὡς
ὡς
φιλάλληλα
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
δυσὶ
στίχοις
στίχος
μεταδιδόασιν
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
τὰ
ὁ
ὅς
δύο
γε
εἴδη
εἶδος
ταῦτα
οὗτος
παρὰ
παρά
μέρος
μέρος
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
διαφορῶν
διάφορος
,
,
εἰ
εἰ
μὴ
μή
καὶ
καί
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
λόγων
λόγος
,
,
καὶ
καί
ἀνάπαλιν
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
λόγων
λόγος
,
,
εἰ
εἰ
μὴ
μή
καὶ
καί
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
διαφορῶν
διάφορος
·
·
ὃ
ὁ
γὰρ
γάρ
μεταξύ
τοῦ
ὁ
δ
δ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
β
διπλασίως
διπλάσιος
,
,
τοῦτο
οὗτος
ἐπιμορίως
μεταξύ
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
δ
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ὃ
ὁ
μεταξύ
τοῦ
ὁ
θ
θ
καὶ
καί
Ϛ
Ϛ
ἡμιολίως
,
,
τοῦτο
οὗτος
μεταξύ
τοῦ
ὁ
ιβ
καὶ
καί
θ
θ
ἐπιτρίτως
,
,
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
·
·
καὶ
καί
ὃ
ὅς
ποιότητι
ποιότης
ταυτόν
,
,
ποσότητι
ἕτερον
ἕτερος
,
,
καὶ
καί
τοὐναντίον
ἐναντίος
ὃ
ὅς
ποσότητι
ταυτόν
,
,
ποιότητι
ποιότης
ἕτερον
ἕτερος
.
.
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἀναγκαίως
ἀναγκαῖος
κατὰ
κατά
πάσας
πᾶς
τὰς
ὁ
σχέσεις
σχέσις
ἡ
ὁ
αὐτὴ
αὐτός
διαφορὰ
διαφορά
τῶν
ὁ
δύο
γε
ὅρων
ὅρος
μονάδι
μονάς
ἐξηλλαγμένως
μέρος
μέρος
λεχθήσεται
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
τρίτον
τρίτος
ὑπάρχουσα
ὑπάρχω
,
,
ἢ
ἤ
τοῦ
ὁ
μὲν
μέν
τρίτον
τρίτος
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
τέταρτον
τέταρτος
,
,
ἢ
ἤ
ἄλλως
ἄλλος
ἄλλως
τοῦ
ὁ
μὲν
μέν
τέταρτον
τέταρτος
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
πέμπτον
πέμπτος
πεμπτός
,
,
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
οὕτως
οὕτως
.
.
ὃ
δὲ
δέ
μάλιστα
μάλιστα
βεβαιώσει
βεβαιόω
,
,
ταυτότητος
αἰτιώτατον
εἶναι
εἰμί
τὸ
ὁ
περισσόν
περισσός
,
,
οὐδέποτε
οὐδέποτε
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
ἄρτιον
ἄρτιος
,
,
ἐκεῖνο
ἐκεῖνος
παραδεικτέον
ἐν
ἐν
πάσῃ
πᾶς
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἀναλόγῳ
ἐκθέσει
,
,
οἷον
οἷος
διπλασίῳ
διπλάσιος
μὲν
μέν
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
,
,
λβ
,
,
ξδ
,
,
ρκη
,
,
σνϚ
,
,
τριπλασίῳ
δὲ
δέ
α
,
,
γ
,
,
θ
θ
,
,
κζ
,
,
πα
,
,
αμγ
,
,
ψκθ
,
,
βρπζ
καὶ
καί
μέχρι
μέχρι
οὐ
οὐ
βούλει
βούλομαι
,
,
πάντας
πᾶς
εὑρήσεις
εὑρίσκω
ἐξ
ἐκ
ἀνάγκης
ἀνάγκη
τοὺς
ὁ
ἐν
ἐν
περισσαῖς
χώραις
χώρα
τετραγώνους
τετράγωνος
,
,
ἄλλους
ἄλλος
δὲ
δέ
οὐκέτι
οὐκέτι
οὐδεμιᾷ
οὐδείς
μηχανῇ
μηχανή
,
,
οὐδένα
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
ἀρτίᾳ
τετράγωνον
τετράγωνος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἰσάκις
ἰσάκις
ἶσοι
ἴσος
ἰσάκις
ἰσάκις
ἄπαντες
,
,
τουτέστι
κύβοι
τριχὴ
διαστατοὶ
ὄντες
εἰμί
καὶ
καί
ταυτότητος
ἐπὶ
ἐπί
πλεῖον
πλέως
δοκοῦντες
δοκέω
μετέχειν
μετέχω
ἔργον
ἔργον
εἰσὶ
εἰμί
περισσῶν
περισσός
,
,
ἀλλ᾿
οὐκ
οὐ
ἀρτίων
,
,
ὁ
ὁ
α
καὶ
καί
η
καὶ
καί
κζ
καὶ
καί
ξδ
καὶ
καί
ρκε
καὶ
καί
σιϚ
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἀνάλογον
προχωροῦντες
καὶ
καί
ἁπλῇ
ἁπλόος
γε
γε
καὶ
καί
ἀποικίλῳ
ἐφόδῳ
ἔφοδος2
ἔφοδος
·
·
ἐκτεθέντων
ἐκτίθημι
γὰρ
γάρ
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἐπ’
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
συνεχῶν
περισσῶν
περισσός
ἐπισκόπει
ἐπισκοπέω
οὕτως
οὕτως
,
,
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
τὸν
ὁ
δυνάμει
δύναμις
κύβον
κύβος
ποιεῖ
ποιέω
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
δύο
γε
μετ’
μετά
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
συντεθέντες
συντίθημι
τὸν
ὁ
δεύτερον
δεύτερος
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
τούτοις
οὗτος
τρεῖς
τὸν
ὁ
τρίτον
τρίτος
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
συνεχεῖς
συνεχής
τούτοις
οὗτος
τέσσαρες
τέσσαρες
τὸν
ὁ
τέταρτον
τέταρτος
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τούτοις
οὗτος
πέντε
τὸν
ὁ
πέμπτον
πέμπτος
πεμπτός
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐξῆς
ἕξ
τὸν
ὁ
ἕκτον
ἕκτος
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρις
μέχρι
αἰεί
ἀεί
.
.
κα
.
.
Ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
τούτοις
οὗτος
καιρὸς
καιρός
ἂν
ἄν
εἴη
ἐάω
τὸν
ὁ
ὅς
περὶ
περί
ἀναλογιῶν
ἀναλογία
τρόπον
τρόπος
τροπός
προςθέντας
ἀναγκαιότατον
ἀναγκαῖος
ὄντα
εἰμί
εἰς
εἰς
τὰς
ὁ
φυσιολογίας
φυσιολογία
καὶ
καί
εἰς
εἰς
τὰ
ὁ
μουσικά
τε
τε
καὶ
καί
σφαιρικὰ
καὶ
καί
γραμμικὰ
θεωρήμαται
,
,
οὐχ
οὐ
ἥκιστα
ἥκιστος
δὲ
δέ
καὶ
καί
εἰς
εἰς
τὰς
ὁ
τῶν
ὁ
παλαιῶν
παλαιός
συναναγνώσεις
,
,
τέλος
τέλος
ἐπιθεῖναι
ἐπιτίθημι
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἀριθμητικῇ
ἀριθμητικός
εἰσαγωγῇ
εἰσαγωγή
τὸ
ὁ
ἁρμόζον
ἄμα
καὶ
καί
συμμετρότατον
.
.
ἔστιν
εἰμί
οὖν
οὖν
ἀναλογία
ἀναλογία
κυρίως
κύριος
κυρίως
δυεῖν
ἢ
ἤ
πλειόνων
πολύς
πλείων
λόγων
λόγος
σύλληφις
ἐς
εἰς
τὸ
ὁ
αὐτό
αὐτός
,
,
κοινότερον
κοινός
δὲ
δέ
δυεῖν
ἢ
ἤ
πλεόνων
πολύς
σχέσεων
σχέσις
,
,
κἂν
ἐάν
μὴ
μή
λόγῳ
λόγος
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
ὑποτάσσωνται
,
,
διαφορᾶ
δὲ
δέ
ἤ
ἤ
τινι
ἑτέρῳ
ἕτερος
.
.
λόγος
λόγος
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἐστι
εἰμί
δύο
γε
ὅρων
ὅρος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
σχέσις
σχέσις
,
,
σύνθεσις
σύνθεσις
δὲ
δέ
τῶν
ὁ
τοιούτων
τοιοῦτος
ἡ
ὁ
ἀναλογία
ἀναλογία
,
,
ὥςτε
ἐν
ἐν
ἐλαχίστοις
ἐλάχιστος
ὅροις
ὅρος
τρισὶν
αὕτη
οὗτος
συμμέμικται
συμμείγνυμι
,
,
δύναταί
γε
γε
μὴν
μήν
καὶ
καί
ἐν
ἐν
πλείοσι
πολύς
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
διάστημα
διάστημα
ἢ
τίη
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
λόγον
λόγος
προχωρεῖν
προχωρέω
·
·
οἷον
οἷος
τοῦ
ὁ
ὅς
α
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
λόγος
λόγος
ἐστὶ
εἰμί
δύο
γε
ὅρων
ὅρος
ὑπαρχόντων
ὑπάρχω
,
,
εἷς
ὁ
ὁ
διπλάσιος
διπλάσιος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
β
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
δ
ἕτερος
ἕτερος
λόγος
λόγος
ὅμοιος
ὅμοιος
·
·
ἀναλογία
ἄρα
ἄρα
ἡ
ὁ
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
λόγων
λόγος
γὰρ
γάρ
σύλληψις
σύλληψις
ἢ
τίη
ὅρων
ὅρος
τριῶν
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
λόγον
λόγος
θεωρουμένων
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
.
.
καὶ
καί
ἐν
ἐν
πλείοσι
πολύς
δὲ
δέ
καὶ
καί
ἐπιμηκεστέραις
ἐκθέσεσι
τὸ
ὁ
αὐτὸ
αὐτός
δύναται
δύναμαι
θεωρεῖσθαι
θεωρέω
·
·
προςαπτέσθω
γὰρ
γάρ
τέταρτος
τέταρτος
ὅρος
ὅρος
ὁ
ὁ
η
μετὰ
μετά
τὸν
ὁ
δ
πάλιν
πάλιν
ἐν
ἐν
ὁμοία
σχέσει
,
,
διπλασίων
διπλάσιος
γάρ
γάρ
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
μετὰ
μετά
τὸν
ὁ
η
ὁ
ὁ
ιϚ
καὶ
καί
ἀεὶ
ἀεί
οὕτως
οὕτως
.
.
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
ὅρος
ὅρος
ἀεὶ
ἀεί
εἷς
καὶ
καί
ἀπαράλλακτος
ἀπαράλλακτος
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
παρ’
παρά
ἑκάτερα
ἑκάτερος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ἀποκρίνηται
,
,
πρὸς
πρός
μὲν
μέν
τὸν
ὁ
μείζονα
ὡς
ὡς
ὑπόλογος
ὑπόλογος
,
,
πρὸς
πρός
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
ἐλάσσονα
ὡς
ὡς
ὡς
πρόλογος
,
,
συνημμένη
λέγεται
λέγω
ἡ
ὁ
τοιαύτη
τοιοῦτος
ἀναλογία
ἀναλογία
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
β
,
,
δ
δ
κατὰ
κατά
ποιότητα
ποιότης
·
·
οἷος
οἷος
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
,
,
τοιοῦτος
τοιοῦτος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
β
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
α
,
,
καὶ
καί
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
οἷος
οἷος
ὁ
ὁ
α
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
,
,
τοιοῦτος
τοιοῦτος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
β
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
δ
·
·
κατὰ
κατά
ποσότητα
δὲ
δέ
οἷον
οἷος
α
,
,
β
,
,
γ
·
·
ὅσον
ὅσος
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
γ
τοῦ
ὁ
β
ὑπερέχει
ὑπερέχω
,
,
τοσοῦτον
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ὁ
ὁ
β
τοῦ
ὁ
ὅς
α
,
,
καὶ
καί
ἐξ
ἐκ
ἐναντίου
,
,
ὅσον
ὅσος
ὁ
ὁ
α
τοῦ
ὁ
β
ἐλαττοῦται
ἐλασσόω
,
,
τοσοῦτον
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
ὁ
ὁ
β
τοῦ
ὁ
γ
.
.
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
ἕτερος
ἕτερος
μὲν
μέν
ὄρος
ὄρος
ὑπακούῃ
ὑπακούω
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
πρόλογος
γινόμενος
καὶ
καί
μείζων
μέγας
,
,
ἕτερος
ἕτερος
δὲ
δέ
καὶ
καί
μὴ
μή
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μείζονα
ὑπόλογός
τε
τε
γινόμενος
καὶ
καί
ἐλάττων
ἐλάσσων
,
,
οὐκέτι
οὐκέτι
συνημμένη
συνάπτω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
διεζευγμένη
λέγεται
λέγω
ἡ
ὁ
τοιαύτη
τοιοῦτος
μεσότης
μεσότης
τε
τε
καὶ
καί
ναλογία
·
·
οἷον
οἷος
κατὰ
κατά
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
ποιὸν
α
,
,
β
,
,
δ
,
,
η
ὡς
ὡς
γὰρ
γάρ
τὰ
ὁ
β
πρὸς
πρός
τὸ
ὁ
α
,
,
οὕτω
οὕτως
τὰ
ὁ
η
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
δ
,
,
καὶ
καί
ἀνάπαλιν
ὡς
ὡς
ὡς
τὸ
ὁ
α
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
ὅς
β
,
,
οὕτως
οὕτως
τὰ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
η
,
,
ἐναλλάξ
ἐναλλάξ
τε
τε
ὡς
ὡς
ὡς
τὸ
ὁ
α
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
ὅς
δ
,
,
οὕτω
οὕτως
τὰ
ὁ
β
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
η
,
,
ἤ
ἤ
ὡς
ὡς
ὡς
τὰ
ὁ
δ
δ
πρὸς
πρός
τὸ
ὁ
α
,
,
οὕτως
οὕτως
τὰ
ὁ
η
πρὸς
πρός
τὰ
ὁ
ὅς
β
·
·
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὸ
ὁ
ποσὸν
οὕτως
οὕτως
α
,
,
β
,
,
γ
,
,
δ
·
·
ὅσῳ
ὅσος
γὰρ
γάρ
τὸ
ὁ
α
τοῦ
ὁ
β
λείπεται
λείπω
,
,
τοσούτῳ
τοσοῦτος
καὶ
καί
τὰ
ὁ
γ
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
,
,
ἢ
ἤ
ὅσῳ
ὅσος
τὰ
ὁ
δ
τοῦ
ὁ
γ
περισσεύει
περισσεύω
,
,
τοσούτῳ
τοσοῦτος
καὶ
καί
τὰ
ὁ
β
τοῦ
ὁ
ὅς
α
,
,
ἢ καὶ
ἀναμὶξ
ἀναμίξ
ὅσῳ
ὅσος
τὰ
ὁ
γ
γ
τοῦ
ὁ
ὅς
α
,
,
τοσούτῳ
τοσοῦτος
τὰ
ὁ
δ
δ
τοῦ
ὁ
β
,
,
ἢ
ἤ
ὅσῳ
ὅσος
λείπεται
λείπω
τὸ
ὁ
α
τῶν
ὁ
ὅς
γ
,
,
τοσούτῳ
τοσοῦτος
τὰ
ὁ
β
τῶν
ὁ
ὅς
δ
.
.
κβ
.
.
Εἰσὶν
εἰμί
οὖν
οὖν
ἀναλογίαι
αἱ
ὁ
μὲν
μέν
πρῶται
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
παρὰ
παρά
πᾶσι
πᾶσις
τοῖς
ὁ
παλαιοῖς
παλαιός
ὁμολογούμεναι
,
,
Πυθαγόρᾳ
τε
τε
καὶ
καί
Πλάτωνι
Πλάτων
καὶ
καί
Ἀριστοτέλει
Ἀριστοτέλης
,
,
τρεῖς
πρώτισται
ἀριθμητική
ἀριθμητικός
,
,
γεωμετρική
γεωμετρικός
,
,
ἁρμονική
ἁρμονικός
,
,
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
ταύταις
οὗτος
ὑπεναντίαι
ἄλλαι
ἄλλος
τρεῖς
,
,
ἰδίων
ἴδιος
μὴ
μή
τετευχυῖαι
ὀνομάτων
ὄνομα
,
,
κοινότερον
κοινός
δὲ
δέ
λεγόμεναι
λέγω
μεσότητες
τετάρτη
τέταρτος
,
,
πέμπτη
πέμπτος
πεμπτός
,
,
ἕκτη
·
·
μεθʼ
μετά
ἃς
ὅς
καὶ
καί
ἄλλας
ἄλλος
τέσσαρας
τέσσαρες
οἱ
ὁ
νεώτεροι
νέος
εὑρίσκουσι
εὑρίσκω
,
,
συμπληροῦντες
τὸν
ὁ
δέκατον
δέκατος
ἀριθμὸν
ἀριθμός
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
τοῖς
ὁ
Πυθαγορικοῖς
δοκοῦν
δοκέω
ὡς
ὡς
τελειότατον
τέλειος
,
,
καθ’
κατά
ὃν
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
αἱ
ὁ
δέκα
σχέσεις
σχέσις
ὤφθησαν
ὁράω
ἡμῖν
ἐγώ
πρὸ
πρό
βραχέος
βραχύς
ποσότητα
λαμβάνουσαι
λαμβάνω
καὶ
καί
αἱ
ὁ
δέκα
λεγόμεναι
λέγω
κατηγορίαι
κατηγορία
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ἡμετέρων
ἡμέτερος
χειρῶν
χείρ
καὶ
καί
ποδῶν
πούς
αἱ
ὁ
τῶν
ὁ
ἀκρωτηρίων
ἀκρωτήριον
διαιρέσεις
διαίρεσις
καὶ
καί
σχέσεις
σχέσις
καὶ
καί
ἕτερα
ἕτερος
μυρία
μυρίος
,
,
ἃ
ὅς
ὅς2
κατʼ
οἰκεῖον
οἰκεῖος
τόπον
τόπος
ἐν
ἐν
ἑτέροις
ἕτερος
ὀ
ὀ
ψόμεθα
.
