word form of the token as many l1 elements as the lemmas found in PerseusUnderPhilologic for the relevant word form AND morphological analysis as many l2 elements as the lemmas found in Morpheus for the relevant word form AND morphological analysis Ὅροι . . α΄ , , Ὁμαλῶς λέγεται λέγω φέρεσθαι φέρω σημεῖα σημεῖον , , ὅσα ὅσος ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος ἴσα ἴσος τε τε ἢ ἤ καὶ καί ὅμοια ὅμοιος μεγέθη διεξέρχεται διεξέρχομαι . . βʹ . . Ἐὰν δὲ δέ ἐπί ἐπί τινος γραμμῆς γραμμή φερόμενόν φέρω τι τις σημεῖον σημεῖον ὁμαλῶς ὁμαλός ὁμαλής δύο γε γραμμὰς γραμμή διεξέλθῃ διεξέρχομαι , , τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἕξει ἔχω λόγον λόγος ὅ ὁ τε τε χρόνος χρόνος πρὸς πρός τὸν ὁ χρόνον χρόνος , , ἐν ἐν τὸ ὁ σημεῖον σημεῖον ἑκατέραν τῶν ὁ γραμμῶν διεξῆλθεν διεξέρχομαι , , καὶ καί ἡ ὁ γραμμὴ γραμμή πρὸς πρός τὴν ὁ γραμμήν γραμμή . . Προτάσεις . . α΄ . . Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται στρέφω ὁμαλῶς ὁμαλός ὁμαλής περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων , , πάντα πᾶς τα ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον , , ὅσα ὅσος μὴ μή ἔστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος , , κύκλους κύκλος γράψει γράφω παραλλήλους παράλληλος τοὺς ὁ αὐτοὺς αὐτός πόλους πόλος ἔχοντας ἔχω τῇ ὁ ὅς τῇ σφαίρᾳ σφαῖρα καὶ καί ἔτι ἔτι ὀρθοὺς πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων . . Ἔστω εἰμί σφαῖρα ἧς ὅς ὅς2 ἄξων ἄξων ἔστω εἰμί ἡ ὁ ΑΒ εὐθεῖα εὐθύς , , πόλοι πόλος δὲ δέ αὐτῆς αὐτός τὰ ὁ Α Α Β Β σημεῖα σημεῖον , , καὶ καί στρεφέσθω ὁμαλῶς ὁμαλός ὁμαλής περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων τὸν ὁ ΑΒ λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον , , ὅσα ὅσος μὴ μή ἔστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος , , κύκλους κύκλος γράψει γράφω παραλλήλους παράλληλος τοὺς ὁ αὐτοὺς αὐτός πόλους πόλος ἔχοντας ἔχω τῇ ὁ ὅς τῇ σφαίρᾳ σφαῖρα καὶ καί ἔτι ἔτι ὀρθοὺς πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων . . Εἰλήφθω γάρ γάρ τι σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ ὅς Γ Γ , , καὶ καί ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΑΒ εὐθεῖαν εὐθύς κάθετος κάθετος ἡ ὁ Γ∠ , , καὶ καί ἐκβεβλήσθω τὸ ὁ διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῶν ὁ Α Β Β καὶ καί τῆς ὁ ὅς Γ∠ ἐπίπεδον · · ποιήσει ποιέω δὴ δή τομὴν κύκλον κύκλος . . ἔστω εἰμί αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος τὸ ὁ ΑΓΒ . . ἐὰν ἐάν δὴ δή μενούσης μένω τῆς ὁ ΑΒ εὐθείας εὐθεῖα περιενεχθὲν περιφέρω τὸ ὁ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος εἰς εἰς τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός πάλιν πάλιν ἀποκατασταθῇ ἀποκαθίστημι ὅθεν ὅθεν ἤρξατο ἄρχω ἔρδω φέρεσθαι φέρω , , συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ αὐτός καὶ καί ἡ ὁ Γ∠ εὐθεῖα εὐθύς κατὰ κατά πᾶσαν πᾶς μετακίνησιν τοῦ ὁ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα διαμένω τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ εὐθεῖα πρὸς πρός ὀρθάς , , καὶ καί γράψει γράφω κύκλον κύκλος ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα , , οὐ οὐ κέντρον κέντρον ἔσται εἰμί τὸ ὁ ∠ σημεῖον σημεῖον , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ἐκ ἐκ τοῦ ὁ κέντρου κέντρον ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ὀρθὰς οὖσα εἰμί τῷ τῷ ΑΒ ἄξονι ἄξων [ [ διὰ διά τὸ ὁ ὅς καὶ καί τὴν ὁ Γ∠ αἰεὶ ἀεί διαμένειν διαμένω τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΒ πρὸς πρός ὀρθάς ] ] . . καὶ καί φανερὸν φανερός ὅτι ὅτι2 ὅτι τὰ ὁ ΑΒ σημεῖα σημεῖον πόλοι πόλος ἔσονται εἰμί τοῦ ὁ γραφέντος γράφω κύκλου κύκλος , , ἐπειδήπερ ἐπεί ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ κέντρου κέντρον τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα κάθετος κάθετος ἦκται ἄγω καὶ καί ἐκβέβληται ἡ ὁ ΑΒ ἕως ἕως τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον , , ὅσα ὅσος μὴ μή ἔστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος , , κύκλους κύκλος γράψει γράφω πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός τῷ τῷ ΑΒ ἄξονι ἄξων τοὺς ὁ αὐτούς αὐτός πόλους πόλος ἔχοντας ἔχω τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα . . οἱ ὁ ὅς δὲ δέ περὶ περί τοὺς ὁ αὐτούς αὐτός πόλους πόλος ὄντες εἰμί ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα παράλληλοι παράλληλος κύκλοι κύκλος εἰσί εἰμί · · πάντα πᾶς ἄρα ἄρα τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον , , ὅσα ὅσος μὴ μή ἔστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος , , κύκλους κύκλος γράψει γράφω παραλλήλους παράλληλος τοὺς ὁ αὐτοὺς αὐτός πόλους πόλος ἔχοντας ἔχω τῇ ὁ ὅς τῇ σφαίρᾳ σφαῖρα καὶ καί ἔτι ἔτι ὀρθοὺς πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων . . βʹ . . Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται στρέφω ὁμαλῶς ὁμαλός ὁμαλής περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων , , πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον ἐν ἐν τῷ τῷ ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὰς ὁ ὁμοίας ὅμοιος περιφερείας περιφέρεια διεξέρχεται διεξέρχομαι τῶν ὁ παραλλήλων παράλληλος κύκλων κύκλος καθʼ κατά ὧν ὅς ὅς2 φέρεται φέρω . . Σφαῖρα γὰρ γάρ στρεφέσθω ὁμαλῶς ὁμαλός ὁμαλής περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων τὸν ὁ ΑΒ , , πόλοι πόλος δὲ δέ τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἔστωσαν τὰ ὁ Α Α Β Β σημεῖα σημεῖον , , καὶ καί εἰλήφθω λαμβάνω τινὰ σημεῖα σημεῖον ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὰ ὁ Γ Γ ∠ ∠ λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι τὰ ὁ ∠ ∠ σημεῖα σημεῖον ἐν ἐν τῷ τῷ ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὰς ὁ ὁμοίας ὅμοιος περιφερείας περιφέρεια διεξἐρχεται τῶν ὁ παραλλήλων παράλληλος κύκλων κύκλος καθʼ κατά ὧν ὅς ὅς2 φέρεται φέρω . . Ἔστωσαν γὰρ γάρ παράλληλοι παράλληλος κύκλοι κύκλος καθʼ κατά ὧν ὅς ὅς2 φέρεται φέρω τὰ ὁ Γ ∠ ∠ σημεῖα σημεῖον οἱ ἕ ΓΕ ΓΕ ∠Ζ , , καὶ καί ἐκβεβλήσθω τὸ ὁ διὰ διά τῆς ὁ ΑΒ καὶ καί τοῦ ὁ ὅς Ι Ι ἐπίπεδον · · ποιήσει ποιέω δὴ δή τομὴν τομή ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα