{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "$$\\author{\\text{Giorgio Renzi}}$$\n", "$$\\text{Ingegneria Informatica - 0926, Alma Mater Studiorum - Università di Bologna}$$\n", "$$\\text{\\href{mailto:giorgio.renzi@studio.unibo.it}{giorgio.renzi@studio.unibo.it}}$$\n", "\n", "# Relazioni\n", "\n", "## Prodotto cartesiano\n", "\n", "**Definizione** Siano $A$ e $B$ due insiemi. L'insieme delle coppie ordinate $(a,b)$, con $a\\in A$ e $b\\in B$, si chiama **prodotto cartesiano** tra $A$ e $B$ e si indica con\n", "\n", "$$A\\times B:={(a,b)\\mid a\\in A, b\\in B)}$$\n", "\n", "## Relazioni\n", "\n", "**Definizione** Una proprietà $\\mathcal{A}$ definita in $S\\times T$ è detta **relazione** tra $S$ e $T$; diremo che $s\\in S$ è in relazione con $t\\in T$ se si ha $\\mathcal{A}(s,t)$ vera.\n", "\n", "Data una relazione $\\mathcal{R}$:\n", "\n", "$$\\mathcal{D}om(R)=\\{a\\in A\\mid \\text{s è in relazione tramite}\\ \\mathcal{R}\\ \\text{con almeno un elemento di}\\ B\\}\\subseteq S$$\n", "\n", "$$\\mathcal{C}od(R)=\\{b\\in B\\mid \\text{b è in relazione tramite}\\ \\mathcal{R}\\ \\text{con almeno un elemento di}\\ A\\}\\subseteq T$$\n", "\n", "$$\\mathcal{G}raf(R)=\\{(a,b)\\in A\\times B\\mid \\mathcal{R}(a,b)\\ \\text{è vera}\\}\\subseteq A\\times B$$\n", "\n", "### Relazioni binarie\n", "\n", "**Definizione** Una relazione $\\mathcal{R}$ tra $S$ e $S$ (cioè una proprietà che mette in relazione tra loro elementi di $S$), è detta **relazione binaria** in $S$. Sia $\\mathcal{R}$ una relazione binaria; diremo:\n", "- $\\mathcal{R}(x,y)$ è **riflessiva** se $\\forall x\\in S$ $\\mathcal{R}(x,x)$ è vera\n", "- $\\mathcal{R}(x,y)$ è **simmetrica** se $\\forall x,y\\in S$ $\\mathcal{R}(x,y)$ vera $\\implies \\mathcal{R}(y,x)$ vera\n", "- $\\mathcal{R}(x,y)$ è **antisimmetrica** se $\\forall x,y\\in S$ $\\mathcal{R}(x,y)$ vera e $\\mathcal{R}(y,x)$ vera $\\implies x=y$\n", "- $\\mathcal{R}(x,y)$ è **transitiva** se $\\forall x,y,z\\in S$ $\\mathcal{R}(x,y)$ vera e $\\mathcal{R}(y,z)$ vera $\\implies \\mathcal{R}(x,z)$\n", "\n", "### Relazioni di equivalenza\n", "\n", "La relazione binaria $\\mathcal{R}$ su $A$ si dice **relazione di equivalenza** se è riflessiva, simmetrica e transitiva. La relazione di equivalenza si indica con il simbolo $\\sim$.\n", "\n", "### Relazioni d'ordine\n", "\n", "**Definizione** La relazione binaria $\\mathcal{R}$ su $A$ si dice **relazione d'ordine** se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Alcuni esempi di relazione d'ordine sono $<$, $\\leq$, $>$, $\\geq$.\n", "\n", "**Definizione** Una relazione d'ordine si dice **totale** se\n", "\n", "$$\\forall x,y\\in A\\ \\text{si ha}\\ \\mathcal{R}(x,y)\\ \\text{oppure}\\ \\mathcal{R}(y,x)$$\n", "\n", "cioè, comunque si fissino due elementi di A, essi sono **confrontabili**. Altrimenti la relazione d'ordine è detta **parziale**.\n", "\n", "Indichiamo con $(\\mathbb{R}, \\leq)$ l'insieme ${R}$ ordinato con la relazione $\\leq$.\n", "**Legge di tricotomia**: $\\forall x,y\\in \\mathbb{R}$ vale solo una delle seguenti possibilità:\n", "- $x < y$\n", "- $x > y$\n", "- $x = y$\n", "\n", "# Massimo e minimo\n", "\n", "**Definizione** Sia $A \\subset \\mathbb{R}$ non vuoto. $m$ si dice **massimo** (risp. **minimo**) di $A$ se:\n", "\n", "- $m \\in A$\n", "\n", "- $m \\geq x\\ \\text{(risp. } m\\leq x \\text{)}\\ \\forall x\\in A$\n", "\n", "Se $m$ esiste, usiamo la notazione\n", "\n", "$$m=\\max A\\ \\text{(risp. } m=\\min A \\text{)}$$\n", "\n", "Il minimo e il massimo **se esistono sono unici**.\n", "\n", "# Maggiorante e minorante\n", "\n", "**Definizione** Sia $A \\subset \\mathbb{R}$ non vuoto. $m\\in \\mathbb{R}$ si dice **maggiorante** (risp. **minorante**) di $A$ se:\n", "\n", "$$m\\geq x\\ \\text{(risp. } m\\leq x \\text{)}\\ \\forall x\\in A$$\n", "\n", "Se $A$ possiede un maggiorante (risp. minorante), allora **ne possiede infiniti**.\n", "Il massimo di A è un maggiorante. Il minimo di A è un maggiorante.\n", "\n", "# Insieme superiormente (inferiormente) limitato\n", "\n", "**Definizione** Un insieme $A\\subset \\mathbb{R}$ non vuoto che ammette maggiorante (risp. minorante) si dice **superiormente limitato** (risp. **inferiormente limitato**). Un insieme superiormente e inferiormente limitato si dice insieme limitato.\n", "\n", "# Estremo superiore ed estremo inferiore\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subset \\mathbb{R}$ un insieme superiormente limitato. Il minimo dei maggioranti si dice **estremo superiore** di $A$ e si indica con $\\sup A$:\n", "\n", "$$\\sup A=\\min\\{y\\in \\mathbb{R}\\mid y\\geq x, \\forall x\\in A\\}$$\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subset \\mathbb{R}$ un insieme inferiormente limitato. Il massimo dei minoranti si dice **estremo inferiore** di $A$ e si indica con $\\inf A$:\n", "\n", "$$\\inf A=\\max\\{y\\in \\mathbb{R}\\mid y\\leq x, \\forall x\\in A\\}$$\n", "\n", "**Teorema** $(\\mathbb{R}, \\leq)$ è un **insieme totalmente ordinato e completo**, cioè $\\forall A\\in \\mathbb{R}$ inferiormente limitato, l'insieme $M$ dei suoi minoranti ha massimo.