word form of the token as many l1 elements as the lemmas found in PerseusUnderPhilologic for the relevant word form AND morphological analysis as many l2 elements as the lemmas found in Morpheus for the relevant word form AND morphological analysis SCHOLIA . . Ad definitiones . . 1 . . Τῶν ὁ δεδομένων τὰ ὁ μὲν μέν θέσει θέσις ἐστὶ εἰμί δεδομένα , , τὰ ὁ δὲ δέ μεγέθει μέγεθος , , τὰ ὁ ὅς δὲ δέ καὶ καί θέσει καὶ καί μεγέθει μέγεθος . . 2 . . Τὸ δεδομένον δίδωμι λέγεται λέγω τετραχῶς τετραχῶς τετράχους · · ἢ τίη γὰρ γάρ μεγέθει μέγεθος ἢ τίη εἴδει εἶδος ἢ τίη λόγῳ λόγος ἢ τίη θέσει θέσις δεδόσθαι λέγεται λέγω . . καὶ καί τί τι μὲν μέν τούτων οὗτος ἕκαστον ἕκαστος σημαίνει σημαίνω , , αὐτὸς αὐτός σαφῶς σαφής διδάσκει διδάσκω . . κοι - - νῶς δὲ δέ λέγεται λέγω δεδομένον δίδωμι , , ᾧ ὅς ὅς2 δυνατόν δυνατός ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος εὑρεῖν εὑρίσκω τε τε καὶ καί πορίσασθαι πορίζω . . 3 . . Τὴν τῶν ὁ δεδομένων πραγματείαν πραγματεία ἐν ἐν ἑνὶ ἐπι ἐπί - - πέδῳ πέδον κειμένων ὑποθετέον , , ὥσπερ ὥσπερ καὶ καί τὰ ὁ πρῶτα πρῶτος πρότερος ἓξ τῆς ὁ στοιχειώσεως βιβλία βιβλίον . . 4 . . Δεδομένα ἐστὶ εἰμί τὰ ὁ ὡρισμένα ὁρίζω , , τουτέστιν ὧν τὰ ὁ πέρατα πέρατος περατός δέδοται δίδωμι εἴτε εἴτε διανοίᾳ διάνοια εἴτε εἴτε αἰσθήσει αἴσθησις · · τούτοις οὗτος γὰρ γάρ δυνάμεθα δύναμαι ἴσα ἴσος πορίσασθαι πορίζω ὁμοίως ὅμοιος εἴτε εἴτε διανοίᾳ διάνοια εἴτε εἴτε αἰσθήσει . . δύναται δύναμαι δὲ δέ καὶ καί ῥητὸν ῥητός καὶ καί ἄλογον ἄλογος δεδο - - μένον μένω εἶναι εἰμί , , ὡς ὡς λέγει λέγω Πάππος Πάππος ἐν ἐν ἀρχῇ ἀρχή τοῦ ὁ εἰς εἰς τὸ ὁ ὅς ι΄ Εὐκλείδου Εὐκλείδης · · τὸ ὁ μὲν μέν γὰρ γάρ ῥητὸν ῥητός καὶ καί δεδομένον δίδωμι ἐστίν εἰμί , , οὐ οὐ πάντως πᾶς πάντως δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ δεδομένον δίδωμι ῥητόν ῥητός ἐστιν εἰμί . . Ad def 5 5 . . 5 . . Ἵνα ᾖ εἰμί ὡρισμένος ὁρίζω τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . Ad def 6 6 . . 6 . . Ἵνα καὶ καί τῷ τῷ τόπῳ τόπος καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος ὡρισμένος ὁρίζω ᾖ εἰμί . . Ad def . . 8 . . 7 . . Ταῦτα ὡς ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον ἀκούω ἀκουστέον . . Ad def 9 9 . . 8 . . Τῷ γὰρ γάρ ἀφαιρεθέντι ἀφαιρέω τὸ ὁ τὴν ὁ ἀφαίρεσιν ἀφαίρεσις ὑπο - - μεῖναν μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί . . Ad def 10 . . 9 . . Τὸ μὲν μέν πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ μείζονος μέγας , , ἐνταῦθα ἐνταῦθα δὲ δέ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ἐλάττονος ἐλάσσων . . Ad deff . . 9 — — 10 . . 10 . . Τὰ ϛ ϛ τῶν ὁ δ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί · · τοῖς ὁ γὰρ γάρ δύο γε · · καὶ καί τὰ ὁ δ τῶν ὁ ς δοθέντι δίδωμι ἔλαττόν ἐστιν εἰμί · · τοῖς ὁ γὰρ γάρ δύο γε πάλιν πάλιν δεδομένοις . . Ad def . . 11 . . 11 . . Τὸ ἢ τίη ἐν ἐν λόγῳ λόγος ἀντὶ ἀντί τοῦ ὁ παρʼ ὃ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . ἔχει ἔχω δὲ δέ τὴν ὁ ἀναφορὰν ἀναφορά πρὸς πρός τὸ ὁ μεῖζον μέγας · · παρὰ παρά τοσοῦτον τοσοῦτος γὰρ γάρ οὐκ οὐ ἔχουσι ἔχω λόγον λόγος δοθέντα δίδωμι τὰ ὁ ὅς δύο γε μεγέθη , , παῤ ὅσον ὅσος ὑπερέχει ὑπερέχω τὸ ὁ ὅς ἓν τοῦ ὁ ἑτέρου ἕτερος δοθέντι δίδωμι τινὶ μεγέθει μέγεθος , , οὗ οὗ ἀφαιρεθέντος ἀφαιρέω εὑρίσκεται εὑρίσκω καὶ καί ὁ ὁ δεδομένος δίδωμι λόγος λόγος τῶν ὁ δύο γε μεγεθῶν μέγεθος . . εἰ εἰ μὲν μέν γὰρ γάρ λείπει λείπω τὸ ὁ ἢ τίη ἐν ἐν λόγῳ λόγος , , ἀφ - - αιρεθέντος τοῦ ὁ ὑπερέχοντος ὑπερέχω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ μείζονος μέγας τὸ ὁ λοι - - πὸν πρὸς πρός τὸ ὁ ἕτερον ἕτερος ἴσον ἴσος ἐστίν εἰμί . . εἰ εἰ δὲ δέ πρόσκειται πρόσκειμαι τὸ ὁ ἢ τίη ἐν ἐν λόγῳ λόγος , , ἀφαιρεθέντος ἀφαιρέω τοῦ ὁ ὑπερέχοντος ὑπερέχω οὐκέτι οὐκέτι τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός πρὸς πρός τὸ ὁ ἕτερον ἕτερος ἴσον ἴσος , , ἀλλʼ ἔχει ἔχω τινὰ λόγον λόγος . . μεῖζον μέγας οὖν οὖν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ἓν μέγεθος μέγεθος τοῦ ὁ ἑτέρου ἕτερος ἢ τίη ὥστε ὥστε ποιῆσαι ποιέω λόγον λόγος . . ἐὰν ἐάν οὖν οὖν ἡ ὁ ὑπεροχὴ ὑπεροχή δεδομένη ᾖ εἰμί , , καὶ καί ὁ ὁ λόγος λόγος δεδομένος δίδωμι ἐστίν εἰμί . . Ad def . . 12 . . 12 . . Ἀπὸν γὰρ γάρ τὸ ὁ προστεθὲν προστίθημι ἐλυμαίνετο λυμαίνομαι τὴν ὁ σχέσιν σχέσις τοῦ ὁ δεδομένου λόγου λόγος . . Ad deff . . 13 — 15 . . 13 . . Τούτους οὗτος Ἀπολλωνίου Ἀπολλώνιος φασὶν φημί εἶναι εἰμί τοὺς ὁ τρεῖς ὅρους ὅρος . . Ad def 13 . . 14 . . Τουτέστιν ἀκίνητον ἀκίνητος , , ἵνα ἵνα ὁμολογουμένη ὁμολογέω μοι ᾖ εἰμί ὁποία ὁποῖος ὁποῖος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ γωνία γωνία . . Ad prop . . I . . 15 . . Εἰδέναι οἶδα δεῖ δέω δέω2 δεῖ , , ὡς ὡς , , ἔνθα ἔνθα ἔνθα ὁ ὁ φιλόσοφος φιλόσοφος λέγει λέγω ἀπο - - λελυμένως δεδομένα μεγέθη , , μεγέθει μέγεθος δεδόσθαι δίδωμι ση - - μαίνει . . 16 . . Ὁ λόγος λόγος τοῦ ὁ πόσου ποσός πόσος διακόλουθος , , ἡ ὁ θέσις θέσις δὲ δέ οὐ οὐ διὰ διά τοῦ ὁ πόσου ποσός πόσος , , ἀλλὰ ἀλλά τοῦ ὁ κεῖσθαι κεῖμαι . . 17 . . P . . 6 , , 2 ] ] δέδοται δίδωμι καὶ καί τὸ ὁ διὰ διά τὸ ὁ ἀντιστρό - - φιον τοῦ ὁ ὅρου ὅρος . . ( ( l . . 4 ) ) ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ · · ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός γὰρ γάρ αὐτῷ αὐτός πεπόρισται πορίζω ἐν ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς ὁ Γ Γ καὶ καί ∠ ∠ . . 18 . . Ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός γάρ γάρ p . . 6 , , 8 ] ] διὰ διά τοὺς ὁ ὅρους ὅρος · · λόγος λόγος δεδόσθαι λέγεται λέγω , , ᾧ ὅς ὅς2 δυνάμεθα δύναμαι τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός πορίσασθαι πορίζω . . Ad prop . . II . . 19 . . Τῶν ὁ μὲν μέν δεδομένων μεγεθῶν καὶ καί ὁ ὁ λόγος λόγος ὁ ὁ πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων δέδοται δίδωμι · · οὐκέτι οὐκέτι δέ δέ , , εἰ εἰ τῶν ὁ μεγεθῶν ὁ ὁ πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων λόγος λόγος δέδοται δίδωμι , , καὶ καί ταῦτα οὗτος πάντως πᾶς πάντως δέδοται δίδωμι τὰ ὁ μεγέθη . . πολλάκις πολλάκις γὰρ γάρ ὁ ὁ μὲν μέν λόγος λόγος αὐτῶν αὐτός δέδοται δίδωμι , , αὐτὰ αὐτός δὲ δέ οὐ οὐ δέδοται δίδωμι . . 20 . . Τοῦτο οὗτος ἀντίστροφόν ἐστί εἰμί πως πως τοῦ ὁ πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ . . οὐ οὐ γὰρ γάρ δὴ δή καθόλου καθόλου ῥητέον λέγω ῥητέος αὐτὸ αὐτός ἀντίστροφον ἀντίστροφος . . ἧν γὰρ γάρ ἂν ἄν τὸ ὁ ἀντίστροφον ἀντίστροφος τὸ ὁ καθόλου καθόλου ὄν εἰμί · · ἐὰν ἐάν μεγέθη πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων λόγον λόγος ἔχῃ ἔχω δεδομένον δίδωμι , , δέδοται δίδωμι τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . τινὲς δὲ δέ τὸ ὁ θεώρημα θεώρημα ψευδογραφοῦντες ψευδογραφέω ἐπείγονται ἐπείγω δεικνύειν δείκνυμι ἀντίστροφον ἀντίστροφος αὐτὸ αὐτός τοῦ ὁ πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ καί καί τί τίς τις φασιν φημί ὡς ὡς ὡς · · ἐὰν ἐάν μεγέθη τινὰ λόγον λόγος ἔχῃ ἔχω πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων δεδομένον δίδωμι , , δέδοται δίδωμι τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . 21 . . Καὶ καί ἔστω εἰμί ὁ ὁ τοῦ ὁ Γ Γ p p . . 6 , , 20 ] ] δέδοται δίδωμι καὶ καί ὁ ὁ τοῦ ὁ Γ Γ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠ λόγος λόγος διὰ διά τὸ ὁ ἀντίστροφον ἀντίστροφος τοῦ ὁ ὅρου ὅρος . . δέδοται δίδωμι δὲ δέ τοῦ ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ Γ λόγος λόγος διὰ διά τοῦ ὁ α΄ . . δέ δέ - - δοται δὲ δέ καὶ καί τοῦ ὁ ὅς Β πρὸς πρός τὸ ὁ ∠ λόγος λόγος διὰ διά τὸ ὁ ἀντι - - στρόφιον τοῦ ὁ ὅρου ὅρος . . ἴσον ἴσος γὰρ γάρ αὐτῷ αὐτός τῷ τῷ Β τὸ ὁ ∠ πεπόρισται πορίζω ἐν ἐν δεδομένῳ λόγῳ λόγος . . 22 . . Ἴσον ἄρα ἄρα p . . 6 , , 23 ] ] διὰ διά τοῦ ὁ θ΄ τοῦ ὁ ε΄ . . χρὴ χρή δὲ δέ γινώσκειν γιγνώσκω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τὰ ὁ ἴσα ἴσος καὶ καί τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός λέγειν λέγω ἕν ἐστιν εἰμί . . ὃ ὅς γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος τινί , , καὶ καί τὸ ὁ αὐτό ἐστιν εἰμί ἐκείνῳ ἐκεῖνος κατὰ κατά τὴν ὁ ἰσότητα ἰσότης . . οὐκ οὐ ἀντιστρέφει ἀντιστρέφω δέ δέ · · οὐ οὐ γὰρ γάρ ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς αὐτό τινι , , καὶ καί ἴσον ἴσος ἐστὶν εἰμί ἐκείνῳ ἐκεῖνος · · δύναται δύναμαι γὰρ γάρ καὶ καί κατὰ κατά ποιότητα ποιότης τυχὸν τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός εἶναι εἰμί . . 23 . . Ἐὰν λέγῃ λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα , , δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τῷ τῷ με - - γέθει αὐτῷ αὐτός δεδόσθαι λέγει λέγω . . ἐὰν ἐάν δεδομένον δίδωμι τῷ τῷ εἴδει εἶδος , , λέγει λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . ἐὰν δεδομένον δίδωμι τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις , , λέγει λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις . . σπανίως σπάνιος πάνυ πάνυ , , ἐὰν ἐάν ᾖ εἰμί δεδομένον δίδωμι τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος , , λέγει λέγω ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . Ad prop . . III . . 24 . . Ὅλον ἄρα ἄρα p . . 8 , , 11 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἴσα ἴσος ἴσοις ἰσόω προσ - - τεθῇ τίθημι , , τὰ ὁ πάντα πᾶς ἐστὶν εἰμί ἴσα ἴσος . . Ad prop . . IV . . 25 . . Καὶ καί τοῦτο οὗτος ἀντιστρόφιόν ἐστί εἰμί πως πως τοῦ ὁ πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ · · τὸ ὁ ὅς γὰρ γάρ κυρίως κύριος κυρίως ἀντιστρόφιον ἧν ἐὰν ἐάν δεδομένον μέγεθος μέγεθος εἰς εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ διαιρέω , , καὶ καί ἕκαστον ἕκαστος τῶν ὁ , , εἰς εἰς ἃ ὅς ὅς2 διῄρηται , , δεδομένον δίδωμι ἐστίν εἰμί . . 26 . . Λοιπὸν ἄρα ἄρα p . . 8 , , 24 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό ἴσων ἴσος ἴσα ἴσος ἀφαιρεθῇ ἀφαιρέω , , τὰ ὁ λοιπά λοιπός ἐστιν εἰμί ἴσα ἴσος . . Ad prop . . V . . 27 . . Οἷον ὁ ὁ ιε πρὸς πρός ἑαυτοῦ ἑαυτοῦ μέρος μέρος τὸν ὁ ῑ λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸν ὁ ἡμιόλιον ἡμιόλιος , , καὶ καί πρὸς πρός τὸν ὁ λοιπὸν τὸν ὁ ε λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸν ὁ τριπλασίονα τριπλασίων . . 28 . . Τοῦτο οὗτος ἔοικε ἔοικα τῷ τῷ καὶ καί ἀντιστρέψαντι ἀντιστρέφω λόγον λόγος ἔχειν ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 29 . . Ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός αὐτῷ αὐτός πεπορίσθω p p . . 10 , , 10 ] ] δυνατὸν δυνατός γὰρ γάρ τριῶν δοθέντων δίδωμι μεγεθῶν τέταρτον τέταρτος ἀνάλογον εὑρεῖν εὑρίσκω . . 30 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠ ∠ Ζ Ζ p p . . 10 , , 14 ] ] τῶν ὁ γὰρ γάρ δεδο - - μένων μένω μεγεθῶν ὁ ὁ λόγος λόγος πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων δέδοται δίδωμι . . 31 . . Ἀναστρέψαντι ἄρα ἄρα p . . 10 , , 16 ] ] διὰ διά τοῦ ὁ ὅρου ὅρος τοῦ ὁ ε8 · · ἀναστροφὴ ἀναστροφή λόγου λόγος ἐστὶ εἰμί λῆψις λῆψις τοῦ ὁ ἡγουμένου πρὸς πρός τὴν ὁ ὑπεροχήν ὑπεροχή , , ὑπερέχει ὑπερέχω τὸ ὁ ἡγούμενον τοῦ ὁ ἑπομένου . . 32 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα καί καί p . . 10 , , 19 ] ἴσον ἴσος γὰρ γάρ αὐτῷ αὐτός ἐπορίσαμεν τὸν ὁ τοῦ ὁ ∠ ∠ Ζ Ζ πρὸς πρός ΖΕ . . Ad prop . . VI . . 33 . . Ὁ ὁ ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠Ε πρὸς πρός ΕΖ p p . . 12 , , 5 ] ] ὁ ὁ γὰρ γάρ αὐτὸς αὐτός αὐτῷ αὐτός ἐστιν εἰμί ὁ ὁ τοῦ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΓΒ . . 34 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠Ζ πρὸς πρός ἑκάτερον ἑκάτερος p p . . 12 , , 8 – 9 ] ] ὁ ὁ γὰρ γάρ αὐτὸς αὐτός αὐτῷ αὐτός πεπόρισται πορίζω ὁ ὁ τοῦ ὁ ∠Ζ πρὸς πρός ἑκάτερον τῶν ὁ ∠Ε , , ΕΖ . . Ad prop . . VII . . 35 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα καί καί p . . 12 , , 24 ] ] διὰ διά τοῦ ὁ ϛ΄ τῶν ὁ Δεδομένων . . 36 . . Δοθὲν ἄρα ἄρα καὶ καί ἑκάτερον ἑκάτερος p p . . 14 , , 1 ] ] διὰ διά τοῦ ὁ β΄ τῶν ὁ αὐτῶν αὐτός . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ μέγεθός μέγεθος τι τὸ ὁ ΑΒ δοθὲν λόγον λόγος ἔχει ἔχω πρὸς πρός ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ΑΓ , , ΓΒ ὡς ὡς ὡς πρὸς πρός ἄλλα ἄλλος τινὰ ἄρα ἄρα καὶ καί ἑκάτερον ἑκάτερος ἐκείνων ἐκεῖνος ὡς ὡς ἄλλο ἄλλος τι τις δέδοται δίδωμι . . Ad prop . . VII . . 37 . . Οἱ τῷ τῷ αὐτῷ αὐτός οἱ ὁ αὐτοὶ αὐτός καὶ καί ἀλλήλοις ἀλλήλων εἰσὶν εἰμί οἱ ὁ αὐτοί αὐτός . . 38 . . Πάλιν πάλιν , , ἐπεί ἐπεί p p . . 14 , , 12 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ δέδοται δίδωμι ὁ ὁ τοῦ ὁ Γ Γ πρὸς πρός τὸ ὁ Β λόγος λόγος , , δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ὁ ὁ τοῦ ὁ Β πρὸς πρός τὸ ὁ Γ λόγος λόγος . . 39 . . Διʼ ἴσου ἴσος ἄρα ἄρα p . . 14 , , 18 ] ] διʼ διά ἴσου ἴσος λόγος λόγος ἐστίν εἰμί : : ἐν ἐν συνεχεῖ συνεχής ἀναλογίᾳ ἀναλογία πλειόνων πολύς ὄντων εἰμί καὶ καί ἄλλων ἄλλος ἴσων τὸ ὁ πλῆθος πλῆθος , , ὅταν ὅταν ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ πρῶτον πρῶτος πρότερος πρὸς πρός τὸ ὁ ἔσχατον ἔσχατος ἐν ἐν τοῖς ὁ πρώτοις πρῶτος πρότερος μεγέθεσιν μέγεθος , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ πρῶτον πρῶτος πρότερος πρὸς πρός τὸ ὁ ἔσχατον ἔσχατος ἐν ἐν τοῖς ὁ δευτέροις δεύτερος μεγέθεσιν μέγεθος . . Ad prop . . IX . . 40 . . Ὡς ἐκ ἐκ περιουσίας περιουσία ἔχων ἔχω τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός δεικνύμενον δείκνυμι , , ἢν ἐάν ὁ ὁ λόγος λόγος ὁ ὁ τῶν ὁ προτεθέντων προτίθημι πρὸς πρός τὰ ὁ τυχόντα με - - γέθη ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός ᾖ εἰμί , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί τὰ ὁ τυχόντα λόγον λόγος ἕξει ἔχω δεδο - - μένον μένω , , παρῆκεν παρίημι ἐπὶ ἐπί τούτου οὗτος γυμνάσαι γυμνάζω τὸ ὁ πρόβλημα πρόβλημα . . Ad prop . . X . . 41 . . P . . 16 , , 18 Ἐνταῦθα ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ ὁ πρῶτον πρῶτος πρότερος μέρος μέρος τῆς ὁ προτάσεως πρότασις . . 42 . . Ἐνταῦθα ἐνταῦθα ἄρχεται ἄρχω τὸ ὁ δεύτερον δεύτερος μέρος μέρος τῆς ὁ προ - - τάσεως τάσις . . τὸ ὁ δεύτερον δεύτερος μέρος μέρος τῆς ὁ προτάσεως πρότασις πάλιν πάλιν ὑπο - - διαιρεῖται διαιρέω . . τὸ ὁ ὅς οὖν οὖν πρῶτον πρῶτος πρότερος μέρος μέρος τῆς ὁ ὑποδιαιρέσεως συνεπεράνθη ἐνταῦθα ἐνταῦθα . . 43 . . Καὶ καί τὸ ὁ συναμφότερον p p . . 16 , , 24 ] ] τουτέστι καὶ καί συνθέντι δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . 44 . . Ἔστω εἰμί μέγεθος μέγεθος τὸ ὁ ῑ ῑ καὶ καί ἕτερον ἕτερος κγ , , δοθέντα δίδωμι δὲ δέ ἔστω εἰμί τὰ ὁ γ καὶ καί συναμφότερα τὰ ὁ λγ τὴν ὁ ῑ ῑ τοῖς ὁ δοθεῖσι γδ ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . ἀφαιρείσθω ἀφαιρέω ἴσους ἴσος τῶν ὁ δοθέντων τῶν ὁ γα τὰ ὁ ῑ πρὸς πρός τὰ ὁ κ κ δοθέντα δίδωμι , , οἷον οἷος ὡς ὡς νῦν νῦν τῶν ὁ β λό λό - - γων , , ὡς ὡς καὶ καί ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις εἴρηται λέγω ἐρῶ . . 45 . . Τοῦτο τὸ ὁ σχόλιόν ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ῑ ῑ θεωρήματος θεώρημα , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖον σημεῖον τόδε ὅδε Ƒ Ƒ . . οἷον οἷος μέγεθος μέγεθος τὸ ὁ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν ὑπόθεσις κγ μεγέθους μέγεθος τοῦ ὁ ΒΓ ὄντος εἰμί καθʼ καθά καθό ὑπόθεσιν ὑπόθεσις ῑ ῑ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἔστω εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . καὶ καί ἔστω εἰμί δοθὲν δίδωμι τὸ ὁ Α∠ ὂν εἰμί γ . . ἐὰν ἐάν οὖν οὖν ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ΑΒ τοῦ ὁ κγ ἀφέλω τὸ ὁ δοθὲν τὸ ὁ Α∠ τὰ ὁ ὅς γ , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ∠Β τὰ ὁ κ κ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ τὰ ὁ ῑ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις εἰρημένον λέγω · · τῷ τῷ γὰρ γάρ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . τοῦτο οὗτος δηλοῖ δηλόω καὶ καί δείκνυσι δείκνυμι λοιπόν λοιπός , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΒΓ δο - - θέντι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . ἀλλὰ ἀλλά δὴ δή συναμφότερον τὸ ὁ ΑΓ τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τοῦ ὁ ΓΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἔστω εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . τὸ ὁ ὅς δὴ δή δοθὲν ἤτοι ἤτοι ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ΑΒ ἢ τίη ἔλαττον ἐλάσσων ἢ τίη μεῖζον μέγας . . ἐὰν ἐάν μὲν μέν οὖν οὖν τὸ ὁ δοθὲν ἴσον ἴσος ᾖ εἰμί τῷ τῷ ΑΒ , , ὄντος εἰμί καθʼ κατά ὑπόθεσιν ὑπόθεσις τοῦ ὁ ΑΓ οἷον οἷος η , , τοῦ ὁ δὲ δέ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τοῦ ὁ ὅς ΒΓ ΒΓ ὄντος εἰμί δ , , ἐὰν ἐάν ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ὅς ΑΓ τοῦ ὁ η ἀφέλω τὸ ὁ δοθὲν τὸ ὁ ΑΒ οἷον οἷος δ δ , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ΒΓ τὰ ὁ δ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΒΓ τὰ ὁ δ λόγον λόγος ὅλη ὅλος ὅλοξ ἡ ὁ ΑΓ μονάδων μονάς κ κ . . ὅλη ὅλος ὅλοξ ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ΑΓ μονάδων μονάς ἐστὶ εἰμί ( ( ν ) ) ιη , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΒΓ η , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ Α∠ δύο γε . . ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος εἰρημένον λέγω . . ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί δείκνυσι δείκνυμι , , καὶ καί ὅτι ὅτι2 ὅτι λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ὅς ΑΒ . . ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ΑΓ ἀφέλω τὸ ὁ ΒΓ , , τὸ ὁ λοιπόν λοιπός ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΒ . . δείκ - - νυσιν οὖν οὖν , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ὅς ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΓΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . μετὰ μετά γὰρ γάρ τὸ ὁ ἀφαιρεθῆναι ἀφαιρέω καὶ καί αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τὸ ὁ ΑΓ δοθέν , , τὸ ὁ ὅς λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ∠Β πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . πάλιν πάλιν συν - - αμφότερον τὸ ὁ ΑΓ τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τοῦ ὁ ΓΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἔστω εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος , , καὶ καί ἔστω εἰμί τὸ ὁ δοθὲν ἔλασσον τοῦ ὁ ΑΒ τὸ ὁ ὅς Α∠ καὶ καί ἔστω εἰμί τὸ ὁ β . . ἐὰν ἐάν οὖν οὖν ὄντος εἰμί καθʼ κατά ὑπόθεσιν ὑπόθεσις τοῦ ὁ ΑΓ οἷον οἷος ιη , , τοῦ ὁ δὲ δέ ΒΓ ὄντος εἰμί η , , ἐὰν ἐάν ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ΑΓ τῶν ὁ ιη ἀφέλω τὸ ὁ Α∠ τὰ ὁ ὅς β , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ∠Γ τὰ ὁ ιϛ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΓΒ τὰ ὁ η λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος εἰρημένον λέγω . . ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί δείκνυσι δείκνυμι λοιπόν λοιπός , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ΑΒ τὰ ὁ ῑ ῑ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΓΒ τὰ ὁ η λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . καὶ καί διὰ διά τοῦτο οὗτος καὶ καί τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ΑΒ τὰ ὁ ὅς ι ι τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τοῦ ὁ ὅς ΒΓ τῶν ὁ η δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος · · ἐὰν γὰρ γάρ ἀφέλω καὶ καί ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ΑΒ τῶν ὁ ῑ ῑ τὸ ὁ Α∠ δοθὲν δίδωμι τὰ ὁ β , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ∠Β τὰ ὁ ἢ ἤ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ τὰ ὁ η λόγον λόγος ἔχει ἔχω δοθέντα δίδωμι · · τὸν ὁ ὅς γὰρ γάρ ἴσον ἴσος . . πάλιν πάλιν συναμφότερον συναμφότεροι τὸ ὁ ὅς ΑΓ τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ τοῦ ὁ ΓΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἔστω εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος · · καὶ καί ἔστω εἰμί τὸ ὁ δοθὲν μεῖζον μέγας τοῦ ὁ ΑΒ τὸ ὁ ΑΕ καὶ καί ἔστω εἰμί ιδ . . ἐὰν ἐάν οὖν οὖν ὄντος εἰμί καθʼ κατά ὑπόθεσιν ὑπόθεσις τοῦ ὁ ΑΓ οἷον οἷος ιη , , τοῦ ὁ δὲ δέ ΒΓ οἷον οἷος η , , ἐὰν ἐάν ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ ὅς ΑΓ τοῦ ὁ ιη ἀφέλω τὸ ὁ ΑΕ τὰ ὁ ιδ , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ EΓ τὰ ὁ δ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΓΒ τὰ ὁ η λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ἐν ἐν τοῖς ὁ ὄροις εἰρημένον λέγω . . ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί διὰ διά τούτου οὗτος δείκνυσιν δείκνυμι , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ΑΒ μετὰ μετά τοῦ ὁ ΒΕ · · τὸ ὁ γὰρ γάρ ΒΕ ἐστιν εἰμί , , πρὸς πρός ὅ τὸ ὁ ἕτερον ἕτερος τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · δοθέν ἐστιν εἰμί · · ὅλον ὅλος ὅλοξ γὰρ γάρ τὸ ὁ ΑΕ δοθέν ἐστιν εἰμί . . 46 . . Λοιποῦ λοιπός ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠Β p . . 18 , , 4 – 5 ] ] τοῦτο οὗτος τὸ ὁ ὅς σχό - - λιον τοῦ ὁ ι΄ θεωρήματος θεώρημα , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖον σημεῖον τόδε ὅδε P P . . πῶς πῶς πως λέγει λέγω · · λοιποῦ λοιπός τοῦ ὁ ∠Β πρὸς πρός ΒΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι ; ; ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τοῦ ὁ τίς ὅς ∠Γ πρὸς πρός τὸ ὁ ΓΒ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , ἔσται εἰμί τοῦ ὁ ∠Γ καὶ καί πρὸς πρός τὸ ὁ ∠Β λόγος λόγος δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ε΄ , , ὥστε ὥστε καὶ καί ἑκατέρου ἑκάτερος τῶν ὁ ∠Β , , ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠Γ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · καὶ καί διὰ διά τὸ ὁ η΄ καὶ καί τοῦ ὁ ∠Β πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . 47 . . Τὸ ΓΑ ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ΓΒ p p . . 18 , , 7 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τοῦ ὁ Γ∠ λόγος λόγος ἀπεδείχθη ἀποδείκνυμι δοθεὶς δίδωμι πρὸς πρός τὸ ὁ ΓΒ , , προσκείσθω πρόσκειμαι πάλιν πάλιν τὸ ὁ ἀπʼ ἀρχῆς ἀρχή δοθὲν δίδωμι τὸ ὁ Α∠ · · ὅλον ὅλος ὅλοξ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ΓΑ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ΓΒ ἢ τίη ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . 48 . . Τὸ δὴ δή δοθέν p p . . 18 , , 15 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἴσον ἴσος ὑπάρχῃ ὑπάρχω τὸ ὁ δοθὲν δίδωμι τῷ τῷ ΑΒ , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΒΓ πάλιν πάλιν λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . δύναμαι δύναμαι γὰρ γάρ αὐτῷ αὐτός ἴσον ἴσος πορίσασθαι πορίζω τῷ τῷ ἴσῳ ἴσος λόγῳ λόγος , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . 49 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα λοιποῦ λοιπός p . . 18 , , 22 ] ] δέδοται δίδωμι γὰρ γάρ τὸ ὁ ΕΓ διὰ διά τὸ ὁ δ΄ θεώρημα θεώρημα . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δέδοται δίδωμι ἑκάτερον τῶν ὁ ΑΓ , , ΑΕ , , καὶ καί ὁ ὁ πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων λόγος λόγος αὐτῶν αὐτός δέδοται δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ α΄ · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΑΓ πρὸς πρός ΓΕ · · ἀλλὰ ἀλλά τοῦ ὁ ὅς ΑΓ πρὸς πρός ΓΒ · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΒΓ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΓΕ . . 50 . . Μδετὰ τοῦ ὁ ἐξῆς p p . . 20 , , 2 ] ] τουτέστι μετὰ μετά τοῦ ὁ τίς ὅς ΒΕ , , πρὸς πρός ὃ ὁ τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δοθέντα δίδωμι . . 51 . . Πρὸς πρός ὃ ὁ τὸ ὁ ΒΓ , , τουτέστι πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΕ . . 52 . . Τὸ γὰρ γάρ ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΕ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δοθέντα δίδωμι · · τὸ ὁ ὅς οὖν οὖν ΑΒ μετὰ μετά τοῦ ὁ ΒΕ . . δοθέν ἐστιν εἰμί , , ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ὅς ΑΕ . . Ad prop . . XI . . 53 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ὅλου τοῦ ὁ ΑΓ p p . . 20 , , 20 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ιβ΄ τοῦ ὁ ὅς ε΄ · · ὡς ὡς ὡς ἓν τῶν ὁ ἡγουμένων πρὸς πρός ἓν τῶν ὁ ἑπομένων , , οὕτως οὕτως ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἡγούμενα πρὸς πρός ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἑπόμενα . . ἡγούμενα γάρ γάρ εἰσι εἰμί τό ὁ ὅς τε τε Γ∠ καὶ καί τὸ ὁ ὅς Α∠ , , ἑπόμενα δὲ δέ τό ὁ ὅς τε τε ∠Β καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠Ε . . ὡς ὡς ὡς γοῦν γοῦν τὸ ὁ ὅς Α∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠Ε , , οὕτως οὕτως ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ΕΒ . . ὅλον ὅλος ὅλοξ γὰρ γάρ τὸ ὁ ΑΓ τὰ ὁ ὅς δύο γε εἰσὶν εἰμί ἡγούμενα τό ὁ ὅς τε τε ∠Α καὶ καί τὸ ὁ Γ∠ , , καὶ καί ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ΕΒ τὰ ὁ ὅς δύο γε εἰσὶν εἰμί ἑπόμενα τότε τότε τοτέ Ε∠ καὶ καί τὸ ὁ ∠Β . . 54 . . Ἐπεὶ γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ὁ ὁ Α∠ πρὸς πρός ∠Ε , , οὕτως οὕτως ὁ ὁ Γ∠ Γ∠ πρὸς πρός ∠Β , , καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ὡς ὡς Α∠ πρὸς πρός ∠Γ , , οὕτως οὕτως Ε∠ πρὸς πρός ∠Β , , καὶ καί συνθέντι ὡς ὡς ΑΓ πρὸς πρός Γ∠ , , οὕτως οὕτως ΕΒ πρὸς πρός ∠Β , , καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ὡς ὡς ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ , , οὕτως οὕτως Γ∠ πρὸς πρός ∠Β , , δέδοται δίδωμι δὲ δέ ὁ ὁ τοῦ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ∠Β λόγος λόγος , , δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ὁ ὁ τοῦ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ λόγος λόγος . . μᾶλλον μᾶλλον συντομώτερόν ἐστιν εἰμί οὕτως οὕτως εἰπεῖν λέγω εἶπον · · ὡς ὡς ἓν τῶν ὁ ἡγουμέ - - νων πρὸς πρός ἓν τῶν ὁ ἑπομένων , , τουτέστιν ὡς ὡς ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ∠Β , , οὕτως οὕτως ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἡγούμενα πρὸς πρός ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἑπό - - μενα , , ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ . . 55 . . Τοῦτο τὸ ὁ σχόλιον τοῦ ὁ ια΄ θεωρήματος θεώρημα , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖόν ἐστι εἰμί τόδε ὅδε ⊙ . . ὥσπερ ὥσπερ λέγομεν λέγω τὰ ὁ θ θ τῶν ὁ δ μείζονα μέγας ἢ ἤ διπλάσια διπλάσιος μονάδι μονάς , , οὕτω οὕτως λέγομεν λέγω καὶ καί τὸ ὁ μεῖζον μέγας ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος δοθέντι δίδωμι · · οἷον οἷος τοῦ ὁ ὅς ∠Β πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχοντος ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ἐὰν ἐάν τὸ ὁ Α∠ δεδομένον δίδωμι , , τὸ ὁ ὅς ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος · · τοῦ ὁ ὅς γὰρ γάρ ∠Β πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχοντος ἔχω δεδομένον δίδωμι καὶ καί τοῦ ὁ Α∠ Α∠ δεδομένου ὑπάρχοντος ὑπάρχω , , δεδομένον δίδωμι καὶ καί ῥητὸν ῥητός ὃν ὅς ὅς2 καὶ καί ἄλογον ἄλογος , , οὐκ οὐ ἄρα ἄρα καὶ καί ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω · · ὅτι ὅτι2 ὅτι γὰρ γάρ ἄλογόν ἄλογος ἐστι εἰμί τὸ ὁ Α∠ , , οὐ οὐ δύναται δύναμαι τὸ ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΓ λόγον λόγος ἔχειν ἔχω . . διὸ διό μεῖζόν μέγας ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΑΒ τοῦ ὁ ∠Β τοῦ ὁ λόγον λόγος ἔχοντος ἔχω πρὸς πρός τὸ ὁ Β∠ δεδομένον δίδωμι τῷ τῷ Α∠ δεδομένῳ . . ὁμοίως ὅμοιος δὲ δέ καὶ καί ὡς ὡς ὡς τὰ ὁ ζ ζ τῶν ὁ ὅς δ ἐλάσσονα ἐλάσσων λέγομεν λέγω ἢ ἤ διπλάσια διπλάσιος μονάδι μονάς , , οὕτω οὕτως λέγομεν λέγω καὶ καί τὸ ὁ ὅς ἔλασ - - σον ἢ τίη ἐν ἐν λόγῳ λόγος δοθέντι δίδωμι . . 56 . . Ὀ αὐτὸς αὐτός αὐτῷ αὐτός γεγονέτω p . . 22 , , 6 – 7 ] ] σχόλιον σχόλιον εἰς εἰς τὸ ὁ ια΄ θεώρημα θεώρημα ? ? ? ? · · ἐν ἐν τῷ τῷ ια΄ θεωρήματι θεώρημα λαβὼν λαμβάνω τὸ ὁ ΑΒ μέγεθος μέγεθος συναμφοτέρου συναμφότεροι τοῦ ὁ ΑΓ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἢ τίη ἐν ἐν λόγῳ λόγος καὶ καί ἀφελὼν ἀφαιρέω τὸ ὁ ὅς δοθὲν μέγεθος μέγεθος τὸ ὁ ΑΕ καὶ καί βουλόμενος δεῖξαι δείκνυμι , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ ΑΒ καὶ καί τοῦ ὁ ΒΓ δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί ἢ ἤ ἐν ἐν λόγω , , λέγει λέγω · · γεγονέτω γὰρ γάρ ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὅς ΕΒ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς Α∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠Ε . . ἐὰν ἐάν οὖν οὖν βουλώμεθα βούλομαι ποιῆσαι ποιέω ὡς ὡς τὸ ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΕΒ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς Α∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠Ε , , κατασκευάσαντες κατασκευάζω ποιήσο - - μεν οὕτως οὕτως · · ἐκβεβλήσθω γὰρ γάρ ἡ ὁ ΑΓ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ΑΕ ἴση ἴσος ἡ ὁ ΓΖ , , καὶ καί γεγονέτω ὡς ὡς ἡ ὁ ΖΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ἴση ἴσος τῇ ὁ ΖΓ . . τουτέστιν ἡ ὁ ΑΕ , , πρὸς πρός τὴν ὁ Ε∠ · · δῆλον δῆλος γάρ γάρ , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ποιοῦντες ποιέω ὡς ὡς ὡς τὴν ὁ ΖΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΕ , , οὕτως οὕτως τὴν ὁ ΑΕ πρὸς πρός ἄλλην ἄλλος τινά τις , , πρὸς πρός ἐλάσσονα ἐλάσσων τῆς ὁ ΒΕ ποιήσομεν ποιέω · · γεγονέτω οὖν οὖν πρὸς πρός τὴν ὁ Ε∠ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΖΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΑΕ πρὸς πρός Ε∠ , , συνθέντι ἐστίν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΖΕ πρὸς πρός ΕΒ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός ∠Ε . . ἱση δὲ δέ ἡ ὁ ΖΕ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ διὰ διά τὸ ὁ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΕ ἴσην ἴσος εἶναι εἰμί τὴν ὁ ΓΖ . . ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός ∠Ε . . 57 . . Σχόλιον . . ὡς ὡς ὡς συναμφότερον τὸ ὁ ὅς ΑΕ , , ΒΓ πρὸς πρός ΑΓ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ΑΕ πρὸς πρός Α∠ . . καὶ καί ἀνάπαλιν καὶ καί ὡς ὡς τὸ ὁ ὅς ΑΓ πρὸς πρός συναμφότερον ΑΕ ΑΕ , , ΒΓ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ∠Α πρὸς πρός ΑΕ καὶ καί ἀναστρέψαντι ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς Α∠ πρὸς πρός ∠Κ δοθείς δίδωμι . . 58 . . Ἔσται δὴ δή καὶ καί λοιποῦ τοῦ ὁ Γ∠ p p . . 22 , , 13 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ὡς ὡς τὸ ὁ ὅς ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ , , οὕτως οὕτως ἀφαιρεθὲν ἀφαιρέω τὸ ὁ Α∠ πρὸς πρός ἀφαιρεθὲν ἀφαιρέω τὸ ὁ ∠Ε , , καὶ καί λοιπὸν λοιπός ἄρα ἄρα τὸ ὁ Γ∠ πρὸς πρός λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ∠Β ἐστιν εἰμί ὡς ὡς τὸ ὁ ὅς ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ · · δοθεὶς δίδωμι δὲ δέ ὁ ὁ τοῦ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΕΒ λόγος λόγος · · δοθεὶς δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ὁ ὁ τοῦ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ∠Β . . Ad prop . . XII . . 59 . . Ἐὰν ᾖ εἰμί τρία μεγέθη p p . . 22 , , 19 ] ] κἂν ἐάν ᾖ εἰμί δεδομένα δίδωμι κἂν ἐάν μή μή . . 60 . . Καὶ καί λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ ΑΕ p p . . 24 , , 11 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό δεδομένου δεδομένον δίδωμι μέγεθος μέγεθος ἀφαιρεθῇ ἀφαιρέω , , τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός δεδομένον δίδωμι ἔσται . . 61 . . Ἐὰν δὲ δέ μεῖζον μέγας ᾖ εἰμί τὸ ὁ Β∠ τοῦ ὁ ὅς ΑΓ , , θέντες τίθημι τῷ τῷ ΑΓ ἰσον ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Β∠ καὶ καί τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός ποιήσαντες ποιέω δείξο - - μεν τὸ ὁ Γ∠ τοῦ ὁ ΑΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας . . τοῦτο οὗτος γὰρ γάρ δηλοῖ δηλόω τὸ ὁ ὅς ἐν ἐν τῇ ὁ προτάσει πρότασις · · ἢ τίη τὸ ὁ ἕτερον ἕτερος τοῦ ὁ ἑτέρου ἕτερος δοθέντι δίδωμι μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί . . Ad prop . . XII . . 62 . . Λοιποῦ λοιπός ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ∠Ζ p . . 24 , , 25 — 26 , , 1 ] ] ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις · · σύγκειται σύγκειμαι γὰρ γάρ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . 63 . . Καὶ καί λοιποῦ τοῦ ὁ ΗΒ p p . . 26 , , 5 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ᾖ εἰμί ὡς ὡς ὡς ὅλον ὅλος ὅλοξ πρὸς πρός ὅλον ὅλος ὅλοξ , , οὕτως οὕτως ἀφαιρεθὲν ἀφαιρέω πρὸς πρός ἀφαιρεθέν ἀφαιρέω , , καὶ καί λοιπὸν πρὸς πρός λοιπὸν λοιπός ἔσται εἰμί ὡς ὡς ὅλον ὅλος ὅλοξ πρὸς πρός ὅλον ὅλος ὅλοξ . . Ad prop . . XIV . . 64 . . P . . 26 , , 17 ] κἄν ἄν τε τε ἴσα ἴσος ᾖ εἰμί τὰ ὁ ΑΕ , , ΓΖ κἄν ἐάν κἀν τε τε ἄνισα . . 65 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ΕΑ p p . . 26 , , 21 – – 22 ] ] τῶν ὁ γὰρ γάρ δεδομένων μεγεθῶν ὁ ὁ λόγος λόγος πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων δέδοται δίδωμι . . 66 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα καὶ καί τοῦ ὁ ΗΒ ΗΒ p p . . 28 , , 6 – 7 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ιβ΄ τοῦ ὁ ε΄ καὶ καί διὰ διά τὸ ὁ ἀντιστρόφιον τοῦ ὁ ὅρου ὅρος . . ἐπεὶ ἐπεί δέδοται δίδωμι ὁ ὁ τοῦ ὁ ΑΒ πρὸς πρός Γ∠ λόγος λόγος καί καί ἐστιν εἰμί ὁ ὁ αὐτὸς αὐτός ὁ ὁ τοῦ ὁ ΗΑ πρὸς πρός ΖΓ . . δέδοται δίδωμι καὶ καί οὕτως οὕτως ὁ ὁ τοῦ ὁ ΗΒ πρὸς πρός Ζ∠ . . 67 . . Ἐὰν δὲ δέ ποιήσωμεν ποιέω ὡς ὡς τὸ ὁ ὅς ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ Γ∠ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ΑΕ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ τίς ὅς Γ Γ ὡς ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ζ Ζ , , εὑρε - - θήσεται τίθημι τὸ ὁ Ζ∠ τοῦ ὁ ΕΒ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος . . Ad prop . . XV . . 68 . . Τοῦτο οὗτος ἀντιστρόφιόν πως πως τοῦ ὁ πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ . . δείξας δείκνυμι γάρ γάρ , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἐὰν ἐάν προστεθῇ προστίθημι δεδομένα μεγέθη τοῖς ὁ δεδο - - μένον μένω ἔχουσι ἔχω λόγον λόγος , , νῦν νῦν καὶ καί ἀφαιρῶν ἀφαιρέω τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός τῶν ὁ αὐτῶν αὐτός δείκνυσι δείκνυμι τὸ ὁ ὅς αὐτό . . Ad prop . . XVI . . 69 . . Καὶ καί λοιποῦ τοῦ ὁ ΗΒ p p . . 30 , , 23 – 24 ] ] καὶ καί δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί λοιποῦ τοῦ ὁ ΗΒ πρὸς πρός λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ Ε∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ιθ΄ τοῦ ὁ ὅς ε΄ τῶν ὁ στοιχείων στοιχεῖον . . Ad prop . . XX . . 70 . . Ἀντιστρόφιον τοῦ ὁ ὅς ιε΄ . . 71 . . Καὶ καί ἐπεί ἐπεί ἐστιν εἰμί ὡς ὡς τὸ ὁ ΑΕ p p . . 38 , , 21 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γάρ γάρ ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ΑΕ πρὸς πρός ΓΖ , , οὕτως οὕτως ΑΗ πρὸς πρός Γ∠ , , δῆλον δῆλος . . ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί λοιποῦ τοῦ ὁ ΕΗ πρὸς πρός λοιπὸν λοιπός τὸ ὁ Ζ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ιθ΄ τοῦ ὁ ὅς ε΄ τῶν ὁ στοιχείων , , καὶ καί ἐν ἐν ἅπασι ἅπας τοῖς ὁ τοιούτοις διὰ διά τὸ ὁ σχόλιον μάλιστα μάλιστα τοῦ ὁ ι΄ θεωρήματος θεώρημα , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖον σημεῖον τόδε ὅδε P P . . Ad prop . . XXII . . 72 . . Ἔσται εἰμί καὶ καί λοιποῦ τοῦ ὁ ΕΒ p p . . 42 , , 21 ] ] ἐὰν ἐάν ᾖ εἰμί ὡς ὡς ὡς ὅλον ὅλος ὅλοξ πρὸς πρός ὅλον ὅλος ὅλοξ , , οὕτως οὕτως ἀφαιρεθὲν ἀφαιρέω πρὸς πρός ἀφαιρε - - θέν , , καὶ καί τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός πρὸς πρός τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός ἔσται εἰμί ὡς ὡς ὅλον ὅλος ὅλοξ πρὸς πρός ὅλον ὅλος ὅλοξ . . 73 . . P . . 44 , , 5 ] ] διὰ διά μὲν μέν τὸ ὁ ε΄ τούτου οὗτος τοῦ ὁ Γ∠ καὶ καί πρὸς πρός τὸ ὁ Γ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . 74 . . P . . 44 , , 6 ] συμπέρασμα συμπέρασμα · · ὥστε ὥστε τοῦ ὁ ὅς Γ∠ πρὸς πρός ἕκαστον ἕκαστος τῶν ὁ ὅς ΓΖ , , Ζ∠ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · ἔστι εἰμί δὲ δέ τοῦ ὁ ΑΒ πρὸς πρός ΓΖ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΑΒ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΓΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι καὶ καί πρὸς πρός τὸ ὁ Ζ∠ . . 75 . . Ὥστε πάντων πᾶς πρὸς πρός πάντα πᾶς p p . . 44 , , 8 8 ] ] ὥστε ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ΑΒ πρὸς πρός ΑΕ καὶ καί ΕΒ μέρη μέρος αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι , , καὶ καί πάλιν πάλιν τοῦ ὁ ὅς ΑΕ πρὸς πρός πάντα πᾶς καί καί ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ΕΒ πρὸς πρός πάντα πᾶς . . 76 . . Ἐπεὶ οὖν οὖν συνήχθη συνάγω ὁ ὁ τοῦ ὁ ΓΖ πρὸς πρός Ζ∠ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι , , κεῖται κεῖμαι δὲ δέ καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΕΒ πρὸς πρός Ζ∠ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι , , καὶ καί τοῦ ὁ ΓΖ ΓΖ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΕΒ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ η΄ . . πάλιν πάλιν ἐπεὶ ὁ ὁ τοῦ ὁ ΑΕ πρὸς πρός ΕΒ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , ὡς ὡς ἐδείχθη δείκνυμι , , κεῖται κεῖμαι δὲ δέ καὶ καί ὁ ὁ τοῦ ὁ ΕΒ πρὸς πρός Ζ∠ λόγος λόγος δο - - θείς , , καὶ καί ὁ ὁ τοῦ ὁ ὅς ΑΕ ΑΕ ἄρα ἄρα πρὸς πρός Ζ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ η΄ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί τὰ ὁ ὅς ΑΕ , , ΕΒ πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , καὶ καί τὸ ὁ ὅλον ὅλος ὅλοξ τὸ ὁ ΑΒ πρὸς πρός ἑκάτερον τῶν ὁ ΑΕ , , ΕΒ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ϛ΄ . . ὁμοίως ὅμοιος δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ΓΖ , , Ζ∠ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί τὸ ὁ ὅς ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ Γ∠ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ἔχει ἔχω δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ΓΖ , , Ζ∠ λόγον λόγος δεδομένον δίδωμι , , καὶ καί τὸ ὁ ΑΒ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ἑκά - - τερον τῶν ὁ ΓΖ , , Ζ∠ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ η΄ . . ὁμοίως ὅμοιος δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ΑΕ , , ΕΒ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · ὥστε ὥστε πάντα πᾶς πρὸς πρός πάντα πᾶς λόγους λόγος ἔχει ἔχω δεδομένους . . Ad prop . . XXIV . . 77 . . Εἰλήφθω τῶν ὁ ὅς ∠ ∠ , , Ζ Ζ p p . . 44 , , 20 ] ] δύο γε δοθεισῶν δίδωμι εὐθειῶν εὐθεῖα μέσην μέσος ἀνάλογον ἀνάλογος προσευρεῖν . . 78 . . Δοθὲν δὲ δέ τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ὅς ∠ ∠ , , Ζ Ζ p p . . 