.
νῦν
νῦν
δὲ
δέ
περὶ
περί
τῶν
ὁ
ἀναλογιῶν
ἄνωθεν
ἄνωθεν
τεχνολογητέον
καὶ
καί
πρῶτόν
γε
γε
περὶ
περί
τῆς
ὁ
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
ποσὸν
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ὅρων
ὅρος
σύγκρισιν
σύγκρισις
οἰκειούσης
οἰκειόω
οἰκέω
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
καὶ
καί
συνδεούσης
,
,
ἢ
ἤ
ἐστι
εἰμί
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ὅρων
ὅρος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
διαφορὰν
διαφορά
ἴση
ἴσος
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
ποσὸν
οὖσα
εἰμί
·
·
αὕτη
οὗτος
δ᾿
ἂν
ἄν
εἴη
εἰμί
ἡ
ὁ
ἀριθμητική
ἀριθμητικός
,
,
ταύτης
οὗτος
γὰρ
γάρ
ἴδιον
ἴδιος
προαπεδόθη
τὸ
ὁ
ὅς
ποσόν
ποσός
πόσος
.
.
τίς
τις
οὖν
οὖν
ἡ
ὁ
αἰτία
αἰτία
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
περὶ
περί
ταύτης
οὗτος
πρώτης
πρῶτος
πρότερος
καὶ
καί
οὐ
οὐ
περὶ
περί
ἄλλης
ἄλλος
;
;
ἢ
τίη
δῆλον
δῆλος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
καὶ
καί
ἡ
ὁ
φύσις
φύσις
αὐτὴν
αὐτός
πρὸ
πρό
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
ἐμφαίνει
ἐμφαίνω
·
·
ἐν
ἐν
γὰρ
γάρ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
ἀπλοῦ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
φυσικῇ
φυσικός
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἐκθέσει
μηδενὸς
παραλειπομένου
παραλείπω
μηδ᾿
ὑπεξαιρουμένου
ὑπεξαιρέω
σώζεται
σῴζω
σώζω
ὁ
ὁ
ταύτης
οὗτος
μόνης
λόγος
λόγος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἔμπροσθεν
ἔμπροσθεν
ἀπεδείξαμεν
ἀποδείκνυμι
συλλογισάμενοι
καὶ
καί
αὐτὴν
αὐτός
τὴν
ὁ
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
εἰςαγωγὴν
πρὸ
πρό
πασῶν
πᾶς
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
ὑπάρχειν
ὑπάρχω
συναναιροῦσαν
μὲν
μέν
ἑαυτῇ
ἑαυτοῦ
ἐκείνας
ἐκεῖνος
,
,
οὐ
οὐ
συναναιρουμένην
δέ
δέ
,
,
καὶ
καί
συνεπιφερομένην
μὲν
μέν
ἐκείναις
,
,
οὐ
οὐ
συνεπιφέρουσαν
δέ
δέ
,
,
ὥςτε
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
καὶ
καί
ἡ
ὁ
ὁμώνυμος
ὁμώνυμος
τῇ
ὁ
ἀριθμητικῇ
ἀριθμητικός
μεσότης
μεσότης
οὐκ
οὐ
ἀλόγως
ἄλογος
προηγήσεται
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
ἐκείναις
ὁμωνύμων
ὁμώνυμος
μεσοτήτων
,
,
γεωμετρικῆς
γεωμετρικός
τε
τε
καὶ
καί
ἁρμονικῆς
ἁρμονικός
·
·
τῶν
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
ὑπεναντίων
ὑπεναντίος
ἐκδηλότατον
ἔκδηλος
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
πολύ
μᾶλλον
μᾶλλον
ἡγήσεται
ἡγέομαι
,
,
ὧνπερ
ὅς
αὗται
οὗτος
ἡγεμόνες
ἡγεμών
.
.
πρωτίστη
πρώτιστος
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
ἔξαρχος
ἔξαρχος
δικαιοτάτη
ἡ
ὁ
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
οὖσα
εἰμί
φυσικῶς
φυσικός
καὶ
καί
παρ’
παρά
ἡμῶν
ἐγώ
τυγχανέτω
τυγχάνω
διαρθρώσεως
πρό
πρό
γε
γε
τῶν
ὁ
ἄλλων
ἄλλος
.
.
κγ
.
.
Ἔστιν
οὖν
οὖν
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
μεσότης
μεσότης
,
,
ὅταν
ὅταν
τριῶν
ἢ
ἤ
πλειόνων
πολύς
ὅρων
ὅρος
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
κειμένων
ἢ
ἤ
ἐπινοουμένων
ἐπινοέω
ἡ
ὁ
αὐτὴ
αὐτός
κατὰ
κατά
ποσότητα
διαφορὰ
διαφορά
εὑρίσκηται
μεταξὺ
τῶν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ὑπάρχουσα
ὑπάρχω
,
,
μὴ
μή
μέντοι
λόγος
λόγος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ὅροις
ὅρος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
γίνηται
γίγνομαι
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
β
,
,
γ
,
,
δ
δ
,
,
ε
ε
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ζ
ζ
,
,
η
,
,
θ
θ
,
,
ι
ι
,
,
ια
,
,
ιβ
,
,
ιγ
·
·
ἐν
ἐν
γὰρ
γάρ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
φυσικῇ
φυσικός
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
ἐκθέσει
ἔκθεσις
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
συνεχῶς
συνεχής
καὶ
καί
ἀνυπερβάτως
ἐξεταζομένῃ
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
πᾶς
πᾶς
ὁςτιςοῦν
ὅρος
ὅρος
δυεῖν
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
τεταγμένος
τάσσω
τὴν
ὁ
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
πρὸς
πρός
αὐτούς
αὐτός
διασώζων
διασῴζω
μεσότητα
μεσότης
·
·
ἶσαι
γὰρ
γάρ
αἱ
ὁ
διαφοραὶ
διαφορά
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
εἰσι
εἰμί
πρὸς
πρός
τοὺς
ὁ
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
τεταγμένους
τάσσω
,
,
οὐ
οὐ
μὴν
μήν
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
λόγος
λόγος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
σώζεται
σῴζω
σώζω
ἐν
ἐν
αὐτοῖς
αὐτός
.
.
ἐπιστάμεθα
ἐφίστημι
ἐπίσταμαι
δέ
δέ
,
,
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τοιαύτῃ
τοιοῦτος
ἐκθέσει
ἔκθεσις
συνημμένη
συνάπτω
τε
τε
καὶ
καί
διεζευγμένη
γίνεται
γίγνομαι
μεσότης
·
·
εἰ
εἰ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
μέσος
μέσος
ὅρος
ὅρος
πρόλογός
τε
τε
καὶ
καί
ὑπόλογος
ὑπόλογος
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ὅς
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
ὑπακούοι
ὑπακούω
,
,
συνημμένη
συνάπτω
ἂν
ἄν
εἴη
εἰμί
,
,
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
σὺν
σύν
αὐτῷ
αὐτός
ἕτερος
ἕτερος
,
,
διεζευγμένη
γίνεται
γίγνομαι
μεσότης
.
.
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
ἐκθέσεως
ταύτης
οὗτος
τρεῖς
ἀποτεμόμενοι
ἀποτέμνω
οὑςτιναςοῦν
παραλλήλους
παράλληλος
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
συνημμένην
συνάπτω
σκοπῶμεν
σκοπέω
ἢ
ἤ
τέσσαρας
τέσσαρες
ἢ
ἤ
πλείους
πλείων
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
διεζευγμένην
διαζεύγνυμι
,
,
μονὰς
μονή
ἂν
ἄν
εἴη
ἐάω
πάντων
πᾶς
ἡ
ὁ
διαφορά
διαφορά
,
,
λόγοι
λόγος
δὲ
δέ
ἕτεροι
ἕτερος
ἐκ
ἐκ
παντός
πᾶς
·
·
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
μὴ
μή
παραλλήλους
παράλληλος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
διεχεῖς
,
,
κατὰ
κατά
ἴσην
ἴσος
μέντοι
παράλειψιν
,
,
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἤτοι
ἤτοι
τρεῖς
ἢ
τίη
πλέονας
,
,
εἰ
εἰ
μὲν
μέν
εἷς
ὁ
ὁ
παραλειπόμενος
εἴη
εἰμί
καθ’
κατά
ἑκάστην
ἕκαστος
θέσιν
θέσις
ὅρου
ὅρος
,
,
δυὰς
δυάς
ἔσται
εἰμί
ἡ
ὁ
διαφορὰ
διαφορά
πάντων
πᾶς
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἐν
ἐν
τρισὶ
τρεῖς
μὲν
μέν
συνημμένη
συνάπτω
,
,
ἐν
ἐν
πλείοσι
πολύς
δὲ
δέ
διῃρημένη
διαιρέω
·
·
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
δύο
γε
οἱ
ὁ
παραλειπόμενοι
,
,
τριὰς
πάντως
πᾶς
πάντως
ἡ
ὁ
διαφορὰ
διαφορά
ἐν
ἐν
ἅπασι
ἅπας
συνημμένοις
τε
τε
καὶ
καί
διεζευγμένοις
,
,
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
τρεῖς
,
,
τετράς
,
,
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
τέσσαρας
τέσσαρες
,
,
πεντάς
,
,
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
ἐφ’
ἐπί
ὁποσονοῦν
.
.
μετέχει
μετέχω
ἄρα
ἄρα
ἡ
ὁ
τοιαύτη
τοιοῦτος
ποσοῦ
ποσός
πόσος
μὲν
μέν
ἴσου
ἴσος
ἐν
ἐν
ταῖς
ὁ
διαφοραῖς
διαφορά
,
,
ποιοὺ
δὲ
δέ
οὐκέτι
οὐκέτι
ἴσου
ἴσος
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
ἀριθμητική
ἀριθμητικός
·
·
εἰ
εἰ
δ᾿
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
ποιοῦ
μὲν
μέν
ὁμοίου
ὅμοιος
μετεῖχε
μετέχω
,
,
ποσοῦ
δὲ
δέ
οὔ
οὐ
,
,
ἦν
εἰμί
ἂν
ἐάν
γεωμετρικὴ
ἀντὶ
ἀντί
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
.
.
ἴδιον
ἴδιος
δὲ
δέ
ὑπάρχει
ὑπάρχω
τῆςδε
τῆς
ὁ
μεσότητος
μεσότης
,
,
ὃ
ὅς
μηδεμιᾷ
μηδείς
ἄλλῃ
ἄλλος
ἄλλῃ
συμβέβηκε
συμβαίνω
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
κατὰ
κατά
σύνθεσιν
σύνθεσις
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ὑποδιπλάσιον
ἢ
ἤ
ἶσον
ἴσος
τὸ
ὁ
ὅς
μέσον
μέσος
εἶναι
εἰμί
,
,
ἄν
ἄν
τε
τε
συνημμένως
ἄν
ἄν
τε
τε
διεζευγμένως
σκοπῆται
ἄν
ἄν
τε
τε
ἐναλλάξ
ἐναλλάξ
·
·
ἢ
τίη
γὰρ
γάρ
τὸ
ὁ
μέσον
μέσος
σύν
σύν
ἑαυτῷ
ἑαυτοῦ
ἢ
τίη
τὰ
ὁ
μέσα
σύν
σύν
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ἶσα
ἴσος
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρων
συνθέσει
σύνθεσις
.
.
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
ἄλλο
ἄλλος
ἔχει
ἔχω
ἴδιον
ἴδιος
·
·
ὃν
ὅς
ὅς2
γὰρ
γάρ
ἔχει
ἔχω
λόγον
λόγος
ἕκαστος
ἕκαστος
ὅρος
ὅρος
πρὸς
πρός
ἑαυτόν
ἑαυτοῦ
,
,
τοῦτον
οὗτος
αἱ
ὁ
διαφοραὶ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὰς
ὁ
διαφοράς
διαφορά
,
,
τουτέστιν
ἐν
ἐν
ἰσότητί
εἰσιν
εἰμί
·
·
ἔτι
ἔτι
τὸ
ὁ
ὅς
γλαφυρώτατον
καὶ
καί
τούς
ὁ
ὅς
πολλούς
πολύς
λεληθός
,
,
τὸ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
γινόμενον
συγκρινόμενον
συγκρίνω
τῷ
τῷ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
ἔλαττον
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
τῷ
τῷ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
διαφορῶν
διαφορέω
,
,
ἐάν
ἐάν
τε
τε
μονάδες
μονάς
ὦσιν
εἰμί
ἐάν
ἐάν
τε
τε
δυάδες
δυάς
ἐάν
ἐάν
τε
τε
τριάδες
τριάς
ἐάν
ἐάν
τε
τε
τετράδες
ἐάν
ἐάν
τε
τε
ὁςτιςοῦν
ἀριθμός
ἀριθμός
·
·
τέταρτον
τέταρτος
δέ
δέ
,
,
ὃ
ὅς
καὶ
καί
οἱ
ὁ
πρόσθεν
πρόσθεν
πάντες
πᾶς
ἐσημειώσαντο
σημειόω
,
,
οἱ
ἕ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἐλάττοσιν
ὄροις
λόγοι
λόγος
συγκρινόμενοι
συγκρίνω
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μείζοσι
μέγας
μείζονές
μέγας
εἰσι
εἰμί
δειχθήσονται
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἁρμονικῇ
ἐναντίως
ἐναντίος
οἱ
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μείζοσι
μέγας
μείζονες
μέγας
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἐλάττοσιν
ἐλάττονες
·
·
διὰ
διά
τοῦτο
οὗτος
ὑπεναντία
ὑπεναντίος
ἡ
ὁ
ἀρμονικὴ
μεσότης
μεσότης
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἀριθμητικῇ
ἀριθμητικός
,
,
μεταίχμιον
μεταίχμιος
δὲ
δέ
αὐτῶν
αὐτός
ὥςπερ
ἀκροτήτων
ἐστὶν
εἰμί
ἡ
ὁ
γεωμετρικὴ
γεωμετρικός
ἔχουσα
ἔχω
τούς
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μείζοσιν
μέγας
ὅροις
ὅρος
λόγους
λόγος
καὶ
καί
τούς
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἐλάττοσιν
ἀλλήλοις
ἀλλήλων
ἴσους
ἴσος
·
·
ἐν
ἐν
μεσότητι
μεσότης
δὲ
δέ
ἡμῖν
ὤφθη
ὁράω
τὸ
ὁ
ἴσον
ἴσος
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
.
.
τοσάδε
ἡμῖν
περὶ
περί
τῆς
ὁ
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
μεσότητος
μεσότης
.
.
κδ
.
.
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
συνεχὴς
συνεχής
γεωμετρικὴ
γεωμετρικός
μεσότης
κυρίως
κύριος
κυρίως
ἀναλογία
μόνη
μόνος
καλουμένη
καλέω
διὰ
διά
τὸ
ὁ
ἀνὰ
ἀνά
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
λόγον
λόγος
θεωρεῖσθαι
θεωρέω
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
τούς
ὁ
ἐν
ἐν
αὐτῇ
αὐτός
ὅρους
ὅρος
·
·
ἔστι
εἰμί
δέ
δέ
,
,
ὅταν
ὅταν
τριῶν
ὅρων
ὅρος
ἢ
τίη
πλειόνων
πολύς
πλείων
ὡς
ὡς
ὡς
ἔχει
ἔχω
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτόν
αὐτός
,
,
οὕτως
οὕτως
αὐτὸς
αὐτός
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὑποβεβηκότα
ἔχῃ
ἔχω
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
πλείονες
πολύς
πλείων
ὅροι
ὅρος
εἶεν
εἰμί
,
,
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
πάλιν
πάλιν
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτόν
αὐτός
,
,
ποσότητι
μέντοι
μὴ
μή
τῇ
ὁ
αὐτῇ
αὐτός
διαφέρωσιν
ἀλλήλων
ἀλλήλων
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
λόγου
λόγος
ποιότητι
ποιότης
τῇ
ὁ
αὐτῇ
αὐτός
,
,
ἐναντίως
ἐναντίος
ἢ
τίη
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
ὤφθη
ὁράω
.
.