κύκλον κύκλος . . ἔστω εἰμί δὲ δέ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος τὸ ὁ ὅς ΑΓΒ ἤτοι ἤτοι δὴ δή ἐλεύσεται ἔρχομαι καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ ∠ ∠ ἢ ἤ οὔ οὐ . . Ἐρχέσθω πρότερον πρότερος καὶ καί ἔστω εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΓ∠Β , , καὶ καί ἐν ἐν τῇ ὁ περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα μετακεκινήσθω τὸ ὁ ΑΓ∠Β ( ( ε ε ) ) ἡμικύκλιον , , καὶ καί ἐχέτω ἔχω θέσιν θέσις ὡς ὡς τὴν ὁ ΑΕΖΒ . . ἐπεὶ ἐπεί ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα παράλληλοι παράλληλος κύκλοι κύκλος εἰσὶν εἰμί οἱ ὁ ΓΕ ∠Ζ , , καὶ καί διὰ διά τῶν ὁ πόλων αὐτῶν αὐτός μέγιστοι μέγας κύκλοι κύκλος γεγραμμένοι γράφω εἰσὶν εἰμί οἱ ὁ ΑΓ∠Β ΑΕΖ Β , , ὁμοία ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΓΕ περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ∠ ∠ Ζ Ζ περιφερείᾳ περιφέρεια · · λέγω λέγω οὖν οὖν ὅτι ὅτι2 ὅτι ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Γʹ σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ . . Μὴ μή γάρ γάρ , , ἀλλʼ ἀλλʼ εἰ εἰ δυνατόν δυνατός , , ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ ὅς μὲν μέν Γ σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε σημεῖον σημεῖον παραγιγνέσθω τὸ ὁ δὲ δέ ∠ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ H H στρεφομένης στρέφω ἄρα ἄρα τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , ὅταν ὅταν τὸ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε παραγένηται παραγίγνομαι , , καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η καὶ καί τὸ ὁ ὅς ( ( Ϛ Ϛ ) ) ΑΓ∠Β ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος θέσιν θέσις ἔξει ὡς ὡς τὴν ὁ ΑΕΗΒ΄ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί μέγιστός ἐστιν εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος τῶν ὁ ΑΕΖΒ ΑΕΗΒ΄ . . κύκλων κύκλος , , ἡ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Βʹ ἐπιζευγνυμένη ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα διάμετρός ἐστι εἰμί τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ἡ ὁ ΑΒ , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἄτοπον ἄτοπος · · οὐκ οὐ ἄρα ἄρα ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Γ σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι οὐδὲ οὐδέ ἐπʼ ἄλλο ἄλλος τι τις πλὴν πλήν ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ σημεῖον σημεῖον . . Μὴ μή ἐρχέσθω ἔρχομαι δὴ δή τὸ ὁ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος τὸ ὁ διὰ διά τῶν ὁ ΑΓΒ διὰ διά τοῦ ὁ ∠ , , ἀλλὰ ἀλλά διὰ διά τοῦ ὁ Θ Θ , , ὡς ὡς ὡς ἔχει ἔχω ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ δευτέρας δεύτερος καταγραφῆς καταγραφή , , καὶ καί ἔστω εἰμί παράλληλος παράλληλος κύκλος κύκλος καθʼ καθά καθό οὗ οὗ έρεται τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ σημεῖον σημεῖον ὁ ὁ ∠ΔΘΖ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΕ ὁμοία ὅμοιος ἡ ὁ ∠Η . . ἀλλʼ ἡ ὁ ΓΕ περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΘΖ περιφερείᾳ περιφέρεια ἐστὶν εἰμί ὁμοία ὅμοιος · · καὶ καί ἡ ὁ ∠Η ἄρα τῇ ὁ ὅς τῇ ΘΖ ἐστὶν εἰμί ὁμοία . . καὶ καί εἰσὶν εἰμί τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ κύκλου κύκλος · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ∠Η περιφέρεια περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΘΖ περιφερείᾳ περιφέρεια · · ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ ∠ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ Θ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ . . ἐν ἐν ὅσῳ ὅσος δὲ δέ χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Θ Θ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ παραγίγνεται παραγίγνομαι , , καὶ καί τὸ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η . . γʹ . . Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται στρέφω ὁμαλῶς ὁμαλός ὁμαλής περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων , , ἃς ὅς ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος περιφερείας περιφέρεια διεξέρχεται διεξέρχομαι σημεῖά σημεῖον τινα τις τῶν ὁ παραλλήλων παράλληλος κύκλων κύκλος καθʼ κατά ὧν ὅς ὅς2 φέρεται φέρω , , αὗταί ὅμοιαί εἰσιν εἰμί . . Ἔστω εἰμί σφαῖρα ἧς ὅς ὅς2 ἄξων ἄξων ὁ ὁ ΑΒ , , πόλοι πόλος δὲ δέ τὰ ὁ Α Α Β Β σημεῖα σημεῖον , , καὶ καί εἰλήφθω λαμβάνω τινὰ σημεῖα σημεῖον ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὰ ὁ Γ Γ ∠ ∠ , , καὶ καί ἔστωσαν παράλληλοι παράλληλος κύκλοι κύκλος καθʼ καθά καθό ὧβ φέρεται φέρω τὰ ὁ Γ Γ ∠ ∠ σημεῖα σημεῖον οἱ ἕ ΓΕ ΓΕ ∠Ζ , , καὶ καί ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ σημεῖον σημεῖον τὴν ὁ Γ Γ Ε Ε περιφέρειαν περιφέρεια διαπορευέσθω καὶ καί τὸ ὁ ∠ σημεῖον σημεῖον τὴν ὁ ∠Ζ περιφέρειαν περιφέρεια · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ὁ ΓΕ περιφέρεια περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ∠ ∠ περιφερείᾳ περιφέρεια . . Εἰ γὰρ γάρ μὴ μή ἔστιν εἰμί ὁμοία ὅμοιος ἡ ὁ ΓΕ περιφέρεια περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΔΖ , , ἔστω εἰμί ὁμοία ὅμοιος ἡ ὁ ΓΕ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Η ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Γ σημεῖον σημεῖον τὴν ὁ ΓΕ περιφέρειαν περιφέρεια διαπορεύεται διαπορεύω καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ τὴν ὁ ∠Η . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Γ τὴν ὁ ΓΕ διαπορεύεται διαπορεύω καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ τὴν ὁ ∠Ζ · · ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ ∠ ∠ τὴν ὁ ∠Ζ διαπορεύεται διαπορεύω καὶ καί τὸ ὁ ∠ ∠ τὴν ὁ ∠Η . . καὶ καί εἰσὶν εἰμί τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ κύκλου κύκλος · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ∠Η τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Ζ , , ἡ ὁ ἐλάσσων ἐλάσσων τῇ ὁ ὅς τῇ μείζονι μέγας , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶν εἰμί ἀδύνατον ἀδύνατος · · οὐκ οὐ ἄρα ἄρα ὁμοία ἐστὶν εἰμί ἢ ἤ ΓΕ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Η . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι οὐδὲ οὐδέ ἄλλῃ ἄλλος ἄλλῃ τινὶ πλὴν πλήν τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Ζ · · ὁμοία ὅμοιος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΓΕ περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΔΖ . . δʹ . . Ἐὰν ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μένων μένω μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ὢν εἰμί τῷ ὁ ἄξονι ὁρίζῃ τό ὁ ὅς τε τε ἀφανὲς ἀφανής καὶ καί τὸ ὁ φανερὸν φανερός ἡμισφαίριον ἡμισφαίριον τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , στρεφομένης τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων οὐδὲν τῶν ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημείων σημεῖον οὔτε οὔτε δύσεται οὕτε οὔτε ἀνατελεῖ , , ἀλλὰ ἀλλά τὰ ὁ μὲν μέν ἐν ἐν τῷ ὁ φανερῷ φανερός ἡμισφαιρίῳ αἰεί ἀεί ἐστι εἰμί φανερά φανερός , , τὰ ὁ ὅς δὲ δέ ἐν ἐν τῷ τῷ ἀφανεῖ αἰεί ἀεί ἐστιν εἰμί ἀφανῆ ἀφανής . . Ἐν ἐν γὰρ γάρ σφαίρᾳ σφαῖρα μένων μένω μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΑΒ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ὢν εἰμί τῷ τῷ ἄξονι ὁριζέτω τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι στρεφομένης στρέφω τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα περὶ περί τὸν ὁ ἑαυτῆς ἑαυτοῦ ἄξονα ἄξων οὐ οὐ . . δὲν τῶν ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημείων σημεῖον οὔτε οὔτε δύσεται οὕτε οὔτε ἀνατελεῖ . . Ὅ ἐστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ μυλοειδοῦς κινήσεως κίνησις · · τότε τότε τοτέ γὰρ γάρ καὶ καί ὁ ὁ ἰσημερινὸς ὁρίζων ὁρίζω γίνεται γίγνομαι , , καὶ καί ἓξ μηνῶν μείς ἡ ὁ ἡμέρα ἡμέρα καὶ καί ἓξ μηνῶν μείς ἠ ἠ νύξ νύξ . . Εἰλήφθω γάρ γάρ τι σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ ὅς Γ Γ , , καὶ καί ἔστω εἰμί [ [ παράλληλος παράλληλος ] ] κύκλος κύκλος καθʼ κατά ου φέρεται φέρω τὸ ὁ ὅς Γ σημεῖον σημεῖον ὁ ὁ Γ∠ ὁ ὁ Γ∠ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος πρὸς πρός ὀρθάς ἐστιν εἰμί τῷ ὁ ἄξονι ἄξων . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ὁ ὁ ΑΒ παράλληλος παράλληλος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ὁ ὁ Γ∠ κύκλος κύκλος τῷ τῷ ΑΒ κύκλῳ κύκλος . . εἰ εἰ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς Γ σημεῖον σημεῖον δύσεται ἢ ἤ ἀνατελεῖ , , συμβαλεῖ ὁ ὁ Γ∠ κύκλος κύκλος τῷ τῷ ΑΒ ὁρίζοντι ὁρίζω , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶν εἰμί ἄτοπον ἄτοπος · · ἔστιν εἰμί γὰρ γάρ αὐτῷ αὐτός παράλληλος παράλληλος · · οὐκ οὐ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς Γ Γ σημεῖον σημεῖον δύσεται ἢ ἤ ἀνατελεῖ . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον οὕτη δύσεται οὔτε οὔτε ἀνατελεῖ , , ἀλλὰ ἀλλά τὰ ὁ μὲν μέν ἐν ἐν τῷ ὁ φανερῷ φανερός διὰ διά παντός πᾶς ἐστιν εἰμί ἐν ἐν τῷ ὁ φανερῷ φανερός , , τὰ ὁ δὲ δέ ἐν ἐν τῷ τῷ ἀφανεῖ διὰ διά παντός πᾶς ἐστιν εἰμί ἐν ἐν τῷ ὁ ἀφανεῖ ἀφανής . . ε΄ . . Ἐὰν διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα κύκλος κύκλος μένων μένω ὁρίζῃ τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής , , πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον στρεφομένης αὐτῆς αὐτός καὶ καί δύσεται καὶ καί ἀνατελεῖ καὶ καί τὸν ὁ ἴσον ἴσος χρόνον χρόνος ὑπέρ ὑπέρ τε τε τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω ἐνεχθήσεται καὶ καί ὑπὸ ὑπό τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Διὰ διά γὰρ γάρ τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα κύκλος κύκλος μένων μένω ο ΑΒΓ ὁριζέτω τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι στρεφομένης στρέφω τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἐν ἐν τῇ ὁ περιφορὰ περιφορά πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον καὶ καί δύνει δύω καὶ καί ἀνατέλλει ἀνατέλλω . . Ἔστω γάρ γάρ τι σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ ∠ ∠ , , καὶ καί ἔστω εἰμί παράλληλος παράλληλος κύκλος κύκλος καθʼ καθά καθό οὗ οὗ φέρεται φέρω τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ σημεῖον σημεῖον ὁ ὁ Β∠ΓΕ · · ἐν ἐν τῇ ὁ ὅς τῇ ἄρα ἄρα περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ ὅς ∠ σημεῖον σημεῖον , , ὅταν ὅταν μὲν μέν κατὰ κατά τὸ ὁ Γ Γ γένηται γίγνομαι , , ἀνατέλλει ἀνατέλλω , , ὅταν ὅταν δὲ δέ κατὰ κατά τὸ ὁ Β , , δύνει δύω . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος κύκλος τὸν ὁ Β∠ΓΕ κύκλον κύκλος διὰ διά τῶν ὁ πόλων τέμνει τέμνω , , δίχα δίχα τε τε αὐτὸν αὐτός τεμεῖ τέτμον καὶ καί πρὸς πρός ὀρθάς · · ἡμικύκλιον ἡμικύκλιον ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ὅς ΒΕΓ Β∠Γ · · τὸ ὁ ∠ ἄρα ἄρα σημεῖον σημεῖον αἰεὶ ἀεί κατὰ κατά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός σημεῖα σημεῖον τοῦ ὁ ΑΒΓ κύκλου κύκλος καὶ καί δύσεται καὶ καί ἀνατελεῖ καὶ καί τὸν ὁ ἴσον ἴσος χρόνον χρόνος . . ὑπὲρ ὑπέρ τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω ἐνεχθήσεται καὶ καί ὑπὸ ὑπό τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί πάντα πᾶς τὰ ὁ ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ἐπιφανείας ἐπιφάνεια τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα σημεῖα σημεῖον καὶ καί δύσεται καὶ καί ἀνατελεῖ καὶ καί τὸν ὁ ἴσον ἴσος χρόνον χρόνος ὑπέρ ὑπέρ τε τε τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω ἐνεχθήσεται καὶ καί ὑπὸ ὑπό τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . ϛ΄ . . Ἐὰν ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος μένων μένω ὁρίζῃ τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανὲς ἀφανής λοξὸς λοξός ὤν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , ἐφάψεται ἐφάπτω δύο γε κύκλων κύκλος ἴσων ἴσος τε τε καὶ καί παραλλήλων παράλληλος ἀλλήλοις ἀλλήλων , , καὶ καί τούτων οὗτος ὁ ὁ μὲν μέν πρὸς πρός τῷ ὁ φανερῷ φανερός πόλῳ πόλος αἰεὶ ἀεί ἔσται εἰμί φανερός φανερός , , ὁ ὁ δὲ δέ πρὸς πρός τῷ τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀεί ἀφανής ἀφανής . . Ἐν ἐν γὰρ γάρ σφαίρᾳ σφαῖρα μένων μένω μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΑΒΓ λοξὸς λοξός ὤν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων ὁριζέτω τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος κύκλος ἐφάψεται ἐφάπτω δύο γε κύκλων κύκλος ἴσων ἴσος τε τε καὶ καί παραλλήλων παράλληλος ἀλλήλοις ἀλλήλων , , καὶ καί τούτων οὗτος ὁ ὁ μὲν μέν πρὸς πρός τῷ ὁ φανερῷ φανερός πόλῳ πόλος αἰεὶ ἀεί ἔσται εἰμί φανερός φανερός , , ὁ ὁ δὲ δέ πρὸς πρός τῷ τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀεί ἔσται εἰμί ἀφανής ἀφανής . . Ἐστω γὰρ γάρ ὁ ὁ πόλος πόλος τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ὁ ὁ φανερὸς φανερός ὁ ὁ ∠ ∠ , , καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ καὶ καί τῶν ὁ τοῦ ὁ ὅς ΑΒΓ κύκλου κύκλος πόλων πόλος μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος γεγράφθω ὁ ὁ Α∠Ε , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ περιφερείᾳ περιφέρεια ἴση ἴσος ἡ ὁ ΓΕ , , καὶ καί πόλῳ πόλος τῷ τῷ ∠ διαστήματι διάστημα δὲ δέ τῷ τῷ Α∠ κύκλος κύκλος γεγράφθω γράφω ὁ ὁ ΑΖΗ , , πόλῳ πόλος δὲ δέ τῷ τῷ Ε διαστήματι διάστημα δὲ δέ τῷ τῷ ΕΓ κύκλος κύκλος γεγράφθω γράφω ὁ ὁ ΓΘΚ φανερὸν φανερός δὴ δή ὅτι ὅτι2 ὅτι ὁ ὁ ΑΖH κύκλος κύκλος τῷ τῷ ΓΘΚ κύκλῳ κύκλος ἴσος ἴσος τε τε καὶ καί παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί καὶ καί ἔτι ἔτι ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος κύκλος τῶν ὁ ΑΖΗ ΓΘΚ κύκλων κύκλος ἐφάπτεται ἐφάπτω · · λέγω λέγω δὴ δή ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί ὁ ὁ μὲν μέν ΑΖΗ κύκλος κύκλος αἰεί ἀεί ἐστι εἰμί φανερός φανερός , , ὁ ὁ δὲ δέ ΓΘΚ αἰεί ἀεί ἐστιν εἰμί ἀφανής ἀφανής . . Εἰ γὰρ γάρ μὴ μή ἔστιν εἰμί ὁ ὁ ΑΖΗ κύκλος κύκλος αἰεὶ ἀεί φανερὸς φανερός ἐν ἐν τῇ ὁ περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , ὁ ὁ ΑΖΗ κύκλος κύκλος συμβαλεῖ τῷ ὁ ΑΒΓ ὁρίζοντι ὁρίζω . . συμβαλλέτω συμβάλλω κατὰ κατά τὸ ὁ Λ σημεῖον σημεῖον , , καὶ καί ἐπεζεύχθωσαν αἱ ὁ Α∠ ∠Λ ΑΓ . . ἐπεὶ ἐπεί ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ Α∠Γ κύκλον κύκλος τινὰ τῶν ὁ ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα τὸν ὁ ΑΒΓ διὰ διά τῶν ὁ πόλων τέμνει τέμνω , , δίχα δίχα τε τε αὐτὸν αὐτός τεμεῖ τέτμον καὶ καί πρὸς πρός ὀρθάς · · διάμετρος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΑΓ τοῦ ὁ ὅς ΑΒΓ κύκλου κύκλος . . καὶ καί ὁ ὁ Α∠Γ κύκλος κύκλος ὀρθός ἐστι εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ κύκλον κύκλος · · κύκλου κύκλος δή δή τινος τοῦ ὁ ΑΒΓ ἐπὶ ἐπί διαμέτρου διάμετρος τῆς ὁ ΑΓ τμῆμα τμῆμα κύκλου κύκλος ὀρθὸν ὀρθός ἐφέστηκεν ἐφίστημι τὸ ὁ Α∠Γ καὶ καί ἡ ὁ τοῦ ὁ ἐφεστῶτος ἐφίστημι τμήματος τμῆμα περιφέρεια περιφέρεια εἰς εἰς ἄνισα τέμνεται τέμνω κατὰ κατά τὸ ὁ ∠ , , καὶ καί ἔστιν εἰμί ἐλάσσων ἐλάσσων ἡ ὁ Α∠ ( ( τοῦτο οὗτος γὰρ γάρ φανερόν φανερός ) ) · · ἡ ὁ ἄρα ἄρα Α∠ εὐθεῖα εὐθύς ἐλαχίστη ἐλάχιστος ἐστὶ εἰμί πασῶν πᾶς τῶν ὁ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ∠ πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒΓ κύκλον κύκλος προσπιπτουσῶν προσπίπτω εὐθειῶν εὐθεῖα · · ὥστε ὥστε ἐλάσσων ἐλάσσων ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Α∠ εὐθεῖα εὐθύς τῆς ὁ ∠Λ εὐθείας εὐθεῖα . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ἴση ἴσος ( ( πόλος πόλος γάρ γάρ ἐστιν εἰμί τὸ ὁ ∠ ∠ σημεῖον σημεῖον τοῦ ὁ ΑΖΗ κύκλου κύκλος ) ) , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἄτοπον · · ἐν ἐν ἄρα ἄρα τῇ ὁ ὅς τῇ περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ὁ ὁ ΑΖΗ κύκλος κύκλος οὐ οὐ δύσεται . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι οὐδὲ οὐδέ ὁ ὁ ΓΘΚ ἀνατελεῖ · · ὁ ὁ μὲν μέν ΑΖΗ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος αἰεί ἀεί ἐστιν εἰμί φανερός φανερός , , ὁ ὁ δὲ δέ ΓΘΚ αἰεί ἀεί ἐστιν εἰμί ἀφανής ἀφανής . . ζ΄ . . Ἐὰν ὁ ὁ ὁρίζων ὁρίζω ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα κύκλος κύκλος τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῇς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανὲς ἀφανής λοξὸς λοξός πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , οἱ ὁ τῷ τῷ ἄξονι ἄξων πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ὄντες εἰμί κύκλοι κύκλος καὶ καί τέμνοντες τέμνω τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω κατὰ κατά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός σημεῖα σημεῖον αἰεὶ ἀεί τοῦ ὁ ὅς ὁρίζοντος ὁρίζω τάς ὁ τε τε ἀνατολὰς ἀνατολή καὶ καί τὰς ὁ δύσεις δύσις ποιοῦνται ποιέω , , ἔτι ἔτι δὲ δέ καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος ἔσονται εἰμί κεκλιμένοι κλίνω πρὸς πρός τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Ἔστω ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα κύκλος κύκλος ὁρίζων ὁρίζω τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανὲς ἀφανής ὁ ὁ ΑΒ∠Γ λοξὸς λοξός ὥν πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , οἱ ὁ δὲ δέ τῷ τῷ ἄξονι ἄξων πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ὄντες εἰμί κύκλοι κύκλος ἔστωσαν οἱ ὁ ΑΒ Γ∠ λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι οἱ ὁ ΑΒ Γ∠ κύκλοι κύκλος κατὰ κατά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός σημεῖα σημεῖον αἰεὶ ἀεί τοῦ ὁ ὅς ὁρίζοντος ὁρίζω τάς ὁ τε τε ἀνατολὰς ἀνατολή καὶ καί τὰς ὁ δύσεις δύσις ποιοῦνται ποιέω καὶ καί διὰ διά μὲν μέν τῶν ὁ ὅς ∠ ∠ Β σημείων σημεῖον τάς ὁ ἀνατολὰς ἀνατολή ποιοῦνται ποιέω , , διὰ διά δὲ δέ τῶν ὁ Α Α Γ Γ τὰς ὁ δύσεις δύσις . . Μὴ μή γάρ γάρ , , ἀλλʼ ἀλλʼ εἰ εἰ δυνατόν δυνατός , , ποιείσθω ποιέω ὁ ὁ ΑΒ κύκλος κύκλος διʼ ἄλλου ἄλλος τινὸς σημείου τὴν ὁ ἀνατολὴν ἀνατολή τοῦ ὁ ὅς Ε Ε , , διὰ διά δὲ δέ τοῦ ὁ Α Α τὴν ὁ δύσιν δύσις , , καὶ καί ἔστω εἰμί ὁ ὁ πόλος πόλος τῶν ὁ παραλλήλων παράλληλος κύκλων κύκλος τὸ ὁ σημεῖον σημεῖον , , καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ ὅς καὶ καί τῶν ὁ τοῦ ὁ ὅς ΑΒ∠Γ κύκλου κύκλος πόλων πόλος μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος γεγράφθω γράφω ὁ ὁ ΗΖΘ , , καὶ καί ἐπεζεύχθωσαν αἱ ὁ ΗΘ ΗΖ ΖΕ ΖΒ . . ἐπεὶ ἐπεί ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΗΖΘ κύκλον κύκλος τινα τις τῶν ὁ ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα τὸν ὁ ΑΒ∠Γ διὰ διά τῶν ὁ πόλων τέμνει τέμνω , , δίχα δίχα τε τε αὐτὸν αὐτός τεμεῖ τέτμον καὶ καί πρὸς πρός ὀρθάς · · διάμετρος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΗΘ τοῦ ὁ ὅς ΑΒ∠Γ κύκλου κύκλος . . καὶ καί ὁ ὁ ΓΖΘ κύκλος κύκλος ὀρθός ἐστι εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ κύκλον κύκλος · · κύκλου κύκλος δή δή τινος τοῦ ὁ ΑΒ∠Γ ἐπὶ ἐπί διαμέτρου διάμετρος τῆς ὁ ΗΘ τμῆμα τμῆμα κύκλου κύκλος ὀρθὸν ὀρθός ἐφέστηκεν ἐφίστημι τὸ ὁ ὅς ΗΖΘ , , καὶ καί ἡ ὁ τοῦ ὁ ἐφεστῶτος τμήματος τμῆμα τοῦ ὁ ΗΖΘ περιφέρεια εἰς εἰς ἄνισα τέτμηται τέμνω κατὰ κατά τὸ ὁ Ζ σημεῖον σημεῖον , , καὶ καί ἔστιν εἰμί ἐλάσσων ἐλάσσων ἡ ὁ ΖΗ περιφέρεια περιφέρεια ἢ ἤ ἡμίσεια ἡμίσεια · · ἡ ὁ ΖΗ ἄρα ἄρα εὐθεῖα εὐθύς ἐλαχίστη ἐλάχιστος ἐστὶν εἰμί πασῶντῶν ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Ζ Ζ σημείου σημεῖον πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ κύκλον κύκλος προσπιπτουσῶν προσπίπτω εὐθειῶν εὐθεῖα · · καὶ καί ἡ ὁ ἔγγιον ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΖΗ ἐλάσσων ἐλάσσων ἐστίν εἰμί · · ἐλάσσων ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΖΕ τῆς ὁ ΖΒ . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ἴση ἴσος , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶν εἰμί ἄτοπον ἄτοπος · · οὐκ οὐ ἄρα ἄρα ὁ ὁ ΑΒ ΑΒ κύκλος κύκλος διʼ ἄλλου ἄλλος τινὸς σημείου ἢ τίη διὰ διά τοῦ ὁ ὅς Β τὴν ὁ ἀνατολὴν ἀνατολή ποιήσεται ποιέω , , διὰ διά δὲ δέ τοῦ ὁ Α Α τὴν ὁ δύσιν δύσις . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί ὁ ὁ Γ∠ κύκλος κύκλος διὰ διά μὲν μέν τοῦ ὁ ∠ ∠ τὴν ὁ ἀνατολὴν ἀνατολή ποιήσεται ποιέω , , διὰ διά δὲ δέ τοῦ ὁ Γ τὴν ὁ δύσιν δύσις · · ὥστε ὥστε οἱ ἕ ΑΒ Γ∠ κύκλοι κύκλος αἰεὶ ἀεί κατὰ κατά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός σημεῖα σημεῖον τοῦ ὁ ὅς ὁρίζοντος ὁρίζω τάς ὁ τε τε ἀνατολὰς ἀνατολή καὶ καί τὰς ὁ δύσεις δύσις ποιοῦνται ποιέω . . Λέγω λέγω δὴ δή ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος εἰσὶ εἰμί κεκλιμένοι κλίνω πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ γάρ αἱ ὁ ΑΒ Γ∠ ΚΜ ΛΝ . . ἐπεὶ ἐπεί ὁ ὁ ΗΖΘ κύκλος κύκλος τοὺς ὁ ΑΒ Γ∠ ΑΓ∠Β κύκλους κύκλος διὰ διά τῶν ὁ πόλων τέμνει τέμνω , , καὶ καί πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός αὐτοὺς αὐτός τεμεῖ τέτμον · · ὁ ὁ ΓΖΘ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος ὀρθός ὀρθός ἐστι εἰμί πρὸς πρός ἕκαστον ἕκαστος τῶν ὁ ΑΒ Γ∠ ΑΒ∠Γ κύκλων κύκλος · · ὥστε ὥστε καὶ καί ἑκάτερος ἑκάτερος τῶν ὁ ΑΒ ΑΒ∠Γ κύκλων κύκλος ὀρθός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΗΖΘ καὶ καί ἡ ὁ κοινὴ κοινός ἄρα τομὴ τομή ἡ ὁ τῶν ὁ ΑΒ Γ∠ΒΑ ἡ ὁ ΑΒ ὀρθή ὀρθός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΗΖΘ κύκλον κύκλος · · καὶ καί πρὸς πρός πάσας πᾶς ἄρα ἄρα τὰς ὁ ἁπτομένας αὐτῆς αὐτός ἐν ἐν τῷ ὁ ΗΖΚΘ ἐπιπέδῳ ἐπίπεδος ὀρθή ὀρθός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΑΒ . . ἅπτεται ἅπτω δὲ δέ τῆς ὁ ΑΒ ἑκατέρα τῶν ὁ ΗΘ ΚΜ οὖσα εἰμί ἐν ἐν τῷ τῷ τοῦ ὁ ΗΖΘ κύκλου κύκλος ἐπιπέδῳ · · ἡ ὁ ΑΒ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ἑκατέραν τῶν ὁ Ηθ ΚΜ ὀρθή ἐστιν εἰμί · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΚΜΘ γωνία γωνία ἡ ὁ κλίσις κλίσις ἐστὶν εἰμί ἐν ἐν ᾗ ὅς ᾗ κέκλιται κλίνω ὁ ὁ ΑΒ κύκλος κύκλος πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ κύκλον κύκλος . . διὰ διά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός δὴ δή καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΛΝΘ γωνία γωνία ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ κλίσις κλίσις ἔν ἐν εἰς ᾗ ὅς ᾗ κέκλιται κλίνω ὁ ὁ Γ∠ κύκλος κύκλος πρὸς πρός τὸν ὁ ὅς ΑΒ∠Γ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δύο γε ἐπίπεδα παράλληλα παράλληλος τὰ ὁ ΑΒ Γ∠ ὑπό ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ὁ ΖΘ τέμνεται τέμνω , , αἱ ὁ ὅς κοιναὶ κοινός ἄρα ἄρα αὐτῶν αὐτός τομαὶ τομή αἱ ὁ ΚΜ ΛΝ εὐθεῖαι εὐθύς παράλληλοί παράλληλος εἰσιν εἰμί · · ὥστε ὥστε ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΚΜΝ γωνία γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΛΝΘ γωνίᾳ γωνία . . καὶ καί ἔστιν εἰμί ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΚΜΘ γωνία ἡ ὁ κλίσις κλίσις ἣν ὅς ὅς2 κέκλιται κλίνω ὁ ὁ ΑΒ κύκλος κύκλος πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ κύκλον κύκλος , , ἡ ὁ δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΛΝΘ γωνία ἡ ὁ κλίσις κλίσις ἣν ὅς ὅς2 κέκλιται κλίνω ὁ ὁ Γ∠ κύκλος κύκλος πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ κύκλον κύκλος · · οἱ ὁ ΑΒ Γ∠ ἄρα ἄρα κύκλοι κύκλος ὁμοίως ὅμοιος εἰσὶ εἰμί κεκλιμένοι κλίνω πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒ∠Γ κύκλον κύκλος . . η΄ . . Οἱ ὁ τῶν ὁ αὐτῶν αὐτός ἐφαπτόμενοι ἐφάπτω μέγιστοι μέγας κύκλοι κύκλος , , ὧν ὅς ὅς2 καὶ καί ὁ ὁ ὁρίζων ὁρίζω ἅπτεται ἅπτω , , στρεφομένης τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ ἐπί τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Ἔστω ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα ὁρίζων ὁρίζω ὁ ὁ ΑΒΓ , , μέγιστος μέγας δὲ δέ τῶν ὁ μὲν μέν αἰεὶ ἀεί ἀφανῶν ἀφανής ἔστω εἰμί ὁ ὁ ΛΕ , , τῶν ὁ δὲ δέ αἰεὶ ἀεί φανερῶν ἔστω εἰμί ὁ ὁ Α∠ , , ὧν ὅς ὅς2 ἐφάπτεται ἐφάπτω ὁ ὁ ΑΒΓ ὁρίζων ὁρίζω , , καὶ καί γεγράφθω γράφω τις τις μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάπτω τῶν ὁ Α∠ ΛΕ ὁ ὁ ∠ΒΕΓ · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι στρεφομένης στρέφω τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ὁ ὁ ∠ΒΕΓ κύκλος κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ ἐπί τὸν ὁ ΑΒΓ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Γεγράφθω γάρ γάρ τις τις τῷ τῷ Α∠ παράλληλος παράλληλος κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΗΖΘ · · ἀσύμπτωτον δή δή ἐστιν εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ∠ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὰ ὁ Γ Γ Ζ Ζ Ε Ε μέρη μέρος τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἡμικυκλίῳ ἡμικύκλιον ὡς ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὰ ὁ Η Η Β Β Λ μέρη μέρος . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν παράλληλοί παράλληλος εἰσιν εἰμί κύκλοι κύκλος οἱ ὁ Α∠ ΖΗΘ , , καὶ καί γεγραμμένοι γράφω εἰσὶν εἰμί κύκλοι κύκλος μέγιστοι μέγας οἱ ὁ ΑΒΓ ∠ΒΕΓ ἑνὸς μὲν μέν αὐτῶν αὐτός ἐφαπτόμενοι ἐφάπτω τοῦ ὁ . . Α∠ , , τὸν ὁ ὅς δὲ δέ ΗΖΘ τέμνοντες τέμνω , , καὶ καί εἰσὶν εἰμί μεταξὺ τῶν ὁ ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων αἱ ὁ ∠ΚΑ ΖΗ ΛΕ ΛΕ περιπεριφέρεια φέρειαι , , ὁμοία ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ∠ΚΑ περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΖΗ καὶ καί τῇ ὁ ὅς τῇ ΛΕ περιφερείᾳ περιφέρεια · · ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ ∠ ∠ τὴν ὁ ∠ΚΑ περιφέρειαν περιφέρεια διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Α παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ζ Ζ τὴν ὁ ΖΗ διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί ἔτι ἔτι τὸ ὁ Ε Ε τὴν ὁ ΛΕ περιφέρειαν περιφέρεια διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Λ Λ παραγίγνεται παραγίγνομαι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε ἐν ἐν τῇ ὁ ὅς τῇ περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , ὅταν ὅταν το ∠ ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Α Α παραγένηται παραγίγνομαι , , τότε τότε τοτέ καὶ καί τὸ ὁ Ζ Ζ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η παρέσται πάρειμι καὶ καί τὸ ὁ Ε ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Λ Λ , , καὶ καί ἐφαρμόσει ἐφαρμόζω ἡ ὁ ∠ΖΕ ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΑΗΛ ὥστε ὥστε καὶ καί ὅλος ὅλος ὅλοξ ὁ ὁ ∠ΒΚΓ κύκλος κύκλος ἐφʼ ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸν ὁ ΑΒΓ κύκλον κύκλος ἐφαρμόσει ἐφαρμόζω · · εἰ εἰ γὰρ γάρ οὐκ οὐ ἐφαρμόσει ἐφαρμόζω , , δύο γε κύκλοι κύκλος τεμοῦσιν τέτμον ἀλλήλους ἀλλήλων κατὰ κατά πλείονα πολύς πλείων σημεῖα σημεῖον , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶν εἰμί ἄτοπον ἄτοπος · · στρεφομένης στρέφω ἄρα ἄρα τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἐφαρμόσει ὁ ὁ ∠ΒΕ κύκλος κύκλος ἐπὶ ἐπί τὸν ὁ ὅς ΑΒΓ κύκλον κύκλος . . Θ΄ . . Ἐὰν ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος λοξὸς ὣν πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων ὁρίζῃ τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής , , τῶν ὁ ὅς ἅμα ἅμα ἀνατελλόντων σημείων σημεῖον τὰ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ φανερῷ φανερός πόλῳ πόλος ὕστερον ὕστερον δύνει δύω , , τῶν ὁ δὲ δέ ἅμα ἅμα δυνόντων δύω τὰ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ φανερῷ φανερός πόλῳ πρότερον πρότερος ἀνατέλλει ἀνατέλλω . . Ἐν ἐν γὰρ γάρ σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΑΒΓ λοξὸς λοξός ὤν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων ὁριζέτω τό ὁ ὅς τε τε φανέρὸν τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ . . ἀφανές ἀφανής , , καὶ καί εἰλήφθω λαμβάνω δύο γε σημεῖα σημεῖον τὰ ὁ Γ Γ Ε Ε ὁμόσε ὁμόσε ἀνατέλλοντα ἀνατέλλω , , καὶ καί ἔστω εἰμί ἔγγιον τοῦ ὁ φανεροῦ φανερός πόλου πόλος τὸ ὁ Γ Γ ἤπερ τὸ ὁ Ε Ε λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι τὰ ὁ Γ Γ Ε Ε σημεῖα σημεῖον οὐχ οὐ ὁμόσε ὁμόσε δύσεται , , ἀλλʼ ἀλλά ὕστερον ὕστερον δύσεται τὸ ὁ Γ τοῦ ὁ Ε Ε . . Ἔστωσαν γὰρ γάρ παράλληλοι παράλληλος κύκλοι κύκλος καθʼ κατά ὧν ὅς ὅς2 φέρεται φέρω τὰ ὁ ΓΕ σημεῖα σημεῖον οἱ ὁ ΓΖΘ ΕΗΚ . . ἐπεὶ ἐπεί ὁ ὁ ΑΒΓ ὁρίζων ὁρίζω λοξός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , καὶ καί πρὸς πρός τοὺς ὁ παραλλήλους παράλληλος λοξός ἐστιν εἰμί · · ἡ ὁ ΓΖ ἄρα ἄρα περιφέρεια περιφέρεια τῆς ὁ ΕΗ περιφερείας περιφέρεια μείζων μέγας ἐστὶν εἰμί ἢ τίη ὁμοία . . ἔστω εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΗ ὁμοία ὅμοιος ἡ ὁ ΓΛ · · ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Λ παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ Ε ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η . . ἀλλʼ ὅταν ὅταν μὲν μέν τὸ ὁ Ε Ε ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η παραγένηται , , δύνει δύω τὸ ὁ ὅς Ε Ε , , ὅταν ὅταν δὲ δέ τὸ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Λ Λ παραγένηται , , οὐδέπωδύνει τὸ ὁ Γ Γ , , ἀλλʼ ἔτι ἔτι ὑπὲρ ὑπέρ γῆν γῆ ἐστιν εἰμί · · πρότερον πρότερος ἄρα ἄρα δύνει δύω τὸ ὁ ὅς Ε Ε τοῦ ὁ Γ · · ὥστε ὥστε ὕστερον ὕστερον δύνει δύω τὸ ὁ Γ Γ τοῦ ὁ Ε Ε . . Πάλιν πάλιν δὲ δέ δυνέτω τὰ ὁ ΖΗ ἄστρα ἄστρον ὁμόσε ὁμόσε · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι οὐχ οὐ ἅμα ἅμα ἀνατέλλει ἀνατέλλω , , ἀλλὰ ἀλλά πρότερον πρότερος τὸ ὁ Ζ Ζ τοῦ ὁ τίς ὅς Η Η . . Ἐπεὶ γὰρ γάρ ἡ ὁ ΓΖ περιφέρεια περιφέρεια τῆς ὁ ΕΗ περιφερείας περιφέρεια μείζων μέγας ἐστὶν εἰμί ἢ τίη ὁμοία , , λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὅς ΖΘΓ λοιπῆς λοιπός τῆς ὁ ΗΚΕ ἐλάσσων ἐλάσσων ἐστὶν εἰμί ὁμοία . . ἔστω εἰμί ἡ ὁ ΖΘΓ ὁμοία τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΚ . . ἐπεὶ ἐπεί ὁμοία ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΖΘΓ περιφέρεια περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΚ περιφερείᾳ περιφέρεια , , στρεφομένης ἄρα ἄρα τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἅμα ἅμα τὸ ὁ Ζ Ζ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Γ παραγίγνεται παραγίγνομαι καὶ καί τὸ ὁ Η ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Κ Κ . . πρότερον πρότερος δὲ δέ τὸ ὁ ὅς Η Η ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Κ Κ παραγίγνεται παραγίγνομαι ἤπερ ἤ ἠπειρωτικός ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε · · πρότερον πρότερος ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ζ Ζ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Γ παραγίγνεται παραγίγνομαι ἤπερ τὸ ὁ Η ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε . . ἀλλʼ ὅταν ὅταν μὲν μέν τὸ ὁ Ζ Ζ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Γ Γ παραγένηται , , ἀνατέλλει ἀνατέλλω τὸ ὁ Ζ Ζ , , ὅταν ὅταν δὲ δέ τὸ ὁ Η ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε παραγένηται , , ἀνατέλλει ἀνατέλλω τὸ ὁ ὅς Η Η · · πρότερον πρότερος ἄρα ἄρα ἀνατέλλει ἀνατέλλω τὸ ὁ ὅς Ζ Ζ τοῦ ὁ ὅς Η Η . . ι΄ . . Ἐὰν ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος λοξὸς λοξός ὥν ἀνά πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων ὁρίζῃ τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής , , ὁ ὁ διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα κύκλος κύκλος ἐν ἐν μιᾷ περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα δὶς δίς ἔσται εἰμί ὀρθὸς ὀρθός πρὸς πρός τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Ἐν ἐν γὰρ γάρ σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΑΒΓ ὁριζέτω τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανὲς ἀφανής λοξὸς ὥν πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , καὶ καί ἔστω εἰμί μέγιστος μέγας τῶν ὁ αἰεὶ ἀεί φανερῶν ὁ ὁ ΑΖΕ κύκλος κύκλος , , ὁ ὁ δὲ δέ φανερὸς φανερός πόλος πόλος τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἔστω εἰμί ὁ ὁ ∠ ∠ , , ὁ ὁ δὲ δέ διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα κύκλος κύκλος ἔστω εἰμί ὁ ὁ Β∠Γ λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι ἐν ἐν μιᾷ περιφορᾷ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ὁ ὁ Β ∠Γ κύκλος κύκλος δὶς δίς ἔσται εἰμί ὀρθὸς ὀρθός πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒΓ ὁρίζοντα ὁρίζω . . Γεγράφθω γὰρ γάρ διὰ διά τῶν ὁ ὅς Α ∠ ∠ σημείων σημεῖον μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ Α∠Θ ἤξει δὴ δή καὶ καί διὰ διά τῶν ὁ τοῦ ὁ ΑΒΓ πόλων πόλος καὶ καί ἔσται εἰμί ὀρθὸς ὀρθός πρὸς πρός αὐτόν αὐτός . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ἑκάτερος ἑκάτερος τῶν ὁ Ζ∠Η Α∠Ε τὸν ὁ ΑΖΗ κύκλον κύκλος διὰ διά τῶν ὁ πόλων τέμνει τέμνω , , ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΖΑ περιφέρεια περιφέρεια τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΗ περιφερείᾳ περιφέρεια · · ἐν ἐν ἴσῳ ἴσος ἄρα ἄρα χρόνῳ χρόνος τὸ ὁ Ζ σημεῖον σημεῖον τὴν ὁ ΖΑ περιφέρειαν περιφέρεια διελεύσεται διέρχομαι καὶ καί τὸ ὁ ὅς Η Η τὴν ὁ ὅς ΗΕ · · στρεφομένης στρέφω ἄρα ἄρα τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , ὅταν ὅταν τὸ ὁ Ζ Ζ τὴν ὁ ΖΑ περιφέρειαν περιφέρεια διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Α Α παραγένηται παραγίγνομαι , , καὶ καί τὸ ὁ τὴν ὁ ΗΕ διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε παραγένηται , , ἡ ὁ Ζ∠Η περιφέρεια περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ Α∠Ε περιφέρειαν · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ὅλος ὅλος ὅλοξ ὁ ὁ Β∠Γ κύκλος κύκλος ἐφʼ ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸν ὁ Α∠Θ κύκλον κύκλος ἐφαρμόσει ἐφαρμόζω . . ἀλλʼ ὁ ὁ Α∠Θ κύκλος κύκλος ὀρθός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒΓ κύκλον κύκλος · · καὶ καί ὁ ὁ Β∠Γ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος ὀρθός ὀρθός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒΓ κύκλον κύκλος . . πάλιν πάλιν δὴ δή στρεφομένης στρέφω τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , ὅταν ὅταν τὸ ὁ σημεῖον σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Ε Ε σημείου σημεῖον τὴν ὁ ΕΖΑ περιφέρειαν διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Α παραγένηται , , τότε τότε τοτέ καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ζ Ζ σημεῖον σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α σημείου σημεῖον τὴν ὁ ΑΗΕ περιφέρειαν περιφέρεια διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε παρέσται πάρειμι , , καὶ καί ἐφαρμόσει ἐφαρμόζω ἡ ὁ ΖΔΗ περιφέρεια περιφέρεια ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ Α∠Ε περιφέρειαν · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ὅλος ὅλος ὅλοξ ὁ ὁ Β∠Γ κύκλος κύκλος ἐφʼ ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸν ὁ Α∠Θ κύκλον κύκλος ἐφαρμόσει ἐφαρμόζω . . ὁ ὁ δὲ δέ Α∠Θ κύκλος κύκλος ὀρθός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒΓ κύκλον κύκλος · · καὶ καί ὁ ὁ Β∠ ; ; Γ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος ὀρθός ὀρθός ἐστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ΑΒΓ κύκλον κύκλος . . πάλιν πάλιν δὴ δή ὅταν ὅταν τὸ ὁ ὅς Η Η ἀρξάμενον ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ὅς Α Α τὴν ὁ ΑΗ διελθὸν διέρχομαι ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η παραγένηται παραγίγνομαι , , καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ζ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Ε Ε ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ παρέσται πάρειμι , , καὶ καί ὁ ὁ Β∠ΓΘ κύκλος κύκλος θέσιν ἕξει ἔχω ἣν ὅς ὅς2 εἶχεν ἔχω ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή ὥστε ὥστε οὐκ οὐ ὀρθὸς ὀρθός πρὸς πρός τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω πλέον πολύς πλείων ἢ ἤ δὶς δίς ἔσται εἰμί · · ἐν ἐν μιᾷ ἄρα ἄρα περιφορὰ περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ὁ ὁ διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα κύκλος κύκλος δὶς δίς ἔσται εἰμί ὀρθὸς ὀρθός πρὸς πρός τὸν ὁ ὁρίζοντα ὁρίζω . . ιά . . Ἐἀν ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος λοξὸς λοξός ὢν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων ὁρίζῃ τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής , , ἄλλος ἄλλος δέ δέ τις τις λοξὸς λοξός μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος μειζόνων μέγας ἄπτηται ἢ ἤ ὧν ὅς ὅς2 ὁ ὁ ὁρίζων ὁρίζω ἄπτεται , , κατὰ κατά πᾶσαντὴντοῦ ὁρίζοντος ὁρίζω περιφέρειαν περιφέρεια τὴν ὁ μεταξὺ τῶν ὁ παραλλήλων παράλληλος κύκλων ών ἐφάπτεται ἐφάπτω τάς ὁ τε τε ἀνατολὰς ἀνατολή καὶ καί τὰς ὁ δύσεις δύσις ποιεῖται ποιέω . . Ἐν ἐν γὰρ γάρ σφαίρᾳ σφαῖρα μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΑΒΓ λοξὸς λοξός ὢν εἰμί πρὸς πρός , , τὸν ὁ ἄξονα ἄξων ὁριζέτω τό ὁ τε τε φανερὸν φανερός τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα καὶ καί τὸ ὁ ἀφανές ἀφανής , , καὶ καί ἐφαπτέσθω ἐφάπτω τινὸς κύκλου κύκλος τῶν ὁ ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα τοῦ ὁ ἄλλος ἄλλος δέ δέ τις τις λοξὸς λοξός μέγιστος μέγας κύκλος κύκλος ὁ ὁ  ΓΖ μειζόνων μέγας ἁπτέσθω ἅπτω τῶν ὁ ΖΓ ἢ τίη ὧν ὅς ὅς2 ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος κύκλος ἐφάπτεται ἐφάπτω , , καὶ καί ἔστω εἰμί ἀνατολικὰ μὲν μέν μέρη μέρος τὰ ὁ Ζ Ζ Η Η δυτικὰ δὲ δέ τὰ ὁ ὅς Β Γ Γ · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι ὁ ὁ ΖΓ κύκλος κύκλος αἰεὶ ἀεί διὰ διά μὲν μέν τῆς ὁ ΖΗ περιφερείας περιφέρεια ἀνατελεῖ ἀνατέλλω , , διὰ διά δὲ δέ τῆς ὁ ΒΓ δύσεται . . Είλήφθω γάρ γάρ τινα τις σημεῖα σημεῖον ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ΖΓ περιφερείας περιφέρεια τυχόντα τὰ ὁ Θ Θ Κ Κ , , καὶ καί ἔστωσαν παράλληλοι παράλληλος κύκλοι κύκλος καθʼ καθά καθό