44 , , 22 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἐμάθομεν ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι εὐθύγραμμα εὐθύγραμμος σχήματα σχῆμα τῷ τῷ εἴδει εἶδος δεδόσθαι λέγεται λέγω , , ὧν ὅς ὅς2 αἵ ὁ τε τε γωνίαι γωνία δεδομέναι δίδωμι εἰσὶ εἰμί κατὰ κατά μίαν καὶ καί οἱ ὁ λόγοι λόγος τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων δεδομένοι δίδωμι , , ἐὰν ἐάν ποιήσωμεν ποιέω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ὁ ΑΒΓ∠ ἔχον ἔχω ἴσην ἴσος τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν ∠ ∠ τὴν ὁ ΑΒ , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ Ζ Ζ ἴσην ἴσος τὴν ὁ ΒΓ . . ἔχομεν ἔχω τῶν ὁ μὲν μέν γω - - νιῶν ἑκάστην ἕκαστος δεδομένην διὰ διά τὸ ὁ ὀρθὴν εἶναι εἰμί · · πᾶσα πᾶς γὰρ γάρ ὀρθὴ δέδοται δίδωμι · · ὀρθὴ γὰρ γάρ ὀρθῆς ὀρθός οὐ οὐ διαφέρει διαφέρω . . καὶ καί δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί οἱ ὁ λόγοι λόγος τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν δεδομένοι δίδωμι εἰσίν εἰμί · · ὁ ὁ γὰρ γάρ τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός ΒΓ λόγος λόγος δέδοται δίδωμι , , ἐπεὶ ἐπεί καὶ καί ὁ ὁ τῆς ὁ ∠ ∠ πρὸς πρός Ζ Ζ λόγος λόγος δέδοται δίδωμι . . καὶ καί διὰ διά τοῦτο οὗτος δέδοται τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ὅς ∠ ∠ , , Ζ Ζ . . 79 . . Δοθεῖσα ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Ε Ε p p . . 44 , , 24 ] ] εἰ εἰ γὰρ γάρ δέδοταί μοι τὸ ὁ τετράγωνον τετράγωνος , , ἐπεὶ ἐπεί καὶ καί τὸ ὁ ἴσον ἴσος αὐτῷ αὐτός παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος τὸ ὁ ὅς ΑΓ , , δέδοται δίδωμι καὶ καί ἡ ὁ εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ποιοῦσα ποιέω αὐτό . . καὶ καί ἄλλως ἄλλος ἄλλως · · ἐπεὶ ἐπεί ἕσαι εἰσὶν εἰμί αἱ ὁ δ δ πλευραὶ πλευρά τοῦ ὁ τετραγώύνου , , δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι ἡ ὁ ποιοῦσα ποιέω αὐτὸ αὐτός εὐθεῖα εὐθύς · · ἴσαι ἴσος γὰρ γάρ αὐταὶ αὐτός ἐπορίσθησαν πορίζω · · ὤστε δέδοται δίδωμι ἡ ὁ Ε Ε . . 80 . . Καὶ καί τὸ ὁ ἀντιστρόφιον αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ ἀληθές ἀληθής . . Ad prop . . XXV . . 81 . . Λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι — σημεῖον σημεῖον p p . . 46 , , 17 – 18 ] ] δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις · · μόνον μόνος γὰρ γάρ τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις δέδοται δίδωμι τὰ ὁ σημεῖα σημεῖον . . Ad prop . . XXVI . . 82 . . Τὰ Α , , Β δέδοται δίδωμι τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις · · μόνον μόνος γὰρ γάρ τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις δέδοται δίδωμι τὰ ὁ σημεῖα σημεῖον . . Ad prop . . XXVIII . . 83 . . Εἰ μὲν μέν γὰρ γάρ τὸ ὁ Β σημεῖον σημεῖον ἢ τίη ἐντὸς ἐντός ἢ τίη ἐκτὸς ἐκτός μεταπεσεῖται , , οὐκ οὐ ἔσται εἰμί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος δεδομένη ἡ ὁ εὐθεῖα εὐθύς · · εἰ εἰ δὲ δέ μεταπεσεῖται ἢ τίη ἄνω ἄνω2 ἄνω ἢ τίη . . κάτω κάτω , , οὐκ οὐ ἔσται εἰμί τῇ ὁ θέσει θέσις δεδομένη . . Ad prop XXX . . 84 . . Παντὸς γὰρ γάρ τριγώνου ἡ ὁ ἐκτὸς ἐκτός γωνία γωνία δυσὶ ταῖς ὁ ἐντὸς ἐντός καὶ καί ἀπεναντίον ἀπεναντίος ἴση ἴσος ἐστίν εἰμί . . Ad prop . . XXXI . . 85 . . Ἐὰν εὐσεῖα τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις δοθῇ δίδωμι , , δέδοται δίδωμι καὶ καί τῳ μεγέθει μέγεθος · · ἐὰν ἐάν τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος , , οὔπω οὔπω καὶ καί τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις · · δύναται δύναμαι γὰρ γάρ μεταπίπτειν μεταπίπτω . . 86 . . Θέσει ἄρα ἄρα p . . 52 , , 23 ] ] διὰ διά τοὺς ὁ ὅρους ὅρος . . κύκλος κύκλος γὰρ γάρ τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος δεδόσθαι λέγεται λέγω , , οὐ οὐ δέδοται δίδωμι τὸ ὁ ὅς μὲν μέν κέντρον κέντρον τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις , , ἡ ὁ δὲ δέ ἐκ ἐκ τοῦ ὁ κέντρου κέντρον τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . 87 . . Τῇ θέσει καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος κύκλος κύκλος δεδόσθαι λέγεται λέγω , , οὗ οὗ δέδοται δίδωμι κτλ . . , , ὡς ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . Ad prop . . XXXIII . . 88 . . Ἀντιστρόφιον τοῦ ὁ λβλ΄ . . Ad prop . . XXXVII . . 89 . . Ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός τὴν ὁ ΗΕ p p . . 64 , , 9 ] κἂν ἄν τε τε οὖν οὖν αἱ ὁ ΖΕ , , ΛΝ παράλληλοι παράλληλος ὦσι εἰμί κἄν ἐάν κἀν τε τε μὴ μή ὦσι εἰμί παρ - - άλληλοι , , ἐὰν ἐάν ἐπιζεύξωμεν τὴν ὁ ΕΝ , , ἔσται εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός ΗΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΝΞ πρὸς πρός ΞΕ , , ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΝΞ πρὸς πρός ΞΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΝΜ πρὸς πρός ΜΛ , , ὥστε ὥστε ὡς ὡς ὡς ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός ΗΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΝΜ πρὸς πρός ΜΛ . . Ad prop . . XXXIX . . 90 . . Δέδοται ἄρα ἄρα p . . 68 , , 19 ] ] ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν δεδομέναι δίδωμι εἰσὶν εἰμί αἱ ὁ ΚΕ ΚΕ , , ΕΖ , , ὁ ὁ πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων λόγος λόγος αὐτῶν αὐτός δέδοται δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ α΄ . . ὁμοίως ὅμοιος δὲ δέ καὶ καί τῶν ὁ ΕΖ , , ΖΚ λόγος λόγος δέδοται δίδωμι · · καὶ καί ἔτι ἔτι ὁ ὁ τῶν ὁ ΖΚ , , ΚΕ λόγος λόγος δέδοται δίδωμι . . πάλιν πάλιν , , ἐπεὶ ἐπεί αἱ ὁ ΚΕ , , ΕΖ δεδομέναι δίδωμι εἰσὶ εἰμί τῇ ὁ θέσει θέσις , , τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἄρα ἄρα ἀεὶ ἀεί τόπον τόπος ἐπέχουσιν ἐπέχω ἐπώχατο . . καὶ καί διὰ διά τοῦτο οὗτος . . δέδοται δίδωμι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΚΕΖ τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . ὁμοίως ὅμοιος δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΖΚ δέδοται δίδωμι τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος · · καὶ καί ἔτι ἔτι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΚΕ δέδοται δίδωμι τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . Ad prop . . XI . . 91 . . Δέδοται ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ∠ΖΕ τρίγωνον τρίγωνος p p . . 70 , , 21 ] ] ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν δέδοται δίδωμι ἑκατέρα ἑκάτερος τῶν ὁ ∠Ε ∠Ε , , ΕΖ , , δέδοται δίδωμι καὶ καί ὁ ὁ πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων αὐτῶν αὐτός λόγος λόγος διὰ διά τὸ ὁ α΄ . . ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί ὁ ὁ τῶν ὁ ΕΖ , , Ζ∠ δέδοται δίδωμι λόγος λόγος · · καὶ καί ἔτι ἔτι ὁ ὁ τῶν ὁ Ζ∠ , , ∠Ε δέ δέ - - δοται λόγος λόγος . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἑκάστη ἕκαστος τῶν ὁ ∠ ∠ , , Ε , , Ζ Ζ γωνιῶν γωνία δεδομένη τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος . . δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ∠ΕΖ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . 92 . . Δέδοται ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ΑΒΓ p p . . 70 , , 23 ] ] ἐπεὶ ἐπεί τὰ ὁ ὅς ΑΒΓ , , ∠ΕΖ τρίγωνα τρίγων ἀνάλογον ἀνάλογος ἔχοντα ἔχω τὰς ὁ πλευρὰς πλευρά ἐδείχθη δείκνυμι , , τῶν ὁ δὲ δέ τοῦ ὁ ὅς ΑΒΓ τριγώνου τρίγωνος πλευρῶν πλευρά ὁ ὁ λόγος λόγος ὁ ὁ πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων δέδοται δίδωμι , , δέδονται δὲ δέ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ αἱ ὁ γωνίαι γωνία · · ἴσαι γάρ γάρ εἰσι εἰμί ταῖς ὁ τοῦ ὁ ∠ΕΖ τριγώνου · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τῷ τῷ εἴδει εἶδος , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . Ad prop . . XLIII . . 93 . . Θέσει ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ∠ΗΕ ἡμικύκλιον ἡμικύκλιον p p . . 76 , , 23 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ κεῖται κεῖμαι ἡ ὁ ∠Ε τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος δεδο - - μένη , , δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι , , ἐὰν ἐάν τμηθῇ τέμνω δίχα δίχα ὁ ὁ κύκλος κύκλος , , ἔστι εἰμί κέν - - τρον τοῦ ὁ κύκλου κύκλος ἡ ὁ ἡμίσεια ἡμίσεια , , τουτέστιν ἡ ὁ ἐκ ἐκ τοῦ ὁ κέντρου κέντρον δέδοται δίδωμι τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος , , ὥστε ὥστε καὶ καί ὁ ὁ κύκλος κύκλος διὰ διά τὸν ὁ ὅρον ὅρος . . 1 ) ) Ad prop . . XLIV . . 94 . . Μὴ μή ἔστω εἰμί δή δή p p . . 80 , , 6 ] ] εἰ εἰ γὰρ γάρ ὑποτεθείη ὑποτίθημι ὀρθή ὀρθός , , εὐθὺς εὐθύς δέδοται δίδωμι τῷ τῷ εἴδει εἶδος διὰ διά τὸ ὁ πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ . . 95 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΒΑ p p . . 80 , , 11 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ἀντί - - στροφον τοῦ ὁ ὅρου ὅρος τῶν ὁ Δεδομένων διὰ διά τὸ ὁ μ΄ . . ἐπεὶ ἐπεί γάρ γάρ , , ὧν ὅς ὅς2 αἱ ὁ γωνίαι γωνία δεδομέναι δίδωμι εἰσὶ εἰμί καὶ καί οἱ ὁ λόγοι λόγος τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων , , ἐκεῖνα ἐκεῖνος δεδομένα εἰσίν εἰμί , , καὶ καί τῶν ὁ δεδομένων ἄρα ἄρα τῷ τῷ εἴδει εἶδος δεδομέναι δίδωμι εἰσὶ εἰμί καὶ καί αἱ ὁ γωνίαι γωνία καὶ καί οἱ ὁ λόγοι λόγος τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων . . Ad prop . . XLV . . 96 . . Καὶ καί ἐπεί ἐπεί ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΑ p p . . 82 , , 21 ] ] ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ ς΄ τῶν ὁ στοιχείων ( ( VI , , 3 ) ) · · ἐὰν τριγώνου ἡ ὁ γωνία δίχα δίχα τμηθῆ , , ἡ ὁ δὲ δέ τέμνουσα τέμνω αὐτὴν αὐτός ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ βάσιν βάσις ἀχθῇ ἄγω , , τὰ ὁ τῆς ὁ βάσεως βάσις καὶ καί τὰ ὁ ὅς ἑξῆς ἑξῆς . . εἰ εἰ δίχα δίχα τέτμηται τέμνω ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΑ πρὸς πρός ΑΒ , , ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ∠Β · · καὶ καί συνθέντι ὡς ὡς ὡς συναμφότερος ἡ ὁ ΓΑ , , ΑΒ πρὸς πρός ΑΒ , , ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός Β∠ · · καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ὡς ὡς ὡς συναμφότερος ἡ ὁ ΓΑ , , ΑΒ πρὸς πρός ΓΒ , , ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ . . 97 . . Καὶ καί ὡς ὡς ὡς συναμφότερος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΒΑΓ p p . . 82 , , 23 ] ] ὡς ὡς γὰρ γάρ ἓν τῶν ὁ ἡγουμένων πρὸς πρός ἓν τῶν ὁ ἑπομένων , , οὕτως οὕτως ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἡγούμενα πρὸς πρός ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἑπόμενα . . Ad prop . . XLVI . . 98 . . Ἐὰν γὰρ γάρ τριγώνου τρίγωνος γωνία γωνία δίχα δίχα τμηθῇ τέμνω , , τὰ ὁ τῆς ὁ βάσεως βάσις τοῦ ὁ τριγώνου τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἕξει ἔχω λόγον λόγος ταῖς ὁ τοῦ ὁ ὅς τρι - - γώνου πλευραῖς πλευρά . . Ad prop . . L . . 99 . . Ὥστε καὶ καί τῆς ὁ ΑΒ p p . . 92 , , 6 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὴν ὁ Γ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ὁ ὁ τῆς ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ Η Η λόγος λόγος δοθείς δίδωμι , , δῆλον δῆλος ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς καὶ καί ὁ ὁ συγκείμενος ἐκ ἐκ τῶν ὁ δύο γε δοθέντων δίδωμι λόγων λόγος δοθείς δίδωμι ἐστι εἰμί λόγος λόγος · · ἢ τίη καὶ καί διὰ διά τὸ ὁ η΄ , , ὃ ὅς καὶ καί βέλτιον βελτίων . . 100 . . Ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΑΒ p p . . 92 , , 7 ] ] ὡς ὡς γὰρ γάρ ἡ ὁ α΄ πρὸς πρός τὴν ὁ γ΄ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ α΄ εἶδος εἶδος πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ β΄ τὸ ὁ ὅμοιον ὅμοιος καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος ἀναγεγραμμένον ἀναγράφω . . Ad prop . . LII . . 101 . . Δέδοται ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΖ p p . . 94 , , 14 ] πᾶν πᾶς γὰρ γάρ τετράγωνον τετράγωνος δοθέν ἐστι εἰμί τῷ τῷ εἴδει εἶδος διὰ διά τὸ ὁ ὅς καὶ καί τὰς ὁ γωνίας γωνία αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ δεδόσθαι δίδωμι · · πᾶσαι πᾶς γάρ γάρ εἰσιν εἰμί ὀρθαί · · καὶ καί τοὺς ὁ λόγους λόγος δὲ δέ τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν · · πᾶσαι πᾶς γάρ γάρ εἰσιν εἰμί ἴσαι ἴσος · · καὶ καί γὰρ γάρ οὐ οὐ τῶν ὁ ἀνίσων ἄνισος μόνων ἐστὶ εἰμί λόγος λόγος , , ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί τῶν ὁ ἴσων ἴσος . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ἔκκειται ἔκκειμαι τὸ ὁ τετράγωνον τετράγωνος · · ἀναγέγραπται ἀναγράφω γάρ γάρ · · δύναμαι δύναμαι αὐτῷ αὐτός ἴσον ἴσος πορίσασθαι πορίζω · · καὶ καί διὰ διά τοῦτο οὗτος δέδοται δίδωμι καὶ καί τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος καὶ καί αὐτὸ αὐτός τὸ ὁ τετράγωνον τετράγωνος καὶ καί ἑκάστη ἕκαστος αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ πλευρά πλευρόν . . Ad prop . . LIII . . 102 . . P . . 96 , , 1 ] ] δεδομένα τῷ τῷ εἴδει εἶδος καθʼ κατά ἑαυτὰ ἕκαστον ἕκαστος . . 103 . . Τῆς ὁ δὲ δέ ∠Β p p . . 96 , , 8 ] ] ὑπόκειται ὑπόκειμαι γὰρ γάρ ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος · · δεδομένα γάρ γάρ ἐστι εἰμί τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . Ad prop . . LIV . . 104 . . Ἐδείχθη γὰρ γάρ ἐν ἐν τῷ ὁ σχολίῳ τῷ τῷ ἐν ἐν τοῖς ὁ πρώ - - τοις σχολίοις τοῦ ὁ ὅς πρό πρό , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖόν ἐστι εἰμί τόδε ὅδε P P , , ὅτι ὅτι2 ὅτι , , ἐὰν ἐάν α΄ πρὸς πρός β΄ λόγον λόγος ἔχῃ ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ᾖ εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ ὅς γ΄ δεδομένον δίδωμι , , καὶ καί γένηται γίγνομαι ὡς ὡς τὸ ὁ α΄ πρὸς πρός τὸ ὁ β΄ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς γ΄ πρὸς πρός ἄλλο ἄλλος τι τις τὸ ὁ δ΄ , , οὐκέτι οὐκέτι καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ λόγον λόγος ἕξουσι ἔχω δεδομένον δίδωμι , , διόπερ καὶ καί ἐνταῦθα ἐνταῦθα οὐκ οὐ ἐκ ἐκ τοῦ ὁ ἐναλλὰξ ἐναλλάξ εὗρε εὑρίσκω τὸν ὁ λόγον λόγος αὐτῶν αὐτός δεδομένον δίδωμι , , ἀλλὰ ἀλλά ἄλλως ἄλλος ἄλλως , , ὡς ὡς νῦν νῦν λέγει λέγω . . 105 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ Γ∠ p p . . 96 , , 24 ] ] ἐὰν ἐάν τρεῖς εὐθεῖαι εὐθύς ἀνάλογον ὦσιν ὦσις , , ὡς ὡς ἡ ὁ α΄ πρὸς πρός τὴν ὁ γ΄ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ πρώτης εἶδος εἶδος πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ δευτέρας τὸ ὁ ὅμοιον ὅμοιος καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος ἀναγεγραμμένον ἀναγράφω . . 106 . . Καὶ καί τῆς ὁ Γ∠ ἄρα ἄρα p . . 98 , , 1 ] σχόλιον σχόλιον . . ἐδείχθη δείκνυμι γάρ γάρ , , ὅτι ὅτι2 ὅτι , , ἐὰν ἐάν τρεῖς εὐθεῖαι εὐθύς ἀνάλογον ὦσιν ὦσις , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ α΄ πρὸς πρός τὴν ὁ τρίτην τρίτος λόγον λόγος ἔχῃ ἔχω δεδομένον δίδωμι , , καὶ καί πρὸς πρός τὴν ὁ δευτέραν δεύτερος λόγον λόγος ἕξει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ἐν ἐν τῷ τῷ κδ΄ . . ἢ τίη καὶ καί οὕτως οὕτως · · ἐπεὶ ἐπεί ὁ ὁ συγκείμενος λόγος λόγος δέδοται δίδωμι , , καὶ καί ἑκάτερος ἑκάτερος τῶν ὁ τιθέντων αὐτὸν αὐτός λόγων λόγος δέδοται δίδωμι · · ἑκάτερος ἑκάτερος γὰρ γάρ ὁ ὁ αὐτός αὐτός . . 107 . . Καί καί ἐστιν εἰμί ὅμοιον ὅμοιος τὸ ὁ Α τῷ τῷ Β p p . . 98 , , 2 ] ] ἀντὶ ἀντί τοῦ ὁ · · καί καί εἰσι εἰμί δεδομένα τῷ τῷ εἴδει εἶδος τὰ ὁ Α Α , , Β · · καὶ καί γὰρ γάρ ὅμοια ὅμοιος σχήματα σχῆμα εὐθύγραμμά εὐθύγραμμος ἐστιν εἰμί , , ὅσα ὅσος τάς ὁ τε τε γωνίας γωνία ἴσας ἴσος ἀλλήλαις ἀλλήλων ἔχει ἔχω κατὰ κατά μίαν καὶ καί τὰς ὁ περὶ περί τὰς ὁ ἴσας ἴσος γωνίας γωνία πλευρὰς πλευρά ἀνάλογον · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε δεδομένα εἰσὶ εἰμί τῷ τῷ εἴδει εἶδος τὰ ὁ ὅμοια ὅμοιος · · τὰ ὁ οὖν οὖν ὅμοια ὅμοιος καὶ καί τῷ τῷ εἴδει εἶδος εἰσὶ εἰμί δεδομένα , , τὰ ὁ ὅς δὲ δέ τῷ τῷ εἴδει εἶδος δεδομένα οὐ οὐ πάντως πᾶς πάντως ὅμοια ὅμοιος . . Ad prop . . LVII . . 108 . . Ὥστε καὶ καί τῆς ὁ ΕΑ p p . . 102 , , 23 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ δύο γε εἴδη εἶδος τὰ ὁ ΕΒ , , Β∠ δεδομένα τῷ τῷ εἴδει εἶδος πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , καὶ καί αἱ ὁ πλευραὶ πλευρά αὐτῶν αὐτός πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων λόγον λόγος ἕξουσι ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 109 . . Καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς πλάτος πλάτος τοῦ ὁ παραβλήματος p p . . 104 8 – – 9 9 ] ] τὸ ὁ ὅς μὲν μέν ἀληθῶς ἀληθής πλάτος πλάτος τοῦ ὁ ΑΓΗΒ παραλληλο - - γράμμου ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΑΘ πρὸς πρός ὀρθὰς οὖσα εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΒ · · αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ δὲ δέ τούτου οὗτος τοῦ ὁ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τούτων οὗτος τῶν ὁ τεσσάρων τέσσαρες εὐθειῶν εὐθεῖα τῶν ὁ ΑΒ , , ΒΗ ΒΗ , , ΗΓ , , ΓΑ μήκους ὄντος εἰμί τοῦ ὁ ὅς ΑΒ , , πλάτος πλάτος ἔσται εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΓ · · ἐπὶ ἐπί γὰρ γάρ τῶν ὁ προκειμένων τεσσάρων εὐθειῶν τὸ ὁ πλάτος πλάτος ζητεῖ ζητέω , , οὐ οὐ τὸ ὁ ἀληθῶς ἀληθής τοῦ ὁ χωρίου χωρίον πλάτος πλάτος · · ἄλλη ἄλλος γάρ γάρ ἐστι εἰμί παρὰ παρά τὰς ὁ τέσσαρας τέσσαρες ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΘ . . Ad prop . . LVIII . . 110 . . Δοθεῖσα ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ Ε∠ p p . . 104 , , 17 – 18 ] ] ἡμί - - σεια γάρ γάρ ἐστι εἰμί τῆς ὁ Α∠ δοθείσης δίδωμι ἡ ὁ Ε∠ . . 111 . . Δέδοται ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ΕΖ p p . . 104 , , 20 ] ] ὅμοιον ὅμοιος γάρ γάρ ἐστι εἰμί τῷ τῷ ∠Γ δεδομένῳ . . 112 . . Καί καί ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος τοῖς ὁ ΑΓ , , ΚΘ p p . . 104 , , 23 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τὸ ὁ ΕΓ τῷ τῷ ΓΖ ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος , , κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ ὅς Γ∠ · · ὅλον ὅλος ὅλοξ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς Κ∠ τῷ τῷ ὅλῳ ὅλος ὅλοξ τῷ ὁ ΒΖ ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος . . ἀλλὰ ἀλλά τὸ ὁ ὅς Κ∠ τῷ τῷ ΑΚ ΑΚ ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος , , ἐπεὶ ἐπεί καὶ καί ἡ ὁ ΑΕ τῇ ὁ Ε∠ ἴση ἴσος · · δίχα δίχα γὰρ γάρ τέτμηται τέμνω . . καὶ καί τὸ ὁ ὅς ΑΚ ἄρα ἄρα τῷ τῷ ΒΖ ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος . . κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ ὅς ΚΒ · · ὅλον ὅλος ὅλοξ ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ΑΓ τῷ τῷ γνώμονί ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος , , τουτέστι τῷ τῷ ΒΚ ΒΚ καὶ καί ΒΖ . . ἔτι ἔτι κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ ὅς ΚΘ · · τὰ ὁ ΑΓ , , ΚΘ ΚΘ ἄρα ἄρα ἴσα ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ΕΖ . . 113 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ Ε∠ δοθεῖσα δίδωμι p p . . 06 , , 5 ] ] ἡμίσεια γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ Ε∠ τῆς ὁ Α∠ δεδομένης . . Ad prop . . LIX . . 114 . . Περὶ περί τὴν ὁ αὐτὴν αὐτός ἄρα ἄρα διάμετρον διάμετρος p . . 106 , , 17 ] ] ἐδείχθη δείκνυμι γὰρ γάρ ἐν ἐν τοῖς ὁ στοιχείοις , , ὡς ὡς τὰ ὁ ὅμοια ὅμοιος παραλληλό - - γραμμα περὶ περί τὴν ὁ αὐτήν εἰσι εἰμί διάμετρον διάμετρος . . 115 . . Καί καί ἐστιν εἰμί ἴσα ἴσος τῷ ὁ ΚΛ p p . . 106 , , 24 ] ] καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος τῷ τῷ σχολίῳ τῷ τῷ αὐτῷ αὐτός πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ θεωρήματος θεώρημα . . 116 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τῷ ὁ εἴδει εἶδος p p . . 108 , , 1 ] ] τῷ τῷ εἴδει εἶδος γὰρ γάρ δεδομένον δίδωμι ὑπόκειται ὑπόκειμαι τὸ ὁ ὅς ΓΒ . . Ad prop . . LX . . 117 . . Ὅμοιον γάρ γάρ ἐστι εἰμί τῷ τῷ ΑΒ p p . . 