\n", "\n", "**Proposizione** Ogni sottoinsieme di $\\mathbb{R}$ superiormente limitato (risp. inferiormente limitato) ammette estremo superiore (risp. estremo inferiore).\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subseteq \\mathbb{R}$:\n", "- se $A$ non possiede maggioranti, diremo che $A$ è un insieme **non superiormente limitato**\n", "\n", "$$\\sup A=+\\infty$$\n", "\n", "- se $A$ non possiede minoranti, diremo che $A$ è un insieme **non inferiormente limitato**\n", "\n", "$$\\inf A=-\\infty$$\n", "\n", "- se $A$ è limitato sia inferiormente che superiormente, diremo che $A$ è limitato.\n", "\n", "**Proposizione** Ogni sottoinsieme di ${R}$ ammette estremo superiore e inferiore (finiti o non finiti)\n", "\n", "# Insiemi $\\mathbb{N}, \\mathbb{Z}, \\mathbb{Q}, \\mathbb{R}$\n", "\n", "## Intervalli\n", "\n", "**Definizione** Siano $a,b\\in\\mathbb{R}$\n", "- Intervallo limitato e chiuso\n", "\n", "$[a,b]=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid a\\leq x\\leq b\\}$\n", "\n", "- Intervallo superiormente non limitato e chiuso\n", "\n", "$[a,+\\infty[=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid x\\geq a\\}$\n", "\n", "- Intervallo inferiormente non limitato e chiuso\n", "\n", "$]-\\infty,b]=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid x\\leq b\\}$\n", "\n", "- Intervallo limitato e aperto\n", "\n", "$]a,b[=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid a< x a\\}$\n", "\n", "- Intervallo non inferiormente limitato e aperto\n", "\n", "$]-\\infty,b[=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid x< b\\}$\n", "\n", "- Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra\n", "\n", "$[a,b[=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid a\\leq x< b\\}$\n", "\n", "- Intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra\n", "\n", "$]a,b]=\\{x\\in\\mathbb{R}\\mid a< x\\leq b\\}$\n", "\n", "## Proprietà degli insiemi\n", "\n", "**Proprietà di densità** $\\mathbb{Q}$ è denso in $\\mathbb{R}$, ovvero\n", "\n", "
$\\forall x\\in \\mathbb{R}\\ \\forall\\epsilon >0\\ \\ \\exists q\\in \\mathbb{Q}$ tale che $\\left |x-q\\right |<\\epsilon$
\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subseteq \\mathbb{R}$. Diremo che $A$ è un **insieme finito** se esiste $k\\in\\mathbb{N}$ e $f:\\{1,2,...,k\\}\\xrightarrow[su]{1-1} A$.\n", "\n", "Il numero degli elementi k dell'insieme è detto **cardinalità**\n", "\n", "$$card(A)=\\#A=k$$\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subseteq\\mathbb{R}$. Diremo che $A$ è **infinito numerabile** se esiste $f:\\mathbb{N}\\xrightarrow[su]{1-1}A$\n", "\n", "**Teorema** $\\mathbb{Z}$ e $\\mathbb{Q}$ sono insiemi infiniti numerabili.\n", "\n", "**Dimostrazione** ($\\mathbb{Z}$ è infinito numerabile) È possibile costruire la funzione $f:\\mathbb{N}\\xrightarrow[su]{1-1}\\mathbb{Z}$\n", "\n", "$$f=\\begin{cases}\n", "-\\frac{n}{2} & \\text{ if } n\\ è\\ pari \\\\ \n", "\\frac{n+1}{2} & \\text{ if } n\\ è\\ dispari\n", "\\end{cases}$$\n", "\n", "**Teorema** (di Cantor) L'insieme $[0,1]$ non è numerabile.\n", "\n", "**Dimostrazione** Supponiamo per assurdo che possiamo formare una lista in cui contiamo tutti gli elementi di $[0,1]$:\n", "\n", "$$x_1=0.a_11a_12a_13a_14...$$\n", "$$x_2=0.a_21a_22a_23a_24...$$\n", "$$x_2=0.a_31a_32a_33a_34...$$\n", "\n", "Adesso possiamo costruire un numero\n", "$$b=0.b_1b_2b_3b_4...$$\n", "tale che\n", "$$b_k\\neq a_kk,\\ b_k\\in \\{1,2,3,4,5,6,7,8\\},\\ k\\geq 1$$\n", "\n", "Siccome ogni k-esima cifra di $b$ è diversa dalla k-esima cifra di $x_k$ per costruzione, e avendo escluso la possibilità che $b$ sia la rappresentazione equivalente di ciascun $x_k$, poiché $b$ non può terminare con infiniti 0 o 9, allora b non è nella lista e siamo arrivati ad un assurdo.\n", "\n", "**Teorema** $\\mathbb{R}$ è non numerabile, come anche l'insieme dei numeri irrazionali $\\mathbb{R}\\setminus\\mathbb{Q}$.\n", "\n", "**Definizione** Un insieme $A\\subset\\mathbb{R}$ dotato di minimo e tale che $x\\in A\\implies x+1\\in A$ è detto **induttivo**\n", "\n", "**Proposizione** L'insieme $\\mathbb{N}$ dei numeri naturali possiede minimo, è superiormente non limitato ed è il più piccolo insieme induttivo.\n", "\n", "# Funzioni\n", "\n", "**Definizione** Una **funzione** dall'insieme $A$ all'insieme $B$ è una relazione di $A\\times B$ tale che:\n", "- $\\mathcal{D}om(f)=A$\n", "- $\\forall x\\in A\\ \\exists! y\\in B$ tale che \"y è in relazione con x tramite $f$, cioè $y=fx$\n", "\n", "e si indica con $f:A\\rightarrow B$\n", "\n", "$$\\mathcal{G}raf(f)=\\{(x,y),\\ x\\in \\mathcal{D}om(A),\\ y=f(x)\\}=\\{(x,f(x)),\\ x\\in A\\}$$\n", "\n", "## Iniettività e suriettività\n", "\n", "**Definizione** Siano $A$ e $B$ insiemi e $f: A\\rightarrow B$ una funzione\n", "- Diremo che $f$ è **iniettiva** (1-1) se\n", "\n", "
$\\forall x_1,x_2\\in A$ con $x_1\\neq x_2$ si ha $f(x_1)\\neq f(x_2)$,
\n", "\n", "- Diremo che $f$ è **suriettiva** (su) se\n", "\n", "
$\\forall y\\in B\\ \\exists x\\in A$ tale che $y=f(x)$
\n", "\n", "- Diremo che $f$ è **biiettiva** (o **biunivoca**) se è sia iniettiva che suriettiva, ovvero\n", "\n", "
$\\forall y\\in B\\ \\exists! x\\in A$ tale che $y=f(x)$