οἷον
οἷος
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
χάριν
χάρις
ἐκκείσθωσαν
οἱ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
κατὰ
κατά
διπλάσιον
διπλάσιος
λόγον
λόγος
προχωροῦντες
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
,
,
λβ
,
,
ξδ
καὶ
καί
ἐπ’
ἐπί
ἄπειρον
ἤπειρος
,
,
ἢ
ἤ
κατὰ
κατά
τριπλασίονα
α
,
,
γ
,
,
θ
θ
,
,
κζ
,
,
πα
,
,
σμγ
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
ἢ
τίη
κατὰ
κατά
τετραπλάσιον
τετραπλάσιος
ἢ
ἤ
παραπλησίως
παραπλήσιος
τοῖς
ὁ
ἐκτεθεῖσιν
·
·
ἐν
ἐν
ἑκάστῳ
ἕκαστος
γὰρ
γάρ
τούτων
οὗτος
τῶν
ὁ
στίχων
στίχος
τρεῖς
παράλληλοι
παράλληλος
ἢ
τίη
τέσσσαρες
ἢ
ἤ
ὁσοιοῦν
ληφθέντες
λαμβάνω
τὴν
ὁ
γεωμετρικὴν
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
ἀποδώσουσιν
ἀναλογίαν
ἀναλογία
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
πρῶτος
πρῶτος
πρότερος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτόν
αὐτός
,
,
οὕτως
οὕτως
κἀκεῖνος
ἐκεῖνος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ἐκεῖνος
ἐκεῖνος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
ἔτι
ἔτι
ὑπ’
ὑπό
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρι
μέχρι
θέλει
ἐθέλω
τις
τις
,
,
καὶ
καί
ἀναμίξ
ἀναμίξ
·
·
οἷον
οἷος
β
,
,
δ
,
,
η
·
·
ὄν
γὰρ
γάρ
λόγον
λόγος
ἔχει
ἔχω
ὁ
ὁ
η
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
δ
,
,
τοῦτον
οὗτος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὅς
β
β
καὶ
καί
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
,
,
οὐ
οὐ
μὴν
μήν
ἴσην
ἴσος
ποσότητα
μεταξὺ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
ἔχουσιν
ἔχω
·
·
ἢ
τίη
πάλιν
πάλιν
β
,
,
δ
δ
,
,
η
,
,
ιϚ
·
·
οὐ
οὐ
γὰρ
γάρ
μόνον
μόνος
ὁ
ὁ
ιϛ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
η
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
τοῖς
ὁ
πρόσθεν
πρόσθεν
λόγον
λόγος
ἔχει
ἔχω
,
,
εἰ
εἰ
καὶ
καί
μὴ
μή
διαφοράν
διαφορά
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ἀναμὶξ
ἀναμίξ
διασώζει
διασῴζω
τὴν
ὁ
ὁμοίαν
ὅμοιος
σχέσιν
σχέσις
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
ιϚ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
δ
δ
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ὁ
ὁ
η
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
,
,
καὶ
καί
ἔμπαλιν
ἔμπαλιν
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
β
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
η
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ὁ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ιϛ
,
,
καὶ
καί
διεζευγμένως
ὡς
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
β
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
δ
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
η
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ιϛ
,
,
ἀναστρόφως
τε
τε
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
διεζευγμένον
διαζεύγνυμι
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
ιϛ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
η
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ὁ
ὁ
δ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
β
·
·
ἔχει
ἔχω
γ`ρ
τὸν
ὁ
διπλασίονα
διπλασίων
λόγον
λόγος
.
.
Ἴδιον
δὲ
δέ
ἔχει
ἔχω
ἡ
ὁ
γεωμετρικὴ
γεωμετρικός
μεσότης
μεσότης
,
,
ὃ
ὅς
μηδεμία
μηδείς
τῶν
ὁ
λοιπῶν
λοιπός
,
,
τὸ
ὁ
τὰς
ὁ
τῶν
ὁ
ὅρων
ὅρος
διαφορὰς
διαφορά
ἐν
ἐν
λόγῳ
λόγος
πρὸς
πρός
ἀλλήλας
ἀλλήλων
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
εἶναι
εἰμί
,
,
ἐν
ἐν
ᾧ
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ὅροι
ὅρος
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
συνεχεῖς
οἱ
ὁ
μείζονες
μέγας
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ἐλάττονας
,
,
καὶ
καί
τὰς
ὁ
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
ὡς
ὡς
οἱ
ὁ
ὅς
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
·
·
ἔτι
ἔτι
καὶ
καί
ἕτερον
ἕτερος
ἰδίωμα
ἰδίωμα
τὸ
ὁ
τούς
ὁ
μείζονας
μέγας
ὅρους
ὅρος
διαφορὰν
διαφορά
ἔχειν
ἔχω
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ἐλάττονας
ἐλάσσων
αὐτούς
αὐτός
τούς
ὁ
ἐλάττονας
ἐλάσσων
καὶ
καί
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
αὐτὰ
αὐτός
διαφορὰν
διαφορά
πρὸς
πρός
διαφορὰν
διαφορά
αὐτῇ
αὐτός
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἐλάττονι
ἐλάσσων
διαφέρειν
διαφέρω
ἐν
ἐν
διπλασίῳ
διπλάσιος
λόγῳ
λόγος
ἐκτιθεμένων
ἐκτίθημι
τῶν
ὁ
ὄρων
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τριπλασίῳ
διαφορὰν
διαφορά
ἕξουσι
ἔχω
δὶς
δίς
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτὸν
αὐτός
οἱ
ὁ
ὅροι
ὅρος
καὶ
καί
αἱ
ὁ
διαφοραί
διαφορά
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τετραπλασίῳ
τρὶς
τρίς
καὶ
καί
ἐν
ἐν
πενταπλασίῳ
τετράκις
τετράκις
καὶ
καί
τοῦτο
οὗτος
μέχρι
μέχρι
παντός
πᾶς
.
.
οὐ
οὐ
μόνον
μόνος
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
πολλαπλασίοις
πολλαπλάσιος
ἀναλογίαι
γίνονται
γίγνομαι
γεωμετρικαί
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἐπιμορίοις
εἴδεσιν
εἶδος
ἅπασι
ἅπας
καὶ
καί
ἐπιμερέσι
καὶ
καί
μικτοῖς
,
,
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἐξαίρετον
ἐξαιρετός
ἰδίωμα
ἰδίωμα
τῆς
ὁ
μεσότητος
μεσότης
ταύτης
οὗτος
ἐπὶ
ἐπί
πασῶν
πᾶς
σώζεται
σῴζω
σώζω
,
,
τῶν
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
συνημμένων
τὸ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
,
,
τῶν
ὁ
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
διαζεύξει
διάζευξις
ἢ
τίη
καὶ
καί
ἐν
ἐν
πλείοσιν
ὅροις
ὅρος
,
,
κἂν
ἐάν
μὴ
μή
συνημμένοι
ὦσιν
εἰμί
,
,
ἀρτιοταγεῖς
δέ
δέ
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
μέσων
μέσος
.
.
Παράδειγμα
δὲ
δέ
τοῦ
ὁ
ἐν
ἐν
πάσαις
πᾶς
ταῖς
ὁ
σχέσεσι
σχέσις
πολυπλασίαις
τε
τε
παντοίαις
καὶ
καί
ἐπιμορίοις
παντοίαις
καὶ
καί
ἐπιμερέσι
παντοίαις
καὶ
καί
μικταῖς
παντοίαις
τὸ
ὁ
τῆς
ὁ
ἀναλογίας
ἀναλογία
ταύτης
οὗτος
ἰδίωμα
ἰδίωμα
σώζεσθαι
σῴζω
σώζω
ἔστω
εἰμί
ἱκανὸν
ἱκανός
καὶ
καί
αὔταρκες
ἡμῖν
ἐκεῖνο
,
,
ἐν
ἐν
ᾧ
ὅς
ὅς2
ἀπὸ
ἀπό
ἰσότητος
ἰσότης
ἐπλάσσομεν
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
τρία
προςτάγματα
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἀνίσου
εἴδη
εἶδος
ἐξ
ἐκ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
ὀρθῶς
ὀρθός
τε
τε
τιθεμένων
τίθημι
καὶ
καί
ἀναστρεφομένων
ἀναστρέφω
·
·
ἑκάστη
ἕκαστος
γὰρ
γάρ
πλάσις
καὶ
καί
ἔκθεσις
ἔκθεσις
ἀναλογία
ἐστὶ
εἰμί
γεωμετρικὴ
γεωμετρικός
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
λεχθέντα
λέγω
ἰδιώματα
ἰδίωμα
περιέχουσα
περιέχω
καὶ
καί
τέταρτον
τέταρτος
τὸ
ὁ
ὅς
ἔν
ἐν
εἰς
τε
τε
μείζοσιν
μέγας
ὄροις
ἔν
ἐν
εἰς
τε
τε
ἐλάττοσι
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
διαφυλάττειν
διαφυλάσσω
λόγον
λόγος
·
·
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ἐὰν
τὸν
ὁ
κοινὸν
κοινός
στίχον
στίχος
ἑτερομηκῶν
τε
τε
καὶ
καί
τετραγώνων
ἐκθώμεθα
ἕνα
παρ’
παρά
ἕνα
περιέχοντα
περιέχω
τούς
ὁ
ἐν
ἐν
ἀμφοτέροις
ἀμφότερος
αὐτοῖς
αὐτός
,
,
εἶτα
εἶτα
κατὰ
κατά
τρεῖς
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἀποτεμνόμενοι
σκοπῶμεν
σκοπέω
αἰεὶ
ἀεί
τὸν
ὁ
τῶν
ὁ
προτέρων
πρότερος
ὕστερον
ὕστερον
ἀρχὴν
ἀρχή
τῶν
ὁ
ὑστέρων
ὕστερος
τιθέμενοι
τίθημι
,
,
εὑρήσομεν
εὑρίσκω
ἀπὸ
ἀπό
πολλαπλασίου
σχέσεως
σχέσις
,
,
τουτέστι
διπλασίου
διπλάσιος
,
,
πάσας
πᾶς
τὰς
ὁ
ἐπιμορίους
ἑξῆς
ἑξῆς
ἐπιφαινομένας
,
,
ἡμιόλιον
ἡμιόλιος
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπίτριτον
ἐπίτριτος
,
,
εἶτα
εἶτα
ἐπιτέταρτον
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
.
.
εὐκαιρότατον
εὔκαιρος
δ᾿
ἂν
ἄν
εἴη
εἰμί
ἐνταῦθα
ἐνταῦθα
γενομένους
γίγνομαι
ἐπιμνησθῆναι
ἐπιμιμνήσκομαι
παρακολουθήματος
χρησιμεύοντος
ἡμῖν
εἰς
εἰς
Πλατωνικόν
τι
τις
θεώρημα
θεώρημα
·
·
οἱ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἐπίπεδοι
ἐπίπεδος
μιᾷ
μεσότητι
μεσότης
συνέχονται
συνέχω
συνόχωκα
πάντως
πᾶς
πάντως
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
στερεοὶ
δυσὶν
ἀνάλογον
ἀνάλογος
κειμέναις
·
·
δύο
γε
γὰρ
γάρ
τετραγώνων
τετράγωνος
συνεχῶν
εἶς
εἶμι
εἰμί
μόνος
μόνος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
μέσος
ἀναλογίαν
ἀναλογία
σώζων
σῴζω
γεωμετρικήν
γεωμετρικός
,
,
πρόλογος
μὲν
μέν
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
,
,
ὑπόλογος
δὲ
δέ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μείζονα
μέγας
,
,
οὐδέποτε
οὐδέποτε
δὲ
δέ
πλείονες
πολύς
πλείων
·
·
δύο
γε
ἄρα
ἄρα
διαστήματα
διάστημα
θεωροῦμεν
θεωρέω
πρὸς
πρός
ἑκάτερον
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
ἐν
ἐν
σχέσει
σχέσις
λόγων
λόγος
ὁμοίων
ὅμοιος
.
.
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
δύο
γε
κύβων
κύβος
συνεχῶν
συνεχής
δύο
γε
μόνοι
μόνος
εὑρίσκονται
εὑρίσκω
ἀνάλογον
μέσοι
μέσος
ὅροι
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
γεωμετρικὴν
γεωμετρικός
ἀναλογίαν
ἀναλογία
,
,
πλείονες
πολύς
πλείων
δὲ
δέ
οὐδέποτε
οὐδέποτε
·
·
τρία
ἄρα
ἄρα
διαστήματα
διάστημα
,
,
ἓν
μὲν
μέν
τὸ
ὁ
ὅς
μεταξύ
τῶν
ὁ
μέσων
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
,
,
δύο
γε
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
μεταξύ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
μέσους
μέσος
ἑκατέρωθεν
ἑκατέρωθεν
.
.
οὕτω
οὕτως
τὰ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
στερεὰ
στερεός
σχήματα
σχῆμα
λέγεται
λέγω
τριχῆ
διαστατά
,
,
τὰ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐπίπεδα
διχῆ
διχῆ
,
,
οἷον
οἷος
ὁ
ὁ
α
καὶ
καί
ὁ
ὁ
δ
ἐπίπεδοι
,
,
μέσος
δὲ
δέ
ἀνάλογον
ἀνάλογος
ὁ
ὁ
β
,
,
ἢ
ἤ
οἷον
οἷος
δ
δ
,
,
θ
,
,
δύο
γε
τετράγωνοι
τετράγωνος
,
,
μέσος
δὲ
δέ
αὐτῶν
αὐτός
ἀνάλογον
ἀνάλογος
ὁ
ὁ
Ϛ
Ϛ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
λόγῳ
λόγος
ἐχόμενος
ἔχω
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
καὶ
καί
ἔχων
ἔχω
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
,
,
ἐν
ἐν
ᾧ
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
ἡ
ὁ
διαφορὰ
διαφορά
διαφορὰν
διαφορά
ἔχει
ἔχω
.
.
τούτου
οὗτος
δʼ
δέ
αἴτιον
αἴτιος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
αἱ
ὁ
τῶν
ὁ
δύο
γε
τετραγώνων
πλευραί
πλευρά
,
,
ἐκατέρα
μία
ἰδία
ἴδιος
,
,
αὐτὸν
αὐτός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
ἄμα
ἀμφότεραι
ἀμφότερος
ἐγέννησαν
γεννάω
·
·
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
κύβοις
κύβος
,
,
οἷον
οἷος
τῷ
τῷ
η
καὶ
καί
τῷ
τῷ
κζ
,
,
μία
μὲν
μέν
οὐκέτι
οὐκέτι
,
,
δύο
γε
δὲ
δέ
μεσότητες
μεσότης
εὑρίσκονται
εὑρίσκω
ὅ
ὁ
τε
τε
ιβ
καὶ
καί
ιη
,
,
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
λόγῳ
λόγος
ἑαυτάς
ἑαυτοῦ
τε
τε
καὶ
καί
τούς
ὁ
ὅρους
ὅρος
ποιοῦσαι
,
,
ἐν
ἐν
καὶ
καί
αἱ
ὁ
διαφοραὶ
διαφορά
αὐτῶν
αὐτός
πρὸς
πρός
ἀλλήλας
ἀλλήλων
εἰσί
εἰμί
·
·
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
δ᾿
αἴτιον
αἴτιος
τὸ
ὁ
τῶν
ὁ
κυβικῶν
πλευρῶν
μίγδην
μίγδα
μίγδην
σύστημα
σύστημα
εἶναι
εἰμί
τὰς
ὁ
δύο
γε
μεσότητας
μεσότης
,
,
δὶς
δίς
β
τρὶς
τρίς
καὶ
καί
τρὶς
τρίς
γ
δίς
δίς
.
.
ἐὰν
ἐάν
μὲν
μέν
οὖν
οὖν
καθόλου
καθόλου
τετράγωνος
τετράγωνος
τετράγωνον
λάβῃ
λαμβάνω
,
,
τουτέστι
πολυπλασιάσῃ
,
,
τετράγωνον
τετράγωνος
πάντως
πᾶς
πάντως
ποιεῖ
ποιέω
,
,
ἂν
ἐάν
δὲ
δέ
τετράγωνος
τετράγωνος
ἑτερομήκη
ἢ
ἤ
ἑτερομήκης
τετράγωνον
τετράγωνος
.
.
οὐδέποτε
οὐδέποτε
τετράγωνος
τετράγωνος
ἀποτελεῖται
ἀποτελέω
,
,
κἂν
ἐάν
κύβος
κύβος
κύβον
κύβος
,
,
κύβος
κύβος
πάντως
πᾶς
πάντως
γενήσεται
γίγνομαι
,
,
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
ἑτερομήκης
κύβον
κύβος
ἢ
ἤ
κύβος
κύβος
ἑτερομήκη
,
,
οὐδέποτε
οὐδέποτε
κύβος
κύβος
,
,
καθάπερ
καθά
ἀμέλει
ἀμέλει
ἂν
ἄν
ἄρτιος
ἄρτιος
ἄρτιον
πολυπλασιάσῃ
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
ἄρτιος
ἄρτιος
γεννᾶται
γεννάω
,
,
κὰν
περισσὸς
περισσόν
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
περισσός
περισσός
,
,
ἂν
ἐάν
δὲ
δέ
περισσὸς
ἄρτιον
ἢ
τίη
ἄρτιος
ἄρτιος
περισσόν
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
ὁ
ὁ
γινόμενος
ἔσται
ἄρτιος
ἄρτιος
,
,
οὐδέποτε
οὐδέποτε
δὲ
δέ
περισσός
περισσός
.
.
ταῦτα
οὗτος
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
οἰκείας
οἰκεῖος
σαφηνείας
σαφήνεια
ἐπιλήψεται
ἐπιλαμβάνω
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
Πλατωνικῇ
συναναγνώσει
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
τοῦ
ὁ
λεγομένου
λέγω
γάμου
γάμος
τόπον
τόπος
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
Πολιτείᾳ
πολιτεία
ἀπὸ
ἀπό
προςώπου
τῶν
ὁ
Μουσῶν
παρειςαγομένου
·
·
ὥςτε
ἐπὶ
ἐπί
τὴν
ὁ
τρίτην
τρίτος
ἀναλογίαν
ἀναλογία
τὴν
ὁ
καλουμένην
καλέω
ἁρμονικὴν
μεταβάντες
μεταβαίνω
διαιρῶμεν
.
.
κε
ἄν
.
.