108 , , 17 ] ] ὅτι ὅτι2 ὅτι δὲ δέ ὅμοιόν ὅμοιος ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΑΒ τῷ τῷ ΑΗ , , δῆλον δῆλος · · παντὸς πᾶς γὰρ γάρ παρ - - αλληλογράμμου εἶς εἶμι εἰμί μόνος μόνος ἐστὶ εἰμί γνώμων . . καὶ καί γὰρ γάρ γνώ - - μων ἐστὶν εἰμί ἓν ὁποιονοῦν τῶν ὁ περὶ περί τὴν ὁ διάμετρον διάμετρος ταραλληλογράμμων σὺν σύν τοῖς ὁ δυσὶ παραπληρώμασιν , , ὃς ὅς προστιθέμενος προστίθημι ὅμοιον ὅμοιος ποιεῖ ποιέω , , προσετέθη προστίθημι παρ - - αλληλογράμμῳ , , τὸ ὁ γενόμενον ὑπὸ ὑπό τοῦ ὁ ὅς ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή παρ - - αλληλογράμμου καὶ καί τοῦ ὁ γνώμονος . . ὁμοίως ὅμοιος δέ δέ , , κἂν ἐάν ἀφαιρεθῇ ἀφαιρέω γνώμων παραλληλογράμμου · · περὶ περί τὴν ὁ αὐτὴν αὐτός γάρ γάρ ἐστι εἰμί διάμετρον διάμετρος , , ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ ς΄ βιβλίῳ τῶν ὁ στοιχείων . . Ad prop . . LXI . . 118 . . Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΓΒ γωνία p p . . 110 , , 22 ] ] δεδομένον δίδωμι γὰρ γάρ τῷ τῷ εἴδει εἶδος ὑπόκειται ὑπόκειμαι τὸ ὁ ὅς ΑΖΓΒ . . 119 . . Δοθὲν ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος p p . . 110 , , 23 ] ] ὅτι ὅτι2 ὅτι δέδοται δίδωμι τὸ ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος , , δῆλον δῆλος . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ δέδοται δίδωμι ἡ ὁ ΖΓΒ γωνία , , δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ΓΖΒ γωνία · · εἰς εἰς γὰρ γάρ παραλλήλους παράλληλος τὰς ὁ ΖΒ , , ΓΒ εὐθεῖα εὐθύς ἐμ ἐν - - πέπτωκεν πίπτω ἡ ὁ ΓΖ ποιοῦσα ποιέω τὰς ὁ ἐντὸς ἐντός καὶ καί ἐπὶ ἐπί τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός μέρη μέρος δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἴσος , , ὧν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΓΒ δέδοται δίδωμι · · καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΖΗ δέδοται δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί αἱ ὁ λοιπαὶ λοιπός δύο γε δεδομέναι δίδωμι εἰσίν εἰμί . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δέδοται δίδωμι ὁ ὁ τῆς ὁ ΓΖ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΒ λόγος λόγος , , ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ΖΓ τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΒ , , ἡ ὁ δὲ δέ ΓΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΖΗ , , καὶ καί ὁ ὁ λόγος λόγος τῶν ὁ πλευρῶν πλευρά δέδοται δίδωμι . . 120 . . Τοῦ ὁ δὲ δέ ΖΒ πρὸς πρός τὸ ὁ Γ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι p p . . 112 , , 3 – 4 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τοῦ ὁ ΖΒ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμος πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΖΒΓ εἶδος εἶδος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ΑΖΒΓ εἴδους πρὸς πρός τὸ ὁ Γ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , καὶ καί διʼ διά ἴσου ἴσος τοῦ ὁ ΖΒ πρὸς πρός τὸ ὁ Γ∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . 121 . . Ἴση γὰρ γάρ τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΚΓΒ ΚΓΒ p p . . 112 , , 14 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΓΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΛΘ , , καὶ καί εἰς εἰς αὐτὰς αὐτός ἐμπέπτωκεν ἐμπίπτω εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ΓΚ , , αἱ ὁ ἐναλλὰξ ἐναλλάξ γωνίαι γωνία ἴσαι ἴσος ἀλλήλαις ἀλλήλων εἰσίν εἰμί . . Ad prop . . LXIII . . 122 . . Δεῖ δεῖ τοῦτο οὗτος προσεπιθεωρεῖν , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί τὰ ὁ τετρά - - γωνα πρὸς πρός ἄλληλα λόγον λόγος ἕξει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · τούτῳ οὗτος γὰρ γάρ ἐξῆς προσχρήσεται προσχράομαι . . ὅτι ὅτι2 ὅτι δὲ δέ ἀληθές ἀληθής ἐστιν εἰμί , , δῆλον δῆλος . . εἰ εἰ γὰρ γάρ ἑκάτερον ἑκάτερος τῶν ὁ ΕΒ , , ΖΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί τὰ ὁ ΕΒ , , ΖΓ πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων λόγον λόγος ἕξει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . Ad prop . . LXIV . . 123 . . Τὸ ἐν ἐν τῷ ὁ δευτέρῳ δεύτερος βιβλίῳ δωδέκατον δωδέκατος θεώρημα θεώρημα συμβάλλεται συμβάλλω εἰς εἰς τὸ ὁ παρὸν πηρός θεώρημα θεώρημα · · ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί τὸ ὁ ὅς ιγ΄ πάλιν πάλιν εἰς εἰς τὸ ὁ ὅς μετὰ μετά τοῦτο οὗτος ἤτοι ἤτοι τὸ ὁ ξε΄ , , καὶ καί ζήτει ζητέω αὐτὰ αὐτός ἐκεῖ ἐκεῖ . . 124 . . Πόθεν πόθεν ἐστίν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Β , , οὕτως οὕτως ὁ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠ , , ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠Β , , ΒΓ ΒΓ ἐκ ἐκ - - κείσθω κεῖμαι τις τις εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ αβ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν Α∠ ἴση ἴσος ἡ ὁ αδ , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ ∠Β ἴση ἴσος ἡ ὁ δβ , , καὶ καί ἤχθω πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἡ ὁ δζ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ ἴση ἴσος ἡ ὁ δζ · · καὶ καί συμ - - πεπληρώσθω τὸ ὁ σχῆμα σχῆμα τὸ ὁ αθ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ αδ πρὸς πρός δβ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ αζ πρὸς πρός τὸ ὁ δθ , , καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς μὲν μέν αζ τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ὅς αδ , , δζ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α∠ , , ΒΓ · · ἴση ἴσος γὰρ γάρ ἡ ὁ ΒΓ τῇ ὁ ὅς τῇ δζ , , ἡ ὁ δὲ δέ αδ τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ τὸ ὁ δὲ δέ δθ τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ δζ , , δβ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠Β , , ΒΓ · · ἴση ἴσος γὰρ γάρ ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ζδ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ , , ἡ ὁ δὲ δέ δβ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Β ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός ∠Β , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠ , , ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠Β , , ΒΓ . . 125 . . Ἀλλὰ ἀλλά τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠Α , , ΒΓ p p . . 118 , , 13 ] ] ἀν ἀνά - - ήχθω πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ σημείου σημεῖον τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ ἴση ἴσος καὶ καί παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΒΖ , , καὶ καί ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α σημείου σημεῖον τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Γ διήχθω ἴση ἴσος καὶ καί παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΑΕ , , καὶ καί ἐπεζεύχθω ἡ ὁ ΕΓ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί τὸ ὁ ὅς ΒΕ παραλληλό - - γραμμον τοῦ ὁ τριγώνου τρίγωνος διπλά - - σιόν ἐστιν εἰμί · · ἐπί ἐπί τε τε γὰρ γάρ τῆς ὁ αὐτῆς αὐτός βάσεώς βάσις εἰσι εἰμί καὶ καί ἐν ἐν ταῖς ὁ αὐταῖς αὐτός παραλλήλοις · · καὶ καί περι - - έχεται τὸ ὁ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΕ , , ΕΓ ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΕΓ τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ , , ἡ ὁ δὲ δέ ΖΕ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ , , διὰ διά τοῦτο οὗτος λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸ ὁ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος πρὸς πρός τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος , , ὥστε ὥστε καὶ καί διπλα - - σίονα τὸ ὁ παραλληλόγραμμον λόγον λόγος ἔχει ἔχω πρὸς πρός τὸ ὁ τρί - - γωνον , , ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α Α , , ∠ , , ΒΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δοθέντα δίδωμι πρὸς πρός τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος τετραπλασίονα . . τὸ ὁ γὰρ γάρ ∠Γ τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό ΓΒ μεῖζόν μέγας ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ β΄ τῶν ὁ στοιχείων . . 126 . . Καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠Β , , ΒΓ p p . . 118 , , 16 ] ] ἐν ἐν τῷ ὁ ιβ΄ θεωρήματι θεώρημα τοῦ ὁ β΄ τῶν ὁ στοιχείων στοιχεῖον ἐν ἐν τοῖς ὁ ἀμβλυγωνίοις ἀμβλυγώνιος τριγώνοις . . Ad prop . . LXV . . 127 . . Ὥστε ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΒ∠ p p . . 120 , , 13 ] ] καί καί ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ Β∠ πρὸς πρός ∠Α , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό ΓΒ , , ∠Β πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΒ , , Α∠ . . 128 . . Πόθεν πόθεν , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἐστὶν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ Β∠ πρὸς πρός ∠Α , , οὕτως οὕτως καὶ καί τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠Β , , Β∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ . . Α∠ ; ; ἐκκείσθω ἔκκειμαι τις τις εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ εζ καὶ καί ἀφῃρήσθω ἀπʼ ἀπό αὐτῆς αὐτός τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν Β∠ Β∠ ἴση ἴσος ἡ ὁ εδ , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ ∠Α ἴση ἴσος ἡ ὁ δζ , , καὶ καί πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἡ ὁ ηδ ἴση ἴσος οὗσα τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ εδ πρὸς πρός δζ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς εη πρὸς πρός ηζ , , καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς μὲν μέν εη τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ εδ , , δη , , τουτέστι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β∠ , , ΒΓ , , τὸ ὁ δὲ δέ ηζ τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ζδ , , δη , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ ∠Α · · ἴση ἴσος γὰρ γάρ ἡ ὁ ὅς μὲν μέν δη τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ , , ἡ ὁ δὲ δέ δζ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Α · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί τὰ ὁ ἑξῆς ἑξῆς . . 129 . . Καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό των ΓΒ , , Β∠ p p . . 120 , , 17 – 18 ] ] ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ β΄ τῶν ὁ στοιχείων στοιχεῖον ἐν ἐν τῷ τῷ ιγ΄ θεωρήματι θεώρημα ἐν ἐν τοῖς ὁ ὀξυγωνίοις ὀξυγώνιος τριγώνοις . . Ad prop . . LXVI . . 130 . . Ὡρ δὲ δέ ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ p p . . 122 , , 9 ] ] πάλιν πάλιν καὶ καί ἐνταῦθα ἐνταῦθα , , ἐὰν ἐάν τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν ΑΒ ΑΒ ἴσην ἴσος εὐθεῖαν εὐθύς λάβωμεν τὴν ὁ εη , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ Β∠ τὴν ὁ ηζ καὶ καί πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός τὴν ὁ ηθ ἴσην ἴσος οὖσαν εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ · · καὶ καί συμπεπληρώ - - σθω τὸ ὁ σχῆμα σχῆμα · · ἔσται εἰμί ὡς ὡς ὡς ἡ ὁ εη πρὸς πρός ηζ , , τουτέστιν ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς εθ πρὸς πρός θζ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ θηε , , τουτέστι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ , , πρὸς πρός τὸ ὁ θζ , , τουτέστι πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ θη , , ηζ , , τουτέστι πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ , , Β∠ · · ἴση ἴσος γὰρ γάρ ἡ ὁ ὅς μὲν μέν εη τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΒ , , ἡ ὁ δὲ δέ ηθ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ . . ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ηζ τῇ ὁ ὅς τῇ Β∠ . . 131 . . Τοῦ δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ , , Β∠ p p . . 122 , , 12 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Β τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν ἄγω καὶ καί ποιήσωμεν ποιέω παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος , , ἔσται εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β∠ , , ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · διπλά - - σιον γάρ γάρ . . 132 . . Τὸ θεώρημα θεώρημα ὡς ὡς ὡς ὀξείας οὔσης εἰμί τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ καταγέγραπται καταγράφω . . ἐὰν ἐάν δὲ δέ ὀρθὴ ᾖ εἰμί , , αὐτόθεν αὐτός αὐτόθεν τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΑΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · δι - - πλάσιον γὰρ γάρ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ ἐστιν εἰμί . . ἐὰν ἐάν δὲ δέ ἀμβλεῖα ᾖ εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ , , ἤχθω κάθετος κάθετος ἐκβληθείσης ἐκβάλλω τῆς ὁ ΓΑ ἡ ὁ ΒΕ . . δέδοται δίδωμι οὖν οὖν ἡ ὁ Ε · · ὀρθὴ γάρ γάρ · · ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΕ , , ἐπειδὴ ἐπεί καὶ καί ἡ ὁ ἐφεξῆς ἐφεξῆς αὐτῆς αὐτός ὑπό ὑπό - - κειται · · καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΒΑ δέδοται δίδωμι . . δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος τὸ ὁ ΕΒΑ τῷ τῷ εἴδει εἶδος · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΕΒ πρὸς πρός ΒΑ δοθείς δίδωμι . . ἀλλʼ ὡς ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΒ πρὸς πρός ΒΑ , , τῆς ὁ ΑΓ μέσης μέσος λαμβανομένης λαμβάνω οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΒ , , ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΑ , , ΑΓ λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό ΕΒ , , ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑ , , ΑΙ δοθείς δίδωμι . . τοῦ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό ΕΒ , , ΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων γάρ γάρ · · ἐὰν γὰρ γάρ διὰ διά τῶν ὁ ὅς Α , , Γ Γ τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΒ ΕΒ παρ - - αλλήλους ἀγάγωμεν ἄγω καὶ καί ἔτι ἔτι διὰ διά τοῦ ὁ Β τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΓ , , δῆλον δῆλος γίνεται γίγνομαι · · καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΑΓ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΑΓ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . Ad prop . . LXVII . . 133 . . Ἐὰν ἰσοσκελοῦς ἰσοσκελής τριγώνου ἀχθῇ ἄγω τις τις εὐθεῖα , , ὡς ὡς ἔτυχεν τυγχάνω , , ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ βάσιν βάσις , , τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ καταχθείσης μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ τμημάτων τμῆμα τῆς ὁ βάσεως βάσις ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό μίας τῶν ὁ ἴσων ἴσος πλευρῶν . . ἔστω εἰμί δὴ δή ἰσοσκελὲς ἰσοσκελής τὸ ὁ ΑΒΓ ἴσην ἴσος ἔχον ἔχω τὴν ὁ ΑΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ , , καὶ καί ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΒΓ ἤχθω τις τις εὐθεῖα , , ὡς ὡς ἔτυχεν τυγχάνω , , ἡ ὁ Α∠ . . λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α∠ μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Β∠ , , ∠Γ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΓ . . ἡ ὁ Α∠ ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΒΓ ἤτοι ἤτοι κάθετός κάθετος ἐστιν εἰμί ἢ ἤ οὔ οὐ . . ἔστω εἰμί πρότερον πρότερος κάθετος κάθετος . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί εὐθεῖά τις τις ἡ ὁ ΒΓ τέτμηται τέμνω δίχα δίχα κατὰ κατά τὸ ὁ ∠ ∠ , , τὸ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠ , , ∠Β ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β∠ . . κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α∠ · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠ , , ∠Β μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α∠ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τοῖς ὁ ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ὅς Α∠ , , ∠Β . . ἀλλὰ ἀλλά τοῖς ὁ ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ὅς Α∠ , , ∠Β ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό ΑΒ τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠Β μετὰ μετά τοῦ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α∠ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΒ . . ἀλλὰ ἀλλά δὴ δή μὴ ἔστω εἰμί κάθετος κάθετος ἡ ὁ Α∠ , , καὶ καί ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΒΓ κάθετος κάθετος ἡ ὁ ΑΕ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί εὐθεῖά τις τις τέτμηται τέμνω εἰς εἰς μὲν μέν ἴσα ἴσος κατὰ κατά τὸ ὁ Ε Ε , , εἰς εἰς δὲ δέ ἄνισα κατὰ κατά τὸ ὁ ∠ ∠ , , τὸ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠Β μετὰ μετά τοῦ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ∠Ε ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΕ . . κοινὸν κοινός προσκείσθω πρόσκειμαι τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΑΕ · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠Β μετὰ μετά τῶν ὁ ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΑΕ∠ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τοῖς ὁ ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ὅς ΑΕΒ . . καί καί ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος τοῖς ὁ ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ὅς ΑΕ∠ τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Α∠ . . τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Γ∠Β μετὰ μετά τοῦ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό Α∠ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τοῖς ὁ ἀπδ τῶν ὁ ὅς ΑΕ , , ΕΒ . . καί καί ἐστι εἰμί τοῖς ὁ ἀπὸ ἀπό ΑΕ , , ΕΒ τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό ΑΒ ἴσον ἴσος . . τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό Γ∠Β μετὰ μετά τοῦ ὁ τίς ὅς ἀπὸ ἀπό Α∠ ἴσον ἴσος τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό ΑΒ . . 134 . . Ἰσογώνια γάρ γάρ ἐστι εἰμί τὰ ὁ ὅς ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνα τρίγων . . 135 . . Καὶ καί ἐπεί ἐπεί ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΑ p p . . 124 , , 18 ] παρ - - άλληλος γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΑΓ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΕ . . Ad prop . . LXVIII . . 136 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἰσογώνιον ἰσογώνιος p p . . 128 , , 3 – 4 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἴση ἴσος ἐστὶ εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΕΒ τῇ ὁ ὅς τῇ Ζ Ζ , , ἀλλʼ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΕΒ τῇ ὁ ὅς τῇ Θ Θ , , καὶ καί ἡ ὁ Θ Θ ἄρα ἄρα τῇ ὁ ὅς τῇ Ζ Ζ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος · · ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί αἱ ὁ λοιπαί λοιπός . . Ad prop . . LXIX . . 137 . . Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί ἑκατέρα τῶν ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΓ , , ΑΚ∠ p p . . 130 , , 2 ] ] ἐπεὶ ἐπεί παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ∠Β τῇ ὁ ΑΓ , , καὶ καί εἰς εἰς αὐτὰς αὐτός ἐνέπεσεν ἐμπίπτω εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ Α∠ , , αἱ ὁ ἐντὸς ἐντός γωνίαι γωνία αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Α , , ∠ΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν εἰμί . . δέδοται δίδωμι δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Α καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΓ λεί - - πουσα εἰς εἰς τὰς ὁ ὀρθὰς ὀρθός δέδοται δίδωμι . . δέδοται δίδωμι δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΚ∠ ΑΚ∠ ἴση ἴσος οὖσα εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό Κ∠Β ἐναλλὰξ ἐναλλάξ οὔσῃ . . 138 . . Καθόλου γάρ γάρ , , ἐὰν ἐάν παραλληλογράμμου μία γωνία γωνία δοθῇ δίδωμι , , καὶ καί αἱ ὁ λοιπαὶ λοιπός δεδομέναι δίδωμι εἰσίν εἰμί . . μιᾶς γὰρ γάρ δοθείσης δίδωμι ἐξ ἐκ ἀνάγκης ἀνάγκη καὶ καί ἡ ὁ ἐφεξῆς ἐφεξῆς δοθήσεται , , ὥστε ὥστε καὶ καί τῶν ὁ δοθεισῶν δίδωμι αἱ ὁ ἀπεναντίον ἀπεναντίον δοθήσονται . . Ad prop . . LXX . . 