ών φέρεται φέρω τὰ ὁ Θ Θ Κ Κ σημεῖα σημεῖον οἱ ἕ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεὶ ἐπεί τὸ ὁ ὅς Ζ σημεῖον σημεῖον αἰεὶ ἀεί διὰ διά μὲν μέν τοῦ ὁ Ζ Ζ ἀνατέλλει ἀνατέλλω διὰμ δὲ δέ τοῦ ὁ Β δύνει δύω , , τὸ ὁ δὲ δέ Θ Θ αἰεὶ ἀεί διὰ διά μὲν μέν τοῦ ὁ Μ Μ ἀνατέλλει ἀνατέλλω διὰ διά δὲ δέ τοῦ ὁ Λ Λ δύνει δύω , , ἡ ὁ ΖΘ ἄρα ἄρα περιφέρεια περιφέρεια αἰεὶ ἀεί διὰ διά μὲν μέν τῆς ὁ ΖΜ ἀνατέλλει ἀνατέλλω διὰ διά δὲ δέ τῆς ὁ ΒΛ δύνει δύω · · διὰ διά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός δὴ δή καὶ καί ἡ ὁ ΘΚ περιφέρεια περιφέρεια διὰ διά μὲν μέν τῆς ὁ ΜΞ ἀνατέλλει ἀνατέλλω διὰ διά δὲ δέ τῆς ὁ ΛΜ δύνει δύω , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΚΓ διὰ διά μὲν μέν τῆς ὁ ΞΗ ἀνατέλλει ἀνατέλλω διὰ διά δὲ δέ τῆς ὁ ΝΓ δύνει δύω · · ὅλον ὅλος ὅλοξ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ΖΓ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος αἰεὶ ἀεί διὰ διά μὲν μέν τῆς ὁ ΖH περιφερείας περιφέρεια ἀνατέλλει ἀνατέλλω διὰ διά δὲ δέ τῆς ὁ ΒΓ δύνει δύω . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί τὸ ὁ ἕτερον ἕτερος ἡμικύκλιον ἡμικύκλιος · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε ὅλος ὅλος ὅλοξ ὁ ὁ ΖΓ κύκλος κύκλος αἰεὶ ἀεί κατὰ κατά πᾶσαν πᾶς τὴν ὁ τοῦ ὁ ὁρίζοντος ὁρίζω περιφέρειαν περιφέρεια τὴν ὁ μεταξύ τῶν ὁ παραλλήλων παράλληλος κύκλων τάς ὁ τε τε ἀνατολὰς ἀνατολή καὶ καί τὰς ὁ δύσεις δύσις ποιεῖται ποιέω . . ιβʹ . . Ἐὰν ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μένων μένω κύκλος κύκλος φερόμενόν φέρω τινα τις κύκλον κύκλος τῶν ὁ ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα αἰεὶ ἀεί δίχα δίχα τέμνῃ , , μηδέτερος δὲ δέ αὐτῶν αὐτός μήτε πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός τῷ τῷ ἄξονι ἄξων μήτε διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα , , ἑκάτερος ἑκάτερος αὐτῶν αὐτός μέγιστος μέγας ἔσται . . Ἔστω ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα μένων μένω κύκλος κύκλος ὁ ὁ ΑΒΓ , , φερόμενον φέρω δέ δέ τινα τις τῶν ὁ ἐν ἐν τῇ ὁ σφαίρᾳ σφαῖρα κύκλων κύκλος τὸν ὁ Γ∠Β αἰεὶ ἀεί δίχα δίχα τεμνέτω τέμνω , , μηδέτερος δὲ δέ αὐτῶν αὐτός μήτε πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἔστω εἰμί τῷ τῷ ἄξονι ἄξων μήτε διὰ διά τῶν ὁ πόλων τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα · · λέγω λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι ἕκάτερος τῶν ὁ ΑΓΒ Γ∠Β κύκλων κύκλος μέγιστός ἐστιν εἰμί . . Ἕστω γὰρ γάρ αὐτῶν αὐτός κοινὴτομὴ ἡ ὁ Β ἡ ὁ ΒΓ ἄρα ἄρα διάμετρός ἐστι εἰμί τοῦ ὁ Γ∠Β κύκλου κύκλος . . τετμήσθωε ἡ ὁ ΒΓ δίχα δίχα κατὰ κατά τὸ ὁ Ε σημεῖον σημεῖον · · τὸ ὁ Ε Ε ἄρα ἄρα σημεῖον σημεῖον κέντρον κέντρον ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ Γ∠Β κύκλου κύκλος . . καὶ καί φανερὸν φανερός ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸ ὁ Ε σημεῖον σημεῖον αἰεί ἀεί ἐστιν εἰμί ἐν ἐν τῷ ὁ τοῦ ὁ ΑΒΓ κύκλου κύκλος ἐπιπέδω καὶ καί κατὰ κατά πᾶσαν πᾶς περιφορὰν περιφορά τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα · · λέγω λέγω δὴ δή ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸ ὁ ὅς Ε σημεῖον σημεῖον ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονός ἐστιν εἰμί . . Εἰ γὰρ γάρ μὴ μή ἔστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος , , στρεφομένης στρέφω ἄρα ἄρα τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ ὅς Ε σημεῖον σημεῖον γράψει γράφω κύκλον κύκλος πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός τῷ τῷ ἄξονι ἄξων . . γραφέτω γράφω τὸν ὁ ὅς ΕΖΗ . . ἐπεὶ ἐπεί τὸ ὁ Κ σημεῖον σημεῖον αἰεὶ ἀεί ἐν ἐν τῷ ὁ τοῦ ὁ ΑΒΓ κύκλου κύκλος ἐπιπέδῳ ἐστὶν εἰμί καὶ καί φέρεται φέρω κατὰ κατά κύκλου κύκλος τοῦ ὁ ΕΖΗ , , ὁ ὁ ΚΖ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος αἰεί ἀεί ἐστιν εἰμί ἐν ἐν τῷ ὁ τοῦ ὁ ΑΒΓ κύκλου κύκλος ἐπιπέδῳ . . καὶ καί ἔστιν εἰμί ὁ ὁ ΕΖΗ κύκλος κύκλος ὀρθὸς ὀρθός πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων · · καὶ καί ὁ ὁ ΑΒΓ ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος ὀρθός ἐστι εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , ὅπερ ὅς ὅσπερ οὐχ οὐ ὑπόκειται ὑπόκειμαι · · οὐκ οὐ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς Ε Ε σημεῖον σημεῖον οὐκ οὐ ἔστιν εἰμί ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος · · ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονος ἄξων ἄρα ἄρα ἐστίν εἰμί . . Λέγω λέγω δὴ δή ὅτι ὅτι2 ὅτι κέντρον κέντρον ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ Ε σημεῖον σημεῖον . . Μὴ μή γάρ γάρ , , ἀλλʼ ἀλλʼ εἰ εἰ δυνατόν δυνατός , , ἔστω εἰμί κέντρον κέντρον τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τὸ ὁ ὅς Θ σημεῖον σημεῖον , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἐπιζεύγνυμι ἡ ὁ ΘΕ ἄξων ἄξων ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα ἡ ὁ ΘΚ εὐθεῖα εὐθύς ( ( ἑκάτερον γὰρ γάρ τῶν ὁ ὅς Θ Θ Ε σημείων σημεῖον ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ἄξονός ἐστιν εἰμί ) ) . . καὶ καί ἔπεὶ ἐν ἐν σφαίρᾳ σφαῖρα κύκλος κύκλος ἔστὶν ὁ ὁ ΓΔΒ , , ἀπὸ ἀπό δὲ δέ τοῦ ὁ κέντρου κέντρον τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα τοῦ ὁ Θ Θ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ κέντρον κέντρον τοῦ ὁ Γ∠Β κύκλου κύκλος ἔπέζευκται εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ΘΕ , , ἡ ὁ ΘΕ ἄρα ὀρθή ὀρθός ἔστι εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ Γ∠Β κύκλον κύκλος · · ὥστε ὥστε καὶ καί ὁ ὁ Γ∠Β κύκλος κύκλος ὀρθός ὀρθός ἔστι εἰμί πρὸς πρός τῆ τῆ ΘΕ . . καὶ καί ἔστιν εἰμί ἡ ὁ ΘΕ ἄξων · · ὁ ὁ Γ∠Β ἄρα ἄρα κύκλος κύκλος ὀρθός ὀρθός ἔστιν εἰμί πρὸς πρός τὸν ὁ ἄξονα ἄξων , , ὅπερ ὅς ὅσπερ οὐχ οὐ ὑπόκειται ὑπόκειμαι · · οὐκ οὐ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς Θ Θ σημεῖον σημεῖον κέντρον ὲστὶ τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι ὅτι ὅτι2 ὅτι οὐδὲ οὐδέ ἄλλο ἄλλος τι τις πλὴν πλήν τοῦ ὁ ὅς Ε Ε τὸ ὁ Ε Ε ἄρα ἄρα σημεῖον σημεῖον κέντρον ἔστὶ τῆς ὁ σφαίρας σφαῖρα . . Καὶ καί ἔστιν εἰμί ἔν ἐν εἰς ἑκατέρῳ ἑκάτερος τῶν ὁ ΑΒΓ ΓΔΒ κύκλων κύκλος · · μέγιστος μέγας ἄρα ἄρα ἔστὶν ἑκάτερος ἑκάτερος τῶν ὁ ΑΒΓ Γ Γ # # 8736 ; ; Β κύκλων κύκλος . .