\n", "\n", "## Immagine e controimmagine tramite $f$\n", "\n", "**Definizione** Siano $A,B,C\\subset R$, $f:A\\rightarrow B$ e $C\\subset B$.\n", "\n", "L'**insieme immagine** di A tramite $f$ è l'insieme dei valori della funzione $f(x)\\in B$\n", "\n", "$$f(A)=\\mathcal{I}m(f)=\\{y\\in \\mathbb{B}\\mid \\exists x\\in A\\ e\\ y=f(x)\\}$$\n", "\n", "L'**insieme controimmagine** di C tramite $f$ è l'insieme dei valori di x tali che $f(x)\\in C$\n", "\n", "$$f^{-1}(C)=\\{x\\in A\\mid f(x)\\in C\\}$$\n", "\n", "## Funzione composta\n", "\n", "**Definizione** Siano $f:A\\rightarrow B$ e $g:B\\rightarrow C$ funzioni. La funzione $h:x\\in A\\rightarrow g(f(x))\\in C$ si chiama **funzione composta** di $g$ e $f$ e si indica con $g\\circ f$.\n", "\n", "**Osservazione** $f(A)\\subseteq \\mathcal{D}om(B)$\n", "\n", "## Funzione inversa\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:A\\xrightarrow[su]{1-1} B$. Definiamo la **funzione inversa** di $f$, $f^{-1}:B\\xrightarrow[su]{1-1} A$, l'unica funzione che verifica le proprietà:\n", "\n", "$$\\forall x\\in A: f^{-1}(f(x))=x$$\n", "$$\\forall y\\in B: f(f^{-1}(x))=y$$\n", "\n", "## Funzioni monotone\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subseteq\\mathbb{R}$. $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ è:\n", "- (monotona) **crescente** se $\\forall x_1,x_2\\in A$ con $x_1f(x_2)$\n", "\n", "**Teorema** Sia $A\\subseteq\\mathbb{R}$ e $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ strettamente monotona. Allora\n", "\n", "1. $f$ è iniettiva da $A$ in $\\mathbb{R}$\n", "\n", "2. $\\exists f^{-1}:f(A)\\xrightarrow[su]{1-1}A$ strettamente monotona nello stesso verso\n", "\n", "**Teorema** (monotonia delle funzioni composte) Siano $A,B,C\\subset\\mathbb{R}$ e $f:A\\rightarrow B$ e $g:B\\rightarrow C$ funzioni monotone. Allora $g\\circ f$ è monotona. In particolare:\n", "- se $f$ e $g$ sono entrambe crescenti o decrescenti, allora $g\\circ f$ è crescente\n", "- se $f$ è crescente e $g$ decrescente o viceversa, allora $g\\circ f$ è decrescente\n", "\n", "## Funzioni limitate\n", "\n", "**Definizione** $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ si dice **superiormente limitata** su A (risp. **inferiormente limitata**) se\n", "\n", "
$f(A)=\\{y\\in\\mathbb{R}\\mid\\exists x\\in A\\ \\text{t.c}\\ f(x)=y\\}$ è superiormente limitato (risp. inferiormente limitato)
\n", "\n", "o equivalentemente\n", "\n", "$$f(x)\\leq m\\ \\text{(risp. }f(x)\\geq m\\text{)},\\ \\forall x\\in A$$\n", "\n", "Una funzione limitata superiormente e inferiormente è detta **limitata**.\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diciamo che $f$ ha massimo se l'insieme $f(A)$ ha massimo, cioè\n", "\n", "$$\\exists x_0\\in A\\ \\text{tale che}\\ f(x)\\leq f(x_0),\\ \\forall x\\in A$$\n", "\n", "Diremo che f$(x_0)$ è il massimo per A e si scrive\n", "\n", "$$\\max_{x\\in A}f(x)=f(x_0)$$\n", "\n", "e $x_0$ è un **punto di massimo**\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diciamo che $f$ ha minimo se l'insieme $f(A)$ ha minimo, cioè\n", "\n", "$$\\exists x_0\\in A\\ \\text{tale che}\\ f(x)\\geq f(x_0),\\ \\forall x\\in A$$\n", "\n", "Diremo che f$(x_0)$ è il minimo per A e si scrive\n", "\n", "$$\\min_{x\\in A}f(x)=f(x_0)$$\n", "\n", "e $x_0$ è un **punto di minimo**\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Chiamiamo **estremo superiore** di $f$ l'estremo superiore di $f(A)$ e si scrive\n", "\n", "
$\\sup_{A}f(x)=\\sup f(A)\\in\\mathbb{R}$ oppure $\\sup_{A}f(x)=+\\infty$
\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Chiamiamo **estremo inferiore** di $f$ l'estremo inferiore di $f(A)$ e si scrive\n", "\n", "
$\\inf_{A}f(x)=\\inf f(A)\\in\\mathbb{R}$ oppure $\\inf_{A}f(x)=-\\infty$
\n", "\n", "# Limiti\n", "\n", "**Definizione** Un **intorno aperto** di $x_o\\in\\mathbb{R}$ è un intervallo aperto del tipo $]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$ con $\\delta>0$\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subseteq\\mathbb{R}$ con $x_0\\in\\mathbb{R}$. Diremo che $x_0$ è un **punto di accumulazione** per $A$ se\n", "\n", "$$\\forall\\delta>0\\ (]x_0-\\delta,x_0+\\delta[\\setminus \\{x_0\\})\\cap A\\neq\\emptyset$$.\n", "\n", "Ovvero per ogni intorno $]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$ esistono punti $x\\in A$ distinti da $x_0$ nell'intersezione di $A$ con l'intorno $]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$.\n", "\n", "**Osservazione** Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$, allora $\\forall\\delta>0\\ (]x_0-\\delta,x_0+\\delta[\\setminus \\{x_0\\})\\cap A$ contiene infiniti punti.\n", "\n", "**Dimostrazione** Supponiamo per assurdo che\n", "\n", "$$\\forall\\overline\\delta>0\\ (]x_0-\\delta,x_0+\\delta[\\setminus \\{x_0\\})\\cap A=\\{y_1,y_2,y_3,...,y_n\\}$$\n", "\n", "Prendo $\\delta_k=\\left | y_k-x_0\\right |$ con $k=0,1,2,...,n$.\n", "\n", "Prendo $0<\\delta<\\min\\{\\delta_1,\\delta_2,...,\\delta_n\\}$.\n", "\n", "Allora $(]x_0-\\delta,x_0+\\delta[\\setminus \\{x_0\\})\\cap A\\neq\\emptyset$\n", "\n", "**Teorema** (di Bolzano-Weierstrass) Un insieme $A\\subset\\mathbb{R}$ infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione.\n", "\n", "## Limiti per $x\\rightarrow x_0$\n", "\n", "**Definizione** (limite convergente) Sia $A\\subset\\mathbb{R}$, $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0$ punto di accumulazione per $A$ e $l\\in\\mathbb{R}$. Diciamo che per $x\\rightarrow x_0\\ f(x)$ converge a $l$ e scriviamo:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=l\\ \\text{se}$$\n", "\n", "$$\\forall\\epsilon>0\\ \\exists\\delta>0:\\ \\forall x\\in A,\\ x\\neq x_0\\ \\left |x-x_0\\right |<\\delta\\implies \\left |f(x)-l\\right |<\\epsilon$$\n", "\n", "**Definizione** (limite divergente) Sia $A\\subset\\mathbb{R}$, $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ e $x_0$ punto di accumulazione per $A$. Diciamo che per $x\\rightarrow x_0\\ f(x)$ diverge positivamente (risp. diverge negativamente) e scriviamo:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=+\\infty\\ \\text{(risp.}\\ \\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=-\\infty \\text{) se}$$\n", "\n", "$$\\forall\\epsilon>0\\ \\exists\\delta>0:\\ \\forall x\\in A,\\ x\\neq x_0\\ f(x)>\\epsilon\\ \\text{(risp.}\\ f(x)<-\\epsilon \\text{)}$$\n", "\n", "**Osservazione** Se $\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=+\\infty\\ \\text{(risp.}\\ -\\infty\\text{)}$ allora significa che $f$ è non superiormente limitata (risp. non inferiormente limitata) nel suo codominio.\n", "\n", "## Limiti per $x\\rightarrow\\pm\\infty$\n", "\n", "**Definizione** Diciamo che $x_0=+\\infty$ (risp. $-\\infty$) è un punto di accumulazione per $A$, insieme non limitato superiormente (risp. non limitato inferiormente) se $\\forall\\delta>0\\ A\\cap ]\\delta,+\\infty[\\neq\\emptyset$ (risp. $A\\cap ]-\\infty,\\delta[\\neq\\emptyset$).\n", "\n", "**Definizione** (limite convergente) Sia $A\\subset\\mathbb{R}$ non superiormente limitato (risp. non inferiormente limitato), $f:A\\rightarrow B$ e $l\\in\\mathbb{R}$. Diciamo che per $x\\rightarrow +\\infty$ (risp. $-\\infty$) $f(x)$ converge a $l$ e scriviamo:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow +\\infty}{f(x)}=l\\ \\text{(risp.}\\ \\lim_{x\\rightarrow -\\infty}{f(x)}=l\\text{)}\\ se$$\n", "\n", "$$\\forall\\epsilon>0\\ \\exists\\delta>0:\\ \\forall x\\in A,\\ x>\\delta\\ \\text{(risp.}\\ x<-\\delta\\text{)}\\ \\left |f(x)-l\\right |<\\epsilon$$\n", "\n", "**Definizione** (limite divergente) Sia $A\\subset\\mathbb{R}$ non superiormente limitato (risp. non inferiormente limitato), $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diciamo che per $x\\rightarrow\\pm\\infty$ $f(x)$ diverge positivamente (risp. diverge negativamente) a $l$ e scriviamo:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow\\pm\\infty}{f(x)}=+\\infty\\ \\text{(risp.}\\ \\lim_{x\\rightarrow -\\infty}{f(x)}=-\\infty\\text{)}\\ se$$\n", "\n", "$$\\forall\\epsilon>0\\ \\exists\\delta>0:\\ \\forall x\\in A,\\ x>\\delta\\ \\text{(risp.}\\ x<-\\delta\\text{)}\\ f(x)>\\epsilon\\ \\text{(risp.}\\ f(x)<-\\epsilon\\text{)}$$\n", "\n", "## Limite destro e limite sinistro\n", "\n", "**Definizione** Siano $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $A\\subset\\mathbb{R}$ e $x_0\\in\\mathbb{R}$ punto di accumulazione per $A\\cap]x_0,+\\infty[$ (risp. $A\\cap]-\\infty,x_0[$). Diciamo che $f$ ha limite destro (risp. limite sinistro) $l\\in\\overline{\\mathbb{R}}$ per $x\\rightarrow x_0^{+}$ (risp. $x\\rightarrow x_0^{-}$) se $l$ è il limite per $x\\rightarrow x_0$ di $f$ ristretta a $A\\cap]x_0,+\\infty[$ (risp. $A\\cap]-\\infty,x_0[$) e scriviamo:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0^{+}}{f(x)}=l\\ \\text{(risp.}\\ \\lim_{x\\rightarrow x_0^{-}}{f(x)}=l\\text{)}$$\n", "\n", "## Teoremi e proprietà dei limiti\n", "\n", "**Osservazione** Se $x_0$ è punto di accumulazione per $A$ allora $\\forall\\overline\\delta>0$ $x_0$ è punto di accumulazione per $A_0=A\\cap ]x_0-\\overline\\delta,x_0+\\overline\\delta[$.\n", "\n", "**Teorema** (località del limite) Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0\\in\\overline{\\mathbb{R}}$ punto di accumulazione per $A$ e $l\\in\\overline{\\mathbb{R}}$. Sia $\\overline\\delta>0$ e $A_0=A\\cap ]x_0-\\overline\\delta,x_0+\\overline\\delta[$. Allora $x_0$ è un punto di accumulazione per $A_0$ e\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f\\mid_A(x)}=l \\iff \\lim_{x\\rightarrow x_0}{f\\mid_{A_0}(x)}=l$$\n", "\n", "**Teorema** (unicità del limite) Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ e $x_0$ punto di accumulazione per $A$. Allora il limite $\\displaystyle \\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}$ se esiste è unico.\n", "\n", "**Dimostrazione** Supponiamo per assurdo che esistano due limiti $l_1$ e $l_2$ distinti, ovvero $l_1\\neq l_2$. Dimostriamo $l_1=l_2$. Per la definizione di limite sia ha che $\\forall\\epsilon>0\\ \\left|f(x)-l_1\\right|<\\epsilon$ e $\\left|f(x)-l_2\\right|<\\epsilon$. Sommando i membri delle disuguaglianze si ottiene\n", "\n", "$$\\left|f(x)-l_1\\right|+\\left|f(x)-l_2\\right| < 2\\epsilon$$\n", "\n", "Siccome $\\left|f(x)-l_1\\right|=\\left|l_1-f(x)\\right|$, per la disuguaglianza triangolare si ha\n", "\n", "$$\\left|l_1-l_2\\right|<\\left|f(x)-l_1\\right|+\\left|f(x)-l_2\\right| < 2\\epsilon$$\n", "\n", "Da cui $\\left|l_1-l_2\\right| < 2\\epsilon$ e, per l'aribtrarietà di $\\epsilon$, $\\left|l_1-l_2\\right|=0$ e quindi $l_1=l_2$.