139 . . Ἀντιστρόφιον δύο γε πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ θεωρήμασιν θεώρημα . . 140 . . Ἀντιστρόφιον τοῖς ὁ δύο γε ὁμοῦ ὁμοῦ τῷ τῷ τε τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ ὄγδοος καὶ καί τῷ τῷ ξθ΄ θεωρήματι θεώρημα . . 141 . . P . . 132 , , 4 ] ] ἐπʼεὐθείας ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ∠Β τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΜ . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΑΝ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Μ , , αἱ ὁ ἐναλλὰξ ἐναλλάξ γωνίαι γωνία αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΒΓ , , ΒΓΜ ἴσαι ἀλλήλαις ἀλλήλων εἰσίν εἰμί . . πάλιν πάλιν ἐπεὶ ἐπεί παράλληλός παράλληλος ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΜΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ , , αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ΜΒΓ , , ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις ἀλλήλων εἰσίν εἰμί . . αἱ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ , , ΒΓΝ ταῖς ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΒΓ , , ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν εἰμί . . ὀρθαὶ ὀρθός δὲ δέ αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ , , BΓΝ · · ὀρθαὶ ὀρθός ἄρα ἄρα καὶ καί αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΒΓ , , ΓΒΜ . . ἐὰν ἐάν δὲ δέ πρός πρός τινι εὐθείᾳ εὐθεῖα καὶ καί τῷ τῷ πρὸς πρός αὐτῇ αὐτός σημείῳ σημεῖον καὶ καί τὰ ὁ ὅς ἑξῆς ἑξῆς , , ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ α΄ τῶν ὁ στοιχείων ( ( I I , , 14 ) ) . . 142 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἰσογώνιον ἰσογώνιος p p . . 132 , , 6 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἰσογώνιον ἰσογώνιος κεῖται κεῖμαι τὸ ὁ ὅς ΑΒ τῷ τῷ ΕΗ , , ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ τῇ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Ζ Ζ · · ἀλλʼ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ τῇ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Ν Ν , , ἡ ὁ ἐκτὸς ἐκτός τῇ ὁ ὅς τῇ ἐντός ἐντός · · καὶ καί ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Ν ἄρα ἄρα τῇ ὁ ὅς τῇ πρὸς πρός τῷ τῷ Ζ Ζ ἴση ἴσος . . ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί αἱ ὁ λοιπαί λοιπός . . 143 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΚΓΒ δοθεῖσα δίδωμι p p . . 132 , , 20 ] ] ἴση ἴσος γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Ζ Ζ δοθεῖσα δίδωμι . . 144 . . Καθόλου καθόλου γὰρ γάρ πάλιν πάλιν , , ἐὰν ἐάν δύο γε τετραγώνων δύο γε γωνίαι γωνία ἴσαι ἴσος ὦσιν εἰμί , , ἰσογώνια ἰσογώνιος ἔσται εἰμί τὰ ὁ παραλληλό - - γραμμα . . 145 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ ὅς ΓΛ πρὸς πρός τὸ ὁ ΖΘ δοθείς δίδωμι p p . . 134 , , 6 ] ] μᾶλλον μᾶλλον ἀληθῶς ἀληθής διὰ διά τοῦτο οὗτος · · ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΚΓΒ τῇ ὁ ὅς τῇ Ζ Ζ καὶ καί περὶ περί ἴσας ἴσος γωνίας γωνία αἱ ὁ πλευραὶ πλευρά λόγον λόγος ἔχουσι ἔχω δεδομένον δίδωμι , , διὰ διά τὸ ὁ νῦν νῦν πρῶτον πρῶτος πρότερος δειχθὲν τοῦ ὁ ὅς ο΄ θεωρήματος θεώρημα λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ ΓΛ πρὸς πρός ΖΘ δοθείς δίδωμι . . Ad prop . . LXXII . . 146 . . Αἱ ὁ ἐπʼ αὐτὰς αὐτός ἠγμέναι ἄγω p p . . 136 , , 9 ] ] κατὰ κατά κοινοῦ κοινός τὸ ὁ ἐν ἐν δεδομένῳ λόγῳ λόγος ὦσιν εἰμί . . Ad prop . . LXXIII . . 147 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἰσογώνιον ἰσογώνιος p p . . 140 , , 4 ] ] ὅτι ὅτι2 ὅτι δέ δέ , , ἐὰν παραλληλογράμμου δύο γε πλευραὶ πλευρά ἐκβληθῶσι , , καὶ καί συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον , , ἰσογώνια ἰσογώνιος ἔσονται εἰμί τὰ ὁ παραλληλόγραμμα παραλληλόγραμμος . . ἔστω εἰμί παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος τὸ ὁ ΑΒ , , καὶ καί ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὁ ΑΓ , , ∠Β , , καὶ καί συμπεπληρώσθω τὸ ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος · · λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν εἰμί τὰ ὁ ΑΒ , , ΓΘ παραλληλόγραμμα . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ παράλληλοί παράλληλος εἰσιν εἰμί αἱ ὁ Α∠ , , ΓΒ , , ΚΘ , , ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΚΘ , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ὑπὸ ὑπό ΚΓΒ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΑ∠ , , ὥστε ὥστε ἰσο - - γώνιά εἰσιν εἰμί . . 148 . . Πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ p p . . 140 , , 8 ] ] ἡ ὁ ΑΓ λόγου λόγος χάριν χάρις πρὸς πρός τὴν ὁ ∠ ∠ ἢ ἤ πρὸς πρός οἷον οἷος δή δή ποτέ ποτε ποτέ τινα τις λόγον λόγος ἐχέτω ἔχω δεδο - - μένον μένω . . ὡς ὡς ὡς ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΚ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , τουτέστι β πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΚ . . 149 . . P . . 140 , , 8 — 9 ] ] πόθεν πόθεν ποθεν , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἡ ὁ ΑΓ πρὺς τὴν ὁ ΓΚ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι ; ; δείξομεν δείκνυμι οὕτως οὕτως · · ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἰσογώνιον ἰσογώνιος τὸ ὁ ὅς ΕΗ τῷ τῷ ΓΘ , , ἔστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , ἡ ὁ ΖΕ πρὸς πρός ΓΚ · · λέγω λέγω , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΓΚ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . μὴ μή γάρ γάρ , , ἀλλʼ , , εἰ εἰ δύνατον δυνατός , , ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ἄλλην ἄλλος τινὰ τὴν ὁ ∠ λόγον λόγος ἐχέτω ἔχω δεδομένον δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ὑπόκειται ὑπόκειμαι ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , ἡ ὁ ΖΕ πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ὡς ὡς ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΖΕ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠ ∠ · · ἔστι εἰμί δὲ δέ καί καί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , ἡ ὁ ΖΕ πρὸς πρός ΓΚ · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὅς ∠ τῃ ΓΚ . . ἔχει ἔχω δὲ δέ ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠ ∠ λόγον λόγος δεδομένον δίδωμι · · καὶ καί πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΚ ἄρα ἄρα ἴσην ἴσος αὐτῇ αὐτός οὖσαν εἰμί λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 150 . . Ἐπεὶ συνήχθη συνάγω ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ΓΚ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , οἷον οἷος πρὸς πρός τὴν ὁ ∠ ∠ , , πρὸς πρός ἃ ὅς ὅς2 δὲ δέ τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἔχει ἔχω λόγον λόγος , , ἐκεῖνα ἐκεῖνος ἴσα ἴσος ἐστίν εἰμί , , ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὅς ΓΚ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠ ∠ . . ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠ ∠ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε ἡ ὁ ΑΓ καὶ καί πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΚ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι . . 151 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΖΗ p p . . 140 , , 22 ] ] δεικτέον δείκνυμι δεικτέος δὲ δέ οὕτως οὕτως . . ἐπεὶ ἐπεί ὡς ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ∠ ∠ , , πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δο - - θέντα , , ἔσται εἰμί καὶ καί ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ∠ ∠ , , πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΓΛ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δοθέντα δίδωμι . . καὶ καί ἁρ - - μόσει ἡ ὁ προτέρα πρότερος κατασκευή κατασκευή · · καὶ καί τὸ ὁ ἑξῆς ἑξῆς δὲ δέ οὕτως οὕτως δεικτέον δείκνυμι δεικτέος . . 152 . . Λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ΓΜ παραλληλογράμμου p p . . 142 , , 1 – 2 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τῶν ὁ ΓΜ , , ΕΗ περὶ περί ἴσας ἴσος γωνίας γωνία τὰς ὁ πρὸς πρός τοῖς ὁ Γ Γ , , Ζ Ζ αἱ ὁ πλευραὶ πλευρά οὕτως οὕτως ἔχουσιν ἔχω , , ὥστε ὥστε εἶναι εἰμί ὡς ὡς ὡς τὴν ὁ ΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ΖΗ , , οὕτως οὕτως τὴν ὁ ΕΖ πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ὡς ὡς πρὸς πρός τὴν ὁ ΛΓ , , διὰ διά τὸ ὁ νῦν νῦν ἄρα ἄρα δειχθὲν τοῦ ὁ ογ΄ τὸ ὁ πρῶτον πρῶτος πρότερος λόγος λόγος τοῦ ὁ ΓΜ πρὸς πρός τὸ ὁ ΕΗ δοθείς δίδωμι . . 153 . . Μὴ μή ἀντιστρέψῃς · · οὐ οὐ γὰρ γάρ ἀληθές ἀληθής . . Ad prop . . LXXIV . . 154 . . Ἀντιστρόφιον τῷ τῷ πρὸ πρό αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ . . 155 . . Τὸ οδ΄ θεώρημα θεώρημα καθολικώτερον καθολικός τοῦ ὁ νς΄ . . 156 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ p p . . 144 , , 14 ] ] διὰ διά τὸ ὁ νῦν νῦν πρῶτον πρῶτος πρότερος δειχθὲν τοῦ ὁ ὅς οδ΄ . . 157 . . Ὅτι ὅτι2 δέ δέ ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΑΓ πάλιν πάλιν λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ἀντὶ ἀντί τοῦ ὁ πρὸς πρός τὴν ὁ ἴσην ἴσος ἑαυτῇ ἑαυτοῦ , , δείξομεν δείκνυμι οὕτως οὕτως . . παρα - - βεβλήσθω γὰρ γάρ ὁμοίως ὅμοιος τῷ τῷ ἐπάνω ἐπάνω παρὰ παρά τὴν ὁ ΓΒ τῷ τῷ ΕΗ ἴσον ἴσος παραλληλόγραμμον τὸ ὁ ΓΞ ΓΞ καὶ καί κείσθω κεῖμαι , , ὥστε ὥστε ἐπʼ εὐθείας εὐθεῖα εἶναι εἰμί τὴν ὁ ΓΝ τῇ ὁ ὅς τῇ ΛΓ · · ἐπʼ ἐπί εὐθείας εὐθεῖα ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ΜΒ τῃ ΒΞ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί τοῦ ὁ ΑΒ πρὸς πρός τὸ ὁ ΕΗ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · ὑπόκειται ὑπόκειμαι γάρ γάρ · · ἀλλὰ ἀλλά τὸ ὁ ὅς μὲν μέν ΑΒ τῷ τῷ ΓΜ ΓΜ ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος , , τὸ ὁ ὅς δὲ δέ ΕΗ τῷ τῷ ΓΞ ΓΞ , , καὶ καί τοῦ ὁ ΓΜ ΓΜ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΓΞ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί τῆς ὁ ΓΛ πρὸς πρός ΓΝ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · τῆς ὁ ὅς δὲ δέ ΓΑ πρὸς πρός ΓΛ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ δεδόσθαι δίδωμι τὸ ὁ ΑΓΛ τρίγωνον τρίγωνος · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΑΓ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΓΝ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ΓΞ τῷ τῷ ΕΗ , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἰσογώνιον ἰσογώνιος , , ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ΓΝ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ΛΓ λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , τουτέστι πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΓ , , διὰ διά τὸ ὁ νῦν νῦν πρῶτον πρῶτος πρότερος δειχθὲν τοῦ ὁ ὅς οδ΄ . . ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΖΗ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ἑκατέραν τῶν ὁ ΑΓ , , ΓΝ · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΑΓ τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΝ . . Ad prop . . LXXVI . . 158 . . Τῆς ὁ δὲ δέ ΑΒ p p . . 148 , , 4 ] ] δέδοται δίδωμι γὰρ γάρ τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . Ad . . prop . . LXXVII . . 159 . . Καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΒΗ ἄρα ἄρα p p . . 148 , , 22 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ τοῦ ὁ ΑΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠ΕΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΑΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ΒΗ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι , , καὶ καί τοῦ ὁ ΒΗ ΒΗ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΔΕΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . πάλιν πάλιν ἐπεὶ ἐπεί τοῦ ὁ ΒΗ πρὸς πρός τὸ ὁ ΔΕΖ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ΕΘ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠ΕΖ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι , , καὶ καί τοῦ ὁ ΒΗ ΒΗ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ ΕΘ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . 160 . . Καὶ καί δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καί καί , , ἐὰν ἐάν μὴ μή ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΕΖ τετράγωνον τετράγωνος ἀναγράψωμεν , , ἀλλὰ ἀλλά ἀπὸ ἀπό ἄλλης ἄλλος τινός , , οἷον οἷος τῆς ὁ ΖΞ , , καὶ καί πρὸς πρός ἐκείνην ἐκεῖνος , , οἷον τὴν ὁ ΖΞ , , λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι ἡ ὁ ΒΓ . . Ad prop . . LXXVIII . . 161 . . P . . 150 , , 18 – 20 ] ] ἴσον ἴσος δὲ δέ τὸ ὁ ΖΗ τῳ ΕΚ · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς Γ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ΕΚ δοθείς δίδωμι , , ὥστε ὥστε διὰ διά τοῦτο οὗτος καὶ καί τῆς ὁ ΓΕ πρὸς πρός ΕΘ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ἀντιστρόφιον τοῦ ὁ ὅς α΄ τοῦ ὁ ϛ΄ βιβλίου βιβλίον Εὐκλείδου Εὐκλείδης . . 162 . . P . . 152 , , 5 – 6 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι τῆς ὁ ΕΘ πρὸς πρός ΖΛ , , ἀλλὰ ἀλλά τῆς ὁ ΕΘ πρὸς πρός ΓΕ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , καὶ καί τῆς ὁ ΓΕ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΖΛ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . ἴση ἴσος δέ δέ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΖΛ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΖ · · τετράγωνον τετράγωνος γάρ γάρ · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΓΕ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΖΒ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . ἀλλὰ ἀλλά τῆς ὁ ΖΒ πρὸς πρός ΕΔ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · ὑπόκειται ὑπόκειμαι γάρ γάρ · · καὶ καί τῆς ὁ ὅς ΓΕ ἄρα ἄρα πρὸς πρός Ε∠ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος ἡ ὁ Ε∠ τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΜ · · ἀπεναντίον ἀπεναντίος γάρ γάρ · · καὶ καί τῆς ὁ ΓΜ ἄρα ἄρα πρὸς πρός ΓΕ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή καὶ καί αἱ ὁ λοιπαὶ λοιπός πλευραί πλευρά . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί δέδοται δίδωμι ἡ ὁ Ε Ε · · ὀρθὴ γάρ γάρ · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ἡ ὁ λοιπὴ λοιπός εἰς εἰς β ὀρθὰς ἡ ὁ Γ Γ , , καὶ καί αἱ ὁ ἀπεναντίον ἀπεναντίον · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα τῷ τῷ εἴδει εἶδος τὸ ὁ Γ∠ . . Ad prop . . LXXIX . . 163 . . Τὸ ἀντιστρόφιον τούτου οὗτος ἀληθέστατον ἀληθής , , καὶ καί ἐχρήσατο χράομαι χράω αὐτῷ αὐτός κατιών κάτειμι . . 164 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ὅς ΑΓ p p . . 154 , , 8 ] ] ὅτι ὅτι2 ὅτι καθόλου καθόλου ἐπὶ ἐπί ὁμοίου ὅμοιος τριγώνου τοῦτο οὗτος συμβαίνει συμβαίνω . . ἔστω εἰμί τρίγωνον τρίγωνος τὸ ὁ ΒΑΓ , , καὶ καί ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Β Β ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΑΓ κάθετος κάθετος ἤχθω ἡ ὁ Β∠ , , καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ Θ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ παράλληλος παράλληλος ἤχθω ἡ ὁ ΘΕ . . ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΓΒ , , ἡ ὁ ΘΕ πρὸς πρός ΕΒ , , καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΘΕ , , ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΒΕ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΒΕ , , ἡ ὁ ΔΒ πρὸς πρός ΒΜ , , καὶ καί διʼ ἴσου ἴσος ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΘΕ , , ἡ ὁ ∠Β πρὸς πρός ΒΜ , , καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ∠Ε , , ἡ ὁ ΘΕ πρὸς πρός ΜΒ . . 165 . . Οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΗΘ πρὸς πρός ΜΛ [ [ p p . . 154 , , 8 ] ] . . ἰσογώνια ἰσογώνιος γὰρ γάρ τὰ ὁ τρίγωνα τρίγωνος , , καὶ καί ὁμόλογοι ὁμόλογος αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό τὰς ὁ ἴσας ἴσος γωνίας γωνία πλευραί . . ὁμόλογος δέ δέ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ΑΓ τῇ ὁ ὅς τῇ ΘΗ · · ἴσας ἴσος γὰρ γάρ γωνίας γωνία ὑποτείνουσι ὑποτείνω τὰς ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒΓ , , ΘΛΗ · · ἡ ὁ ὅς δὲ δέ Β∠ ἴση ἴσος τῇ ὁ ὅς τῇ ΛΜ · · ὁμόλογοι ὁμόλογος γὰρ γάρ καὶ καί αὗται οὗτος ἴσας ἴσος γωνίας γωνία ὑποτείνουσιν ὑποτείνω . . 166 . . Ὅπως ὅπως ὅπως ἡ ὁ ΖΚ τῇ ὁ ὅς τῇ ΛΜ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος ; ; ἐπεὶ ἐπεί ὑπό ὑπό - - κειται ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός Β∠ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΘΗ πρὸς πρός ΖΚ , , ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ∠Β , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΘΗ πρὸς πρός ΜΛ , , καὶ καί ὡς ὡς ὡς ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΘΗ πρὸς πρός ΜΛ , , οὕτως οὕτως αὐτὴ αὐτός ἡ ὁ ΘΗ πρὸς πρός ΖΚ . . τὰ ὁ δὲ δέ πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἔχοντα ἔχω λόγον λόγος ἴσα ἴσος ἀλλή - - λοις ἐστίν εἰμί · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ΛΜ τῇ ὁ ὅς τῇ ΚΖ . . Ad prop . . LXXX . . 167 . . Δέδοται ἄρα ἄρα τὸ ὁ Α∠Β p p . . 156 , , 7 ] ] ἐπεὶ ἐπεί τρι - - γώνου τοῦ ὁ ΑΒ∠ αἱ ὁ τρεῖς γωνίαι γωνία δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἴσος εἰσίν εἰμί , , ὧν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Β ὀρθή ὀρθός ἐστιν εἰμί , , λοιπαὶ λοιπός ἄρα ἄρα αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΒ , , ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν εἰμί . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ὀρθὴ οὖσα εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Β δέδοται δίδωμι , , καὶ καί αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΒ , , ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι εἰμί ἴσαι δέδονται , , ὧν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΒ δέδοται δίδωμι , , καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒ∠ δέδοται δίδωμι . . ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό δεδομένου δεδομένον δίδωμι ἀφαιρεθῇ ἀφαιρέω , , καὶ καί τὸ ὁ ὑπολειπόμενον ὑπολείπω δέδοται δίδωμι . . 168 . . Πῶς πῶς τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΑΕ διπλάσιόν διπλάσιος διπλασίων ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ΑΒΓ τριγώνου τρίγωνον ; ; ἤχθω διὰ διά τοῦ ὁ Α τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ∠ΑΖ , , διὰ διά δὲ δέ τῶν ὁ Β , , Γ τῇ ὁ ΑΕ παράλληλοι παράλληλος ἡ ὁ ∠Β , , ΖΓ · · τὸ ὁ ὅς ∠Γ ἄρα ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται περιέχω ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΒ , , ΒΔ · · ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ Β∠ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΕ · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ∠Γ ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΑΕ περιεχόμενον περιέχω ὀρθογώνιον καί καί ἐστι εἰμί διπλάσιον διπλάσιος τοῦ ὁ ΑΒΓ τριγώνου τρίγωνος . . ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ παραλληλό - - γραμμον τριγώνῳ τρίγωνος βάσιν βάσις ἔχῃ ἔχω τὴν ὁ αὐτὴν αὐτός καὶ καί ᾖ εἰμί ἐν ἐν ταῖς ὁ αὐταῖς αὐτός παραλλήλοις , , διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων ἔσται εἰμί τὸ ὁ παραλληλόγραμ - - μον τοῦ ὁ τριγώνου · · διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ΑΓ παραλληλό - - γραμμον τοῦ ὁ ΑΒΓ τριγώνου τρίγωνος . . ὁμοίως ὅμοιος δὴ δή δείξομεν δείκνυμι , , ὅτι ὅτι2 ὅτι καὶ καί τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ , , Β∠ διπλάσιόν διπλάσιος διπλασίων ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ΑΒΓ τρι - - γώνου · · τὸ ὁ ὅς δὲ δέ τοῦ ὁ αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἴσος ἀλλήλοις ἀλλήλων ἐστίν εἰμί · · ἴσον ἴσος ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΑΕ τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ , , Β∠ . . 