Ἔστι
γὰρ
γάρ
ἡ
ὁ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τρίτῃ
τρίτος
τάξει
τάξις
μεσότης
ἁρμονικὴ
ἁρμονικός
καλουμένη
καλέω
,
,
ὅταν
ὅταν
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὄροις
ὁ
ὁ
μέσος
θεωρῆται
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ἄκρους
ἄκρος
μήτε
ἐν
ἐν
λόγῳ
λόγος
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
ἐξεταζόμενος
ἐξετάζω
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
πρόλογος
,
,
τοῦ
ὁ
δὲ
δέ
ὑπόλογος
ὑπόλογος
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
γεωμετρικῆς
,
,
μήτε
ἐν
ἐν
διαστήμασι
διάστημα
μὲν
μέν
ἴσοις
ἰσόω
,
,
λόγων
λόγος
δὲ
δέ
ἑτερότητι
,
,
ὡς
ὡς
ὡς
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
,
,
ἀλλ᾿
ὅταν
ὅταν
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
ὅρον
ὅρος
ἔχει
ἔχω
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
διαφορὰ
διαφορά
παρὰ
παρά
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
διαφορὰν
διαφορά
παρὰ
παρά
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οἷον
οἷος
γ
,
,
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
ἢ
ἤ
πάλιν
πάλιν
β
,
,
γ
,
,
Ϛ
Ϛ
·
·
ὁ
ὁ
γὰρ
γάρ
ϛ
ϛ
τοῦ
ὁ
ὅς
δ
τῷ
τῷ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τρίτῳ
τρίτος
ὑπερέχει
,
,
τρίτον
τρίτος
γὰρ
γάρ
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
τὰ
ὁ
ὅς
β
,
,
καὶ
καί
ὁ
ὁ
γ
τού
δ
λείπεται
λείπω
τῷ
τῷ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τρίτῳ
τρίτος
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
γ
τρίτον
τρίτος
μονάς
·
·
ἐπὶ
ἐπί
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
τοῦ
ὁ
προτέρου
πρότερος
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
οἵ
ὁ
τε
τε
ἄκροι
ἄκρος
ἐν
ἐν
διπλασίῳ
διπλάσιος
λόγῳ
λόγος
καὶ
καί
αἱ
ὁ
τούτων
οὗτος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
διαφοραὶ
διαφορά
πάλιν
πάλιν
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
διπλασίονι
πρὸς
πρός
ἀλλήλας
ἀλλήλων
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῷ
τῷ
δευτέρῳ
δεύτερος
ἑκατέρα
ἐν
ἐν
τριπλασίῳ
.
.
Ἰδίωμα
δὲ
δέ
ἔχει
ἔχω
ὑπεναντίον
,
,
ὡς
ὡς
προέφαμεν
,
,
τῳ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἀριθμητικήν
ἀριθμητικός
·
·
ἐκεῖ
ἐκεῖ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἐλάττοσιν
ὅροις
ὅρος
μείζονες
μέγας
ἦσαν
εἰμί
οἱ
ὁ
λόγοι
λόγος
,
,
ἐλάττονες
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μείζοσιν
μέγας
,
,
ὧδε
ὧδε
δὲ
δέ
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
οἱ
ὁ
μὲν
μέν
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μείζοσι
μέγας
μείζονες
μέγας
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἐλάττοσιν
ἐλάττονες
,
,
ἵνα
ἵνα
ὡς
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
μεσότητι
μεσότης
ἀμφοῖν
ἄμφω
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
γεωμετρικῇ
γεωμετρικός
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἑκατέρωθι
ἑκατέρωθι
λόγων
λόγος
ἰσότης
μεταίχμιον
μεταίχμιος
οὖσα
εἰμί
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
ἐνθεωρῆται
.
.
ἔτι
ἔτι
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἀριθμητικῇ
ὁ
ὁ
μέσος
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρει
μέρος
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
μείζων
μέγας
τε
τε
καὶ
καί
ἐλάττων
ἐλάσσων
τῶν
ὁ
ἑκατέρωθι
ἑκατέρωθι
φαίνεται
φαίνω
,
,
αὐτῶν
αὐτός
δὲ
δέ
ἐκείνων
ἐκεῖνος
ἄλλῳ
ἄλλος
καὶ
καί
ἄλλῳ
ἄλλος
μείζων
μέγας
ἢ
ἤ
ἐλάττων
ἐλάσσων
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἁρμονικῇ
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
ὑπεναντίως
ὑπεναντίος
·
·
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μέσος
ἑτέρῳ
ἕτερος
τε
τε
καὶ
καί
ἑτέρῳ
ἕτερος
μείζων
μέγας
τε
τε
καὶ
καί
ἐλάττων
ἐλάσσων
τῶν
ὁ
ἑκατέρωθί
ἐστιν
εἰμί
,
,
αὐτῶν
αὐτός
δὲ
δέ
ἐκείνων
ἐκεῖνος
τῶν
ὁ
ἑκατέρωθι
ἑκατέρωθι
πάντως
πᾶς
πάντως
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
,
,
ἤτοι
ἤτοι
γὰρ
γάρ
ἐκατέρων
ἡμίσει
ἢ
ἤ
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τρίτῳ
τρίτος
·
·
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
γεωμετρικὴ
γεωμετρικός
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
μεταιχμίῳ
μεταίχμιον
μεταίχμιος
ἀμφοῖν
ἄμφω
οὔτε
οὔτε
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
μέσῳ
μέσος
μόνον
μόνος
οὔτε
οὔτε
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἄκροις
ἄκρον
μόνον
μόνος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἀμφοτέροις
ἀμφότερος
,
,
μέσῳ
μέσος
καὶ
καί
ἄκρῳ
ἄκρον
.
.
ἔτι
ἔτι
ἡ
ὁ
ἁρμονικὴ
ἁρμονικός
ἔχει
ἔχω
ἴδιον
ἴδιος
συμβεβηκὸς
συμβαίνω
τὸ
ὁ
τούς
ὁ
ἄκρους
ἄκρος
συντεθέντας
καὶ
καί
πολυπλασιασθέντας
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἀποτελεῖν
τοῦ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
πολυπλασιασμοῦ
.
.
ἐκλήθη
καλέω
δὲ
δέ
ἁρμονικὴ
ἁρμονικός
ἡ
ὁ
τοιαύτη
τοιοῦτος
μεσότης
μεσότης
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
ποσῷ
ποσός
πόσος
διεκρίνετο
διακρίνω
ἰσότητα
ἰσότης
κατὰ
κατά
τοῦτο
οὗτος
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τῶν
ὁ
ὅρων
ὅρος
διαστάσει
διάστασις
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
παρεχομένη
παρέχω
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
γεωμετρικὴ
γεωμετρικός
ποιότητι
ποιότης
τὰς
ὁ
σχέσεις
σχέσις
ὁμοίας
ὅμοιος
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
ποιὸν
τῶν
ὁ
ὅρων
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
ἀποδιδοῦσα
,
,
αὕτη
οὗτος
δὲ
δέ
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
πρὸς
πρός
ἕτερόν
πως
πως
πῶς
ἐν
ἐν
ἑτέροις
ἕτερος
καὶ
καί
ἑτέροις
ἕτερος
εἴδεσι
εἶδος
φανταζομένη
·
·
οὔτε
οὔτε
γὰρ
γάρ
ἐν
ἐν
ὅροις
ὅρος
μόνον
μόνος
οὔτε
οὔτε
ἐν
ἐν
διαφοραῖς
διαφορά
μόνον
μόνος
,
,
ἀλλʼ
ἐκ
ἐκ
μέρους
μέρος
μὲν
μέν
ἐν
ἐν
ὅροις
ὅρος
,
,
ἐκ
ἐκ
μέρους
μέρος
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
διαφοραῖς
διαφορά
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
παρʼ
παρά
αὐτὸν
αὐτός
μέσον
μέσος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐλαχίστου
ἐλάχιστος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
μέσον
μέσος
καὶ
καί
ἀνάπαλιν
.
.
κϚ
.
.
Τὸ
δὲ
δέ
πρός
πρός
τι
τι
ἐπέγνωμεν
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
ὄντος
εἰμί
ἀνωτέρω
ἄνω
φρασθείσῃ
διαιρέσει
διαίρεσις
τῆς
ὁ
ἁρμονικῆς
ἁρμονικός
ἴδιον
ἴδιος
θεωρίας
θεωρία
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
καὶ
καί
οἱ
ὁ
μουσικοὶ
μουσικός
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
ἁρμονίᾳ
ἁρμονία
συμιφωνιῶν
λόγοι
λόγος
ἐν
ἐν
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
μᾶλλον
μᾶλλον
εὑρίσκονται
εὑρίσκω
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
μεσότητι
μεσότης
·
·
στοιχειωδέστατος
μὲν
μέν
ὁ
ὁ
διὰ
διά
τεσσάρων
ἐν
ἐν
ἐπιτρίτῳ
λόγῳ
λόγος
,
,
ὡς
ὡς
δ
πρὸς
πρός
γ
,
,
ὅρος
ὅρος
πρὸς
πρός
ὅρον
ὅρος
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
ὑποδείγματι
ὑπόδειγμα
ἢ
τίη
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
διαφορὰν
διαφορά
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
τριπλάσιον
τριπλάσιος
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
Ϛ
Ϛ
πρὸς
πρός
β
ἢ
τίη
πάλιν
πάλιν
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
πρὸς
πρός
γ
αὗται
οὗτος
αἱ
ὁ
διαφοραί
διαφορά
·
·
μετὰ
μετά
δὲ
δέ
τοῦτον
οὗτος
εὐθύς
εὐθύς
ὁ
ὁ
διὰ
διά
πέντε
ὑπάρχων
ὑπάρχω
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
τοῦ
ὁ
γ
πρὸς
πρός
β
ἢ
ἤ
πάλιν
πάλιν
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
πρὸς
πρός
δ
,
,
ὅρου
ὅρος
πρὸς
πρός
ὅρον
ὅρος
·
·
εἶτα
εἶτα
τούτων
οὗτος
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
σύστημα
σύστημα
τοῦ
ὁ
τε
τε
ἡμιολίου
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἐπιτρίτου
ὁ
ὁ
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
αὐτοῖς
αὐτός
κείμενος
,
,
ἐν
ἐν
διπλασίῳ
ὑπάρχων
ὑπάρχω
λόγῳ
λόγος
,
,
ὡς
ὡς
ϛ
πρὸς
πρός
γ
ἐν
ἐν
ἀμφοτέροις
ἀμφότερος
ὑποδείγμασιν
ὑπόδειγμα
,
,
ὅρος
ὅρος
πρὸς
πρός
ὅρον
ὅρος
·
·
ἢ
τίη
ὁ
ὁ
ἐπὶ
ἐπί
τούτῳ
οὗτος
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ἅμα
ἅμα
καὶ
καί
διὰ
διά
πέντε
πέντε
,
,
τριπλάσιον
τριπλάσιος
σώζων
σῴζω
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
ἄμα
τὸν
ὁ
λόγον
λόγος
,
,
σύστημα
σύστημα
ὑπάρχων
ὑπάρχω
διπλασίου
διπλάσιος
ἄμα
καὶ
καί
ἡμιολίου
ἡμιόλιος
,
,
ὥςπερ
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
πρὸς
πρός
β
,
,
ὅρου
ὅρος
πρὸς
πρός
ὅρον
ὅρος
,
,
ἐν
ἐν
τῷ
τῷ
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
τριπλάσιον
τριπλάσιος
ὑποδείγματι
ὑπόδειγμα
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
διαφορὰς
διαφορά
πρὸς
πρός
διαφορὰν
διαφορά
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τώ
τῷ
κατὰ
κατά
τὸν
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
ὅρου
ὅρος
μεγίστου
μέγας
πρὸς
πρός
διαφορὰν
διαφορά
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσος
ἢ
τίη
διαφορᾶς
διαφορά
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
πρὸς
πρός
διαφορὰν
διαφορά
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
·
·
τελευταῖον
δὲ
δέ
καὶ
καί
μέγιστον
μέγας
σύμφωνον
σύμφωνος
τὸ
ὁ
λεγόμενον
λέγω
δὶς
δίς
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ὡςανεὶ
δὶς
δίς
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
,
,
ἁπάρχον
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
λόγῳτετραπλασίῳ
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέσος
ὄρος
ὄρος
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
διπλασίοις
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
διαφορὰν
διαφορά
ἢ
ἤ
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
διαφορὰ
διαφορά
τῆς
ὁ
ἐν
ἐν
τριπλασίοις
τριπλάσιος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
.
.
Τινὲς
δὲ
δέ
αὐτὴν
αὐτός
ἁρμονικὴν
καλεῖσθαι
καλέω
νομίζουσιν
νομίζω
ἀκολούθως
ἀκόλουθος
Φιλολάῳ
Φιλόλαος
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
παρέπεσθαι
παρέπομαι
πάσῃ
πᾶς
γεωμετρικῇ
γεωμετρικός
ἁρμονίᾳ
ἁρμονία
,
,
γεωμετρικὴν
γεωμετρικός
δὲ
δέ
ἁρμονίαν
ἁρμονία
φασὶ
φημί
τὸν
ὁ
κύβον
κύβος
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
κατὰ
κατά
τὰ
ὁ
τρία
διαστήματα
διάστημα
ἡρμόσθαι
ἁρμόζω
ἰσάκις
ἶσα
ἴσος
ἰσάκις
ἰσάκις
·
·
ἐν
ἐν
γὰρ
γάρ
παντὶ
πᾶς
κύβῳ
κύβος
ἥδε
ὅδε
ἡ
ὁ
μεσότης
μεσότης
ἐνοπτρίζεται
,
,
πλευραὶ
πλευρά
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
παντὸς
πᾶς
κύβου
κύβας
κύβης
κύβος
εἰσὶν
εἰμί
ιβ
,
,
γωνίαι
γωνία
δὲ
δέ
η
,
,
ἐπίπεδα
ἐπίπεδος
δὲ
δέ
Ϛ
Ϛ
·
·
μεσότης
ἄρα
ἄρα
ὁ
ὁ
η
τῶν
ὁ
Ϛ
Ϛ
καὶ
καί
τῶν
ὁ
ιβ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
ἁρμονικήν
·
·
ὡς
ὡς
γὰρ
γάρ
οἱ
ὁ
ἄκροι
ἄκρος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
,
,
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
παρὰ
παρά
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
παρὰ
παρά
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
διαφοράν
διαφορά
,
,
καὶ
καί
πάλιν
πάλιν
ὁ
ὁ
μέσος
ἄλλῳ
ἄλλος
μὲν
μέν
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
μέρει
μέρος
μείζων
μέγας
ἐστὶ
εἰμί
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
,
,
ἄλλῳ
ἄλλος
δὲ
δέ
ἐλάττων
ἐλάσσων
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
,
,
ἐνὶ
μέντοι
καὶ
καί
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
αὐτῶν
αὐτός
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
μέρει
μέρος
καὶ
καί
μείζων
μέγας
καὶ
καί
ἐλάττων
ἐλάσσων
ὑπάρχει
ὑπάρχω
·
·
καὶ
καί
ἑτέρως
ἕτερος
ἑτέρως
οἱ
ὁ
ἄκροι
ἄκρος
συντεθέντες
συντίθημι
καὶ
καί
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσος
πολυπλασιασθέντες
διπλάσιονἀποτελοῦσι
τοῦ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
γινομένου
·
·
καὶ
καί
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
διὰ
διά
τεσσάρων
ἐστὶ
εἰμί
τοῦ
ὁ
η
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
ἐπίτριτος
γάρ
γάρ
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
διὰ
διά
πέντε
πέντε
τοῦ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
η
,
,
ἡμιόλιος
γάρ
γάρ
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ἀμφοῖν
ἄμφω
οὖσα
εἰμί
σύστημα
σύστημα
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
Ϛ
Ϛ
,
,
διπλασία
γὰρ
γάρ
,
,
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ἄμα
καὶ
καί
διὰ
διά
πέντε
τριπλάσιος
οὖσα
εἰμί
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
διαφορὰ
διαφορά
ὑπάρχει
ὑπάρχω
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
,
,
ἡ
ὁ
δὲ
δέ
δὶς
δίς
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ὁ
ὁ
μέσος
μέσος
ὅρος
ὅρος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
ἑαυτοῦ
ἑαυτοῦ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
διαφοράν
διαφορά
·
·
οἰκειοτάτως
ἄρα
ἄρα
ἁρμονικὴ
ἁρμονικός
προςωνομάσθη
.
.
κζ
.
.
Ὥςπερ
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
τοῦ
ὁ
μουσικοῦ
μουσικός
κανόνος
κανών
κατατομῇ
κατατομή
χορδῆς
χορδή
μιᾶς
τεταμένης
ἢ
τίη
αὐλοῦ
αὐλός
μήκους
ἑνὸς
ἐκκειμένου
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
ἀμετακινήτων
ὑπαρχόντων
ὑπάρχω
,
,
μεταλαμβανούσης
μεταλαμβάνω
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
μεσότητος
μεσότης
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
τῷ
τῷ
αὐλῷ
αὐλός
διὰ
διά
τρυπημάτων
τρύπημα
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τῇ
ὁ
χορδῇ
διʼ
ὑπαγωγέως
,
,
ἄλλον
ἄλλος
ἐξ
ἐκ
ἄλλου
ἄλλος
τρόπον
τρόπος
τροπός
ἀποτελεῖσθαι
ἀποτελέω
δύνανται
δύναμαι
αἰ
εἰ
προλεχθεῖσαι
μεσότητες
,
,
ἀριθμητική
ἀριθμητικός
τε
τε
καὶ
καί
γεωμετρική
γεωμετρικός
καὶ
καί
ἁρμονική
ἁρμονικός
,
,
ἵνα
ἵνα
εἰκότως
εἰκός
εἰκότως
ἐοικότως
καὶ
καί
ἐτυμώτατα
καλοῖντο
διὰ
διά
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
ὅρου
ὅρος
μετάστασίν
τε
τε
καὶ
καί
μεταγωγὴν
μεταγωγή
διαφόρως
διάφορος
συντελούμεναι
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ἀριθμητικοῖς
ἀριθμητικός
δυσὶν
ὅροις
,
,
εἴτε
εἴτε
περισσοῖς
ἀμφοτέροις
ἀμφότερος
εἴτε
εἴτε
καὶ
καί
ἀρτίοις
,
,
εὔλογόν
εὔλογος
ἐστι
εἰμί
καὶ
καί
ἄμα
δυνατὸν
δυνατός
μένουσιν
μένω
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
καὶ
καί
μὴ
μή
μεταβιβαζομένοις
μεσότητα
μεσότης
καθ’
κατά
ἑκάστην
ἕκαστος
τῶν
ὁ
τριῶν
ἐφαρμόζουσαν
ἐντάσσεσθαι
·
·
κατὰ
κατά
μὲν
μέν
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
ἴσῳ
ἴσος
ὑπερέχουσαν
ὑπερέχω
καὶ
καί
ὑπερεχομένην
,
,
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
γεωμετρικὴν
γεωμετρικός
ὁμοίῳ
ὅμοιος
λόγῳ
λόγος
διαφορουμένην
,
,
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
ἁρμονικὴν
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
μέρει
μέρος
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
τῶν
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
μείζονά
μέγας
τε
τε
καὶ
καί
ἐλάττονα
.
