word form of the token as many l1 elements as the lemmas found in PerseusUnderPhilologic for the relevant word form AND morphological analysis as many l2 elements as the lemmas found in Morpheus for the relevant word form AND morphological analysis 1 . . Ad prop . . XIX . . Ἄλλως ἄλλος τὸ ὁ ὅς ιθ΄ . . ∠υνατὸν δέ δέ ἐστί εἰμί καὶ καί οὕτως οὕτως . . ἔστω εἰμί τρία μεγέθη τὰ ὁ . . ΑΒ , , Γ , , ∠ , , καὶ καί τὸ ὁ ὅς μὲν μέν ΑΒ τοῦ ὁ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἔστω εἰμί - - ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος , , τὸ ὁ δὲ δέ τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος · · λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί τὸ ὁ ΑΒ τοῦ ὁ ∠ ∠ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τὸ ὁ ΑΒ τοῦ ὁ Γ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος , , ἀφῃρήσθω τὸ ὁ ὅς δοθὲν δίδωμι μέγεθος μέγεθος τὸ ὁ ΑΕ · · λοιποῦ λοιπός ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ΕΒ πρὸς πρός τὸ ὁ Γ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθέίς · · τὸ ὁ δὲ δέ Γ Γ τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος · · καὶ καί τὸ ὁ ὅς ΕΒ ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . ἀφῃρήσθω οὖν οὖν τὸ ὁ δοθὲν δίδωμι μέγεθος μέγεθος τὸ ὁ ΕΖ λοιποῦ λοιπός ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ΖΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστι εἰμί δοθὲν τὸ ὁ ΑΖ τὸ ὁ ΑΒ ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . 2 . . Ad prop . . XXIV . . Ἄλλως ἄλλος τὸ ὁ ὅς αὐτό . . Ἐπεὶ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ Α πρὸς πρός τὴν ὁ Γ δοθείς δίδωμι , , ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ Α πρὸς πρός τὴν ὁ Γ Γ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α Α , , Γ Γ , , λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α , , Γ Γ δοθείς δίδωμι . . τῷῦ δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α Α , , Γ Γ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό ὸ ὸ τῆς ὁ Β δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τῆς ὁ Α πρὸς πρός τὴν ὁ Β λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . 3 . . Ad prop . . XXVII . . Ἄλλως ἄλλος . . Κέντρῳ γὰρ γάρ τῷ τῷ Α Α , , διαστήματι διάστημα δὲ δέ τῷ τῷ ΑΒ περι - - φέρεια γεγράφθω γράφω ἡ ὁ ΓΒ∠ θέσει ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΓΒ∠ . . θέσει θέσις δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ΑΒ εὐθεῖα εὐθύς · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς Β σημεῖον σημεῖον . . 4 . . Ad prop . . XXX . . Ἄλλως ἄλλος τὸ ὁ ὅς αὐτό . . Ἤχθω διὰ διά τοῦ ὁ Α σημείου σημεῖον τῇ ὁ Β∠Γ εὐθείᾳ εὐθύς παρ - - άλληλος ἡ ὁ ΕΑΖ , , ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν διὰ διά δεδομένου σημείου σημεῖον τοῦ ὁ Α παρὰ παρά θέσει θέσις δεδομένην εὐθεῖαν εὐθύς τὴν ὁ Β∠Γ εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἦκται ἄγω ἡ ὁ ΕΑΖ , , θέσει ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΕΑΖ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΕΑΖ τῇ ὁ Β∠Γ , , καὶ καί εἰς εἰς αὐτὰς αὐτός ἐμπέπτωκεν ἐμπίπτω ἡ ὁ ∠Α , , ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΑ∠ γωνία , , τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ γωνίᾳ γωνία . . δοθεῖσα δίδωμι δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ · · δο - - θεῖσα ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΑ∠ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν πρὸς πρός θέσει θέσις δεδο - - μένῃ εὐθείᾳ εὐθεῖα τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΑΖ καὶ καί τῷ τῷ πρὸς πρός αὐτῇ αὐτός σημείῳ σημεῖον δεδο - - μένῳ τῷ τῷ Α Α εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἦκται ἄγω ἡ ὁ Α∠ δεδομένην ποιοῦσα ποιέω γωνίαν γωνία τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΑ∠ , , θέσει θέσις ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Α∠ . . 5 . . Ad prop . . XXX . . Ἄλλως ἄλλος . . Είλήφθω ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ΒΓ δοθὲν δίδωμι σημεῖον σημεῖον τὸ ὁ Ε , , καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ Ε σημείου σημεῖον τῇ ὁ Α∠ παράλληλος παράλληλος ἤχθω ἡ ὁ ΕΖ . . ἐπεὶ ἐπεί παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΖΕ . . τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ , , καὶ καί εἰς εἰς αὐτὰς αὐτός ἐμ ἐν - - πέπτωκεν πίπτω ἡ ὁ ΒΕ∠ , , ἱση ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΕ∠ γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Γ γωνίᾳ γωνία · · δοθεῖσα δίδωμι δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Γ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΕΓ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν πρὸς πρός θέσει θέσις δεδομένῃ εὐθείᾳ εὐθεῖα τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ καὶ καί τῷ τῷ πρὸς πρός αὐτῇ αὐτός σημείῳ σημεῖον δεδομένῳ τῷ τῷ Ε Ε εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἡκται ἡ ὁ ΕΖ δεδομένη ποιοῦσα ποιέω γωνίαν γωνία τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΕΓ , , θέσει θέσις ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΕΖ . . ἐπεὶ οὖν οὖν διὰ διά δεδο - - μένου σημείου σημεῖον τοῦ ὁ Α Α παρὰ παρά θέσει θέσις δεδομένην εὐθεῖαν εὐθύς τὴν ὁ ΖΕ εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἦκται ἄγω ἡ ὁ Α∠ , , θέσει ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Α∠ . . 6 . . Ad prop . . XXX . . Ἅλλως . . Εἰλήφθω ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ΒΓ τυχὸν σημεῖον σημεῖον τὸ ὁ Ε Ε , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἐπιζεύγνυμι ἡ ὁ ΑΕ . . ἐπεὶ ἐπεί δοθέν ἐστιν εἰμί τὸ ὁ ὅς Α σημεῖον σημεῖον , , θέσει ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΑΕ · · θέσει θέσις δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ΒΓ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΕ∠ γωνία . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Ε γωνία γωνία δοθεῖσα δίδωμι · · καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΑ∠ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν πρὸς πρός θέσει θέσις δεδομένῃ εὐθείᾳ εὐθεῖα τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΑ καὶ καί τῷ τῷ πρὸς πρός αὐτῇ αὐτός δεδομένῳ σημείῳ σημεῖον τῷ τῷ Α Α εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἧκται ἡ ὁ Α∠ δεδομένην ποιοῦσα ποιέω γωνίαν γωνία τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΑ∠ , , θέσει θέσις ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Α∠ . . 7 . . Ad prop . . XXXIII . . Ἄλλως ἄλλος . . Εἰλήφθω ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ Γ∠ δοθὲν δίδωμι σημεῖον σημεῖον τὸ ὁ Η Η , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΖ ἴση ἴσος ἡ ὁ Η∠ . . κέντρῳ κέντρον μὲν μέν τῷ τῷ Η Η , , δια - - στήματι δὲ δέ τῷ τῷ Η∠ κύκλος κύκλος γεγράφθω γράφω ὁ ὁ ∠Β · · θέσει θέσις ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ὁ ὁ Δ∠Β κύκλος κύκλος · · δέδοται δίδωμι γὰρ γάρ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τὸ ὁ κέντρον κέντρον τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις καὶ καί ἡ ὁ ἐκ ἐκ τοῦ ὁ κέντρου κέντρον τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . θέσει θέσις δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ΑΒ · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς Β σημεῖον σημεῖον . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ δοθέν · · θέσει θέσις ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΒΗ . . θέσει θέσις δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ Γ∠ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΗ∠ γωνία γωνία . . καὶ καί εἰ εἰ μὲν μέν παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΕΖ τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΒ , , ἔσται εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΖΗ γωνία γωνία δοθεῖσα δίδωμι · · ὥστε ὥστε καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΕΒ γωνία δοθεῖσά ἐστιν εἰμί . . εἰ εἰ δὲ δέ οὔ οὐ , , συμπιπτέτωσαν αἱ ὁ ΕΖ , , ΗΒ ΗΒ κατὰ κατά τὸ ὁ Θ Θ . . ἐπεὶ ἐπεί ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΕΖ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Η , , τουτέστι τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΒ , , καί καί ἐστι εἰμί παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΕΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΖΗ , , ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ΖΘ τῇ ὁ ὅς τῇ ΘΗ · · ὥστε ὥστε καὶ καί γωνία γωνία ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΘΗΖ γωνίᾳ γωνία τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΘΖ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . δοθεῖσα δίδωμι δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΘΗΖ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΗΖΘ · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ἡ ὁ ἐφεξῆς ἐφεξῆς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΗΖΕ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΕΒ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί . . 8 . . Ad prop . . XXXIV . . Ἄλλως ἄλλος . . Εἰς εἰς γὰρ γάρ παραλλήλους τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις δεδομένας δίδωμι τὰς ὁ ΑΒ , , Γ∠ ἀπὸ ἀπό δεδομένου σημείου σημεῖον τοῦ ὁ Ε Ε εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἤχθω ἡ ὁ ΕΖΗ · · λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ ΗΕ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ δοθείς δίδωμι . . ἤχθω γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Ε Ε σημείου σημεῖον ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ Γ∠ κάθετος κάθετος ἡ ὁ ΕΘ καὶ καί ἐκβεβλήσθω ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Κ Κ . . ἐπεὶ ἐπεί ἀπὸ ἀπό δεδομένου σημείου  τοῦ ὁ Ε Ε ἐπὶ ἐπί θέσει θέσις δεδομένην εὐθεῖαν εὐθύς τὴν ὁ Γ∠ εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἦκται ἄγω ἡ ὁ ΕΘ δεδομένην ποιοῦσα ποιέω γωνίαν γωνία τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΘΗ , , θέσει θέσις ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΘΕΚ · · θέσει θέσις δὲ δέ καὶ καί ἑκατέρα τῶν ὁ ΑΒ , , Γ∠ · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἑκάτερον τῶν ὁ Θ Θ , , Κ Κ σημείων σημεῖον . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ε Ε δοθέν δίδωμι · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἑκατέρα τῶν ὁ ὅς ΘΕ , , ΕΚ λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΘΕ πρὸς πρός ΕΚ δοθείς δίδωμι · · ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΘΕ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΚ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΗΕ πρὸς πρός ΕΖ λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ ΗΕ πρὸς πρός EΖ δοθείς δίδωμι . . 9 . . Ad prop . . XLV . . Ἄλλως ἄλλος . . Ἐκβεβλήσθω ἡ ὁ ΒΑ ἐπʼ ἐπί εὐθείας εὐθεῖα , , καὶ καί τῇ ὁ ΑΓ κείσθω κεῖμαι ἴση ἴσος , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἐπιζεύγνυμι ἡ ὁ ΔΓ καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί συν - - αμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΒ δοθείς δίδωμι , , ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΓΑ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Α ∠Α , , λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ Β∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ δο - - θείς · · καί καί ἐστι εἰμί δοθεῖσα δίδωμι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Γ · · ἡμίσεια ἡμίσεια γάρ γάρ ἐστι εἰμί τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό BΑΓ δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ Β∠Γ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒΓ γωνία γωνία . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ δοθεῖσα δίδωμι · · καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓΒ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . 10 . . Αd prop . . XLVI . . Ἄλλως ἄλλος . . Κείσθω τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΑ ἴση ἴσος ἡ ὁ ∠Α , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἡ ὁ ∠Γ . . ἐπεὶ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΒ δοθείς δίδωμι , , ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΓΑ τῇ ὁ Α∠ , , λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ ∠Β πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστι εἰμί δο - - θεῖσα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΒΓ γωνία · · δέδο - - ται ἄρα ἄρα τὸ ὁ ∠ΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εῖδει · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β∠Γ γωνία γωνία . . καί καί ἐστιν εἰμί αὐτῆς αὐτός διπλῆ διπλόος ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ · · ἡ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ γωνία γωνία δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . 11 . . Ad prop . . LIV . . Ἄλλως ἄλλος . . Ἐκκείσθω δοθεῖσα δίδωμι εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ΗΘ . . τὸ ὁ ὅς δὴ δή Α τῷ τῷ Β ἤτοι ἤτοι ὅμοιόν ὅμοιος ἐστιν εἰμί ἢ ἤ οὔ οὐ . . ἔστω εἰμί πρότερον πρότερος ὃμοιον , , καὶ καί πεποιήσθω , , ὡς ὡς ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΒΘ πρὸς πρός τὴν ὁ ΚΛ , , καὶ καί ἀνα - - γεγράφθω ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΗΘ , , ΚΛ τοῖς ὁ Α Α , , Β Β ὅμοια ὅμοιος καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος κείμενα τὰ ὁ Μ Μ , , Ν · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα ἑκάτερον τῶν ὁ ὅς Μ Μ , , Ν Ν τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . καὶ καί ἐπεί ἐπεί ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΗΘ πρὸς πρός τὴν ὁ ΚΛ , , καὶ καί ἀναγέγραπται ἀναγράφω ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ὅς Γ∠ , , ΕΖ , , ΗΘ , , ΚΛ ὅμοια ὅμοιος καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ὁ Α Α , , Β , , Μ Μ , , Ν Ν , , ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ ὅς Α πρὸς πρός τὸ ὁ Β , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς Μ Μ πρὸς πρός τὸ ὁ Ν Ν . . λόγος λόγος δὲ δέ τοῦ ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ Β δοθείς δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ Μ Μ πρὸς πρός τὸ ὁ Ν Ν δοθείς δίδωμι . . δοθὲν δὲ δέ τὸ ὁ ὅς Μ Μ · · ἀπὸ ἀπό γὰρ γάρ δεδομένης εὐθείας εὐθεῖα τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος ἀναγέγραπται ἀναγράφω δεδομένον δίδωμι εἶδος εἶδος · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ν Ν . . ἀναγεγράφθω ἀναγράφω δὴ δή ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Κ Λ Λ τετράγωνον τετράγωνος τὸ ὁ Ξ Ξ · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ Ξ τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ Ν Ν πρὸς πρός τὸ ὁ Ξ Ξ δοθείς δίδωμι . . δοθὲν δὲ δέ τὸ ὁ ὅς Ν Ν · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ὅς Ξ Ξ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΚΛ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ΗΘ δοθεῖσα δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ ΗΘ πρὸς πρός τὴν ὁ ΚΛ δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΗΘ πρὸς πρός τὴν ὁ Κ Κ Λ Λ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ Ε Ε Ζ Ζ δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστιν εἰμί ὅμοιον ὅμοιος τὸ ὁ Α τῷ τῷ Β · · καὶ καί αἱ ὁ λοιπαὶ λοιπός ἄρα ἄρα πλευραὶ πλευρά , , πρὸς πρός τὰς ὁ λοιπὰς πλευρὰς πλευρά λόγον λόγος ἕξουσι ἔχω δεδομένον δίδωμι . . · · μὴ μή ἔστω εἰμί δὴ δή ὅμοιον ὅμοιος · · ἀκολούθως ἀκόλουθος δὴ δή τῇ ὁ προτέρᾳ πρότερος ἀπο - - δείξει δείκνυμι τοῦ ὁ πρώτου πρῶτος πρότερος δείκνυται δείκνυμι . . 12 . . Ad prop . . LV . . Ἄλλως ἄλλος . . Ἔστω εἰμί χωρίον χωρίον τὸ ὁ ΚΛΜΝΞ δεδομένον δίδωμι τῷ τῷ εἴδει εἶδος καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος · · λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί αἱ ὁ πλευραὶ πλευρά αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ δεδομέναι δίδωμι εἰσὶ εἰμί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . ἀναγεγράφθω ἀναγράφω γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΜΝ τετράγωνον τετράγωνος τὸ ὁ ΜΟ · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί τὸ ὁ ὅς ΛΝ · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ ΛΝ πρὸς πρός τὸ ὁ ΜΟ δοθείς δίδωμι . . δοθὲν δὲ δέ τὸ ὁ ὅς ΛΝ τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ΜΟ τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . καί καί ἐστι εἰμί τετράγωνον τετράγωνος τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΜΝ · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΜΝ δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΜΝ τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . διά διά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός δὴ δή καὶ καί ἑκάστη ἕκαστος τῶν ὁ ΜΛ ΜΛ , , ΛΚ , , KΞ ΞΝ δοθεῖσά ἐστι εἰμί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . 13 . . Ad prop . . LXVII . . Ἄλλως ἄλλος . . Κατεσκευάσθω γὰρ γάρ τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός τοῖς ὁ πρότερον πρότερος , , καὶ καί ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΕΓ κάθετος κάθετος ἡ ὁ Α Α ΑΖ , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἐπιζεύγνυμι ἡ ὁ Α∠ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ . . ΒΑΓ γωνία γωνία καί καί ἐστιν εἰμί αὐτῆς αὐτός ἡμίσεια ἡμίσεια ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓΖ , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖΓ δοθεῖσα δίδωμι , , δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΖΓ τρί - - γωνον τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ ΑΖ πρὸς πρός τὴν ὁ ΖΓ δοθείς δίδωμι . . τῆς ὁ ὅς δὲ δέ ΖΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΕ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · διπλασίων διπλάσιος γάρ γάρ ἐστιν εἰμί αὐτῆς αὐτός · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΕΓ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων γάρ γάρ ἐστιν εἰμί αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ EΓ∠ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος . . ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . ἴσον ἴσος δὲ δέ τὸ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ τρίγωνος · · ἐπί ἐπί τε τε γὰρ γάρ τῆς ὁ αὐτῆς αὐτός βάσεώς βάσις ἐστι εἰμί τῆς ὁ ΑΓ καὶ καί ἐν ἐν ταῖς ὁ αὐταῖς αὐτός παραλλήλοις ταῖς ὁ ΑΓ , , Β∠ · · καὶ καί . . τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ∠ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ∠ , , ᾧ ὅς ὅς2 μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ ᾧ ὅς ὅς2 ἄρα ἄρα μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑ , , ΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΓΒ , , ἐκεῖνο ἐκεῖνος τὸ ὁ χωρίον χωρίον πρὸς πρός τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 14 . . Αd prop LXVII . . Ἄλλως ἄλλος . . Ἤτοι γὰρ γάρ ἡ ὁ Α Α γωνία ὀρθή ἐστιν εἰμί ἢ τίη ὀξεῖα ὀξύς2 ὀξύς ἢ ἤ ἀμβλεῖα ἀμβλύς . . ἔστω εἰμί πρότερον πρότερος ὀρθή · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ ὑπερέχει ὑπερέχω τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ . . καί καί ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ὅς δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . ἔστω εἰμί δὴ δή ὀξεῖα ὀξύς2 ὀξύς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ , , καὶ καί ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Γ Γ ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΑΒ κάθετος κάθετος ἡ ὁ Γ∠ . . ἐπεὶ ἐπεί ὀξυγώνιόν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος , , καὶ καί κάθετος κάθετος ἦκται ἄγω ἡ ὁ Γ∠ , , τὰ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΒΑΓ ἴσα ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ τε τε ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ καὶ καί τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ∠ . . κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ τὰ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΕΑΓ μετὰ μετά τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ . . ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ ἴσα ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ τε τε ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ καὶ καί τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ∠ καὶ καί ἔτι ἔτι τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ , , τουτέστι τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΓΑ∠ καὶ καί τῆς ὁ ΑΒ ὥστε ὥστε τὸ ὁ ὅς ἀπ συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ∠ΑΓ καὶ καί τῆς ὁ Β Α . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ γωνία γωνία , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Γ γωνία γωνία δοθεῖσα δίδωμι , , καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΓΑ ἐστι εἰμί δοθεῖσα δίδωμι · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ Α∠Γ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ Α∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΓ δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί συναμφοτέρου τῆς ὁ ∠ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου ἄρα ἄρα τῆς ὁ ∠ΑΓ καὶ καί τῆς ὁ Α Α Β πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , καἰ τοῦ ὁ ὅς δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ∠ΑΓ καὶ καί τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΑΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ δοθεῖσαν δίδωμι εἶναι εἰμί τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ γωνίαν γωνία · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ∠ΑΓ καὶ καί τῆς ὁ Α Α Β Β ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . ἀλλὰ ἀλλά δὴ δή ἔστω εἰμί ἀμβλεῖα ἀμβλύς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ καὶ καί ἐκβληθείσης ἐκβάλλω τῆς ὁ ΒΑ ἤχθω ἐπʼ ἐπί αὐτὴν αὐτός κάθετος κάθετος ἡ ὁ ΓΕ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ΑΕ ἴση ἴσος ἡ ὁ ΑΖ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἀμβλεῖά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ ΒΑΓ γωνία γωνία , , καὶ καί κάθετος κάθετος ἦκται ἄγω ἡ ὁ ΓΕ , , τὰ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΑΓ μετὰ μετά τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ Ε Ε , , τουτέστι τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β Β Α Α Ζ Ζ , , ἴσα ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β Γ Γ κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ , , ΒΑ τὰ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΒΑΓ μετὰ μετά τοῦ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΤ , , τουτέστι τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΤ μετὰ μετά τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΖ ἴσα ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό , , τῆς ὁ ΒΓ μετὰ μετά τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ κοινὸν κοινός , , ἀφῃρήσθω τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΖ τὸ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό συν - - αμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ καὶ καί τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΓΖ ΓΖ ὥστε ὥστε τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφο - - τέρου τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ ὑπερέχει ὑπερέχω τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΓΖ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ ΒΑΓ γωνία , , καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΑΓ ἄρα ἄρα δοθεῖσά ἐστιν εἰμί . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΕΑ δοθεῖσα δίδωμι · · καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΕ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΚΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΓΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΕ δοθείς δίδωμι , , τουτέστι πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΖ · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τῆς ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . τῆς ὁ ὅς δὲ δέ ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΕ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΕΓ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ , , ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΖ , , ΑΒ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , ΓΕ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς δὶς δίς ὑπὸ ὑπό ΓΖ , , ΒΑ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρί - - γωνον λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΓ ΖΓ , , ΒA , , ᾧ ὅς ὅς2 μεῖζόν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ ᾧ ὅς ὅς2 ἄρα ἄρα μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό συναμφο - - τέρου τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ , , ἐκεῖνο ἐκεῖνος τὸ ὁ χωρίον χωρίον πρὸς πρός τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 15 . . A A prop . . LXVII . . Ἄλλως ἄλλος . . Διήχθω ἡ ὁ ΒΑ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ ∠ ∠ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΑ ἴσ ἴσ ἡ ὁ Α∠ , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἐπιζεύγνυμι ἡ ὁ ∠ ∠ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ γωνία , , κα ἐστιν εἰμί αὐτῆς αὐτός ἡμίσεια ἡμίσεια ἐκατέρα τῶν ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ , , ΑΓ∠ , , δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἑκατέρα τῶν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Γ ΑΓ∠ καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἀρά ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠Α δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ Γ∠ δοθείς δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ . . κατήχθω αὐτῇ αὐτός ἴση ἴσος ἐκατέρα τῶν ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΕΓ , , ΑΖΓ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Γ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΕΓ , , κοινὴ κοινός δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒΓ τοῦ ὁ ∠ΒΕ τριγώνου οὗσα ἕννυμι ὕω καὶ  τοῦ ὁ ∠ΒΓ , , λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Ε λοιπῇ λοιπός τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΓ∠ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος · · ἰσογώνιον ἰσογώνιος ἄρα ἄρα τὸ ὁ Β∠Ε τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ∠ΒΓ τριγώνῳ τρίγωνος · · ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΒ πρὸς πρός τὴν ὁ Β∠ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ∠Β πρὸς πρός ΒΓ τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΒ , , ΒΓ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ EΓΒ μετὰ μετά τοῦ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΓΒ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό Β∠ , , τουτέστι τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ ἴση ἴσος γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ∠Α τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓΒ μετὰ μετά τοῦ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΓΒ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ τὸ ὁ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ ὑπερέχει ὑπερέχω τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓE . . λέγω λέγω οὖν οὖν , , ὅτι ὅτι2 ὅτι λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓE πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος δοθείς . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Ε γωνία γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΒΓ∠ , , ὦν ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓ∠ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος , , λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα , , ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Γ∠Ε λοιπῇ λοιπός τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . ἔστι εἰμί δὲ δέ . . καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΕΓ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΖΓ ἴση ἴσος · · λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΑΓ λοιπῇ λοιπός τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΓE ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . ἰσογώνιον ἰσογώνιος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΖΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ∠ΕΓ τριγώνῳ · · ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς ἡ ὁ Γ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΖ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ∠Γ πρὸς πρός ΓΕ καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Γ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Α Α πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΕ . . λόγος λόγος δὲ δέ τῆς ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ Γ∠ δοθείς δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ Α πρὸς πρός τὴν ὁ ΓE δοθείς δίδωμι . . ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΒΓ κάθετος κάθετος ἡ ὁ ΑΗ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΖΓ , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΗΖ δοθεῖσα δίδωμι , , καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἀρά ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΗΑΖ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΗΖ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ ΖΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΗ δοθείς δίδωμι . . τῆς ὁ ὅς δὲ δέ ΖΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΕ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΑΗ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΕ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΗ , , ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΓΕ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΗ , , ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΓΕ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δο - - θείς · · καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΓΕ , , ᾧ ὅς ὅς2 μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ · · ᾧ ὅς ὅς2 ἄρα ἄρα μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ , , ἐκεῖνο ἐκεῖνος τὸ ὁ χωρίον χωρίον πρὸς πρός τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 16 . . Ad prop LXVIII . . Ἄλλως ἄλλος . . Ἐκκείσθω δεδομένη εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ Κ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ Β δοθείς δίδωμι , , ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός αὐτῷ αὐτός γεγονέτω ὁ ὁ τῆς ὁ Κ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ . . λόγος λόγος δὲ δέ τοῦ ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ Β δοθείς δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ δοθείς δίδωμι . . δοθεῖσα δίδωμι δὲ δέ ἡ ὁ Κ Κ δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ Λ Λ . . πάλιν πάλιν ἐπεὶ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι τῆς ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ , , ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός αὐτῷ αὐτός γεγονέτω ὁ ὁ τῆς ὁ Κ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Μ Μ · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Μ δοθείς δίδωμι · · δοθεῖσα δίδωμι δὲ δέ ἡ ὁ Κ Κ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ Μ Μ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ Λ δοθεῖσα δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ Λ πρὸς πρός τὴν ὁ Μ Μ δοθείς δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ἰσο - - γώνιόν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς Α Α τῷ τῷ Β , , τὸ ὁ Α Α ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ Β λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸν ὁ συγκείμενον ἐκ ἐκ τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν , , τουτέστιν ἐ ἐ οὗ οὗ ὅν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω λόγον λόγος ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ , , καὶ καί ἡ ὁ ΘΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΗΕ . . ἀλλὰ ἀλλά μὴν μήν καὶ καί ἡ ὁ Κ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸν ὁ συγκείμενον ἐκ ἐκ τοῦ ὁ ὃν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω ἡ ὁ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Μ καὶ καί ἡ ὁ M M πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ · · ὁ ὁ ἄρα ἄρα συγκείμενος λόγος λόγος ἐκ ἐκ τοῦ ὁ ὃν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ καὶ καί ἡ ὁ ΘΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΗΕ ὁ ὁ αὐτός αὐτός ἐστι εἰμί τῷ τῷ συγκειμένῳ ἐξ ἐκ οὖ οὐ ὃν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω ἡ ὁ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Μ καὶ καί ἡ ὁ M M πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ , , ὧν ὅς ὅς2 ὁ ὁ τῆς ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΖ λόγος λόγος ὁ ὁ αὐτός αὐτός ἐστι εἰμί τῷ τῷ τῆς ὁ Κ πρὸς πρός τὴν ὁ Μ Μ λόγῳ λόγος · · λοιπὸς λοιπός ἄρα ἄρα ὁ ὁ τῆς ὁ ΘΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΗΕ λόγος λόγος ὁ ὁ αὐτός αὐτός ἐστι εἰμί τῷ τῷ τῆς ὁ Μ πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ . . τῆς ὁ ὅς δὲ δέ Μ πρὸς πρός τὴν ὁ Λ Λ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ ΘΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΗ δοθείς δίδωμι . . 17 . . Ad pro LXXX . . Ἄλλως ἄλλος . . Ἔστω εἰμί τρίγωνον τρίγωνος τὸ ὁ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον ἔχω γωνίαν γωνία τὴν ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Α Α , , λόγος λόγος δὲ δέ ἔστω εἰμί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΓΒ δοθείς δίδωμι · · λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ γωνία , , ᾧ ὅς ὅς2 ἄρα ἄρα μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό ΒΓ , , ἐκεῖνο ἐκεῖνος τὸ ὁ χωρίον χωρίον πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΑΓ τρί - - γωνον λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . ᾧ ὅς ὅς2 δή δή ἐστι εἰμί μεῖζον μέγας τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ . . ἔστω εἰμί τὸ ὁ ὅς ∠ χωρίον χωρίον · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ χωρίου χωρίον πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος δοθείς . . τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ΑΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ δοθεῖσαν δίδωμι εἶναι εἰμί τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ γωνίαν γωνία · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ ἄρα ἄρα χωρίου χωρίον πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί συν - - θέντι λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ χωρίου χωρίον μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ ἐστι εἰμί δοθείς δίδωμι . . ἀλλὰ ἀλλά τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ χωρίον χωρίον μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ ἐστιν εἰμί · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί συναμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστι εἰμί δο - - θεῖσα ἡ ὁ . . ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ γωνία γωνία · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . 18 . . Uulgo prop . . LXXXVII . . Ἐὰν δύο γε εὐθεῖαι εὐθύς δοθὲν χωρίον χωρίον περιέχωσιν ἐν ἐν δεδο - - μένῃ γωνίᾳ γωνία , , τὸ ὁ δὲ δέ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ μείζονος μέγας τοῦ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ἐλάσσονος ἐλάσσων δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ᾖ εἰμί , , καὶ καί ἑκατέρα αὐτῶν αὐτός ἔσται δοθεῖσα δίδωμι . . δύο γε γὰρ γάρ εὐθεῖαι εὐθύς αἱ ὁ ΑΒ , , ΒΓ δοθὲν περιεχέτωσαν χωρίον χωρίον τὸ ὁ ΑΓ ἐν ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒΓ τὸ ὁ δὲ δέ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἔστω εἰμί τοῦ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἑκατέρα τῶν ὁ ΑΒ , , ΒΓ . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΒ τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί , , ἀφῃρήσθω τὸ ὁ ὅς δοθὲν δίδωμι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠  λοιπὸν λοιπός ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ BA , , Α∠ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθέν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , ΒΓ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ δοθέν , , λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , ΒΓ δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , ΒΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ∠ ∠ Β πρὸς πρός Β λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ ∠Β πρὸς πρός ΒΓ δοθείς δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ∠Β πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ δοθείς δίδωμι . . τῷ τῷ δὲ δέ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΓΒ ἴσον ἴσος τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΑΔ · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , Α∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ∠Β δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς τετράκις τετράκις ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , Α∠ μετὰ μετά τοῦ ὁ τίς ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ . . ∠ ∠ Β πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β∠ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . ἀλλὰ ἀλλά τὸ ὁ τετράκις τετράκις ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , Α∠ μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β∠ τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑ , , Α∠ ἐστιν εἰμί · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ ἀπὸ ἀπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑ , , Α∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ∠Β δοθείς δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑ , , Α∠ πρὸς πρός ∠Β δοθείς δίδωμι . . καὶ καί συνθέντι συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑ , , Α∠ μετὰ μετά τῆς ὁ ∠ ∠ Β , , τουτέστι δύο γε τῶν ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΑΒ ἄρα ἄρα πρὸς πρός Β∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . τῆς ὁ ὅς δὲ δέ ∠Β πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΑΒ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΒΓ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί λόγος λόγος τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ δοθείς δίδωμι , , καί καί ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ , , λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ δοθείς δίδωμι . . δοθὲν δὲ δέ τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ · · οὕτως οὕτως γὰρ γάρ δοθὲν ἀφῄρηται ἀφαιρέω · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΒ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΑΒ . . καί καί ἐστι εἰμί λόγος λόγος τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός ΒΓ δοθείς δίδωμι · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ΒΓ . . Λῆμμα τοῦ ὁ ἐπάνω ἐπάνω . . Πῶς πῶς δοθέν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ὅς ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒΓ γωνίας γωνία ; ; ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Β σημείου σημεῖον κάθετος κάθετος ἡ ὁ Β∠ , , καὶ καί ἐκ ἐκ - - βεβλήσθω ἡ ὁ Γ∠ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Θ Θ , , καὶ καί συμπεπληρώσθω τὸ ὁ Β∠ΘΑ ὀρθογώνιον · · ἴσον ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ΑΓ . . καὶ καί ἐκ ἐκ - - βεβλήσθω ἡ ὁ ∠Β ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ ἴση ἴσος ἡ ὁ ΒΖ , , καὶ καί συμπεπληρώσθω τὸ ὁ ΑΖ ὀρθογώνιον . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒΓ ὑπόκειται ὑπόκειμαι γάρ γάρ · · δο - - θεῖσα δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒ∠ ὀρθὴ γάρ γάρ · · λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί . . καὶ καί ὀρθὴ ἡ ὁ ∠ ∠ · · λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα , , ἡ ὁ Γ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ΒΙ∠ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ ∠Β πρὸς πρός Β δοθείς δίδωμι . . ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΒΓ τῇ ὁ Β λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τῆς ὁ ∠Β πρὸς πρός ΒΖ δο - - θείς · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΒΘ πρὸς πρός ΖΑ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . ἴσον ἴσος δὲ δέ τὸ ὁ ΒΘ τῷ τῷ ΑΓ λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς Α πρὸς πρός ΑΖ δοθείς δίδωμι . . καὶ καί δοθὲν δίδωμι τὸ ὁ ὅς ΑΓ δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ΑΖ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό ΑΒΖ , , τουτέστι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό AΒΓ . . 19 . . Ad prop . . XCΙ . . Ἄλλως ἄλλος . . Εἰλήφθω τὸ ὁ κέντρον κέντρον τοῦ ὁ κύκλου κύκλος τὸ ὁ Ε Ε , , καὶ καί ἐπε - - ζεύχθω ἡ ὁ ∠Ε καὶ καί διήχθω ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Α . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δοθέν ἐστιν εἰμί ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ὅς Ε Ε , , ∠ , , δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Ε∠ θέσει θέσις δὲ δέ καὶ καί ὁ ὁ ΑΒΖ κύκλος κύκλος · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἑκάτε - - ρον τῶν ὁ Α Α , , Ζ Ζ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ δοθέν · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἑκατέρα τῶν ὁ ὅς Α∠ , , ∠Ζ δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠Ζ · · καί καί ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β∠ , , ∠Γ δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β∠ , , ∠Γ 20 . . Ad prop XCIII . . Ἄλλως ἄλλος . . ∠ιήχθω ἡ ὁ ΑΓ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ ἴση ἴσος ἡ ὁ ΓΕ , , καὶ καί ἐπεζεύχθωσαν αἱ ὁ ΕΒ , , Β∠ . . ἐπεὶ ἐπεί διπλῆ διπλόος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓΒ ἑκατέρας ἑκάτερος τῶν ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ∠ , , ΓΒΕ , , ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΒΕ γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ∠ , , τουτέστι τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ∠ . . κοινὴ κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ ὅλη ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΒΓ ὅλῃ ὅλος ὅλοξ τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΒE ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΑΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠Β Γ∠Β ἴση ἴσος · · λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΕΒ λοιπῇ λοιπός τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΓΒ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος · · ἰσογώνιον ἰσογώνιος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ΕΑΒ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ Γ∠Β τριγώνῳ · · ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΒ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Β · · ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΕΑ συναμφότερός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΑΓΒ · · ὡς ὡς ὡς ἄρα ἄρα συναμφότερος ἡ ὁ ΑΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΒ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ Β∠ · · καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς συν - - αμφότερός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΑΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ Γ∠ , , οὕτως οὕτως ἐστὶν ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Β · · λόγος λόγος δέ δέ ἐστι εἰμί τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Β δοθείς δίδωμι · · ἑκατέρα γὰρ γάρ αὐτῶν αὐτός δοθεῖσα δίδωμι · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΑΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ Γ∠ δοθείς δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ἰσογώνιόν ἰσογώνιος ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΕΑΒ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ΖΒ∠ τριγώνῳ τρίγωνος , , ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΒ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Β∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Ζ · · ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΕΑ συναμφότερός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΑΓΒ · · ὡς ὡς ὡς ἄρα ἄρα συναμφότερος ἡ ὁ ΑΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΒ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Β∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Ζ · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΑΓΒ καὶ καί τῆς ὁ Ζ∠ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ · · δοθὲν δίδωμι δέ δέ ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , Β∠ · · δοθεῖσα δίδωμι γὰρ γάρ ὑκατέρα αὐτῶν αὐτός · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΑΓΒ καὶ καί τῆς ὁ Ζ∠ . . 21 . . Ad prop . . XCIII . . Ἄλλως ἄλλος . . Διήχθω ἡ ὁ ΑΓ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΑ ἴση ἴσος ἡ ὁ ΓΖ , , καὶ καί ἐπεζεύχθωσαν αἱ ὁ Β∠ Β∠ , , ∠Γ , , ∠Ζ . . ἐπεὶ ἐπεί ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ΒΑ τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΖ , , ἡ ὁ δὲ δέ ∠Β τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Γ , , δύο γε δὴ δή αἱ ὁ ΑΒ , , Β∠ δυσὶ ταῖς ὁ ΖΓ , , Γ∠ ἴσαι ἴσος εἰσὶν εἰμί ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἑκάτερος · · καὶ καί γωνία γωνία ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΕ∠ γωνίᾳ γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΓΖ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος , , ἐπειδήπερ ἐπεί ἐν ἐν κύκλῳ κύκλος ἐστἱ τὸ ὁ ΑΒ∠Γ τετράπλευρον τετράπλευρος · · βάσις βάσις ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὅς Α∠ βάσει βάσις τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Ζ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος , , καὶ καί τὸ ὁ ΑΒ∠ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ Γ∠Ζ τρι - - γώνῳ ἐστὶν εἰμί ἴσον ἴσος , , καὶ καί αἱ ὁ λοιπαὶ λοιπός γωνίαι γωνία ταῖς ὁ λοιπαῖς λοιπός γωνίαις γωνία ἴσαι ἔσονται εἰμί , , ὑφ’ ὑπό ἃς ὅς αἱ ὁ ἴσαι ἴσος πλευραὶ πλευρά ὑπο - - τείνουσιν τείνω · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ∠ γωνία γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΖΓ · · δοθεῖσα δίδωμι δέ δέ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ∠ γωνία γωνία · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΖΓ γωνία γωνία . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΑΖ γωνία γωνία δοθεῖσα δίδωμι · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ Α∠Ζ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ ΖΑ πρὸς πρός τὴν ὁ Α∠ δοθείς δίδωμι · · ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΑΖ συναμφότερός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΒΑΓ διὰ διά τὸ ὁ ἴσην ἴσος εἶναι εἰμί τὴν ὁ ΓΖ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΑ · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ Α∠ δοθείς δίδωμι . . καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος τῷ τῷ πρότερον πρότερος δείξομεν δείκνυμι , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό συν - - αμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ καὶ καί τῆς ὁ Ε∠ δοθέν ἐστιν εἰμί . .