169 . . Καὶ καί τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός ΑΕ p p . . 156 , , 6 ] ] ὡς ὡς γὰρ γάρ τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΑΕ , , τουτ - - έστι εἰμί τὸ ὁ ΓΟ πρὸς πρός τὸ ὁ ΓΡ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΒΓ πρὸς πρός ΑΕ · · δέδοται δίδωμι δὲ δέ τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , ΑΕ · · οὕτως οὕτως γὰρ γάρ ἐδείχθη δείκνυμι πρὸ πρό μικροῦ μικρός σμικρός · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί ὁ ὁ τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός ΑΕ λόγος λόγος . . 170 . . Καὶ καί γεγράφθω ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ΖΗ p p . . 156 , , 19 ] ] διὰ διά τὸ ὁ λγ΄ τοῦ ὁ ὅς γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου Εὐκλείδης . . 171 . . Πρὸς πρός τὴν ὁ ὅς ΑΕ δοθείς δίδωμι [ [ p p . . 158 , , 4 ] ] . . ἐὰν γὰρ γάρ διὰ διά τῶν ὁ ὅς Γ Γ , , Β τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΑ ΕΑ παραλλήλους παράλληλος ἀγάγωμεν ἄγω , , ὁμοίως ὅμοιος δὲ δέ καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ Α Α τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ , , ἔσται εἰμί τὸ ὁ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον διὰ διά τὸ ὁ ὅς ἴσας ἴσος γίνεσθαι γίγνομαι τὰς ὁ γωνίας γωνία ἑκάστην ἕκαστος τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΑΕΓ · · δοθήσεται ἄρα ἄρα τὸ ὁ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος , , καὶ καί ἔσται εἰμί λόγος λόγος τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΜ δοθείς δίδωμι , , τουτ - - έστι εἰμί πρὸς πρός τὴν ὁ ὅς ΕΑ · · ἴση ἴσος γὰρ γάρ ἡ ὁ ΓΜ τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΑ . . 172 . . Ὅτι ὅτι2 ἡ ὁ διὰ διά τοῦ ὁ Κ παράλληλος παράλληλος τῇ ὁ ΖΗ ἀγο - - μένη ἐφάπτεται ἐφάπτω τῆς ὁ περιφερείας περιφέρεια , , δῆλον δῆλος · · καὶ καί γάρ γάρ , , ἐὰν ἐάν περὶ περί τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος τμῆμα τμῆμα περιγράψωμεν , , ὅμοια ὅμοιος ἔσται εἰμί τὰ ὁ τμήματα τμῆμα , , καὶ καί ἐπεί ἐπεί ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΓ πρὸς πρός ΕΑ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός ΗΚ · · ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ΕΑ ἐφάπτεται ἐφάπτω · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ἡ ὁ διὰ διά τοῦ ὁ Κ Κ . . 173 . . Ἐπεὶ γὰρ γάρ δέδοται δίδωμι ἑκάστη ἕκαστος τῶν ὁ πλευρῶν πλευρά τοῦ ὁ ΖΗΘ τριγώνου , , δέδοται δίδωμι ὁ ὁ τῆς ὁ ΖΘ πρὸς πρός ΘΗ λόγος λόγος διὰ διά τὸ ὁ α΄ . . πάλιν πάλιν ἐπεὶ ἐπεί δέδοται δίδωμι ὁ ὁ τῆς ὁ ΑΒ πρὸς πρός Β∠ λόγος λόγος , , ὡς ὡς δέδεικται δείκνυμι , , δέδοται δίδωμι δὲ δέ καὶ καί ὁ ὁ τῆς ὁ ΑΓ πρὸς πρός Β∠ λόγος λόγος · · ὡς ὡς ὡς γὰρ γάρ δέδεικται δείκνυμι ὁ ὁ τῆς ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΕ δοθείς δίδωμι , , οὕτως οὕτως δειχθήσεται δείκνυμι καὶ καί ὁ ὁ τῆς ὁ ΑΓ πρὸς πρός Β∠ λόγος λόγος δοθείς δίδωμι · · καὶ καί ὁ ὁ τῆς ὁ ΒΑ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΓ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ η΄ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἴσαι εἰσὶν εἰμί αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ , , ΖΘΗ γωνίαι γωνία , , καὶ καί λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι ἡ ὁ ὅς μὲν μέν ΒΑ πρὸς πρός ΑΓ , , ἡ ὁ δὲ δέ ΖΘ πρὸς πρός ΘΗ , , δεδομένα ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ εἴδει εἶδος . . 174 . . Τούτου τοῦ ὁ θεωρήματος θεώρημα ἔνστασις ἔνστασις κεῖται κεῖμαι ἐν ἐν τῇ ὁ πρώτῃ πρῶτος πρότερος ἐξωχιῇ , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖον σημεῖον τόδε ὅδε ? ? ? ? . . 175 . . Ἔνστασις εἰς εἰς τὸ ὁ π΄ θεώρημα θεώρημα ? ? ? ? . . φησὶ φημί γὰρ γάρ ἐν ἐν τῷ ὁ π΄ θεωρήματι θεώρημα · · ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Η Η σημείου σημεῖον τῇ ὁ ὅς τῇ ΖΗ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός γωνίας γωνία εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ΗΚ · · καὶ καί γεγονέτω , , φησίν φημί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΑ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός τὴν ὁ ΗΚ , , καὶ καί ἤχθω διὰ διά τοῦ ὁ Κ σημείου σημεῖον τῇ ὁ ΖΗ παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΚΘ . . λέξει λέγω τις τις , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἡ ὁ διὰ διά τοῦ ὁ Κ τῇ ὁ ΖΗ παράλληλος ἀγομένη ἄγω οὔτε οὔτε ἐφάψεται ἐφάπτω οὔτε οὔτε τεμεῖ τέτμον τὸ ὁ ὅς ΖΘΗ τμῆμα τμῆμα , , ἀλλʼ ὑπερπεσεῖται . . ὑπερπιπτέτω οὖν οὖν , , εἰ εἰ δύνατον δυνατός , , καὶ καί ἔστω εἰμί ἡ ὁ ΚΙ , , καὶ καί τετμήσθω ἡ ὁ ΖΗ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΓ ὁμοίως ὅμοιος κατὰ κατά τὸ ὁ Λ Λ σημεῖον σημεῖον , , καὶ καί ἔστω εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΕ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΖΛ πρὸς πρός ΛΗ , , καὶ καί ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Λ Λ σημείου σημεῖον τῇ ὁ ὅς τῇ ΖΗ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός γωνίας γωνία εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ΛΘΙ , , καὶ καί ἐπεζεύχθωσαν αἱ ὁ ΙΖ , , ΙΗ ΙΗ , , ΘΗ , , ΘΖ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΕ πρὸς πρός ΕΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΖΛ πρὸς πρός ΛΗ , , καὶ καί συνθέντι ἄρα ἄρα ἐστίν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός ΒΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΗΖ πρὸς πρός ΛΖ · · ἀνάπαλιν ἀνάπαλιν ἄρα ἄρα ἐστίν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΒ πρὸς πρός ΒΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΛΖ πρὸς πρός ΖΗ . . ἀλλʼ ὡς ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΓ πρὸς πρός ΕΑ , , οὕτω οὕτως γέγονεν γίγνομαι ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός ΛΙ · · διʼ διά ἴσου ἴσος ἄρα ἄρα ἐστίν εἰμί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΕ πρὸς πρός ΕΑ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΖΛ πρὸς πρός ΛΙ . . καί καί ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΕΑ γωνία γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΛΙ ΖΛΙ ἴση ἴσος . . ὅμοιον ὅμοιος ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΒΕ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ΙΖΛ τριγώνῳ τρίγωνος · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΕ γωνία γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΖΙΛ γωνίᾳ . . διὰ διά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός δὴ δή καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΑΕ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΗΙΛ ἴση ἴσος ἐστίν εἰμί · · ὅλη ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ ὅλῃ ὅλος ὅλοξ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΙΗ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό φῶ φημί τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ ἴση ἴσος · · οὕτως οὕτως γὰρ γάρ ὑπέκειτο ὑπόκειμαι διὰ διά τὸ ὁ ἐν ἐν ΖΘΗ τμήματι τμῆμα εἶναι εἰμί τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΘΗ · · καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΘΗ ἄρα ἄρα τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΖΙΗ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος · · ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶν εἰμί ἄτοπον ἄτοπος . . οὐκ οὐ ἄρα ἄρα ἡ ὁ διὰ διά τοῦ ὁ Κ σημείου ἀγομένη ἄγω παράλληλος παράλληλος τῇ ὁ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ὁ ΖΘΗ περιφερείας περιφέρεια . . ὁμοίως ὅμοιος δέ δέ , , κἂν ἐάν ἐντός ἐντός τις τις ὑπόθηται . . Ad prop . . LXXXI . . 176 . . Ἀλλὰ ἀλλά τῷ τῷ μὲν μέν ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α Α , , Γ p p . . 160 , , 11 – 12 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ τρεῖς εὐθεῖαι εὐθύς ἀνάλογον ὦσιν εἰμί , , τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ἄκρων ἄκρον ἴσον ἴσος τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ μέσης μέσος διὰ διά τὸ ὁ ιζ΄ τοῦ ὁ ὅς ϛ΄ τῶν ὁ στοιχείων στοιχεῖον . . Ad prop . . LXXXIII . . 177 . . Καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α , , ∠ ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α , , Ε Ε [ [ p p . . 164 , , – – 16 ] ] . . ἐκκείσθω ἔκκειμαι τις τις εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ΑΒ , , καὶ καί ἀφῃρήσθω τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν Ε Ε ἴση ἴσος ἡ ὁ ΑΓ , , τῃ δὲ δέ ∠ ∠ ἴση ἴσος ἡ ὁ ΓΒ , , καὶ καί πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἤχθω ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Γ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΒ ἡ ὁ ΓΕ ἴση ἴσος οὖσα εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ Α . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ἐστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΓΒ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓ , , ΓΕ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό Α , , Ε Ε πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ , , ΓΒ , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α Α , , ∠ , , ἔστιν εἰμί οὖν οὖν ὡς ὡς ἡ ὁ Ε Ε πρὸς πρός τὴν ὁ ∠ ∠ , , οὕτως οὕτως τὸ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α Α , , Ε Ε πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ Α , , ∠ ∠ . . 178 . . Τοῦτό φησιν φημί , , ὅτι ὅτι2 ὅτι , , ἐὰν ἐάν ὦσι εἰμί δ εὐθεῖαι εὐθύς καὶ καί ἔχωσιν ἔχω οὕτως οὕτως πρὸς πρός ἀλλήλας ἀλλήλων · · πῶς πῶς πως δὲ δέ ἔχωσιν ἔχω ; ; ὥστε ὡς ὡς ὥστε λαβεῖν λαμβάνω τινα τις ἐξ ἐκ αὐτῶν αὐτός τρεῖς , , οἵας οἷος ἂν ἐάν βούλοιτο βούλομαι , , προσ - - λαβεῖν λαμβάνω δὲ δέ καὶ καί τετάρτην τέταρτος ἀνάλογον ἀνάλογος οὖσαν εἰμί ταῖς ὁ ληφθεί - - σαις τρισί · · ἔσται εἰμί ὡς ὡς ὡς ἡ ὁ τετάρτη τέταρτος ἤτοι ἡ ὁ προσληφθεῖσα πρὸς πρός τὴν ὁ τρίτην τρίτος ἤτοι τὴν ὁ ὅς μετʼ μετά αὐτὴν αὐτός τρίτην τρίτος , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ὅς δευτέρα δεύτερος ἤτοι ἡ ὁ μετὰ μετά τὴν ὁ προσληφθεῖσαν δευτέραν δεύτερος , , πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ πρώτη πρῶτος πρότερος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι ἤτοι ἤτοι πρὸς πρός τὴν ὁ οὖσαν εἰμί μετὰ μετά τὴν ὁ προσληφθεῖσαν τετάρτην τέταρτος , , πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω ἡ ὁ πρώτη πρῶτος πρότερος ἤτοι ἤτοι ἡ ὁ ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή εὐθεῖα εὐθύς πρὸς πρός αὐτὴν αὐτός δευτέραν δεύτερος οὖσαν εἰμί λόγον λόγος δεδομένον δίδωμι . . ἔστωσαν εἰμί εὐθεῖαι εὐθύς αὗται οὗτος αἱ ὁ Α Α , , Β , , Γ Γ , , ∠ , , καὶ καί ἔστω εἰμί ἡ ὁ ὅς μὲν μέν Α Α κδ , , ἡ ὁ δὲ δέ Β ιβ , , ἡ ὁ δὲ δέ Γ η , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ ∠ ∠ ς . . λαβὲ λαμβάνω γοῦν γοῦν ἐξ ἐκ αὐτῶν αὐτός τρεῖς , , οἵας οἷος βούλει βούλομαι , , οἷον οἷος τὴν ὁ Α Α καὶ καί τὴν ὁ Β Β καὶ καί τὴν ὁ Γ Γ · · προσλαβοῦ καὶ καί ἑτέραν ἕτερος ἀνάλογον ἀνάλογος ταύταις οὗτος ἤτοι τὴν ὁ Ε Ε , , καὶ καί ἔστω εἰμί δ δ · · ὥστε ὥστε ἔχει ἔχω αὐταῖς αὐτός ἀναλόγως ἀνάλογος ἤτοι ἤτοι τὸν ὁ διπλασίονα διπλασίων λόγον λόγος . . ἔχει ἔχω οὖν οὖν ἡ ὁ τετάρτη ἤτοι ἡ ὁ προσληφθεῖσα · · τετάρτη τέταρτος γὰρ γάρ ἀριθμεῖται ἀριθμέω μετὰ μετά τὰς ὁ τρεῖς τὰς ὁ ληφθείσας · · πρὸς πρός τὴν ὁ τρίτην τρίτος ἤτοι τὴν ὁ Γ τὴν ὁ μετὰ μετά τὴν ὁ προσκληθεῖσαν ἀριθμουμένην τρίτην τρίτος λόγον λόγος ὑποδιπλάσιον . . θέλει ἐθέλω γοῦν γοῦν ἔχειν ἔχω οὕτως οὕτως καὶ καί ἡ ὁ δευ - - τέρα , , πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ πρώτη πρῶτος πρότερος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · ἡ ὁ ὅς γὰρ γάρ μετὰ μετά τὴν ὁ προσληφθεῖσαν δευτέρα δεύτερος οὖσα εἰμί ἔχει ἔχω πρὸς πρός τὴν ὁ Β ἤτοι τὴν ὁ μετὰ μετά τὴν ὁ προσληφθεῖσαν οὖσαν εἰμί τετάρτην τέταρτος , , πρὸς πρός ἣν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή πρώτη πρῶτος πρότερος ὡς ὡς πρὸς πρός δευτέραν δεύτερος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · ἔχει ἔχω γὰρ γάρ τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός λόγον λόγος ἤτοι ἤτοι τὸν ὁ ὅς ὑποδιπλασίονα . . ἡ ὁ ὅς γὰρ γάρ μετὰ μετά τὴν ὁ προσληφθεῖσαν δευ - - τέρα , , ἥτις ὅστις ἐστὶ εἰμί ϛ ϛ , , πρὸς πρός τὴν ὁ ὅς μετὰ μετά τὴν ὁ προσληφθεῖσαν τετάρτην τέταρτος , , δευτέραν δεύτερος δὲ δέ ὡς ὡς ὡς πρὸς πρός τὴν ὁ ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή πρώτην πρῶτος πρότερος , , ἤτοι ἤτοι τὴν ὁ Β ιβ οὖσαν εἰμί ὑποδιπλάσιόν ἐστιν εἰμί . . κἂν ἐάν γοῦν γοῦν ταύτας οὗτος οὐ οὐ λαβῇς τὰς ὁ εὐθείας εὐθεῖα ἀλλʼ ἄλλας ἄλλος τῶν ὁ δ , , οἵας οἷος βούλει βούλομαι , , οὕτως οὕτως εὑρήσεις εὑρίσκω ταύτας οὗτος φυλάττειν φυλάσσω τὴν ὁ παραδοθεῖσαν παραδίδωμι τάξιν τάξις κατὰ κατά τὴν ὁ ἐμὴν τέως τέως τεός ἐπιβολήν ἐπιβολή · · ἤ ἤ , , εἰ εἰ βούλει βούλομαι , , ἔστωσαν μὲν μέν ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ ἐδαφίῳ τοῦ ὁ βιβλίου βιβλίον κείμενα διʼ διά ἀριθμῶν ἀριθμός τοιοῦτον τοιοῦτος . . ἀλλὰ ἀλλά δὴ δή ἐκ ἐκ τῶν ὁ ἀριθμῶν οὕτως οὕτως · · καὶ καί ἁπλῶς ἁπλόος ἁπλῶς οἵους οἷος βούλει βούλομαι τρεῖς πως πως πῶς τῶν ὁ ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή δ δ λάμβανε λαμβάνω , , καὶ καί εὑρήσεις εὑρίσκω κατὰ κατά τὴν ὁ ἄνωθεν ἄνωθεν ῥηθεῖσαν λέγω ἐξήγησιν ἐξήγησις ἁρμόζειν ἁρμόζω τὸ ὁ θεώρημα θεώρημα . . Ad prop . . LXXXIV . . 179 . . Λοιπὴ ἄρα ἄρα ἡ ὁ ∠Β p p . . 166 , , 4 ] ] ἡ ὁ γὰρ γάρ ΒΓ τῆς ὁ ΒΑ μείζων μέγας ἐστὶ εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Γ εὐθείᾳ εὐθεῖα δοθείσῃ , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . Ad prop . . LXXXV . . 180 . . Καί καί ἐστι εἰμί δοθεῖσα δίδωμι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒ∠ γωνία p p . . 168 , , 2 ] ] ὡς ὡς ἂν ἄν εὐθεῖα εὐθύς ἐπʼ εὐθεῖαν εὐθύς σταθεῖσα ἵστημι γωνίας γωνία ποιῇ ποιέω , , ἤτοι ἤτοι δύο γε ὀρθὰς ὀρθός ἢ ἤ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἴσος ποιήσει ποιέω . . 181 . . Καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὅς ΒΓ p . . 168 , , 10 ] ] συναμφό - - τερος ἡ ὁ ΑΒ , , ΒΓ ὑπόκειται ὑπόκειμαι δοθεῖσα δίδωμι , , καί καί ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος ἡ ὁ ΑΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Β , , καί καί εἰσι εἰμί δοθεῖσαι · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ἡ ὁ ∠ΒΓ δο - - θεῖσά ἐστιν εἰμί · · δέδοται δίδωμι ἄρα ἄρα ὅλη ὅλος ὅλοξ ἡ ὁ ∠Γ . . ἐὰν ἐάν οὖν οὖν ἀπὸ ἀπό δεδομένης τῆς ὁ ∠Γ δεδομένη ἡ ὁ ∠Β ∠Β ἀφαιρεθῇ ἀφαιρέω , , καὶ καί ἡ ὁ ὑπολειπομένη ὑπολείπω δέδοται δίδωμι . . Ad prop . . LXXXVI . . 182 . . Λοιποῦ ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ∠ΓΒ p p . . 168 , , 23 ] ] τὸ ὁ ὅς γὰρ γάρ δοθέντι δίδωμι μεῖζον μέγας ἢ ἤ ἐν ἐν λόγῳ λόγος ἐστίν εἰμί , , ὅταν ὅταν ἀφαιρε - - θέντος τοῦ ὁ δοθέντος δίδωμι τὸ ὁ λοιπὸν λοιπός πρὸς πρός τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . 183 . . Ὡς ὡς δὲ δέ τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒΓ p p 170 , , 4 4 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ τὴν ὁ Β∠ τῇ ὁ ΑΒ ἐπʼ ἐπʼ εὐθείας εὐθεῖα ποιήσωμεν ποιέω , , δῆλον δῆλος · · ὡς ὡς γὰρ γάρ τὰ ὁ παραλληλόγραμμα πρὸς πρός ἄλληλα ἀλλήλων , , οὕτως οὕτως καὶ καί αἱ ὁ βάσεις βάσις . . 184 . . Ἐὰν γὰρ γάρ εὐθεῖα εὐθύς ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΓ τμηθῇ τέμνω , , ὡς ὡς ἔτυχεν τυγχάνω , , κατὰ κατά τὸ ὁ ∠ ∠ , , τὸ ὁ ὅς ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ὅλης ὅλος ὅλοξ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ τε τε ὑπὸ ὑπό τῆς ὁ ὅλης ὅλος ὅλοξ καὶ καί ἑκατέρου ἑκάτερος τῶν ὁ τμημάτων τμῆμα περιεχομένῳ περιέχω ὀρθο - - γωνίῳ , , ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ τῷ β΄ θεωρήματι θεώρημα τοῦ ὁ β΄ βιβλίου Εὐκλείδου Εὐκλείδης . . 185 . . Καὶ καί συνθέντι ἄρα ἄρα p p . . 170 , , 18 – 19 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ συν - - αμφοτέρου τῆς ὁ ΒΓ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ Β∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , συνθέντι συναμφοτέρου ἄρα ἄρα τῆς ὁ ΒΓ∠ μετὰ μετά τῆς ὁ Β∠ πρὸς πρός τὴν ὁ Β∠ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι · · συναμφότερος δὲ δέ ἡ ὁ ΒΓ∠ μετὰ μετά τῆς ὁ Β∠ δύο γε εἰσὶν εἰμί αἱ ὁ ΓΒ . . 186 . . Ὡρ δὲ δέ ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός Β∠ p p . . 170 , , 21 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ποιήσωμεν ποιέω ἐπʼ εὐθείας εὐθεῖα τὴν ὁ ΓΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΑ καὶ καί ἴσην ἴσος τὴν ὁ Β∠ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΕ ΒΕ , , δῆλον δῆλος , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΓΒ πρὸς πρός Β∠ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό ΓΒ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό Β∠ , , τουτέστι τὸ ὁ ΕΓ πρὸς πρός τὸ ὁ ∠Ε · · ὡς ὡς ὡς γὰρ γάρ αἱ ὁ βάσεις βάσις , , οὕτως οὕτως τὰ ὁ παραλληλόγραμμα παραλληλόγραμμος . . 187 . . Καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΒ∠ p p . . 170 , , 22 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ δέδοται δίδωμι ἑκατέρα ἑκάτερος τῶν ὁ ΓΒ ΓΒ , , Β∠ , , καὶ καί τὸ ὁ ὅς ὑπʼ ὑπό αὐτῶν αὐτός δεδο - - μένην ἔχει ἔχω γωνίαν γωνία · · ὀρθογώνιον γάρ γάρ · · δέδοται δίδωμι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΒ∠ , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β∠ δοθέν · · τετράγωνον τετράγωνος γάρ γάρ · · λόγος λόγος ἄρα ἄρα τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΓΒ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ Β∠ ἐστι εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ α΄ . . 188 . . Δοθεῖσα ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ΑΒ p p . . 172 , , 3 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί τῆς ὁ ΓΒ πρὸς πρός τὴν ὁ ὅς ΒΑ δοθείς δίδωμι , , τῆς ὁ Β∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΑ λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι . . καί καί ἐστι εἰμί δοθεῖσα δίδωμι ἡ ὁ Β∠ · · δοθεῖσα δίδωμι ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ΑΒ . . ἑκάστη ἕκαστος ἄρα ἄρα τῶν ὁ ὅς ΑΒ , , ΒΓ δοθεῖσα δίδωμι . . Ad prop . . LXXXVII . . 189 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΕΓ δοθεῖσα δίδωμι p p . . 172 , , 16 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ἐν ἐν ἡμικυκλίῳ ἡμικύκλιος · · ὑπόκειται ὑπόκειμαι γὰρ γάρ τὸ ὁ ΑΕΓ δεχόμενον γωνίαν γωνία δοθεῖσαν δίδωμι κατὰ κατά τὸν ὁ ὅρον ὅρος . . Ad prop . . LXXXIX . . 190 . . Ἐπεὶ δοθέν ἐστιν εἰμί ἑκάτερον τῶν ὁ Β , , ∠ ∠ p p . . 176 , , 1 ] δέδοται δίδωμι ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή τὸ ὁ Β , , καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ ∠ δὲ δέ διὰ διά τὸ ὁ τὸν ὁ κύκλον κύκλος δεδόσθαι δίδωμι τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις . . Ad prop . . XC . . 191 . . Καί καί ἐστιν εἰμί ὀρθή ὀρθός p p . . 176 , , 18 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ιη΄ τοῦ ὁ γ΄ βιβλίου βιβλίον τῶν ὁ στοιχείων . . 192 . . Τὸ ἄρα ἄρα ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ∠Γ p p . . 176 , , 19 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ἀνά ἀνά - - παλιν τοῦ ὁ ιϛ΄ θεωρήματος θεώρημα τοῦ ὁ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου Εὐκλείδης . . Ad prop . . XCII . . 