.
προκείσθωσαν
δὴ
δή
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
ἄρτιοι
ἄρτιος
ὅροι
δύο
γε
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
μεταξύ
αἱ
ὁ
τρεῖς
μεσότητες
ζητητέον
ζητέω
ζητητέος
πῶς
πῶς
πως
ἂν
ἄν
ταγεῖεν
καὶ
καί
τίνες
τις
,
,
καὶ
καί
ἔστωσαν
ὅ
ὁ
τε
τε
ι
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μ
μ
.
.
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
οὖν
οὖν
τὴν
ὁ
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
ἐναρμόζω
ἐναρμόζω
καὶ
καί
ἔστιν
εἰμί
κε
καὶ
καί
τὰ
ὁ
παρακολουθήματα
αὐτῆς
αὐτός
σώζεται
σῴζω
σώζω
πάντα
πᾶς
κἀνταῦθα
ἐνταῦθα
·
·
ὡς
ὡς
ὡς
γὰρ
γάρ
ἕκαστος
ἕκαστος
ὅρος
ὅρος
πρὸς
πρός
ἑαυτόν
ἑαυτοῦ
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
διαφοράν
διαφορά
,
,
ἆρα
ἆρα
ἐν
ἐν
ἰσότητι
ἰσότης
,
,
καὶ
καί
ὅσῳ
ὅσος
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
,
,
τοσούτῳ
τοσοῦτος
καὶ
καί
οὗτος
οὗτος
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ὑπερφέρει
ὑπερφέρω
,
,
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄκρων
σύνθεσις
σύνθεσις
διπλασία
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
καὶ
καί
ὁ
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
ὅρων
ὅρος
λόγος
λόγος
μείζων
μέγας
τοῦ
ὁ
τῶν
ὁ
μειζόνων
μέγας
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ἔλαττον
τοῦ
ὁ
ὅς
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσος
τῷ
τῷ
ἀπὸ
ἀπό
τῶν
ὁ
διαφορῶν
διάφορος
τετραγώνῳ
,
,
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μέσος
μέσος
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
ἰδίῳ
ἴδιος
μέρει
μέρος
καὶ
καί
μείζων
μέγας
ὑπάρχει
ὑπάρχω
καὶ
καί
ἐλάττων
ἐλάσσων
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
,
,
ἐν
ἐν
δὲ
δέ
τοῖς
ὁ
ἄκροις
ἄκρον
θεωρουμένῳ
ἑτέρῳ
ἕτερος
καὶ
καί
ἑτέρῳ
ἕτερος
.
.
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
τὴν
ὁ
ὅς
κ
κ
μεσότητα
μεσότης
ἐμβάλλω
ἐμβάλλω
εἰς
εἰς
τούς
ὁ
προκειμένους
ἀρτίους
ἄρτιος
ὅρους
ὅρος
,
,
τὰ
ὁ
τῆς
ὁ
γεωμετρικῆς
γεωμετρικός
ἰδιώματα
ἰδίωμα
ἀνακύπτει
,
,
ἐξαπόλλυνται
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
τῆς
ὁ
ἀριθμητικῆς
ἀριθμητικός
·
·
οἷος
οἷος
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μείζων
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
,
,
τοιοῦτος
τοιοῦτος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μέσος
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μικρόν
μικρός
σμικρός
,
,
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ἶσον
ἴσος
τῷ
τῷ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
μέσο
καὶ
καί
αἱ
ὁ
διαφοραὶ
διαφορά
πρὸς
πρός
ἀλλήλας
ἀλλήλων
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
αὐτῷ
αὐτός
λόγῳ
λόγος
θεωροῦνται
θεωρέω
,
,
ἐν
ἐν
ᾧ
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
οἱ
ὁ
ὅροι
ὅρος
,
,
καὶ
καί
οὔτε
οὔτε
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἄκροις
ἄκρον
καθαροῖς
καθαρός
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
μέρους
μέρος
ταυτότης
καθ’
κατά
ὑπεροχὴν
ὑπεροχή
καὶ
καί
ἔλλειψιν
ἔλλειψις
οὕτε
ἐν
ἐν
μέσῳ
μέσος
καθαρῷ
.
.
ἀλλ᾿
ἐν
ἐν
μέσῳ
μέσος
καὶ
καί
θατέρῳ
ἕτερος
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
παρὰ
παρά
μέρος
μέρος
,
,
ἔν
ἐν
εἰς
τε
τε
μείζοσιν
μέγας
ὅροις
ὅρος
καὶ
καί
ἐλάττοσιν
ἶσος
ἴσος
λόγος
λόγος
.
.
ἐὰν
ἐάν
δὲ
δέ
τὸν
ὁ
ιϚ
ἀντιλάβω
μέσον
μέσος
ὄρον
ὀρός
,
,
πάλιν
πάλιν
τὰ
ὁ
μὲν
μέν
τῶν
ὁ
προτέρων
πρότερος
δυοῖν
μεσοτήτων
ἰδιώματα
ἰδίωμα
ἐκποδών
ἐκποδών
γίνεται
γίγνομαι
,
,
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
τῆς
ὁ
ἁρμονικῆς
ἁρμονικός
ἀναφαίνεται
ἀναφαίνω
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ὅς
αὐτούς
αὐτός
διαμένοντα
διαμένω
δύο
γε
ἀρτίους
ἄρτιος
ὅρους
ὅρος
·
·
ὥςπερ
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μείζων
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
μειζόνων
μέγας
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
,
,
καὶ
καί
ὅσοις
ὅσος
μέρεσιν
μέρος
ὁ
ὁ
μέσος
ἐλάττων
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
τῷ
ὁ
μείζονι
θεωροῦ
μένοις
μένω
,
,
τοσούτοις
τοσοῦτος
ὁ
ὁ
αὐτὸς
αὐτός
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
μείζων
μέγας
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
τῷ
ὁ
ἐλάττονι
θεωρουμένοις
θεωρέω
,
,
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
μείζοσιν
μέγας
ὅροις
ὅρος
λόγος
λόγος
μείζων
μέγας
,
,
ἐλάττων
ἐλάσσων
δʼ
δέ
ὁ
ὁ
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἐλάττοσιν
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
οὐκ
οὐ
ἐπ’
ἐπί
ἄλλης
ἄλλος
,
,
καὶ
καί
συντεθέντα
συντίθημι
τὰ
ὁ
ἄκρα
ἄκρον
καὶ
καί
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσος
πολυπλασιασθέντα
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἀποτελεῖ
ἀποτελέω
τοῦ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
γινομένου
.
.
ἂν
ἐάν
δὲ
δέ
οἱ
ὁ
δύο
γε
ἄκροι
ἄκρος
ὅροι
μὴ
μή
ἄρτιοι
ἄρτιος
ἐκτεθῶσιν
ἐκτίθημι
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
περισσοί
περισσός
,
,
οἷον
οἷος
ε
,
,
με
,
,
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
αὐτὸς
αὐτός
ὅρος
ὅρος
ὁ
ὁ
κε
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
ποιήσει
ποιέω
·
·
σἴτιον
δὲ
δέ
τούτου
οὗτος
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἐφ’
ἐπί
ἑκάτερα
ἑκάτερος
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ἴσῳ
ἴσος
ἀριθμῷ
ἀριθμός
ὑπερέβησάν
τε
τε
καὶ
καί
ὑπέβησαν
ὑποβαίνω
οἱ
ὁ
ὅροι
ὅρος
τὴν
ὁ
αὐτὴν
αὐτός
πρὸς
πρός
αὐτὸν
αὐτός
διατηροῦντες
διατηρέω
διαφορὰς
διαφορά
ποσότητα
·
·
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιε
ἀντιτεθεὶς
τὴν
ὁ
γεωμετρικὴν
ἀποδίδωσι
ἀποδίδωμι
τριπλάσιός
τε
τε
καὶ
καί
ὑποτριπλάσιος
ἑκατέρου
ἑκάτερος
ἂν
ἀνά
·
·
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
θ
μεταλαβών
μεταλαμβάνω
τὸ
ὁ
μέσος
εἶναι
εἰμί
τὴν
ὁ
ἁρμονικὴν
ἀποδίδωσιν
,
,
οἷς
ὅς
ὅς2
γὰρ
γάρ
μέρεσι
μέρος
μείζων
μέγας
τοῦ
ὁ
ὅς
ἐλάττονός
ἐστι
εἰμί
,
,
τέσσαρσι
πέμπτοις
πέμπτος
πεμπτός
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
,
,
τούτοις
οὗτος
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
ἐλάττων
ἐλάσσων
ἐστὶν
εἰμί
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
τῷ
ὁ
μείζονι
μέγας
θεωρουμένοις
θεωρέω
,
,
τέσσαρσι
τέσσαρες
γὰρ
γάρ
πέμπτοις
,
,
καὶ
καί
πάντα
πᾶς
τὰ
ὁ
προλεχθέντα
ἰδιώματα
ἰδίωμα
ἐφαρμόζων
σύμφωνα
εὑρήσεις
εὑρίσκω
.
.
Ἔφοδος
δέ
δέ
,
,
ὡς
ὡς
ἄν
ἄν
ἐντέχνως
ἔντεχνος
πλάσσοις
τούς
ὁ
προδειχθέντας
ὅρους
ὅρος
κατὰ
κατά
τὰς
ὁ
τρεῖς
ἀναλογίας
ἀναλογία
,
,
τοιαύτη
τοιοῦτος
ἔστω
εἰμί
σοι
·
·
ἐπ’
ἐπί
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
τῶν
ὁ
προχειρισθέντων
προχειρίζω
ὅρων
ὅρος
περισσῶν
περισσός
τε
τε
καὶ
καί
ἀρτίων
ἄρτιος
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
μὲν
μέν
εὐρήσεις
,
,
συνθεὶς
συντίθημι
τὰ
ὁ
ἄκρα
ἄκρον
τούτων
οὗτος
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
μέσοντάξον
ἢ
τίη
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
ὑπεροχὴν
ὑπεροχή
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
διχῆ
τεμών
τέμνω
καὶ
καί
προςθεὶς
τῷ
τῷ
ἐλάττονι
ἐλάσσων
μέσον
μέσος
ἕξεις
ἔχω
·
·
γεωμετρικὴν
γεωμετρικός
δέ
δέ
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
προμήκους
τὴν
ὁ
τετραγωνικὴν
πλευρὰν
πλευρά
εὑρὼν
εὑρίσκω
μέσον
μέσος
ὅρον
ὅρος
ποιήσεις
ποιέω
ἢ
ἤ
ὃν
ὅς
ὅς2
ἔχουσι
ἔχω
πρὸς
πρός
ἀλλήλους
ἀλλήλων
οἱ
ὁ
ὅροι
ὅρος
λόγον
λόγος
ἰδών
ὁράω
,
,
τοῦτον
οὗτος
δίχα
δίχα
τεμών
τέμνω
μέσον
μέσος
ποίησον
ποιέω
,
,
οἷον
οἷος
ἐπὶ
ἐπί
τετραπλασίου
τετραπλάσιος
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
·
·
ἁρμονικὴν
δέ
δέ
,
,
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
τὴν
ὁ
διαφορὰν
διαφορά
ποιητέον
ποιέω
ποιητέος
ἐπὶ
ἐπί
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
καὶ
καί
τὸν
ὁ
γενόμενον
παραβλητέον
ἐπὶ
ἐπί
τὸν
ὁ
σύνθετον
σύνθετος
ἐκ
ἐκ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
,
,
εἶτα
εἶτα
τὸ
ὁ
πλάτος
πλάτος
τῆς
ὁ
παραβολῆς
παραβολή
προςθετέον
τῷ
τῷ
ἐλάττονι
,
,
καὶ
καί
ἔσται
εἰμί
ὁ
ὁ
γινόμενος
ἁρμονικὴ
ἁρμονικός
μεσότης
μεσότης
.
.
κη
.
.
Καὶ
καί
τάδε
μὲν
μέν
περὶ
περί
τῶν
ὁ
παρὰ
παρά
τοῖς
ὁ
παλαιοῖς
παλαιός
θρυλλουμένων
τριῶν
ἀναλογιῶν
,
,
ἃς
ὅς
καὶ
καί
ἐπιτηδὲς
ἐπιτηδές
σαφέστερον
σαφής
καὶ
καί
πλατύτερον
πλατύς
διηρθρώσαμεν
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
πολλάκις
πολλάκις
τε
τε
καὶ
καί
ποικιλώτερον
ποικίλος
ἐντυγχάνειν
ἐντυγχάνω
ἦν
εἰμί
αὐταῖς
αὐτός
ἐν
ἐν
τοῖς
ὁ
ἀναγνώσμασι
·
·
τὰς
ὁ
δʼ
δέ
ἐξῆς
ἐπιτμητέον
οὐ
οὐ
πάνυ
πάνυ
φερομένας
φέρω
παρὰ
παρά
τοῖς
ὁ
ἀρχαίοις
ἀρχαῖος
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
εἰς
εἰς
μόνην
μόνος
ἐμπειρίαν
ἐμπειρία
ἡμῶν
ἐγώ
αὐτῶν
αὐτός
καὶ
καί
τὸ
ὁ
οἱονεὶ
πλῆρες
πλήρης
τοῦ
ὁ
συλλογισμοῦ
συλλογισμός
παραλαμβανομένας
.
.
εἰσὶ
εἰμί
δὲ
δέ
αὗται
οὗτος
τάξει
τάξις
ἐκφερόμεναι
ἐκφέρω
ὑφʼ
ὑπό
ἡμῶν
ἐγώ
κατὰ
κατά
ὑπεναντίωσιν
τὴν
ὁ
πρὸς
πρός
τὰς
ὁ
πεφρασμένας
ἀρχετύπους
τρεῖς
,
,
εἴπερ
εἴπερ
καὶ
καί
ἐξ
ἐκ
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
ἀναπλάσσονται
,
,
τάξεως
τάξις
τυγχάνουσαι
τυγχάνω
ὁμοίας
ὅμοιος
.
.
τετάρτη
τέταρτος
μὲν
μέν
ἡ
ὁ
καὶ
καί
ὑπεναντία
λεγομένη
λέγω
διὰ
διά
τὸ
ὁ
ἀντικεῖσθαι
ἀντίκειμαι
καὶ
καί
ἀντιπεπονθέναι
ἀντιπάσχω
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἁρμονικῇ
ὑπάρχει
ὑπάρχω
,
,
ὅταν
ὅταν
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὅροις
ὅρος
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
μειζόνων
ἔχῃ
ἔχω
,
,
οἷον
οἷος
γ
,
,
ε
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ἐν
ἐν
γὰρ
γάρ
διπλασίῳ
τὰ
ὁ
συγκριθέντα
ὁρᾶται
ὁράω
·
·
φανερὸν
φανερός
δέ
δέ
,
,
καθʼ
ἃ
ὅς
ὅς2
ἠναντίωται
ἐναντιόομαι
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ἁρμονικῇ
·
·
τῶν
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
αὐτῶν
αὐτός
ἄκρων
ἄκρον
ἀμφοτέραις
ἀμφότερος
ὑπαρχόντων
ὑπάρχω
καὶ
καί
ἐν
ἐν
διπλασίῳ
γε
γε
λόγῳ
λόγος
,
,
ἐν
ἐν
μὲν
μέν
τῇ
ὁ
πρὸ
πρό
ταύτης
οὗτος
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
μειζόνων
μέγας
ὑπεροχὴ
ὑπεροχή
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
τὸν
ὁ
αὐτὸν
αὐτός
ἔσωζε
σῴζω
σώζω
λόγον
λόγος
,
,
ἐν
ἐν
ταύτῃ
οὗτος
δὲ
δέ
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
μειζόνων
μέγας
·
·
ἴδιον
ἴδιος
δὲ
δέ
ταύτης
οὗτος
ἰστέον
ἐκεῖνο
ἐκεῖνος
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
ἀποτελεῖσθαι
ἀποτελέω
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
καὶ
καί
μέσου
μέσης
πρὸς
πρός
τὸ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
καὶ
καί
ἐλαχίστου
ἐλάχιστος
,
,
τοῦ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
πεντάκις
πεντάκις
γ
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
τὸ
ὁ
ἑξάκις
ἑξάκις
ε
.
.