\n", "\n", "**Teorema** (locale limitatezza di f) Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0$ punto di accumulazione per $A$, $l\\in\\mathbb{R}$ e $\\displaystyle \\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=l$. Allora $\\exists\\delta>0$ tale che f ristretta all'insieme $A\\cap ]x_0-\\delta, x_0+\\delta[$ è una funzione limitata.\n", "\n", "**Osservazione** In particolare se $f(x)$ è non superiormente o non inferiormente limitata, allora $\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}$ o non esiste, o se esiste non può essere finito, ovvero $l\\notin\\mathbb{R}$.\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0$ punto di accumulazione per $A\\cap ]-\\infty, x_0[$ e $A\\cap ]x_0,+\\infty[$, $l\\in\\overline{\\mathbb{R}}$. Allora\n", "\n", "$$\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=l \\iff \\lim_{x\\rightarrow x_0^+}{f(x)}=\\lim_{x\\rightarrow x_0^-}{f(x)}=l$$\n", "\n", "**Osservazione** Se $\\displaystyle \\lim_{x\\rightarrow x_0^+}{f(x)}\\neq\\lim_{x\\rightarrow x_0^-}{f(x)}$ oppure uno dei due limiti (destro/sinistro) non esiste allora $\\nexists\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}$.\n", "\n", "**Teorema** (limiti di funzioni monotone) Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ una funzione monotona crescente. Sia $x_0\\in]a,b[$. Allora\n", "\n", "1. $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow x_0^+}{f(x)}=\\inf_{x\\in ]x_0,b]}{f(x)}$\n", "\n", "2. $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow x_0^-}{f(x)}=\\sup_{x\\in[a,x_0[}{f(x)}$\n", "\n", "3. $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow a^+}{f(x)}=\\inf_{x\\in]a,b]}{f(x)}$\n", "\n", "4. $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow b^-}{f(x)}=\\sup_{x\\in[a,b[}{f(x)}$\n", "\n", "**Teorema** Siano $f,g:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ e $x_0\\in\\mathbb{R}$ punto di accumulazione per $A$ (oppure $x_0=+\\infty$ e $A$ non superiormente limitato, oppure $x_0=-\\infty$ e $A$ non inferiormente limitato), $l,m\\in\\overline{\\mathbb{R}}$. Supponiamo che $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=l$ e $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{g(x)}=m$. Allora:\n", "\n", "1. se $f(x)\\leq g(x)\\ \\forall x\\in A$ si ha $l\\leq m$\n", "\n", "2. se $l0$ tale che $f(x)0$ tale che $g(x)\\neq 0\\ \\forall x\\in A\\cap]x_0-\\delta,x_0+\\delta[,\\ x\\neq x_0$\n", "\n", "4. Se $m\\neq 0$ allora la funzione $\\frac{f}{g}$ ha limite $\\frac{l}{m}$ per $x\\rightarrow x_0$, cioè $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=\\frac{l}{m}$\n", "\n", "5. Se $c\\in\\mathbb{R}$ è una costante, allora $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[c\\cdot f(x)]}=c\\cdot l$.\n", "\n", "**Definizione** $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ con $A\\subset\\mathbb{R}$ è **infinitesimo** $(x\\rightarrow x_0)$ se\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=0$$\n", "\n", "$f$ è **infinito** $(x\\rightarrow x_0)$ se\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\left|f(x)\\right|}=+\\infty$$\n", "\n", "**Teorema** (proprietà algebriche degli infinitesimi) Siano $A\\subseteq\\mathbb{R}$, $f,g:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0$ punto di accumulazione per $A$ (oppure $x_0=+\\infty$ e $A$ non superiormente limitato, oppure $x_0=-\\infty$ e $A$ non inferiormente limitato) e $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=0$. Allora:\n", "\n", "1. Se $\\exists M>0$ tale che $\\left|g(x)\\right|0$ tale che $g(x)\\geq M,\\ \\forall x\\in A$, allora $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)\\cdot g(x)]}=+\\infty$\n", "\n", "3. Se $\\exists M\\in\\mathbb{R},\\ M<0$ tale che $g(x)\\leq M,\\ \\forall x\\in A$, allora $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)\\cdot g(x)]}=-\\infty$\n", "\n", "4. $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{1}{f(x)}}=0$.\n", "\n", "Analogamente per $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=-\\infty$:\n", "\n", "1. Se $\\exists M\\in\\mathbb{R}$ tale che $g(x)\\leq M,\\ \\forall x\\in A$, allora $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)+g(x)]}=-\\infty$\n", "\n", "2. Se $\\exists M\\in\\mathbb{R},\\ M>0$ tale che $g(x)\\geq M,\\ \\forall x\\in A$, allora $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)\\cdot g(x)]}=-\\infty$\n", "\n", "3. Se $\\exists M\\in\\mathbb{R},\\ M<0$ tale che $g(x)\\leq M,\\ \\forall x\\in A$, allora $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)\\cdot g(x)]}=+\\infty$\n", "\n", "4. $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{1}{f(x)}}=0$.\n", "\n", "## Simboli di Landau\n", "\n", "**Definizione** (o-piccolo) $f$ si dice **o-piccolo di 1**, $(x\\rightarrow x_0)$, e si scrive\n", "\n", "$$f(x) = o(1),\\ (x\\rightarrow x_0),\\ \\ \\ \\ se \\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=0$$\n", "\n", "$f$ si dice **o-piccolo di $\\bf g$**, $(x\\rightarrow x_0)$, e si scrive\n", "\n", "$$f(x) = o(g(x)),\\ (x\\rightarrow x_0),\\ \\ \\ \\ se \\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=0$$\n", "\n", "Se $f(x) = o(g(x)),\\ (x\\rightarrow x_0)$, $f$ si dice **trascurabile** rispetto a g, $(x\\rightarrow x_0)$.