193 . . Δοθὲν ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΑ , , ΑΕ p p . . 180 , , 10 – 11 ] ] ταῦτα οὗτος δέδεικται δείκνυμι ἐν ἐν τῷ ὁ σχολίῳ τῷ τῷ ἐν ἐν τῷ τῷ ἐπάνωθεν ἐπάνωθεν , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖον σημεῖον τόδε ὅδε ? ? ? ? . . 1 ) ) 194 . . Καί καί ἐστιν εἰμί ἴσον ἴσος p p . . 180 , , 11 ] ] ὡς ὡς ὡς δέδεικται δείκνυμι ἐν ἐν τῷ ὁ γ΄ βιβλίῳ Εὐκλείδου Εὐκλείδης ἐν ἐν τῷ ὁ λε΄ θεωρήματι θεώρημα . . Ad prop . . XCIII . . 195 . . Τῆς κάτω κάτω p p . . 180 , , 20 ] ] τουτέστι τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό τὴν ὁ ἀχθεῖσαν ἄγω καὶ καί ἀπολαμβάνουσαν ἀπολαμβάνω τὸ ὁ τμῆμα τμῆμα τὸ ὁ δεχόμενον τὴν ὁ δεδομένην γωνίαν γωνία . . 196 . . Διὰ διά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός δή δή p p . . 182 , , 11 ] ] ἡ ὁ γὰρ γάρ ὑπὸ ὑπό ΒΑ∠ ἡμίσεια οὖσα τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ δοθείσης δίδωμι δοθεῖσά ἐστιν εἰμί . . 197 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΑ p p . . 182 , , 14 ] ] διὰ διά τὸ ὁ γ΄ θεώρημα θεώρημα τοῦ ὁ ς΄ βιβλίου βιβλίον τῶν ὁ στοιχείων . . 198 . . Καὶ καί ὡς ὡς ὡς ἄρα ἄρα συναμφότερος ἡ ὁ ΒΑΓ p p . . 182 , , – 17 ] ] ὡς ὡς γὰρ γάρ ἓν τῶν ὁ ἡγουμένων πρὸς πρός ἓν τῶν ὁ , , ἑπομένων , , οὕτως οὕτως ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἡγούμενα πρὸς πρός ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἑπόμενα . . 199 . . Ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΓΕ p p . . 182 , , 19 ] ] ἐπὶ ἐπί γὰρ γάρ τῆς ὁ αὐτῆς αὐτός περιφερείας περιφέρεια τῆς ὁ ΑΒ βεβήκασι καὶ καί ἐν ἐν τῷ ὁ αὐτῷ αὐτός τμήματί εἰσι εἰμί τῷ τῷ Β∠ΓΑ . . 200 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ὅς ΑΓ p p . . 182 , , 22 – 23 ] ] περὶ περί γὰρ γάρ τὰς ὁ ἴσας ἴσος γωνίας γωνία αἱ ὁ πλευραὶ πλευρά ἀνάλογόν εἰσιν εἰμί . . 201 . . Πῶς πῶς ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ΑΓ πρὸς πρός ΓΕ , , οὕτως οὕτως συν - - αμφότερος ἡ ὁ ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ ; ; ἐπεὶ ἐπεί τοῦ ὁ ὅς ΒΑΓ τριγώνου ἡ ὁ γωνία γωνία ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ δίχα δίχα τέτμηται τέμνω , , ἔστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΒΑ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΒΕ πρὸς πρός τὴν ὁ ΕΓ , , ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ ὁ ς΄ τῶν ὁ στοιχείων . . συνθέντι ὡς ὡς ὡς συναμφό - - τερος ἡ ὁ ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΑΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ ΒΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΕ · · καὶ καί ἐναλλὰξ ἐναλλάξ ὡς ὡς ὡς συναμφότερος ἡ ὁ ΒΑ , , ΑΓ , , πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ . . 202 . . Πῶς πῶς , , ὡς ὡς ὡς συναμφότερος ἡ ὁ ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Β ; ; ἐδείχθη δείκνυμι , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἐστὶν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΓΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός ∠Β , , ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΑΓ πρὸς πρός ΓΕ , , οὕτως οὕτως συναμφότερος ἡ ὁ ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ · · καὶ καί ὡς ὡς ἄρα ἄρα συναμφότερος ἡ ὁ ΒΑ , , ΑΓ πρὸς πρός τὴν ὁ ΒΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Α∠ πρὸς πρός ∠Β · · ἐν ἐν τῷ τῷ αὐτῷ αὐτός λόγῳ λόγος γὰρ γάρ τὰ ὁ μεγέθη . . 203 . . Πῶς πῶς ἰσογώνιόν ἰσογώνιος ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΒΕ∠ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ ; ; ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Γ τῇ ὁ ὅς τῇ πρὸς πρός τῷ τῷ ∠ ∠ · · ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί κατὰ κατά κορυφὴν κορυφή αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΕ∠ , , ΓΕΑ καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἄρα ἀρά ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΒΕ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΑΓ ἴση ἴσος διὰ διά τὸ ὁ καὶ καί τὸ ὁ ∠Γ τμῆμα τμῆμα ὑποτείνειν ὑποτείνω αὐτάς αὐτός . . 1 ) ) Ad prop . . XCIV . . 204 . . Πόθεν πόθεν , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἡ ὁ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός αὐτῇ αὐτός ἀγομένη ἄγω ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε πίπτει πίπτω καὶ καί οὐκ οὐ ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η Η ἢ ἤ ἐνδοτέρω ἐνδοτέρω ; ; καὶ καί σαφέστερον σαφής εἰπεῖν λέγω εἶπον · · κέντρου κέντρον ὄντος εἰμί τοῦ ὁ Η Η καὶ καί τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΗ διαμέτρῳ διάμετρον πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός οὔσης εἰμί τῆς ὁ ΝΗΞ , , δεικτέον δείκνυμι δεικτέος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι ἡ ὁ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἀγομένη ἄγω οὔτε οὔτε ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Η πίπτει πίπτω οὔτε οὔτε ἐνδοτέρω ἐνδοτέρω τοῦ ὁ ὅς Η Η . . ὅτι ὅτι2 ὅτι μὲν μέν ἐκτὸς ἐκτός οὐ οὐ πεσεῖται πίπτω τοῦ ὁ κύκλου κύκλος , , δῆλον δῆλος · · εἰ εἰ δὲ δέ μή μή , , ἐπʼ ἐπί εὐθείας εὐθεῖα ἔσται τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ · · πιπτέτω πίπτω δὲ δέ ἐντὸς ἐντός ὁπουδηποτοῦν τοῦ ὁ ἡμικυκλίου ἡμικύκλιος , , ὡς ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Κ Κ · · καὶ καί ἐπιζευχθεῖσα ἐπιζεύγνυμι ἡ ὁ ΚΗ διήχθω ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Θ ἢ τίη ὁπου - - δηποτοῦν . . ἐπεζεύχθω δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ΑΘ · · διάμετρός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΚΘ , , ἡμικύκλιόν ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ΚΑΘ · · ὀρθὴ ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΚΑΘ · · ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΚ ὀρθή ὀρθός · · ἴσαι ἄρα ἄρα ἀλ - - λήλαις , , ἡ ὁ μείζων μέγας τῇ ὁ ἐλάσ - - σονι · · ὅπερ ὅς ὅσπερ ἐστὶν εἰμί ἄτοπον ἄτοπος . . οὐκ οὐ ἄρα ἄρα ἡ ὁ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἀγο - - μένη τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ ἐπὶ ἐπί τὰ ὁ ἐντὸς ἐντός τοῦ ὁ κύκλου κύκλος ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὰ ὁ Κ Κ , , Α , , Β πεσεῖται πίπτω · · ἐπʼ ἐκεῖνα ἐκεῖνος ἄρα ἄρα ὡς ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί τὸ ὁ Ε Ε . . 205 . . Ἡ ὁ ΘΑ διάμετρος p p . . 186 , , 4 ] ] πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός γὰρ γάρ ἦκται ἄγω τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ Α∠ ἡ ὁ ΑΕ , , καὶ καί παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΕΖ τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ · · αἱ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό ∠ΑΕ , , ΑΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν εἰμί · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Ε Ε ὀρθή ἐστιν εἰμί · · ἐν ἐν ἡμικυκλίῳ ἡμικύκλιος ἄρα ἄρα ἐστίν εἰμί · · διάμετρος ἄρα ἄρα ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ΑΘ . . 206 . . P . . 186 , , 7 ] ] οὕτως οὕτως γὰρ γάρ κεῖται κεῖμαι · · καὶ καί τὸ ὁ ὅς ∠ δοθὲν καὶ καί ὁ ὁ κύκλος κύκλος τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις δεδομένος δίδωμι . . 207 . . Ἴση ἄρα ἄρα , , φησίν φημί , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΖΗ τῃ Η∠ , , καὶ καί ἡ ὁ ΘΖ τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ · · ἰσογώνια ἰσογώνιος γὰρ γάρ τὰ ὁ Α∠Η , , ΗΘΖ τρίγωνα τρίγωνος · · παραλλήλων γὰρ γάρ οὐσῶν εἰμί τῶν ὁ Α∠ Α∠ , , ΕΘ , , αἱ ὁ ἐναλλὰξ ἐναλλάξ γωνίαι γωνία αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Η , , ΗΖΘ ἴσαι εἰσίν εἰμί . . εἰσὶ εἰμί δὲ δέ διὰ διά τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός λόγον λόγος καὶ καί αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΘ , , ΑΘΖ ἴσαι ἀλλή - - λαις · · καὶ καί αἱ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Η Η κατὰ κατά κορυφὴν κορυφή οὖσαι εἰμί ἴσαι εἰσίν εἰμί · · ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα , , ὡς ὡς ἡ ὁ ΗΘ πρὸς πρός ΗΑ , , ἡ ὁ ΖΗ πρὸς πρός Η∠ . . ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΘΗ τῃ ΗΑ · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ΖΗ τῇ ὁ ὅς τῇ Η∠ . . ὁμοίως ὅμοιος καὶ καί ἡ ὁ ΘΖ τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ ἴση ἴσος ἐστίν εἰμί . . 208 . . Δοθὲν ἄρα ἄρα ἐστί εἰμί p p . . 186 , , 15 ] ] τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΖΘ δοθέν ἐστι εἰμί διὰ διά τὸ ὁ 𝔮β΄ . . APPENDIX SCHΟLIΟRUM . . Ad prop . . XXX demonstr . . quart . . 1 . . Δοθεῖσα ἄρα ἄρα ἐστίν εἰμί p p . . 196 , , 8 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἑκατέρα τῶν ὁ ΑΕ , , ΒΓ εὐθειῶν εὐθεῖα δέδοται δίδωμι τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις , , δέδοται δίδωμι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΕ∠ γωνία γωνία τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις · · δύ - - ναμαι γὰρ γάρ αὐτῇ αὐτός ἴσην ἴσος πορίσασθαι πορίζω . . Ad prop . . XXXIII demonstr . . alt . . 2 . . P . . 198 , , 1 1 ] ] ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἀεὶ ἀεί τόπον τόπος ἐπέχουσιν ἐπέχω ἐπώχατο . . ~ ~ αἳ ὁ ὅς γὰρ γάρ περιέχουσαί εἰσιν εἰμί εὐθεῖαι εὐθύς , , τῇ ὁ ὅς τῇ θέσει θέσις δεδομέναι δίδωμι εἰσίν εἰμί . . 3 . . Τῶν ὁ γὰρ γάρ αὐτὸν αὐτός ἀεὶ ἀεί τόπον τόπος ἐπέχουσιν ἐπέχω ἐπώχατο αἱ ὁ ΒΗ , , Η∠ . . 4 . . Τουτέστι τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΒ p p . . 198 , , 6 ] ] αἱ ὁ γὰρ γάρ ΗΒ , , Η∠ ἴσαι εἰσίν εἰμί · · ἐκ ἐκ τοῦ ὁ κέντρου κέντρον γάρ γάρ εἰσι εἰμί τοῦ ὁ κύκλου κύκλος · · ἐξ ἐκ ἀρχῆς ἀρχή δὲ δέ ἐτέθη τίθημι ἴση ἴσος τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΖ ἡ ὁ Η∠ . . 5 . . Ἴση ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί καὶ καί ἡ ὁ ΖΘ τῇ ὁ ὅς τῇ ΘΗ p p . . 198 , , 7 ] ] ἐὰν ἐάν τριγώνου τρίγωνος παρὰ παρά μίαν τῶν ὁ πλευρῶν πλευρά εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή ἀνάλογον τέμῃ τὰς ὁ τοῦ ὁ τριγώνου πλευράς πλευρά , , ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ ΕΖ πρὸς πρός ΖΘ , , ἡ ὁ ΒΗ πρὸς πρός ΗΘ · · ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΕΖ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΗ · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ΖΘ τῇ ὁ ὅς τῇ ΗΘ . . 6 . . Δοθεῖσα δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΘΗΖ p p . . 198 , , 8 – 9 ] ] ἡ ὁ ὅς γὰρ γάρ κατὰ κατά κορυφὴν κορυφή αὐτῇ αὐτός ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΗ∠ δοθεῖσά ἐστιν εἰμί , , ὡς ὡς ἐδείχθη δείκνυμι ἀνωτέρω ἄνω . . Ad prop . . XXXIV demonstr . . alt . . 7 . . Ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ ΘΕ πρὸς πρός ΕΚ p p . . 200 , , 3 ] ] διὰ διά τὸ ὁ δ΄ τοῦ ὁ ϛ΄ · · ἰσογώνια ἰσογώνιος γάρ γάρ ἐστι εἰμί τὰ ὁ ὅς ΚΖΕ , , ΕΘΗ τρίγωνα τρίγων , , ὁμόλογοι ὁμόλογος αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό τὰς ὁ ἴσας ἴσος γωνίας γωνία πλευραὶ πλευρά ὑποτείνουσαι ὑποτείνω . . Ad prop . . XLV demonstr . . alt . . 8 . . Καί καί ἐστι εἰμί δοθεῖσα δίδωμι p p . . 200 , , 12 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Α Α γωνία γωνία δεδομένη ἐστίν εἰμί , , ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Α Α ταῖς ὁ ∠ ∠ , , γωνίαις γωνία , , ἡ ὁ ἐκτὸς ἐκτός δυσὶ ταῖς ὁ ἐντὸς ἐντός καὶ καί ἀπεναν - - τίον τίω ἴση ἴσος ἐστίν εἰμί , , ἴσαι ἴσος δέ δέ εἰσι εἰμί καὶ καί αἱ ὁ ∠ ∠ , , Γ γωνίαι , , ὥστε ὥστε δεδομέναι δίδωμι εἰσὶν εἰμί αἱ ὁ ∠ ∠ , , ∠ ∠ γωνίαι γωνία . . 9 . . Ἡμίσεια γάρ γάρ ἐστι εἰμί p p . . 2Ο0 , , 12 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ ἴση ἴσος ἐστὶ εἰμί δυσὶ ταῖς ὁ ἐντὸς ἐντός καὶ καί ἀπεναντίον ἀπεναντίον ταῖς ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ , , ∠ΓΑ ἴσαις ἴσος οὔσαις εἰμί ἀλλήλαις ἀλλήλων , , ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ Α∠Γ ἄρα ἄρα ἡμίσειά ἡμίσεια ἐστι εἰμί τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ . . Ad prop . . XLVI demonstr . . alt . . 10 . . Καί καί ἐστιν εἰμί αὐτῆς αὐτός διπλῆ διπλόος p p . . 202 , , 5 ] ] ἴση ἴσος γάρ γάρ ἐστιν εἰμί ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ ∠ γωνία γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ πρὸς πρός τῷ τῷ Γ Γ · · ἔστι εἰμί δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὁ ἐντὸς ἐντός καὶ καί ἀπεναντίον ἀπεναντίος ἴση ἴσος · · ὥστε ὥστε τῆς ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ ∠ ∠ μόνης μόνος διπλάσιόν διπλάσιος διπλασίων ἐστιν εἰμί . . ἴσαι δὲ δέ ἀλλή - - λαις εἰσὶ εἰμί κἀκεῖναι διὰ διά τὸ ὁ ἴσην ἴσος εἶναι εἰμί τὴν ὁ Α∠ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ καὶ καί ἰσοσκελὲς ἰσοσκελής καθεστάναι καθίστημι τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος . . Ad prop . . LIV demonstr . . alt . . 11 . . Ἐκκείσθω δοθεῖσα δίδωμι p p . . 202 , , 12 ] ] τῷ τῷ μεγέθει μέγεθος · · οὕτω οὕτως γὰρ γάρ ἀεὶ ἀεί λαμβάνει λαμβάνω ἀοριστῶς λέγων λέγω . . 12 . . Ἔστιν ἄρα ἄρα ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ ὅς Α πρὸς πρός τὸ ὁ Β p p . . 202 , , 21 ] ἐμά - - θομεν γάρ γάρ , , ὅτι ὅτι2 ὅτι , , ἐὰν ἐάν τέσσαρες τέσσαρες εὐθεῖαι εὐθύς ἀνάλογον ὦσιν εἰμί , , καὶ καί τὰ ὁ ὅς ἀπʼ ἀπό αὐτῶν αὐτός εὐθύγραμμα ὅμοιά ὅμοιος τε τε καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος ἀναγεγραμμένα ἀναγράφω ἀνάλογον ἀνάλογος ἔσται . . 13 . . Καὶ καί αἱ ὁ λοιπαὶ λοιπός ἄρα ἄρα πλευραί πλευρά p . . 204 , , 8 ] ] ἐπεὶ ἐπεί λόγος λόγος τῆς ὁ Γ∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ὅς ΕΖ δοθείς δίδωμι , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τὸ ὁ ὅς Α Α ὅμοιον ὅμοιος τῷ τῷ Β Β , , τῶν ὁ δὲ δέ ὁμοίων ὅμοιος σχημάτων σχῆμα αἱ ὁ πλευραὶ πλευρά ἀνάλογόν ἀνάλογος εἰσιν εἰμί , , πρὸς πρός ἃς ὅς αὗται οὗτος ἀνάλογόν εἰσιν εἰμί , , κἀκεῖναι δεδομέναι δίδωμι ἔσονται εἰμί . . Ad prop . . LV demonstr . . alt . . 14 . . Δέδοται ἄρα ἄρα τῷ τῷ εἴδει εἶδος p p . . 204 , , 19 ] ] ἐμάθομεν γὰρ γάρ ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις ὅρος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι εὐθύγραμμα εὐθύγραμμος σχήματα σχῆμα τῷ τῷ εἴδει εἶδος δε - - δόσθαι λέγεται λέγω , , ὧν ὅς ὅς2 αἵ ὁ τε τε γωνίαι γωνία δεδομέναι δίδωμι εἰσί εἰμί κτλ . . 15 . . Διὰ διά τὰ ὁ αὐτὰ αὐτός δή δή p p . . 204 , , 24 ] ] ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ ὁ σχολίῳ τοῦ ὁ νβ΄ ἀπὸ ἀπό γὰρ γάρ ἑκάστης ἕκαστος ἀναγράφοντες ἀναγράφω τετράγωνον ὁμοίως ὅμοιος δείξομεν δείκνυμι . . Ad prop . . LXVII demonstr . . alt . . 16 . . Ὥστε ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ∠ p p . . 206 , , 13 ] σχόλιον σχόλιον . . ἐκ ἐκ τῶν ὁ λαμβανομένων λαμβάνω τῇ ὁ ὅς τῇ Γ∠ τῇ ὁ αὐτῇ αὐτός ἀποδείξει ἀποδείκνυμι τῇ ὁ ὅς τῇ ἐπὶ ἐπί τοῦ ὁ ξδ΄ χρησόμεθα χράομαι χράω . . ἐκθέμενοι ἐκτίθημι εὐθέως εὐθύς εὐθέως τὴν ὁ αβ καὶ καί τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν ΕΓ ἴσην ἴσος τὴν ὁ αγ , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ ΑΖ τὴν ὁ γβ καὶ καί πρὸς πρός ὀρ - - θὰς ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ γ τὴν ὁ γδ ἴσην ἴσος οὖσαν εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ Γ∠ καὶ καί τὰ ὁ ἑξῆς ἑξῆς ὡς ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ ὁ ξδ΄ θεωρήματι θεώρημα . . 17 . . Σχόλιον . . ὡς ὡς ὡς γὰρ γάρ ἡ ὁ ΕΓ πρὸς πρός ΑΖ , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ . . 18 . . Τοῦ δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνον τρίγωνος p p . . 206 , , 15 ] ] διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων γάρ γάρ , , φησίν φημί , , ἔστιν εἰμί αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ . . πῶς πῶς πως ; ; ἐκκείσθω ἔκκειμαι τις τις εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ ηθ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν Γ∠ ἴση ἴσος ἡ ὁ ηθ , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ ΑΖ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἀχθεῖσα ἄγω ἡ ὁ ηκ , , καὶ καί συμπεπληρώσθω τὸ ὁ κθ παρ - - αλληλόγραμμον , , καὶ καί ἔστω εἰμί διαγώνιος διαγώνιος ἡ ὁ θκ ἀντὶ ἀντί τῆς ὁ Α∠ · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ θη , , ηκ ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς κθ , , καί καί ἐστι εἰμί δι’ διά αὐτοῦ αὐτός αὐτοῦ ἡ ὁ θκ · · διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τοῦ ὁ κηθ τριγώνου τρίγωνος · · ἐπί ἐπί τε τε γὰρ γάρ τῆς ὁ αὐτῆς αὐτός βάσεώς βάσις ἐστι εἰμί τῆς ὁ ηθ καὶ καί ἐν ἐν ταῖς ὁ αὐταῖς αὐτός παρ - - αλλήλοις ταῖς ὁ ηθ , , κλ · · καί καί ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς μὲν μέν θκ παραλληλό - - γραμμον ἴσον ἴσος τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ ΑΖ , , Γ∠ , , τὸ ὁ δὲ δέ κηθ ἴσον ἴσος τῷ τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ · · διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων ἄρα ἄρα τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ τοῦ ὁ ΑΓ∠ τριγώνου . . 19 . . Πῶς πῶς τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ τοῦ ὁ ΑΓ∠ τριγώνου τρίγωνος διπλάσιόν διπλάσιος διπλασίων ἐστιν εἰμί ; ; δείξομεν δείκνυμι οὕτως οὕτως . . ἤχθω διὰ διά τοῦ ὁ Α τῇ ὁ ὅς τῇ Γ∠ παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΑΗ καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ Η τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΖ παράλληλος παράλληλος ἡ ὁ ΗΘ . . δύο γε ἄρα ἄρα παραλληλόγραμμά παραλληλόγραμμος ἐστι εἰμί τὰ ὁ ΑΘ , , Α∠ ( ( ὑπό ὑπό - - κειται γὰρ γάρ καὶ καί ἡ ὁ ΑΓ τῇ ὁ ὅς τῇ Β∠ παράλληλος παράλληλος ) ) ἐπὶ ἐπί τῆς ὁ ΑΗ καὶ καί ἐν ἐν ταῖς ὁ αὐταῖς αὐτός παραλλήλοις ταῖς ὁ ΑΗ , , Ζ∠ · · ἴσον ἴσος ἄρα ἄρα τὸ ὁ ΑΘ παραλληλό - - γραμμον τῷ τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ . . καὶ καί ἐπεὶ ἐπεί τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , ΑΗ ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΑΘ , , ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ΑΗ τῇ ὁ Γ∠ , , καὶ καί τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΑΘ διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων δὲ δέ τὸ ὁ ὅς ΑΘ τοῦ ὁ ΑΓ∠ τριγώνου , , ἐπεὶ ἐπεί καὶ καί τὸ ὁ ὅς Α∠ · · τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΖ , , Γ∠ διπλάσιόν διπλάσιος διπλασίων ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ΑΓ∠ τριγώνου τρίγωνον . . Ad prop . . LXVII demonstr . . tert . . 20 . . Καί καί ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ὅς δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ p p . . 208 , , 7 ] ] διὰ διά γὰρ γάρ τὸ ὁ ξς΄ τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός τὸ ὁ τρίγωνον τρίγωνος λόγον λόγος ἔχει ἔχω δεδομένον δίδωμι · · ὥστε ὥστε καὶ καί τὸ ὁ δίς δίς . . 21 . . Τὰ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΒΑΓ p p . . 208 , , 11 – 12 ] ] ἐν ἐν τῷ ὁ β΄ τῶν ὁ στοιχείων ἐδείχθη δείκνυμι τῷ τῷ ιγ΄ θεωρήματι θεώρημα . . 22 . . Τὰ ἄρα ἄρα ἀπὸ ἀπό τῶν ὁ ΒΑΓ p p . . 208 , , 14 ] ] ἐν ἐν τῷ ὁ β΄ τῶν ὁ στοιχείων ἐδείχθη δείκνυμι ἐν ἐν τῷ ὁ δ΄ θεωρήματι θεώρημα . . 23 . . Τουτέστι τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ ΓΑ∠ p p . . 