αἱ
ὁ
δὲ
δέ
δύο
γε
μεσότητες
πέμπτη
πέμπτος
πεμπτός
καὶ
καί
ἕκτη
ἕκτη
παρὰ
παρά
τὴν
ὁ
γεωμετρικὴν
γεωμετρικός
ἐπλάσθησαν
ἀμφότεραι
ἀμφότερος
,
,
διαφέρουσι
διαφέρω
δʼ
δέ
ἀλλήλων
ἀλλήλων
οὕτως
οὕτως
·
·
ἡ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
πέμπτη
πέμπτος
πεμπτός
ἔστιν
εἰμί
,
,
ὅταν
ὅταν
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὅροις
ὅρος
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτω
οὕτως
καὶ
καί
ἡ
ὁ
αὐτῶν
αὐτός
τούτων
οὗτος
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
,
,
οἷον
οἷος
β
,
,
δ
,
,
ε
·
·
διπλάσιος
διπλάσιος
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
δ
τοῦ
ὁ
β
,
,
μέσος
ὅρος
ὅρος
τοῦ
ὁ
ἐλαχίστου
ἐλάχιστος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
β
τοῦ
ὁ
ὅς
α
,
,
ἐλαχίστων
ἐλάχιστος
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
διαφορὰν
διαφορά
μεγίστων
μέγας
·
·
ὃ
ὅς
δʼ
δέ
ὑπεναντίον
αὐτὴν
αὐτός
τῇ
ὁ
γεωμετρικῇ
ποιεῖ
ποιέω
,
,
ἐκεῖνό
ἐκεῖνος
ἐστιν
εἰμί
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἐπὶ
ἐπί
μὲν
μέν
ἐκείνης
ὡς
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
,
,
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
ὑπεροχὴ
ὑπεροχή
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τού
μέσου
μέσης
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάττονα
,
,
ἐπὶ
ἐπί
δὲ
δέ
ταύτης
οὗτος
ἀνάπαλιν
ἀνάπαλιν
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
ἐλάττονος
ἐλάσσων
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μείζονος
μέγας
·
·
ἴδιον
ἴδιος
δʼ
δέ
ὅμως
ὅμως
ὁμῶς
καὶ
καί
ταύτης
οὗτος
ἐστὶ
εἰμί
τὸ
ὁ
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
γίνεσθαι
γίγνομαι
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
καὶ
καί
μέσου
μέσης
τοῦ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
καὶ
καί
ἐλαχίστου
ἐλάχιστος
,
,
τὸ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
πεντάκις
πεντάκις
δ
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
τοῦ
ὁ
πεντάκις
πεντάκις
β
.
.
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἕκτη
ἕκτη
γίνεται
γίγνομαι
,
,
ὅταν
ὅταν
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὅροις
ὅρος
ᾖ
εἰμί
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
,
,
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
παρὰ
παρά
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
ὑπεροχὴ
ὑπεροχή
πρός
πρός
τὴν
ὁ
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
παρὰ
παρά
τὸν
ὁ
μέσον
μέσος
,
,
οἷον
οἷος
α
,
,
δ
δ
,
,
ϛ
ϛ
,
,
ἐν
ἐν
ἡμιολίῳ
ἡμιόλιος
γὰρ
γάρ
ἑκάτεροι
ἑκάτερος
λόγῳ
λόγος
·
·
ἐοικυῖα
ἔοικα
δʼ
δέ
αἰτία
αἰτία
καὶ
καί
ταύτῃ
οὗτος
ταύτῃ
τῆς
ὁ
πρὸς
πρός
τήν
ὁ
ὅς
γεωμετρικήν
γεωμετρικός
ὑπεναντιότητος
,
,
ἀναστρέφει
ἀναστρέφω
γὰρ
γάρ
κἀνταῦθα
ἐνταῦθα
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
λόγων
λόγος
ὁμοιότης
ὡς
ὡς
ὡς
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
πέμπτης
.
.
Καὶ
καί
αἱ
μὲν
μέν
παρὰ
παρά
τοῖς
ὁ
πρόσθεν
πρόσθεν
θρυλλούμεναι
ἓξ
μεσότητες
αἵδε
ὅδε
εἰσί
εἰμί
,
,
τρεῖς
μὲν
μέν
αἱ
ὁ
πρωτότυποι
μέχρι
μέχρι
Ἀριστοτέλους
Ἀριστοτέλης
καὶ
καί
Πλάτωνος
Πλάτων
ἄνωθεν
ἄνωθεν
ἀπὸ
ἀπό
Πυθαγόρου
Πυθαγόρας
διαμείνασαι
,
,
τρεῖς
δʼ
δέ
ἕτεραι
ἕτερος
ἐκείναις
ὑπεναντίαι
τοῖς
ὁ
μετʼ
μετά
ἐκείνους
ἐκεῖνος
ὑπομνηματογράφοις
τε
τε
καὶ
καί
αἱρετισταῖς
αἱρετιστής
ἐν
ἐν
χρήσει
χρῆσις
γινόμεναι
·
·
τέσσαρας
τέσσαρες
δέ
δέ
τινας
ἑτέρας
ἕτερος
μετακινοῦντες
τοὺς
ὁ
τούτων
οὗτος
ὄρους
ὀρός
τε
τε
καὶ
καί
διαφορὰς
διαφορά
ἐπεξεῦρόν
τινες
τις
οὐ
οὐ
πάνυ
πάνυ
ἐμφανταζομένας
τοῖς
ὁ
τῶν
ὁ
παλαιῶν
παλαιός
συγγράμμασιν
σύγγραμμα
,
,
ἀλλʼ
ἀλλά
ὡς
ὡς
περιεργότερον
περίεργος
λελεπτολογημένας
,
,
ἃς
ὅς
ὅμως
ὅμως
ὁμῶς
πρὸς
πρός
τὸ
ὁ
μὴ
μή
δοκεῖν
δοκέω
ἀγνοεῖν
ἀγνοέω
ἐπιτροχαστέον
τῇδέ
ὅδε
πη
.
.
πρώτη
πρῶτος
πρότερος
μὲν
μέν
γὰρ
γάρ
αὐτῶν
αὐτός
,
,
ἑβδόμη
ἕβδομος
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τ
πασῶν
πᾶς
συντάξει
σύνταξις
ἔστιν
εἰμί
,
,
ὅταν
ὅταν
ὡς
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
οὐτῶν
διαφορὰ
διαφορά
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαττόνων
,
,
οἷον
οἷος
Ϛ
Ϛ
,
,
η
,
,
θ
·
·
ἡμιόλιος
ἡμιόλιος
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
λόγος
λόγος
ἑκατέρου
ἑκάτερος
συγκρίσει
σύγκρισις
ἐνορᾶται
.
.
ὀγδόη
ὄγδοος
δὲ
δέ
μεσότης
μεσότης
,
,
ἥτις
ὅστις
τούτων
οὗτος
δευτέρα
δεύτερος
ἐστί
εἰμί
,
,
γίνεται
γίγνομαι
,
,
ὅταν
ὅταν
ὡς
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
δια
-
-
φορὰ
φορά
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
μειζόνων
μέγας
διαφοράν
διαφορά
,
,
οἷον
οἷος
Ϛ
Ϛ
,
,
ζ
,
,
θ
·
·
καὶ
καί
αὕτη
οὗτος
γὰρ
γάρ
ἡμιολίους
ἡμιόλιος
ἔχει
ἔχω
τούς
ὁ
δύο
γε
λόγους
λόγος
.
.
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐνάτη
ἔνατος
μὲν
μέν
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τῶν
ὁ
πασῶν
πᾶς
συντάξει
σύνταξις
,
,
τρίτη
τρίτος
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
τῶν
ὁ
ἐφευρημένων
ἀριθμῷ
ἀριθμός
ὑπάρχει
ὑπάρχω
,
,
ὅταν
ὅταν
τριῶν
ὅρων
ὅρος
ὄντων
εἰμί
,
,
ὃν
λόγον
λόγος
ἔχει
ἔχω
ὁ
ὁ
μέσος
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
τοῦτον
οὗτος
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ὑπεροχὴ
ὑπεροχή
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἐλαχίστων
ἐλάχιστος
ἔχῃ
ἔχω
,
,
ὡς
ὡς
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ζ
ζ
.
.
ἡ
ὁ
ὅς
δὲ
δέ
ἐπὶ
ἐπί
πάσαις
πᾶς
δεκάτη
δέκατος
μὲν
μέν
συλλήβδην
συλλήβδην
,
,
τετάρτη
τέταρτος
δὲ
δέ
ἐν
ἐν
τῇ
ὁ
τῶν
ὁ
νεωτερικῶν
νεωτερικός
ἐκθέσει
ἔκθεσις
ὁρᾶται
ὁράω
,
,
ὅταν
ὅταν
ἐν
ἐν
τρισὶν
ὅροις
ὅρος
ᾖ
εἰμί
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέσος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
οὕτως
οὕτως
καὶ
καί
ἡ
ὁ
διαφορὰ
διαφορά
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
διαφορὰν
διαφορά
τῶν
ὁ
μειζόνων
μέγας
,
,
οἷον
οἷος
γ
,
,
ε
,
,
η
·
·
ἐπιδιμερὴς
γὰρ
γάρ
ὁ
ὁ
ἐν
ἐν
ἑκατέρᾳ
ἑκάτερος
συζυγίᾳ
συζυγία
λόγος
λόγος
.
.
ἐπὶ
ἐπί
κεφαλαίου
κεφάλαιος
τοίνυν
τοίνυν
οἱ
ὁ
τῶν
ὁ
δέκα
ἀναλογιῶν
ἀναλογία
ὅροι
ὅρος
ἐκκείσθωσαν
ὑφ’
ὑπό
ἕν
παράδειγμα
παράδειγμα
πρὸς
πρός
τὸ
ὁ
εὐσύνοπτον
εὐσύνοπτος
,
,
πρώτης
α
,
,
β
,
,
γ
,
,
δευτέρας
δεύτερος
α
,
,
β
,
,
δ
δ
,
,
τρίτης
τρίτος
γ
,
,
δ
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
τετάρτης
γ
,
,
ε
,
,
Ϛ
,
,
πέμπτης
πέμπτος
πεμπτός
β
,
,
δ
δ
,
,
ε
,
,
ἕκτης
α
,
,
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ἑβδόμης
ἕβδομος
Ϛ
Ϛ
,
,
η
,
,
θ
θ
,
,
ὀγδόης
Ϛ
Ϛ
,
,
ζ
ζ
,
,
θ
θ
,
,
ἐνάτης
δ
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
ζ
ζ
,
,
δεκάτης
γ
,
,
ε
,
,
η
.
.
κθ
.
.
Λοιπὸν
καὶ
καί
περὶ
περί
τῆς
ὁ
τελειοτάτης
καὶ
καί
τριχῆ
διαστατῆς
πασῶν
πᾶς
τε
τε
περιεκτικῆς
ἐν
ἐν
βραχεῖ
βραχύς
διαρθρώσω
μεσότητος
μεσότης
χρησιμωτάτης
οὔσης
εἰμί
εἰς
εἰς
πᾶσαν
πᾶς
τὴν
ὁ
ἐν
ἐν
μουσικῇ
μουσικός
καὶ
καί
φυσιολογίᾳ
φυσιολογία
προκοπήν
προκοπή
·
·
κυρίως
κύριος
κυρίως
γὰρ
γάρ
αὕτη
οὗτος
καὶ
καί
ὡς
ὡς
ἀληθῶς
ἀληθής
ἁρμονία
ἂν
ἐάν
λεχθείη
λέγω
μόνη
μόνος
παρὰ
παρά
τὰς
ὁ
ἄλλας
ἄλλος
,
,
εἴπερ
μὴ
μή
ἐπίπεδος
μηδὲ
μηδέ
μιᾷ
μόνῃ
μόνος
μεσότητι
μεσότης
συνδεομένη
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
δυσίν
,
,
ἵν᾿
οὕτω
οὕτως
τριχῆ
διιστάνοιτο
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
κύβος
κύβος
ἁρμονία
πρὸ
πρό
βραχέος
βραχύς
ἐσαφηνίσθη
.
.
ὅταν
ὅταν
τοίνυν
τοίνυν
δύο
γε
ὅρων
ὅρος
ἄκρων
ἄκρος
τριχῆ
διαστατῶν
ἀμφοτέρων
ἀμφότερος
,
,
εἴτε
εἴτε
ἰσάκις
ἰσάκις
ἴσων
ἰσάκις
ἰσάκις
,
,
ἵνα
ἵνα
κύβος
κύβος
ᾖ
εἰμί
,
,
ἢ
ἤ
ἰσάκις
ἰσάκις
ἴσων
ἀνισάκις
,
,
ἵνα
ἵνα
ἢ
τίη
δοκίδες
ἢ
τίη
πλινθίδες
ὦσιν
εἰμί
,
,
εἴτε
εἴτε
ἀνισάκις
ἀνίσων
ἀνισάκις
,
,
ἵνα
ἵνα
σκαληνοί
,
,
δύο
γε
ὅροι
εὑρίσκωνται
ἀνὰ
ἀνά
μέσον
μέσος
ἄλλοι
ἄλλος
ἐναλλὰξ
ἐναλλάξ
πρὸς
πρός
τούς
ὁ
ἄκρους
ἄκρος
τούς
ὁ
ὅς
αὐτοὺς
αὐτός
σώζοντες
σῴζω
λόγους
λόγος
καὶ
καί
ἀναμίξ
,
,
ὥςτε
ὁποτερουοῦν
αὐτῶν
αὐτός
τὴν
ὁ
ἁρμονικὴν
σώζοτος
ἀναλογίαν
ἀναλογία
τὸν
ὁ
λοιπὸν
λοιπός
ἀποτελεῖν
ἀποτελέω
τὴν
ὁ
ἀριθμητικήν
ἀριθμητικός
·
·
ἀνάγκη
ἀνάγκη
γὰρ
γάρ
οὕτως
οὕτως
διακειμένων
τῶν
ὁ
τεσσάρων
τέσσαρες
ἐπιφαίνεσθαι
ἐπιφαίνω
τὴν
ὁ
γεωμετρικὴν
γεωμετρικός
ἐμπλέγδην
ἀμφοτέραις
ἀμφότερος
ταῖς
ὁ
μεσότησιν
ἀντεξεταζομένην
,
,
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
τρίτον
τρίτος
ἀπ’
ἀπό
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτὸν
αὐτός
δεύτερος
δεύτερος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
τέταρτον
τέταρτος
·
·
τὸ
ὁ
γὰρ
γάρ
τοιοῦτον
τὸ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
μέσων
μέσος
ἶσον
ἴσος
ποιεῖ
ποιέω
τῷ
τῷ
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
·
·
πάλιν
πάλιν
δὲ
δέ
ἄν
ἄν
ὁ
ὁ
μέγιστος
μέγας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ὑπ’
ὑπό
αὐτὸν
αὐτός
ἐν
ἐν
τοσαύτῃ
τοσοῦτος
δειχθῇ
διαφορᾶ
,
,
ἐν
ἐν
ὅσῃ
ὅσος
καὶ
καί
αὐτὸς
αὐτός
οὗτος
οὗτος
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ἐλάχιστον
ἐλάχιστος
,
,
ἀριθμητικὴ
ἀριθμητικός
ἡ
ὁ
τοιαύτη
τοιοῦτος
ἐξέτασις
ἐξέτασις
γίνεται
γίγνομαι
καὶ
καί
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἄκρων
σύνθεσις
σύνθεσις
διπλασία
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
·
·
ἐὰν
ἐάν
δʼ
δέ
ὁ
ὁ
τρίτος
τρίτος
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
μεγίστου
μέγας
τῷ
τῷ
αὐτῷ
αὐτός
μέρει
μέρος
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρος
αὐτῶν
αὐτός
ὑπερέχῃ
ὑπερέχω
καὶ
καί
ὑπερέχηται
ὑπερέχω
,
,
ἁρμονικὴ
ἁρμονικός
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
μέσου
μέσης
καὶ
καί
τῆς
ὁ
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
συνθέσεως
σύνθεσις
διπλάσιον
διπλάσιος
διπλασίων
τοῦ
ὁ
ὅς
ὑπὸ
ὑπό
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
.
.
ὑπόδειγμα
ὑπόδειγμα
αὐτῆς
αὐτός
ἔστω
εἰμί
τοιοῦτον
Ϛ
Ϛ
,
,
η
,
,
θ
,
,
ιβ
·
·
οὐκοῦν
οὐκοῦν
οὔκουν
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ϛ
σκαληνὸς
σκαληνός
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἅπαξ
ἅπαξ
β
τρίς
τρίς
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιβ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
δὶς
δίς
β
τρὶς
τρίς
ἐν
ἐν
συνεχείᾳ
συνέχεια
μηκυνθέντων
,
,
τῶν
ὁ
δὲ
δέ
μέσων
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
ἐλάττων
ἐλάσσων
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἅπαξ
ἅπαξ
β
τετράκις
τετράκις
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
μείζων
μέγας
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἅπαξ
ἅπαξ
γ
τρίς
τρίς
,
,
καὶ
καί
στερεοί
στερεός
τε
τε
οἱ
ὁ
ἄκροι
ἄκρος
καὶ
καί
τριχῆ
διαστατοὶ
καὶ
καί
ὁμογενεῖς
ὁμογενής
αὐτοῖς
αὐτός
αἱ
ὁ
μεσότητες
,
,
καὶ
καί
κατὰ
κατά
μὲν
μέν
τὴν
ὁ
γεωμετρικὴν
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
η
,
,
οὕτως
οὕτως
ὁ
ὁ
θ
θ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ϛ
ϛ
,
,
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὴν
ὁ
ἀριθμητικὴν
ἀριθμητικός
ὅσῳ
ὅσος
ὁ
ὁ
ιβ
τοῦ
ὁ
θ
θ
ὑπερέχει
ὑπερέχω
.
.
τοσούτῳ
τοσοῦτος
καὶ
καί
ὁ
ὁ
θ
θ
τοῦ
ὁ
ὅς
Ϛ
Ϛ
,
,
κατὰ
κατά
δὲ
δέ
τὴν
ὁ
ἁρμονικὴν
ᾧ
ὅς
ὅς2
μέρει
μέρος
ὁ
ὁ
η
τοῦ
ὁ
Ϛ
Ϛ
ὑπερέχει
ὑπερέχω
,
,
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
τῷ
τῷ
Ϛ
Ϛ
τοῦ
ὁ
ὅς
μέρους
μέρος
θεωρουμένου
θεωρέω
,
,
τούτῳ
οὗτος
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
ὅς
ιβ
ὑπερέχεται
ὑπερέχω
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
τῷ
τῷ
ιβ
θεωρουμένῳ
.