\n", "\n", "**Definizione** (equivalenza) $f$ si dice **equivalente** a $g$, $(x\\rightarrow x_0)$, e si scrive\n", "\n", "$$f(x)\\approx g(x),\\ (x\\rightarrow x_0),\\ \\ \\ \\ se \\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=1$$\n", "\n", "**Teorema** Siano $f,g:A\\rightarrow\\mathbb{R}$.\n", "\n", "$$f(x)\\approx g(x),\\ (x\\rightarrow x_0)\\iff f(x)=g(x)+o(g(x)),\\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "**Teorema** Se $f_1\\approx f_2$ e $g_1\\approx g_2$, $(x\\rightarrow x_0)$, allora\n", "\n", "$$f_1g_1\\approx f_2g_2,\\ (x\\rightarrow x_0);\\ \\ \\frac{f_1}{g_1}\\approx\\frac{f_2}{g_2},\\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "**Teorema** (principio di sostituzione)\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f+o(f)}{g+o(g)}}=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f}{g}}$$\n", "\n", "**Proposizione** Siano $f,g,h:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Se $l+m\\neq 0$ e\n", "\n", "$$\\left.\\begin{matrix}f(x)\\approx lh(x),\\ (x\\rightarrow x_0)\\\\g(x)\\approx mh(x),\\ (x\\rightarrow x_0)\\end{matrix}\\right\\}\\implies [f(x)+g(x)]\\approx (l+m)h(x),\\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "## Funzioni continue\n", "\n", "**Definizione** Siano $A\\subseteq\\mathbb{R}$, $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diremo che $f$ è continua in $x_0\\in A$ se\n", "\n", "$$\\forall\\epsilon>0\\ \\exists\\delta>0:\\left|f(x)-f(x_0)\\right|<\\epsilon\\ \\forall x\\in A\\cap]x_0-\\delta, x_0+\\delta[$$\n", "\n", "1. Se $x_0$ è un punto isolato, quindi non di accumulazione, allora $f$ è banalmente continua in $x_0$\n", "\n", "2. Se $x_0$ è un punto di accumulazione, allora la definizione è equivalente a\n", "\n", "$$f\\ è\\ continua\\iff \\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)$$\n", "\n", "**Definizione** $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$, $A\\subset\\mathbb{R}$ è una funzione continua su $A$ se $f$ è continua in tutti i punti di $A$.\n", "\n", "**Teorema** (continuità della funzione composta) Siano $A,B\\subseteq\\mathbb{R}$, $f:A\\rightarrow B$, $g:B\\rightarrow\\mathbb{R}$. Se $f$ è continua in $x_0\\in A$ e $g$ è continua in $y_0=f(x_0)$, allora $f\\circ g:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ è continua in $x_0$.\n", "\n", "**Teorema** (permanenza del segno) Se $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ è continua in $x_0\\in A$ e $f(x_0)>0$ (risp. $f(x_0)<0$) allora\n", "\n", "$$\\exists\\delta>0:\\ f(x)>0\\ \\text{(risp. }f(x)< 0 \\text{)}\\ \\forall x\\in A\\cap]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$$\n", "\n", "**Teorema** (di Weierstrass) Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$. Allora $\\displaystyle\\exists\\max_{[a,b]}f$ e $\\displaystyle\\exists\\min_{[a,b]}f$.\n", "\n", "Il teorema è valido anche per $\\displaystyle{A=\\bigcup_{i=1}^k{[a_i,b_i]}}$ ed è valido in generale se $A$ è un insieme limitato e chiuso.\n", "\n", "**Teorema** (degli zeri) Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e tale che $f(a)< 0< f(b)$. Allora $\\exists c\\in ]a,b[$ tale che $f(c)=0$.\n", "\n", "**Teorema** (dei valori intermedi) Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$. Allora $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$.\n", "\n", "$$\\displaystyle [f(a),f(b)]=\\{y\\in\\mathbb{R}\\mid\\exists x\\in A,\\ y=f(x)\\}=\\mathcal{I}m_{[a,b]}(f)$$\n", "\n", "**Teorema** (di Bolzano) Siano $I\\subset\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $I$. Allora $f(I)=\\mathcal{I}m(f)$ è un intervallo.\n", "\n", "**Teorema** (funzioni monotone e continuità) Siano $I\\subset\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ monotona. Allora $f\\ è\\ continua\\iff f(I)\\ è\\ un\\ intervallo$.\n", "\n", "**Teorema** (continuità funzione inversa) Siano $I\\subset\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua e strettamente monotona in $I$. Allora $f^{-1}:f(I)\\rightarrow I$ è strettamente monotona e continua nell'intervallo $f(I)$.\n", "\n", "**Dimostrazione** Per il teorema di Bolzano $f(I)$ è un intervallo perché $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ è continua.\n", "\n", "$f$ è strettamente monotona quindi $\\exists\\ f^{-1}:f(I)\\xrightarrow[su]{1-1} I$.\n", "\n", "Per il teorema precedente $f^{-1}$ è continua perché $I$ è un intervallo.\n", "\n", "**Corollario** (di Bolzano-Weierstrass) Se $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ allora $\\displaystyle f([a,b])=[\\min_{[a,b]}f,\\max_{[a,b]}f]$.\n", "\n", "# Derivazione\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0\\in [a,b]$. Chiamiamo **rapporto incrementale** di $f$ rispetto a $x_0$\n", "\n", "$$R(x)=\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\\ \\ \\ \\ R:[a,b]\\setminus\\{x_0\\}\\rightarrow\\mathbb{R}$$\n", "\n", "**Definizione** Siano $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ e $x_0\\in A$. Posto\n", "\n", "$$f'(x_0)=\\frac{\\mathrm{d} f}{\\mathrm{d} x}(x_0)=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}},\\ \\ \\ \\ \\frac{\\mathrm{d} f}{\\mathrm{d} x}(x_0)\\in\\overline{\\mathbb{R}}$$\n", "\n", "Se $\\frac{\\mathrm{d} f}{\\mathrm{d} x}(x_0)\\in\\mathbb{R}$ si dice che $f$ è derivabile in $x_0$.