208 , , 17 – 18 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ λάβωμεν τὴν ὁ βα μίαν εὐθεῖαν εὐθύς ὡς ὡς ἄτμητον ἄτμητος , , τὴν ὁ ὅς δὲ δέ δαγ μίαν μὲν μέν καὶ καί αὐτήν αὐτός , , τετμη - - μένην δὲ δέ κατὰ κατά τὸ ὁ α , , γίνεται γίγνομαι τὸ ὁ ὅς ὑπό ὑπό τε τε τῆς ὁ ἀτμήτου ἄτμητος τῆς ὁ βα καὶ καί ἑκάστου ἕκαστος τῶν ὁ τμημάτων τμῆμα τῶν ὁ δα , , αγ ἴσον ἴσος τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ δαγ καὶ καί τῆς ὁ αβ διὰ διά τὸ ὁ α΄ τοῦ ὁ δευτέρου δεύτερος βιβλίου βιβλίον τῶν ὁ στοιχείων · · ὥστε ὥστε καὶ καί τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ βα , , αδ μετὰ μετά τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ βα , , αγ ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου τῆς ὁ γαδ καὶ καί τῆς ὁ αβ . . 24 . . Καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου ἄρα ἄρα τῆς ὁ ∠ΑΓ p p . . 208 , , 26 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ ποιήσωμεν ποιέω ἐπʼ εὐθείας εὐθεῖα τὴν ὁ ∠Α τῇ ὁ ὅς τῇ Α∠ ὡς ὡς ὡς τὴν ὁ ∠ΑΓ καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ Α τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Γ πρὸς πρός ὀρθὴν ἀναστήσωμεν ἀνίστημι τὴν ὁ Α∠ , , δηλαδὴ δηλαδή ἴσης ἴσος μενούσης μένω τῆς ὁ μὲν μέν ∠Α τῇ ὁ ὅς τῇ ∠Α , , τῆς ὁ δὲ δέ ΑΓ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΓ , , τῆς ὁ δὲ δέ ΒΑ τῇ ὁ ὅς τῇ ΒΑ , , ἔσται εἰμί σαφὲς σαφής τὸ ὁ λεγόμενον λέγω · · ὡς ὡς ὡς γὰρ γάρ αἱ ὁ βάσεις βάσις , , οὕτω οὕτως καὶ καί τὰ ὁ παραλληλόγραμμα τὰ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τὸ ὁ αὐτὸ αὐτός ὕψος ὕψος ὄντα εἰμί . . 25 . . Καὶ καί τοῦ ὁ ὅς δὶς δίς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ∠ΑΓ p p . . 210 , , 2 ] ] ἔστω εἰμί εὐθεῖα εὐθύς ἡ ὁ δε , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι τῇ ὁ ὅς τῇ μὲν μέν ∠Α ἴση ἴσος ἡ ὁ δα , , τῇ ὁ ὅς τῇ δὲ δέ ΑΓ ΑΓ ἡ ὁ αγ , , καὶ καί ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ α τῇ ὁ ὅς τῇ δγ πρὸς πρός ὀρθὰς ὀρθός ἀνεστάτω ἡ ὁ αβ , , καὶ καί κείσθω κεῖμαι ἡ ὁ αβ τῇ ὁ ὅς τῇ ΑΒ ἴση ἴσος . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν ὁ ὁ τῆς ὁ δαγ πρὸς πρός γα λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθείς δίδωμι , , ὡς ὡς δὲ δέ ἡ ὁ δαγ πρὸς πρός γα , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό δαγ , , αβ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό γα , , αβ , , καὶ καί τοῦ ὁ ὑπὸ ὑπό δαγ , , αβ πρὸς πρός τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό γα , , αβ ἄρα ἄρα λόγος λόγος ἐστίν εἰμί . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ γα , , αβ πρὸς πρός τὸ ὁ αβγ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ ξς΄ θεώ θεός - - ρημα · · καὶ καί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό δαγ , , αβ ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ αβγ τρίγωνον τρίγωνος λόγος λόγος ἐστὶ εἰμί δοθεὶς δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ η΄ θεώρημα θεώρημα . . 26 . . Καὶ καί τῷ τῷ δὲς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΓΖ p p . . 210 , , 21 – 22 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ συμπληρώσωμεν συμπληρόω τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ βα , , αγ παραλληλό - - γραμμον ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ αη , , καὶ καί διὰ διά τοῦ ὁ ζ παράλληλον παράλληλος ἀγάγωμεν ἄγω τῇ ὁ ὅς τῇ αβ , , ἔπειτα ἔπειτα ἀφέλωμεν ἀφαιρέω τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ βαζ , , καταλείπεται καταλείπω καταλιμπάνω , , τὸ ὁ ὅς ζη παρ - - αλληλόγραμμον , , ὅ ὅς ἐστιν εἰμί ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ βα , , ζγ · · τῇ ὁ ὅς τῇ γὰρ γάρ βα ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ζκ . . 27 . . Ἐὰν γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΓ ἀφέλω - - μεν τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑΖ , , τὸ ὁ καταλειπόμενόν ἐστι εἰμί τὸ ὁ δὶς δίς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΖΓ . . 28 . . Ὥστε ὥστε καὶ καί τοῦ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ , , ΑΒ p p . . 212 , , 6 ] ] εἰ εἰ γὰρ γάρ τὴν ὁ ὅς ΖΓ ἐπʼ εὐθείας εὐθεῖα τῆς ὁ ΕΓ νοήσωμεν νοέω καὶ καί κοινὸν κοινός ὕψος ὕψος τὴν ὁ ΒΑ , , ἔσται εἰμί τὸ ὁ λεγόμενον δῆλον δῆλος · · ὡς ὡς ὡς γὰρ γάρ ἡ ὁ ΕΓ βάσις βάσις πρὸς πρός τὴν ὁ ΓΖ βάσιν βάσις , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ὅς ΕΑ παραλληλόγραμμον , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓ , , ΒΑ , , πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμον παραλληλόγραμμος , , τουτέστι τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΖΓ , , ΑΒ . . 29 . . Τοῦ δὲ δέ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ , , ΓΕ πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ p p . . 212 , , 7 – 8 ] ] διὰ διά τὸ ὁ ὅς τὴν ὁ ΓΕ κάθετον εἶναι εἰμί ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ ΒΑ ἐκβαλλομένην καὶ καί γίνεσθαι γίγνομαι διπλάσιον διπλάσιος διπλασίων τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΑ , , ΕΓ τοῦ ὁ ΑΒΓ τριγώνου . . 30 . . Ἐὰν γὰρ γάρ διὰ διά τοῦ ὁ Γ τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΒ παράλληλον παράλληλος ἀγάγω - - μεν καὶ καί διὰ διά τῶν ὁ Α Α , , Β τῇ ὁ ΕΓ παραλλήλους παράλληλος ἀγάγωμεν ἄγω , , ἔσται δῆλον δῆλος . . τὸ ὁ γὰρ γάρ ὑπὸ ὑπό ΕΓ , , ΑΒ ἐστι εἰμί τὸ ὁ ΑΒ , , καὶ καί τὸ ὁ ΑΒ διπλάσιόν διπλάσιος διπλασίων ἐστι εἰμί τοῦ ὁ ΑΒΓ τριγώνου τρίγωνος , , καὶ καί διὰ διά τοῦτο οὗτος λόγον λόγος ἔχει ἔχω πρὸς πρός τὸ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τρίγωνος δεδομένον δίδωμι . . 31 . . Ἐὰν γὰρ γάρ διὰ διά τοῦ ὁ Γ τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΒ παράλληλον παράλληλος ἀγάγω - - μεν καὶ καί διὰ διά τῶν ὁ Α Α , , Β τῇ ὁ ΕΓ παραλλήλους παράλληλος ἀγάγωμεν ἄγω , , ἔσται δῆλον δῆλος · · ἡ ὁ γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ Α Α ἴση ἴσος ἐστὶ εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ΕΓ , , ὡς ὡς ἔχει ἔχω ἄνω ἄνω2 ἄνω τὸ ὁ σχόλιον σχόλιον . . Ad prop . . LXVII demonstr . . quart . . 32 . . Πῶς πῶς μὲν μέν τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΕΓ δύναμαι δύναμαι συστήσασθαι συνίστημι ἴσην ἴσος τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ χωρὶς χωρίς τῶν ὁ Ἀπολλωνίου Ἀπολλώνιος ; ; οὕτως οὕτως . . ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἴση ἴσος ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓ∠ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ , , μείζων μέγας ἐστὶν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΓ∠ τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό Α∠Γ . . κείσθω κεῖμαι οὖν οὖν ἴση  τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΒΓ∠ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Ε , , καὶ καί ἐκβεβλήσθω ἡ ὁ ΒΓ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ κοινὴ κοινός ἡ ὁ πρὸς πρός τῷ τῷ Β γωνία γωνία τοῦ ὁ τε τε ∠ΒΓ τρι - - γώνου καὶ καί τοῦ ὁ ∠ΒΕ . . λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό Β∠Γ λοιπῇ λοιπός τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΕΓ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . 33 . . Πῶς πῶς δὲ δέ δυνατὸν δυνατός καθόλου καθόλου ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ δοθέντος σημείου ὡς ὡς ὡς τοῦ ὁ ὅς α ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ δοθεῖσαν δίδωμι εὐθεῖαν εὐθύς ὡς ὡς τὴν ὁ βγ καταγαγεῖν κατάγω εὐθεῖαν εὐθύς ἴσην ἴσος ποιοῦσαν ποιέω γωνίαν γωνία τῇ ὁ ὅς τῇ δο - - θείσῃ τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό δεζ ; ; δείξομεν δείκνυμι οὕτως οὕτως . . ἡ ὁ γὰρ γάρ ὑπὸ ὑπό δεζ ἢ ἤ ὀρθή ἐστιν εἰμί ἢ τίη ὀξεῖα ὀξύς2 ὀξύς ἢ ἤ ἀμβλεῖα ἀμβλύς . . εἰ εἰ μὲν μέν οὖν οὖν ὀρθή , , φανερόν φανερός · · ἄγω ἄγω γὰρ γάρ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ α κάθετον καθίημι τὴν ὁ αη · · καὶ καί ἔσται εἰμί ἴση ἴσος ἡ ὁ ε τῇ ὁ ὅς τῇ η . . ἀλλὰ ἀλλά δὴ δή ἔστω εἰμί ὀξεῖα ὀξύς2 ὀξύς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό δεζ . . καὶ καί ἤχθω κάθετος κάθετος ἀπὸ ἀπό μὲν μέν τοῦ ὁ δ δ ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ εζ ἡ ὁ δθ , , ἀπὸ ἀπό δὲ δέ τοῦ ὁ α ἐπὶ ἐπί τὴν ὁ βγ ἡ ὁ αη , , καὶ καί συνεστάτω πρὸς πρός τῇ ὁ ὅς τῇ αη εὐθείᾳ εὐθεῖα καὶ καί τῷ τῷ πρὸς πρός αὐτῇ αὐτός σημείῳ σημεῖον τῷ τῷ α τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό εδθ ἴση ἴσος ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ηακ · · λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό δεζ ἴση ἴσος ἐστὶ εἰμί τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ακη . . ἀλλὰ ἀλλά δὴ δή ἔστω εἰμί ἀμβλεῖα ἀμβλύς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό δεζ . . ἐκ ἐκ - - βληθείσης ἄρα ἄρα τῆς ὁ ζε ὀξεῖα ὀξύς2 ὀξύς ἔσται εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό δελ . . κάθετος κάθετος οὖν οὖν ἤχθω ἡ ὁ δλ , , καὶ καί τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό λδε ἴση ἴσος κείσθω κεῖμαι ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ηακ . . λοιπὴ λοιπός ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό δελ ἴση ἴσος ἐστὶ εἰμί τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ακη , , ὥστε ὥστε καὶ καί ἡ ὁ ἐφεξῆς ἐφεξῆς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό δεζ τῇ ὁ ὅς τῇ ἐφεξῆς ἐφεξῆς τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ακγ ἴση ἴσος ἐστίν εἰμί . . Τουτέστι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΕΓΒ p p . . 214 , , 6 – 7 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ εὐθεῖα εὐθύς γραμμὴ γραμμή τμηθῇ τέμνω , , ὡς ὡς ἔτυχεν τυγχάνω , , τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῆς ὁ ὅλης ὅλος ὅλοξ καὶ καί ἑνὸς τῶν ὁ τμημάτων τμῆμα περιεχόμενον περιέχω ὀρθογώνιον ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ τε τε ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ τμημάτων τμῆμα καὶ καί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τοῦ ὁ προ - - ειρημένου τετραγώνῳ τετράγωνος . . 35 . . Ἴσον ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό Β∠ p p . . 214 , , 7 – 8 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ τρεῖς εὐθεῖαι εὐθύς ἀνάλογον , , τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό πρώτης πρῶτος πρότερος καὶ καί τρίτης τρίτος ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ δευτέρας δεύτερος . . Ad prop . . LXVIII demonstr . . alt . . 36 . . Πῶς πῶς δυνατὸν δυνατός ποιῆσαι ποιέω , , ὡς ὡς τὸ ὁ Α Α παραλληλόγραμ - - μον πρὸς πρός τὸ ὁ Β παραλληλόγραμμον , , οὕτως οὕτως τὴν ὁ Κ Κ πρὸς πρός Λ Λ ; ; εἰλήφθω λαμβάνω τῶν ὁ Γ∠ , , ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἀνάλογος . . ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα ὡς ὡς ἡ ὁ πρώτη πρῶτος πρότερος πρὸς πρός τὴν ὁ τρίτην τρίτος , , οὕτως οὕτως τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ πρώτης πρῶτος πρότερος πρὸς πρός τὸ ὁ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ δευτέρας τὸ ὁ ὅμοιον ὅμοιος καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος ἀνα - - γραφόμενον γράφω , , καὶ καί λοιπὸν λοιπός ὡς ὡς ὡς ἐπὶ ἐπί εὐθειῶν εὐθεῖα γεγονέτω , , ὡς ὡς ἡ ὁ πρώτη πρῶτος πρότερος πρὸς πρός τὴν ὁ τρίτην τρίτος , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Κ Κ πρὸς πρός Λ Λ . . 37 . . Τὸ Α Α ἄρα ἄρα πρὸς πρός τὸ ὁ Β p p . . 218 , , 3 ] ] ὡς ὡς ὡς δέδεικται δείκνυμι ἐν ἐν τῷ τῷ ς΄ βιβλίῳ τοῦ ὁ Εὐκλείδου Εὐκλείδης ἐν ἐν τῷ τῷ κγ΄ θεωρήματι θεώρημα . . 38 . . Ἀλλὰ ἀλλά μὲν μέν καὶ καί ἡ ὁ Κ Κ p p . . 218 , , 6 ] ] ἐὰν ἐάν ὦσι εἰμί δύο γε εὐθεῖαι εὐθύς , , καὶ καί ληφθῇ λαμβάνω τις τις μία εὐθεῖα εὐθύς , , ἡ ὁ μία τῶν ὁ πρότε - - ρον πρὸς πρός τὴν ὁ ἑτέραν ἕτερος λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸν ὁ συγκείμενον ἔκ ἐκ τε τε τοῦ ὁ ὃν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω ἡ ὁ πρώτη πρῶτος πρότερος πρὸς πρός τὴν ὁ ἔξωθεν ἔξωθεν , , ὡς ὡς ἔτυχεν τυγχάνω , , ληφθεῖσαν λαμβάνω καὶ καί ὃν ὅς ὅς2 ἡ ὁ ληφθεῖσα λαμβάνω πρὸς πρός τὴν ὁ ἑτέραν ἕτερος . . 39 . . Ὁ ὁ ἄρα ἄρα συγκείμενος p . . 218 , , 8 ] ] κεῖται κεῖμαι δὲ δέ ὡς ὡς ὡς τὸ ὁ Α πρὸς πρός τὸ ὁ Β , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Κ Κ πρὸς πρός Λ Λ · · ὥστε ὡς ὡς ὥστε καὶ καί ἡ ὁ Κ Κ πρὸς πρός Λ Λ λόγον λόγος ἔχει ἔχω τὸν ὁ συγκείμενον ἐκ ἐκ τῶν ὁ πλευρῶν πλευρόν , , τοῦ ὁ τίς ὅς ὃν ὅς ὅς2 ἔχει ἔχω ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ΕΖ καὶ καί ἡ ὁ ΘΓ πρὸς πρός ΕΗ . . Ad λῆμμα λῆμμα τοῦ ὁ ἐπάνω ἐπάνω p p . . 224 . . 40 . . Πῶς πῶς δοθέν ἐστι εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒΓ ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς ὁ Β γωνίας γωνία ἢ ἤ ὀξείας ; ; τὸ ὁ λημμάτιον ἐν ἐν τῷ ὁ τέλει τέλος εὑρήσεις εὑρίσκω , , ὅπου ὅπου ὅπου σημεῖον σημεῖον τόδε ὅδε α ? ? ? ? . . Ad prop . . XCI demonstr . . alt . . 41 . . Δοθὲν ἄρα ἄρα ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ὅς Α∠Ζ p p . . 226 , , 9 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ δεδομέναι δίδωμι εἰσὶν εἰμί αἱ ὁ ΑΖ ΑΖ , , Ζ∠ , , καὶ καί ὅλη ὅλος ὅλοξ ἡ ὁ Α∠ δέδοται δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ γ΄ ὥστε ὥστε ἑκατέρα ἑκάτερος τῶν ὁ Α∠ , , ΑΖ δέδοται δίδωμι . . καὶ καί δῆλον δῆλος , , ὅτι ὅτι2 ὅτι τὸ ὁ ὅς ὑπʼ ὑπό αὐτῶν αὐτός περιεχόμενον περιέχω δέδοται δίδωμι , , ὡς ὡς ἐν ἐν τοῖς ὁ ὅροις · · ὅ ὁ τε τε γὰρ γάρ λόγος λόγος τῆς ὁ Α∠ πρὸς πρός τὴν ὁ ∠Ζ δέδοται δίδωμι , , ἐπειδήπερ ἐπεί ἑκατέρα ἑκάτερος τῶν ὁ Α∠ , , ∠Ζ δέδοται δίδωμι διὰ διά τὸ ὁ α΄ , , καὶ καί αἱ ὁ γωνίαι γωνία δεδομέναι δίδωμι εἰσίν εἰμί · · ὀρθαὶ ὀρθός γάρ γάρ . . 42 . . P . . 226 , , 10 ] ] ἐὰν ἐάν γὰρ γάρ διάμετρον ἀγάγωμεν ἄγω , , τὰ ὁ λοιπὰ λοιπός δῆλα , , ὡς ὡς ἐν ἐν τῷ ὁ γ΄ τῶν ὁ στοιχείων ἐν ἐν τῷ τῷ λδ΄ θεωρήματι θεώρημα · · ὅλαι ὅλος ὅλοξ γὰρ γάρ αἱ ὁ τέμνουσαι τέμνω εὐθεῖαι εὐθύς τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ τμημάτων τμῆμα ἴσον ἴσος ἔχουσι ἔχω τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ἐφαπτομένης . . 43 . . Ἑκάτερον γὰρ γάρ αὐτῶν αὐτός ἴσον ἴσος ἐστὶ εἰμί τῷ τῷ ἀπὸ ἀπό τῆς ὁ ἐφαπτομένης ἐφάπτω τοῦ ὁ κύκλου κύκλος . . Ad prop . . XCIII demonstr . . alt . . 44 . . Πῶς πῶς ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ ἑκατέρας ἑκάτερος τῶν ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓ∠ , , ΓΒΕ ἐστι εἰμί διπλῆ διπλόος ; ; ἐν ἐν τῷ τῷ πρὸ πρό τούτου οὗτος θεωρήματι θεώρημα δίχα δίχα τέμνει τέμνω τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ . . ἐπεὶ ἐπεί οὖν οὖν τριγώνου τοῦ ὁ ΓΕΒ ἐκτός ἐκτός ἐστιν εἰμί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ , , ἴση ἴσος ἐστὶ εἰμί ταῖς ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΕΒ , , ΕΒΓ · · αἱ ὁ δὲ δέ ὑπὸ ὑπό ΓΕΒ , , ΕΒΓ τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΕΒΓ διπλαῖ διπλόος εἰσιν εἰμί · · ἴσαι γὰρ γάρ ἀλλήλαις ἀλλήλων εἰσίν εἰμί , , ἐπεὶ ἐπεί καὶ καί πλευρὰ πλευρόν ἡ ὁ ΕΓ πλευρᾷ πλευρά τῇ ὁ ΒΓ ἴση ἴσος · · διπλῆ διπλόος ἄρα ἄρα καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓΒ τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΒΕ . . ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί τῆς ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓ∠ διπλῆ διπλόος · · ἴση ἴσος ἄρα ἄρα ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΓ∠ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΒΕ . . 45 . . Τουτέστι τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΑΒ∠ p p . . 226 , , 19 ] ] τὸ ὁ γὰρ γάρ αὐτὸ αὐτός τμῆμα τμῆμα ὑποτείνει ὑποτείνω αὐτὰς αὐτός τὸ ὁ Α∠ . . 46 . . Καὶ καί ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἰσογώνιος ἐστι εἰμί p p . . 228 , , 1 ] ] ἴση ἴσος γὰρ γάρ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΑΒ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό Γ∠Β , , ἔστι εἰμί δὲ δέ καὶ καί ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΒ∠ τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΑΕΒ ἴση ἴσος διὰ διά τὸ ὁ τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΒΕ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΕΒ ἴσην ἴσος , , ἐπεὶ ἐπεί καὶ καί πλευρὰ πλευρόν ἡ ὁ ΓΒ τῇ ὁ ὅς τῇ ΓΕ ἴση ἴσος , , ἴση ἴσος δὲ δέ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΓΒΕ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΒΖ · · ὥστε ὥστε καὶ καί λοιπὴ λοιπός ἤτοι ἡ ὁ ΕΒΑ τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΒΖ∠ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . 47 . . Τῆς ὁ γὰρ γάρ ὑπὸ ὑπό ΖΓΒ γωνίας γωνία ἴσης ἴσος οὔσης εἰμί τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ΓΒΕ συνάγεται συνάγω ὅλη ὅλος ὅλοξ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΒΕ ἴση ἴσος δυσὶ ταῖς ὁ ὑπὸ ὑπό ΖΒΓ , , ΖΓΒ , , τουτέστι τῇ ὁ ὅς τῇ ὑπὸ ὑπό ∠ΖΒ . . 48 . . Ὡς ὡς ἄρα ἄρα συναμφότερος ἡ ὁ ΑΓΒ p p . . 228 , , 4 ] πάλιν πάλιν δ μεγέθη γίνεται γίγνομαι ἀνάλογον ἀνάλογος , , τὰ ὁ ὅς ΑΓΒ , , ΑΒ , , Β∠ , , ∠Ζ . . Ad prop . . XCIII demonstr . . tert . . 49 . . Καὶ καί γωνία γωνία ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒ∠ p p . . 230 , , 3 ] ] ἐπεὶ ἐπεί γὰρ γάρ ἐν ἐν κύκλῳ κύκλος ἐστὶ εἰμί τὸ ὁ ὅς ΑΒΓ∠ τετράπλευρον τετράπλευρος , , αἱ ὁ ὅς ἄρα ἄρα ἀπ - - εναντίον αἱ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒ∠ , , ∠ΓΑ γωνίαι γωνία δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἴσος εἰσίν εἰμί . . ἀλλὰ ἀλλά καὶ καί αἰ ὑπὸ ὑπό ∠ΓΑ , , ∠ΓΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν εἰμί . . κοινῆς κοινός ἀφαιρουμένης ἀφαιρέω τῆς ὁ ∠ΓΑ ἡ ὁ ὑπὸ ὑπό ΑΒ∠ τῇ ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΓΖ ἐστιν εἰμί ἴση ἴσος . . 50 . . Καὶ καί ὁμοίως ὅμοιος τῷ τῷ πρότερον πρότερος δείξομεν δείκνυμι p p . . 230 , , 18 ] ] ἐπειδὴ ἐπεί γάρ γάρ , , ὡς ὡς εἴρηται λέγω ἐρῶ ἐν ἐν τῇ ὁ κατασκευῇ κατασκευή τοῦ ὁ qγ΄ θεω - - ρήματος , , τῆς ὁ Α γωνίας γωνία δίχα δίχα τμηθείσης τέμνω καὶ καί τῶν ὁ τῆς ὁ βάσεως βάσις τμημάτων τμῆμα τὸν ὁ αὐτὸν αὐτός ἐχόντων ἔχω λόγον λόγος ταῖς ὁ πλευ - - ραῖς συνήγετο συνάγω , , ὡς ὡς ἓν τῶν ὁ ἡγουμένων πρὸς πρός ἓν τῶν ὁ ἑπομένων , , οὕτως οὕτως ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἡγούμενα πρὸς πρός ἅπαντα ἅπας τὰ ὁ ἑπόμενα , , τουτέστιν ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός ΒΕ , , οὕτως οὕτως συν - - αμφότερος ἡ ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός ΒΓ · · ἀλλʼ ἐπεὶ ἐπεί ἰσογώνιον ἰσογώνιος τὸ ὁ ΑΒΕ τρίγωνον τρίγωνος τῷ τῷ ΓΕ∠ τριγώνῳ , , ἔστιν εἰμί ὡς ὡς ἡ ὁ ΑΒ πρὸς πρός ΒΕ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ∠Ε · · ἔστιν εἰμί ἄρα ἄρα καὶ καί ὡς ὡς ὡς συναμφότερος ἡ ὁ ΒΑΓ πρὸς πρός ΒΓ , , οὕτως οὕτως ἡ ὁ Γ∠ πρὸς πρός ∠Ε . . τὸ ὁ ἄρα ἄρα ὑπὸ ὑπό πρώτης πρῶτος πρότερος καὶ καί τετάρτης , , τουτέστι τὸ ὁ ὑπὸ ὑπό συν - - αμφοτέρου τῆς ὁ ΒΑΓ καὶ καί τῆς ὁ Ε∠ ἴσον ἴσος τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό δευτέρας δεύτερος καὶ καί τρίτης , , τῷ τῷ ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ΒΓ , , Γ∠ · · δοθὲν δὲ δέ τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό τῶν ὁ ὅς ΒΓ , , Γ∠ · · δοθεῖσα δίδωμι γὰρ γάρ ἑκατέρα τῶν ὁ ΒΓ , , Γ∠ διὰ διά τὸ ὁ πη΄ · · ἡ ὁ ὅς μὲν μέν γὰρ γάρ Β∠ ἀπολαμβάνει ἀπολαμβάνω τμῆμα τμῆμα τὸ ὁ ὅς ΒΑΓ∠ ἔχον ἔχω δεδομένην γωνίαν γωνία τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό ΒΑ∠ , , ἡ ὁ ὅς δὲ δέ Γ∠ τὸ ὁ τμῆμα τμῆμα ἔχον ἔχω δοθεῖσαν δίδωμι γωνίαν γωνία τὴν ὁ ὑπὸ ὑπό ∠ΑΓ · · δοθὲν δίδωμι ἄρα ἄρα καὶ καί τὸ ὁ ὅς ὑπὸ ὑπό συναμφοτέρου συναμφότεροι τῆς ὁ ΒΑΓ καὶ καί τῆς ὁ Ε∠ . .