.
ἀλλὰ
ἀλλά
μὴν
μήν
καὶ
καί
ὁ
ὁ
μὲν
μέν
η
πρὸς
πρός
Ϛ
Ϛ
ἢ
ἤ
ὁ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
θ
θ
διὰ
διά
τεσσάρων
τέσσαρες
ἐν
ἐν
ἐπιτρίτῳ
λόγῳ
λόγος
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
θ
θ
πρὸς
πρός
ϛ
ϛ
ἢ
ἤ
ὁ
ὁ
ιβ
πρὸς
πρός
η
διὰ
διά
πέντε
πέντε
ἐν
ἐν
ἡμιολίῳ
,
,
ὁ
ὁ
δὲ
δέ
ιβ
πρὸς
πρός
Ϛ
Ϛ
διὰ
διά
πασῶν
πᾶς
ἐν
ἐν
διπλασίῳ
·
·
λοιπὸν
λοιπός
δὲ
δέ
ὁ
ὁ
θ
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
η
τονιαῖον
ἐν
ἐν
ἐπογδόῳ
,
,
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
μέτρον
μέτρον
κοινὸν
κοινός
πάντων
πᾶς
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
μουσικῇ
μουσική
λόγων
λόγος
,
,
ἄτε
καὶ
καί
γνωριμώτερον
γνώριμος
ὄν
εἰμί
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ἄρα
ἄρα
καὶ
καί
διαφορὰ
τῶν
ὁ
πρώτων
καὶ
καί
στοιχειωδεστάτων
συμφώνων
πρὸς
πρός
ἄλληλα
ἀλλήλων
ὑπάρχει
ὑπάρχω
.
.
Καὶ
καί
περὶ
περί
μὲν
μέν
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
ἀριθμοῖς
ἐπιφαινομένων
ἐπιφαίνω
καὶ
καί
συμβεβηκότων
συμβαίνω
τοσαῦτα
τοσοῦτος
ὡς
ὡς
ἐν
ἐν
πρώτῃ
πρῶτος
πρότερος
εἰςαγωγῇ
ἀρκείτω
ἀρκέω
.
.
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ
.
.
α
.
.
ΤΟΤ
ΚΥΝΟΣ
.
.
Δοθέντων
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ὁποσωνοῦν
ἀριθμῶν
ἀριθμός
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
εὑρεῖν
εὑρίσκω
,
,
ὅσος
ὅσος
ἐστὶν
εἰμί
ὁ
ὁ
σύμπας
σύμπας
.
.
Ἔστωσαν
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
τῆς
ὁ
α
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
οἱ
ὁ
β
,
,
γ
,
,
δ
δ
,
,
ε
ε
,
,
ζ
ζ
,
,
η
,
,
θ
,
,
ι
·
·
ἢ
τίη
δὴ
δή
ἄρτιόν
ἄρτιος
ἐστι
εἰμί
τὸ
ὁ
πλῆθος
πλῆθος
αὐτῶν
αὐτός
ἢ
ἤ
περιττόν
περισσός
·
·
ἔστω
εἰμί
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
περιττόν
περισσός
·
·
φανερὸν
φανερός
δή
δή
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οἱ
ὁ
ὅς
μὲν
μέν
α
ι
ι
διπλάσιοί
εἰσι
εἰμί
τοῦ
ὁ
ε
,
,
οἱ
ὁ
δὲ
δέ
β
θ
θ
τοῦ
ὁ
ὅς
ε
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ὅσον
ὅσος
ἄρα
ἄρα
ἐστὶ
εἰμί
τὸ
ὁ
πλῆθος
πλῆθος
πάντων
πᾶς
,
,
τοσαυταπλασίων
τοσαυταπλάσιος
ἐστὶν
εἰμί
ὁ
ὁ
σύμπας
σύμπας
συντεθεὶς
συντίθημι
τοῦ
ὁ
ε
·
·
ἔστιν
εἰμί
ἄρα
ἄρα
ὡς
ὡς
ὡς
ὁ
ὁ
ι
ι
πρὸς
πρός
τὴν
ὁ
μονάδα
μονάς
,
,
ὁ
ὁ
σύμπας
σύμπας
πρὸς
πρός
τὸν
ὁ
ε
·
·
ὁ
ὁ
ἄρα
ἄρα
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
ὅς
ι
ι
καὶ
καί
ε
ἴσος
ἴσος
ἐστὶ
εἰμί
τῷ
τῷ
ὑπὸ
ὑπό
τῆς
ὁ
μονάδος
μονάς
καὶ
καί
συμπάντων
,
,
τουτέστι
τῷ
τῷ
σύμπαντι
σύμπας
ἀριθμῷ
ἀριθμός
.
.
εἰλήφθω
λαμβάνω
δὴ
δή
ὁ
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τῷ
τῷ
ι
ι
,
,
ὁ
ὁ
κ
κ
·
·
φανερὸν
φανερός
δὴ
δή
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
ὁ
ὁ
κ
διπλάσιός
ἐστι
εἰμί
τοῦ
ὁ
ε
,
,
ἴσος
ἴσος
γάρ
γάρ
ἐστι
εἰμί
τοῖς
ὁ
ι
ι
α
·
·
ἐπεὶ
ἐπεί
οὖν
οὖν
ὁ
ὁ
ι
τὸν
ὁ
ε
πολλαπλασιάσας
πολλαπλασιάζω
ποιεῖ
ποιέω
τὸν
ὁ
σύμπαντα
σύμπας
,
,
ἐὰν
ἐάν
ἄρα
ἄρα
τὸν
ὁ
ὅς
κ
πολλαπλασιάσας
πολλαπλασιάζω
ποιήσῃ
ποιέω
τινά
τις
,
,
ὁ
ὁ
γενόμενος
γίγνομαι
ἔσται
εἰμί
τοῦ
ὁ
σύμπαντος
σύμπας
διπλασίων
διπλάσιος
.
.
ὅταν
ὅταν
ἄρα
ἄρα
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
πλήθους
πλῆθος
ἀριθμῶν
ἀριθμός
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
τεθέντος
τίθημι
ἐρωτηθῶμεν
,
,
πόσος
ἐστὶν
εἰμί
ὁ
ὁ
σύμπας
σύμπας
συντεθείς
,
,
ἐὰν
ἐάν
ὦσι
εἰμί
περιττοὶ
τὸ
ὁ
πλῆθος
πλῆθος
,
,
πολλαπλασιάσομεν
τὸν
ὁ
μέγιστον
μέγας
ἐπὶ
ἐπί
τὸν
ὁ
ἐφεξῆς
ἐφεξῆς
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
μείζονα
μέγας
καὶ
καί
τούτου
οὗτος
γενομένου
γίγνομαι
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
λαβόντες
λαμβάνω
ἕξομεν
ἔχω
τὸν
ὁ
σύμπαντα
σύμπας
·
·
ὁμοίως
ὅμοιος
δὴ
δή
ποιήσομεν
ποιέω
,
,
καὶ
καί
ἐὰν
ἐάν
ἄρτιον
ἄρτιος
τὸ
ὁ
πλῆθος
πλῆθος
·
·
ἡ
ὁ
ὅς
γὰρ
γάρ
αὐτὴ
αὐτός
ἀπόδειξις
ἀπόδειξις
·
·
α
β
γ
δ
ε
ζ
ζ
η
θ
θ
ι
ι
—
—
κ
κ
α|
β|
γ|
δ|
δ|
ε|
ϛ|
ζ|
η|
θ|
θ|
—
—
ι|
.
.
β
.
.
Πῶς
πῶς
ἂν
ἄν
ἐκ
ἐκ
μεθόδου
μέθοδος
προχειρότατα
πρόχειρος
γινώσκοι
τις
τις
ἀκριβῶς
ἀκριβής
ἀκριβῶς
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
συντιθεμένων
συντίθημι
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
καὶ
καί
ἐφεξῆς
ἀριθμῶν
ἀριθμός
γινομένου
ποσότητα
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
δηλονότι
ἡ
ὁ
ζήτησις
ζήτησις
γίνεται
γίγνομαι
.
.
Ποιείτω
οὕτω
οὕτως
·
·
πολλαπλασιαζέτω
ἐφ’
ἐπί
ἑαυτὸν
τὸν
ὁ
ἀριθμόν
ἀριθμός
,
,
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
ἡ
ὁ
ζήτησις
ζήτησις
γίνεται
γίγνομαι
,
,
καὶ
καί
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
γινομένου
λαμβανέτω
λαμβάνω
τὸ
ὁ
ὅς
ἥμισυ
ἥμισυς
·
·
τούτῳ
οὗτος
προςτιθέτω
καὶ
καί
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
τοῦ
ὁ
πολλαπλασιασθέντος
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
καὶ
καί
τὸν
ὁ
γινόμενον
γινωσκέτω
γιγνώσκω
εἶναι
εἰμί
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἀριθμῶν
σύνθεσιν
σύνθεσις
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
,
,
μέχρις
μέχρι
οὐ
οὐ
ἡ
ὁ
ζήτησις
ζήτησις
γίνεται
γίγνομαι
.
.
οἷον
οἷος
ἔστω
εἰμί
·
·
γενέσθαι
γίγνομαι
τὴν
ὁ
ζήτησιν
ζήτησις
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἄχρι
ἄχρι
τοῦ
ὁ
ιε
,
,
πόση
ἐστὶν
εἰμί
ἡ
ὁ
τῶν
ὁ
ἀριθμῶν
ἀριθμός
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
συνεχὲς
συνεχής
σύνθεσις
σύνθεσις
·
·
τὸν
ὁ
ὅς
ιε
ἐφʼ
ἐπί
ἑαυτόν
ἑαυτοῦ
,
,
γίνονται
γίγνομαι
σκε
·
·
τούτου
οὗτος
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
ριβ
?
?
?
?
·
·
πρόςθες
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
τῶν
ὁ
ὅς
ιε
ἤτοι
ἤτοι
ζ
ζ
?
?
?
?
,
,
γίνονται
γίγνομαι
ὁμοῦ
ὁμοῦ
ρκ
·
·
τοσούτων
τοσοῦτος
ἡ
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
μονάδος
μονάς
ἄχρι
ἄχρι
τοῦ
ὁ
ιε
τῶν
ὁ
κατὰ
κατά
τὸ
ὁ
συνεχὲς
συνεχής
ἀριθμῶν
ἀριθμός
σύνθεσις
σύνθεσις
.
.
ΙΣΑΑΚ
.
.
Ἤ
Ἤ
καὶ
καί
οὕτω
οὕτως
·
·
λαμβανέτω
λαμβάνω
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
τοῦ
ὁ
μέχρις
μέχρι
οὗ
οὗ
ἡ
ὁ
ζήτησις
ζήτησις
γίνεται
γίγνομαι
καὶ
καί
προςτιθέτω
τούτῳ
οὗτος
μονάδος
μονάς
ἥμισυ
ἥμισυς
καὶ
καί
τὸν
ὁ
γινόμενον
πολλαπλασιαζέτω
μετὰ
μετά
τοῦ
ὁ
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
,
,
οὗτινος
εἰλήφει
λαμβάνω
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
·
·
καὶ
καί
τὸν
ὁ
γινόμενον
αὖθις
αὖθις
γινωσκέτω
γιγνώσκω
εἶναι
εἰμί
τὴν
ὁ
τῶν
ὁ
ἀριθμῶν
σύνθεσιν
.
.
οἷον
οἷος
ὡς
ὡς
ὡς
ἐπὶ
ἐπί
τοῦ
ὁ
προυποδειχθέντος
ἀριθμοῦ
ἀριθμός
τοῦ
ὁ
ιε
,
,
τούτου
οὗτος
τὸ
ὁ
ἥμισυ
ἥμισυς
ζ
ζ
?
?
?
?
·
·
πρόςθες
μονάδος
μονάς
ἥμισυ
ἥμισυς
,
,
γίνονται
γίγνομαι
η
·
·
ταῦτα
οὗτος
πολλαπλασίασον
ἐπὶ
ἐπί
τὸν
ὁ
ὅς
ιε
,
,
γίνονται
γίγνομαι
ρκ
.
.
καὶ
καί
ἔστι
εἰμί
καὶ
καί
οὕτως
οὕτως
ἡ
ὁ
εὕρεσις
εὕρεσις
ἀσφαλεστάτη
,
,
ὡς
ὡς
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῆς
ὁ
προτέρας
πρότερος
μεθόδου
μέθοδος
·
·
ὅπερ
ὅς
ὅσπερ
ἔδει
δέω
δέω2
δεῖ
δεῖξαι
δείκνυμι
.
.
ΤΟΥ
ΑΥΤΟΥ
.
.
γ
.
.
Ἀριθμῶν
ὅσων
ὅσος
δήποτε
ἐκκειμένων
ἐν
ἐν
ἴσῃ
ἴσος
ὑπεροχῇ
ὑπεροχή
τὸν
ὁ
συγκεφαλαιούμενον
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
συνθέσεως
σύνθεσις
αὐτῶν
αὐτός
λαμβάνειν
λαμβάνω
.
.
Ποίοι
οὕτω
οὕτως
·
·
λάμβανε
λαμβάνω
τούς
ὁ
ἄκρους
ἄκρος
τῶν
ὁ
ἐκκειμένων
καὶ
καί
τούτων
οὗτος
τὰ
ὁ
ἡμίση
ἥμισυς
συντιθεὶς
συντίθημι
καὶ
καί
πολλαπλασιάζων
πολλαπλασιάζω
ἐπὶ
ἐπί
τὸν
ὁ
ἀριθμὸν
ἀριθμός
τοῦ
ὁ
πλήθους
πλῆθος
τῶν
ὁ
ἐκκειμένων
ἕξεις
ἔχω
τὸν
ὁ
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
συνθέσεως
σύνθεσις
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
.
.
οἷον
οἷος
ἔστωσαν
εἰμί
β
,
,
δ
,
,
Ϛ
Ϛ
,
,
η
,
,
ι
,
,
ιβ
·
·
τὰ
ὁ
ἡμίση
ἥμισυς
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ζ
ζ
·
·
ταῦτα
οὗτος
πολλαπλασιαζόμενα
πολλαπλασιάζω
ἐπὶ
ἐπί
τὸ
ὁ
πλῆθος
πλῆθος
τῶν
ὁ
ἐκκειμένων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
,
,
εἰσὶ
εἰμί
δὲ
δέ
Ϛ
Ϛ
,
,
ποιοῦσι
ποιέω
μβ
.
.
πάλιν
πάλιν
ἔστωσαν
εἰμί
α
,
,
δ
δ
,
,
ζ
ζ
,
,
ι
ι
,
,
ιγ
,
,
ιϚ
,
,
ιθ
·
·
τὰ
ὁ
ἡμίση
ἥμισυς
τῶν
ὁ
ἄκρων
ἄκρον
ι
ι
καὶ
καί
τὸ
ὁ
πλῆθος
πλῆθος
ζ
ζ
·
·
δεκάκις
δεκάκις
οὖν
οὖν
τὰ
ὁ
ζ
ζ
ποιοῦσιν
ποιέω
ο
·
·
καὶ
καί
ἐπὶ
ἐπί
τῶν
ὁ
ἄλλων
ὁμοίως
ὅμοιος
.
.
ΤΟΥ
ΑΥΤΟΥ
.
.
δ
.
.
α
,
,
α
,
,
α
,
,
γ
,
,
γ
,
,
ε
,
,
ε
,
,
ε
,
,
ζ
,
,
θ
·
·
Ταῦτα
τὸ
ὁ
δέκα
δέκα
στοιχεῖα
συντιθέμενα
συντίθημι
ποιοῦσι
ποιέω
μονάδαςμ
·
·
φασὶν
φημί
οὖν
οὖν
τὸν
ὁ
βασιλέα
βασιλεύς
Λέοντα
Λέων
ταῦτα
οὗτος
ἐκθεῖναι
ἐκτίθημι
·
·
καὶ
καί
ζητεῖν
ζητέω
,
,
ὡς
ὡς
ἂν
ἄν
μερισθῶσι
δίχα
δίχα
ἤτοι
εἰς
εἰς
πέντε
καὶ
καί
πέντε
στοιχεῖα
καὶ
καί
ἑκατέρας
ἑκάτερος
μερίδος
μερίς
ἴσον
ἴσος
εἶναι
εἰμί
τὸν
ὁ
ἀριθμόν
ἀριθμός
.
.
Ἀγνοοῦντες
οὖν
οὖν
οἱ
ὁ
ἐξ
ἐκ
ἐκείνου
ἐκεῖνος
μέχρι
μέχρι
τοῦ
ὁ
τίς
ὅς
νῦν
νῦν
πάντες
πᾶς
τὸν
ὁ
σκοπὸν
ἐκείνου
ἐκεῖνος
καὶ
καί
ζητοῦντες
ζητέω
,
,
ὥςτε
καὶ
καί
ἑκατέραν
ἑκάτερος
μερίδα
μερίς
μονάδων
μονάς
κ
κ
εἶναι
εἰμί
ἤτοι
τῆς
ὁ
ἡμισείας
ἥμισυς
τῶν
ὁ
ὅλων
ὅλος
ὅλοξ
ποσότητος
ποσότης
,
,
ἀνηνύτοις
ἀνήνυτος
ἐδόκουν
δοκέω
ἐπιχειρεῖν
ἐπιχειρέω
,
,
ἀλλ᾿
ἡμεῖς
μὴ
μή
ἀγνοοῦντες
ἀγνοέω
τὸν
ὁ
ἐκείνου
σκοπόν
σκοπός
,
,
ὅτι
ὅτι2
ὅτι
οὐκ
οὐ
ἀδύνατα
ἀδύνατος
προέθετο
προτίθημι
ζητεῖν
ζητέω
,
,
ἀλλὰ
ἀλλά
δυνατὰ
δυνατός
μέν
μέν
,
,
πλὴν
οὐ
οὐ
τοῖς
ὁ
πᾶσι
πᾶς
πρόχειρα
,
,
μόνοις
δὲ
δέ
τοῖς
ὁ
τῶν
ὁ
ἀριθμητικῶν
ἀριθμητικός
μαθημάτων
μάθημα
ἐμπείροις
,
,
διείλομεν
αὐτὰ
αὐτός
δίχα
δίχα
οὕτως
οὕτως
·
·
ὥςτε
ἑκατέρας
ἑκάτερος
μερίδος
μερίς
ἀνὰ
ἀνά
ε
στοιχεῖα
ἐχούσης
ἔχω
τὸ
ὁ
μὲν
μέν
πρῶτον
πρῶτος
πρότερος
εἶναι
εἰμί
πολλαπλασιάζον
,
,
τὰ
ὁ
δὲ
δέ
λοιπὰ
λοιπός
πολλαπλασιαζόμενα
πολλαπλασιάζω
ὑπ’
ὑπό
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
,
,
ὡς
ὡς
συνἀγειν
ἑκατέραν
ἑκάτερος
μερίδα
μερίς
μονάδας
μονάς
ξ
ξ
·
·
καὶ
καί
ἔχουσιν
ἔχω
οὕτω
οὕτως
·
·
—
ις
—
—
ις
ε
,
,
α
,
,
α
,
,
γ
,
,
ζ
ζ
·
·
—
γ
,
,
α
,
,
ε
ε
,
,
ε
,
,
θ
θ
·
·
ἔστιν
εἰμί
οὖν
οὖν
τῆς
ὁ
μιᾶς
μερίδος
μερίς
ἡ
ὁ
ποσότης
μονάδων
μονάς
ιβ
,
,
δηλαδὴ
δηλαδή
τῶν
ὁ
ὅς
δ
στοιχείων
στοιχεῖον
συντιθεμένων
συντίθημι
πλὴν
πλήν
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
,
,
καὶ
καί
πενταπλασιαζόμενα
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
πρώτου
πρῶτος
πρότερος
ποιοῦσιν
ποιέω
ξ
·
·
ὁμοίως
ὅμοιος
καὶ
καί
τῆς
ὁ
ἑτέρας
ἕτερος
μερίδος
μερίς
κ
κ
καὶ
καί
τριπλασιαζόμενα
ὑπὸ
ὑπό
τοῦ
ὁ
πρώτου
ποιοῦσιν
ποιέω
ξ
.
.
ε
.
.
Μέθοδος
,
,
διʼ
διά
ἧς
ὅς
ὅς2
ἀστείως
ἀστεῖος
εὑρήσεις
εὑρίσκω
,
,
οἷον
οἷος
ἀριθμὸν
ἀριθμός
ἔχει
ἔχω
τις
τις
ἐπὶ
ἐπί
νοῦν
νόος
.
.
Ἀριθμὸν
ἀριθμός
ὁντιναοῦν
τῶν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ζ
μέχρι
μέχρι
τοῦ
ὁ
τίς
ὅς
ρε
ὑπό
ὑπό
τινος
τις
ἐν
ἐν
διανοίᾳ
διάνοια
εἰλημμένον
λαμβάνω
ζητῶν
ζητέω
εὑρεῖν
εὑρίσκω
ὁπόσος
ὁπόσος
ἐστί
εἰμί
,
,
λήψῃ
αὐτὸν
αὐτός
μεθόδῳ
μέθοδος
τοιᾷδε
τοιόσδε
·
·
ἐπίταξον
ἐπιτάσσω
τῷ
τῷ
κατὰ
κατά
διάνοιαν
διάνοια
ἔχοντι
ἔχω
τὸν
ὁ
ἀριθμὸν
ἀριθμός
κρυφίως
κρύφιος
παρ’
παρά
αὐτῷ
αὐτός
ἐκβαλεῖν
ἐκβάλλω
ἀπʼ
ἀπό
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
τὸν
ὁ
γ
,
,
ὁσάκις
ἐγχωρεῖ
ἐγχωρέω
,
,
καὶ
καί
τὰ
ὁ
καταλειφθέντα
καταλείπω
κάτωθεν
κάτωθεν
τοῦ
ὁ
ὅς
γ
,
,
εἰ
εἰ
καταλειφθείη
καταλείπω
καταλιμπάνω
δηλονότι
,
,
ἐκφωνήσαντα
εἰπεῖν
λέγω
εἶπον
πρὸς
πρός
σέ
·
·
οὐ
οὐ
καὶ
καί
εἰπόντος
λέγω
σύ
σύ
ἀνθʼ
ἀντί
ἑκάστης
ἕκαστος
μονάδος
μονάς
τῶν
ὁ
καταλειφθεισῶν
καταλείπω
λάμβανε
λαμβάνω
τῇ
ὁ
σῇ
σός
χειρὶ
χείρ
τὸν
ὁ
ὅς
ο
ἀριθμόν
ἀριθμός
·
·
οἷον
οἷος
εἰ
εἰ
μὲν
μέν
μονὰς
μονή
καταλειφθείη
καταλείπω
καταλιμπάνω
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
ο
μόνον
μόνος
,
,
εἰ
εἰ
δὲ
δέ
δυάς
δύη
,
,
αὐτὸν
αὐτός
τὸν
ὁ
ὅς
ο
δὶς
δίς
ἤτοι
ἤτοι
τὸν
ὁ
ὅς
ρμ
,
,
εἰ
εἰ
δʼ
δέ
οὐδεμία
οὐδείς
μὲν
μέν
καταλειφθείη
καταλείπω
καταλιμπάνω
,
,
πάντως
πᾶς
πάντως
οὐδὲ
οὐδέ
σὺ
λήψῃ
λῆψις
τι
τις
·
·
τοῦτο
οὗτος
δὲ
δέ
φυλάξαι
φυλάσσω
φυλάζω
σε
δεῖ
δέω
δέω2
δεῖ
καὶ
καί
ἐν
ἐν
ταῖς
ὁ
γενησομέναις
λοιπαῖς
ἀφαιρέσεσιν
,
,
ἐν
ἐν
αἷς
ὅς
δηλονότι
μηδεμία
μηδείς
μονὰς
μονή
καταλειφθήσοιτο
·
·
εἶτα
εἶτα
ἐπίταξον
ἐπιτάσσω
ἐκβαλεῖν
ἐκβάλλω
ὁμοίως
ὅμοιος
ἐξ
ἐκ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
καὶ
καί
τὸν
ὁ
ε
,
,
ὁσάκις
ἐγχωρεῖ
ἐγχωρέω
,
,
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅς
κάτωθεν
κάτωθεν
τούτου
οὗτος
καταλειφθέντα
καταλείπω
εἰπεῖν
λέγω
εἶπον
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
ἀνθʼ
ἀντί
ἑκάστης
ἕκαστος
μονάδος
μονάς
λάμβανε
λαμβάνω
τὸν
ὁ
κα
,
,
ἑνῶν
καὶ
καί
τὸν
ὁ
ἀπὸ
ἀπό
τούτου
οὗτος
συναγόμενον
συνάγω
τῷ
τῷ
προειλημμένῳ
,
,
εἰ
εἰ
τύχοι
τυγχάνω
,
,
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
σῇ
σός
χειρί
χείρ
·
·
εἶτ᾿
ἐπίταξον
ἐπιτάσσω
ὁμοίως
ὅμοιος
ἐκβαλόντι
ἐκβάλλω
καὶ
καί
τὸν
ὁ
ζ
ζ
εἰπεῖν
λέγω
εἶπον
τὰ
ὁ
ὅς
κάτωθεν
κάτωθεν
τούτου
οὗτος
καταλειπόμενα
καταλείπω
·
·
ὧν
ὅς
ὅς2
καὶ
καί
ἑκάστης
ἕκαστος
ἕνεκα
ἕνεκα
μονάδος
μονάς
τὸν
ὁ
ιε
λαβών
λαμβάνω
καὶ
καί
οὓς
ὅς
ὅς2
ἔχεις
ἔχω
πάντας
πᾶς
συνθεὶς
συντίθημι
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
ἐπισυναγωγῆς
ἐπισυναγωγή
ἄφες
ἀφίημι
,
,
ὁσάκις
δύνῃ
δύω
δύναμαι
,
,
τὸν
ὁ
ὅς
ρε
,
,
εἰ
εἰ
ἐγχωρεῖ
ἐγχωρέω
δηλονότι
,
,
καὶ
καί
τὸν
ὁ
κάτωθεν
κάτωθεν
τούτου
οὗτος
καταλειφθέντα
καταλείπω
γίνωσκε
γιγνώσκω
τὸν
ὁ
ἀριθμὸν
ἀριθμός
εἶναι
εἰμί
,
,
ὃν
ὅς
ὅς2
ζητεῖς
ζητέω
,
,
δηλαδὴ
δηλαδή
τὸν
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
λογισμῷ
λογισμός
τοῦ
ὁ
ζητήσαντος
εὑρεῖν
εὑρίσκω
σε
τοῦτον
οὗτος
εἰλημμένον
λαμβάνω
·
·
ἰστέον
μέντοι
γε
γε
,
,
ὡς
ὡς
εἰ
εἰ
μηδὲν
ἐν
ἐν
μηδεμιᾷ
μηδείς
ἀφαιρέσει
ἀφαίρεσις
καταλειφθείη
καταλείπω
καταλιμπάνω
,
,
ὅτε
ὅτε
οὐδὲ
οὐδέ
σὺ
λήψῃ
πάντως
πᾶς
πάντως
τινὰ
τῶν
ὁ
προῤῥηθέντων
ἀριθμῶν
ἀριθμός
,
,
ὁ
ὁ
ρε
ἐστὶν
εἰμί
ὁ
ὁ
ὑπ’
ὑπό
ἐκείνου
ἐκεῖνος
ληφθείς
λαμβάνω
.
.
Γενέσθω
δὲ
δέ
τὰ
ὁ
λεγόμενα
λέγω
καὶ
καί
δι’
διά
ὑποδείγματος
ὑπόδειγμα
σαφέστερα
σαφής
,
,
καὶ
καί
ἔστω
ὑφʼ
ὑπό
ἡμῶν
ἐγώ
ἐπὶ
ἐπί
νοῦν
νόος
εἰλημμένος
λαμβάνω
ὁ
ὁ
κη
·
·
ὄν
ἐπειδὴ
ἐπεί
βούλεταί
τις
τις
εὑρεῖν
εὑρίσκω
τῇ
ὁ
ὅς
τῇ
ῥηθείσῃ
μεθόδῳ
μέθοδος
χρώμενος
χράω2
,
,
ἐπιτάττει
ἐπιτάσσω
τὸν
ὁ
γ
ἐκβαλεῖν
ἐκβάλλω
ἐξ
ἐκ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
ὁσάκις
ὁσάκις
ἐγχωρεῖ
ἐγχωρέω
·
·
οὐ
οὐ
καὶ
καί
ἐννάκις
ἐννάκις
ἐκβαλλομένου
παῤ
ἡμῶν
ἐγώ
ἐκφωνούντων
πρὸς
πρός
αὐτὸν
αὐτός
καὶ
καί
τὴν
ὁ
λειπομένην
λείπω
μονάδα
μονάς
,
,
οὗτος
οὗτος
ἀντʼ
ἀντί
αὐτῆς
αὐτός
τὸν
ὁ
ὅς
ο
τῇ
ὁ
χειρὶ
χείρ
λαμβάνει
λαμβάνω
·
·
εἶτα
εἶτα
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ὅς
ε
ὁμοίως
ὅμοιος
ἐκβαλλομένου
ἐκβάλλω
πεντάκις
πεντάκις
ἀνθʼ
ἀντί
ἑκάστης
ἕκαστος
τῶν
ὁ
καταλειπομένων
τριῶν
μονάδων
μονάς
τὸν
ὁ
κα
λαμβάνων
λαμβάνω
τὸν
ὁ
γινόμενον
ξγ
συντίθησι
συντίθημι
τῷ
τῷ
πρότερον
εἰλημμένῳ
τῷ
τῷ
ο
·
·
ἐπεὶ
ἐπεί
δὲ
δέ
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ζ
ζ
κατὰ
κατά
τὴν
ὁ
μέθοδον
μέθοδος
ἐκβαλλομένου
τετράκις
τετράκις
οὐδὲν
λείπεται
λείπω
,
,
οὐδʼ
οὐδέ
οὗτος
οὗτος
ἀντὶ
ἀντί
τούτου
οὗτος
λαβών
λαμβάνω
τινα
τις
,
,
ἀλλ᾿
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ἐκ
ἐκ
τῆς
ὁ
συνθέσεως
σύνθεσις
μόνων
ἐκείνων
ἐκεῖνος
τοῦ
ὁ
τε
τε
δηλονότι
δηλονότι
ο
ο
καὶ
καί
τοῦ
ὁ
ξγ
ἤτοι
ἀπὸ
ἀπό
τοῦ
ὁ
ρλγ
ἐκβαλών
ἐκβάλλω
τὸν
ὁ
ὅς
ρε
τὸν
ὁ
λειπόμενον
λείπω
κη
λέγει
λέγω
πρὸς
πρός
ἡμᾶς
ἐγώ
ἀναμφιβόλως
εἶναι
εἰμί
τὸν
ὁ
ἀριθμόν
ἀριθμός
,
,
ὅν
ὅς
ὅς2
ἡμεῖς
ἐγώ
ἐπὶ
ἐπί
νοῦν
νόος
κεκρατήκαμεν
·
·
ὑπὲρ
ὑπέρ
οὐ
οὐ
καὶ
καί
ἐκπληττόμενοι
ἐκπλήσσω
τὸν
ὁ
λόγον
λόγος
ζητοῦμεν
ζητέω
,
,
ὅτου
ὅστις
χάριν
χάρις
τόδε
ὅδε
τοιαύτῃ
τοιοῦτος
μεθόδῳ
μέθοδος
εὑρίσκεται
εὑρίσκω
.
.
ϛ
.
.
Τῷ
ἀποθνήσκοντι
ἀποθνῄσκω
ἐωὶ
τοῖς
ὁ
Ϛ
Ϛ
παιδίοις
παιδίον
,
,
ὧν
ὅς
ὅς2
τὰ
ὁ
γ
ἦσαν
εἰμί
ἄῤῥενα
καὶ
καί
τὰ
ὁ
ὅς
γ
θήλεα
θῆλυς
,
,
καὶ
καί
διαταξαμένῳ
περὶ
περί
τῶν
ὁ
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
κιβωτίῳ
αὐτοῦ
αὐτός
αὐτοῦ
χρυσίνων
,
,
τὸν
ὁ
πρωτυν
τῶν
ὁ
παίδων
παῖς
αὐτῷ
αὐτός
τῶν
ὁ
ἀῤῥένων
θεῖναι
θείνω
τίθημι
τοσούτους
τοσοῦτος
χρυσίνους
ἐν
ἐν
τῷ
ὁ
κιβωτίῳ
κιβώτιον
,
,
ὅσοι
ὅσος
εἰσὶν
εἰμί
ἐν
ἐν
αὐτῷ
αὐτός
,
,
εἶτα
εἶτα
λαβεῖν
λαμβάνω
διακοσίους
διακόσιοι
πεντήκοντα
,
,
τὸν
ὁ
δὲ
δέ
μετʼ
μετά
ἐκεῖνον
ἐκεῖνος
θεῖναι
θείνω
τίθημι
τοσούτους
τοσοῦτος
,
,
ὅσοι
ὅσος
ὑπελείφθησαν
ὑπολείπω
,
,
καὶ
καί
λαβεῖν
λαμβάνω
σν
σν
,
,
καὶ
καί
τὸν
ὁ
τρίτον
τρίτος
ὁμοίως
ὅμοιος
θεῖναι
θείνω
τίθημι
τοσούτους
τοσοῦτος
,
,
ὅσοι
ὅσος
ὑπελείφθησαν
ὑπολείπω
,
,
καὶ
καί
λαβεῖν
λαμβάνω
σν
σν
,
,
τὴν
ὁ
δὲ
δέ
πρώτην
πρῶτος
πρότερος
τῶν
ὁ
θυγατέρων
θυγάτηρ
θεῖναι
θείνω
τίθημι
τοσούτους
τοσοῦτος
,
,
ὅσοι
ὅσος
ὑπελείφθησαν
ὑπολείπω
,
,
καὶ
καί
λαβεῖν
λαμβάνω
ρκε
,
,
τὴν
ὁ
δὲ
δέ
μετʼ
ἐκείνην
ἐκεῖνος
θεῖναι
θείνω
τίθημι
τοσούτους
τοσοῦτος
,
,
ὅσοι
ὅσος
ὑπελείφθησαν
ὑπολείπω
,
,
καὶ
καί
λαβεῖν
λαμβάνω
ρκε
,
,
καὶ
καί
τὴν
ὁ
τρίτην
τρίτος
ὁμοίως
ὅμοιος
θεῖναι
θείνω
τίθημι
τοσούτους
τοσοῦτος
,
,
ὅσοι
ὅσος
ὑπελείφθησαν
ὑπολείπω
,
,
καὶ
καί
λαβεῖν
λαμβάνω
ρκε
,
,
ὡς
ὡς
μηδένα
οὕτω
οὕτως
χρύσινον
ὑπολειφθῆναι
ὑπολείπω
,
,
σλβ
ἦσαν
εἰμί
χρύσινοι
καὶ
καί
τρίτον
τρίτος
χρυσίνου
καὶ
καί
δωδέκατον
δωδέκατος
καὶ
καί
ἑκατοστοενενηκοστοδεύτερον
ἕν
.
.