\n", "\n", "**Osservazione** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$.\n", "\n", "$$\\mathcal{D}om(f') = \\{x\\in [a,b]\\mid\\exists\\ f'(x)\\in\\mathbb{R}\\}$$\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $x_0\\in\\mathbb{R}$. Allora $f(x)$ è continua in $x_0$.\n", "\n", "**Dimostrazione** $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)\\iff\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)-f(x_0)]}=0$\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{[f(x)-f(x_0)]}=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)}=f'(x_0)\\lim_{x\\rightarrow x_0}{(x-x_0)}=0$$\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$ e $x_0\\in A$. Supponiamo che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A\\cap]x_0,+\\infty[$ e $A\\cap]-\\infty,x_0[$. Chiameremo **derivata destra** di $f(x_0)$, se esiste, il limite destro del rapporto incrementale:\n", "\n", "$$f'_{+}(x_0)=\\lim_{x\\rightarrow x_0^+}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$$\n", "\n", "Analogamente chiamaremo **derivata sinistra**, se esiste, il limite sinistro del rapporto incrementale:\n", "\n", "$$f'_{-}(x_0)=\\lim_{x\\rightarrow x_0^-}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$$\n", "\n", "**Definizione** Sia $f$ una funzione continua in $x_0$. Se esistono finite (o una finita e una infinita), ma distinte, le derivata destra e sinistra, allora si dice che $f$ ha un **punto angoloso** in $x_0$.\n", "\n", "**Definizione** Sia $f$ una funzione continua in $x_0$. Se esistono infinite e di segno opposto le derivate destra e sinistra, allora si dice che $f$ ha una **cuspide** in $x_0$.\n", "\n", "**Definizione** Sia $f$ una funzione continua in $x_0$. Se $\\left|f(x)\\right|=+\\infty$ allora si dice che $f$ ha un **punto di flesso a tangente verticale** in $x_0$.\n", "\n", "## Regole di derivazione\n", "\n", "**Teorema** (linearità della funzione derivata) Siano $f,g:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabili in $x_0\\in [a,b]$ e $\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}$. Allora $\\lambda f+\\mu g$ è derivabile in $x_0$ e la derivata è:\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}[\\lambda f+\\mu g] (x_0)=\\lambda f'(x)+\\mu g'(x)$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{\\lambda f(x)+\\mu g(x) - [\\lambda f(x_0)+\\mu g(x_0)]}{x-x_0}} = $$\n", "\n", "$$= \\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\left[\\frac{\\lambda f(x)-\\lambda f(x_0)}{x-x_0} + \\frac{\\mu g(x)-\\mu g(x_0)}{x-x_0}\\right]} = $$\n", "\n", "$$= \\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\left[\\lambda\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \\mu\\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\\right]} = $$\n", "\n", "$$= \\lambda f'(x)+\\mu g'(x)$$\n", "\n", "**Teorema** (Regola di Leibniz) Siano $f,g:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabili in $x_0\\in [a,b]$. Allora la funzione $f\\cdot g$ è derivabile in $x_0$ e:\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}(f\\cdot g)(x_0) = f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}}=$$\n", "\n", "$$=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}}=$$\n", "\n", "$$=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\left(g(x)\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + f(x)\\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\\right)}=$$\n", "\n", "$$=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\left(g(x)f'(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\\right)}=$$\n", "\n", "$$=g(x_0)f'(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$$\n", "\n", "**Teorema** (funzione reciproca) Siano $f,g:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabili in $x_0\\in [a,b]$ e $f(x_0)\\neq 0$. Allora $\\exists\\frac{1}{f}:]x_0-\\delta,x_0+\\delta[\\cap[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$ e:\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}(\\frac{1}{f})(x_0)=-\\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{\\frac{1}{f(x)}-\\frac{1}{f(x_0)}}{x-x_0}}=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x_0)-f(x)}{f(x)f(x_0)(x-x_0)}}=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{-\\frac{f(x)-f(x_0)}{f(x)f(x_0)(x-x_0)}}=-\\frac{1}{f^2(x_0)}f'(x)$$\n", "\n", "**Corollario** (rapporto di funzioni) Siano $f,g:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabili in $x_0\\in [a,b]$ e $g(x_0)\\neq 0$. Allora la funzione $\\frac{f}{g}:]x_0-\\delta,x_0+\\delta[\\cap[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$ e:\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}(\\frac{f}{g})(x_0)=\\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}\\frac{f}{g}(x_0)=\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}\\left[f\\cdot\\frac{1}{g}\\right] (x_0) = $$\n", "\n", "$$= f'(x_0)\\frac{1}{g}(x_0)+f(x_0)\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}\\left(\\frac{1}{g}\\right)(x_0) = $$\n", "\n", "$$= \\frac{f'(x_0)}{g(x_0)}-\\frac{f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)} = $$\n", "\n", "$$= \\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$$\n", "\n", "**Teorema** (funzione composta) Supponiamo $I,J\\in\\mathbb{R}$ intervalli, $x_0\\in I$, $f:I\\rightarrow J$ derivabile in $x_0$ e $g:J\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $y_0=f(x_0)\\in J$. Allora la funzione composta $g\\circ f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ è derivabile in $x_0$ e:\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}(g\\circ f)(x_0)=\\frac{\\mathrm{d} g}{\\mathrm{d} y}(f(x_0))\\frac{\\mathrm{d} f}{\\mathrm{d} x}(x_0)$$\n", "\n", "**Teorema** (funzione inversa) Sia $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\xrightarrow[su]{1-1}\\mathbb{R}$ strettamente monotona e continua (quindi $\\exists\\ f^{-1}:f(I)\\xrightarrow[su]{1-1}I$ strettamente monotona e continua). Se $\\exists\\ f'(x_0)\\neq 0$ allora:\n", "\n", "$$(f^{-1})'(y_0)=\\frac{1}{\\frac{\\mathrm{d} f}{\\mathrm{d} x}(f^{-1}(y_0))}$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Il limite del rapporto incrementale è:\n", "\n", "$$\\lim_{y\\rightarrow y_0}{\\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}$$\n", "\n", "Siccome $f^{-1}$ è la funzione inversa, allora $f^{-1}(y)=x$, $f^{-1}(y_0)=x_0$, $y=f(x)$ e $y_0=f(x_0)$. Inoltre sappiamo che $f^{-1}$ risulta continua su $J$ e si può effettuare il cambiamento di variabile, quindi\n", "\n", "$$[y\\rightarrow y_0]\\implies[f^{-1}(y)\\rightarrow f^{-1}(y_0)]=[x\\rightarrow x_0]$$\n", "\n", "Allora abbiamo:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\\frac{1}{f'(x_0)}=\\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$\n", "\n", "**Teorema** (di Lagrange) Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$. Allora $\\exists c\\in ]a,b[$ tale che\n", "\n", "$$f'(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$\n", "\n", "**Teorema** (di Rolle) Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$. Se $f(a)=f(b)$ allora necessariamente $\\exists c\\in ]a,b[$ tale che:\n", "\n", "$$f'(c)=0$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Per il teorema di Weierstrass, siccome $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$, $\\exists\\min_{[a,b]}f$ e $\\exists\\max_{[a,b]}f$.\n", "\n", "1. Se $\\displaystyle\\min_{[a,b]}f=\\max_{[a,b]}f$ allora $f$ è costante e quindi $f'(x)=0\\ \\forall x\\in [a,b]$\n", "\n", "2. Se $\\displaystyle\\min_{[a,b]}f\\neq\\max_{[a,b]}f$ allora almeno uno è raggiunto in $c\\in ]a,b[$. Supponiamo per semplicità $\\displaystyle c=\\min_{[a,b]}f$ e calcoliamo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale:\n", "\n", "$$\\left.\\begin{matrix}\\lim_{x\\rightarrow c^+}\\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\geq 0\\\\\\\\\\lim_{x\\rightarrow c^-}\\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\leq 0\\end{matrix}\\right\\}\\implies f'(c)=0$$\n", "\n", "Con un ragionamento analogo si dimostra anche il caso in cui $\\displaystyle c=\\max_{[a,b]}$.\n", "\n", "**Teorema** (di Fermat) Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$. Se $c\\in]a,b[$ è un punto di massimo o di minimo per $f$ e $\\exists f'(c)$ allora necessariamente $f'(c)=0$.\n", "\n", "**Dimostrazione** È sufficiente studiare il segno del rapporto incrementale quando $x\\rightarrow c^+$ e $x\\rightarrow c^-$. SUpponiamo quindi che $c$ sia un punto di minimo.\n", "\n", "$$\\left.\\begin{matrix}\\lim_{x\\rightarrow c^+}\\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\geq 0\\\\\\\\\\lim_{x\\rightarrow c^-}\\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\leq 0\\end{matrix}\\right\\}\\implies f'(c)=0$$\n", "\n", "Con un ragionamento analogo si dimostra anche il caso in cui $c$ sia un punto di massimo.\n", "\n", "**Teorema** (di De l'Hôpital) Siano $f,g:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabili in ]a,b[. Se\n", "\n", "1. $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow a^+}{f(x)}=0=\\lim_{x\\rightarrow a^+}{g(x)}$\n", "\n", "2. $g'(x)$ ha segno costante $\\forall x\\in ]a,b[$ (è sufficiente che non cambi di segno in un insieme con punti di accumulazione)\n", "\n", "3. $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\frac{f'(x)}{g'(x)}}=l\\in\\overline{\\mathbb{R}}$\n", "\n", "Allora\n", "\n", "$$\\exists\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=l$$\n", "\n", "**Teorema** (di De l'Hôpital) Siano $f,g:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabili in ]a,b[. Se\n", "\n", "1. $\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\left|f(x)\\right|}=+\\infty=\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\left|g(x)\\right|}$\n", "\n", "2. $g'(x)$ ha segno costante $\\forall x\\in ]a,b[$ (è sufficiente che non cambi di segno in un insieme con punti di accumulazione)\n", "\n", "3. $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\frac{f'(x)}{g'(x)}}=l\\in\\overline{\\mathbb{R}}$\n", "\n", "Allora\n", "\n", "$$\\exists\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=l$$\n", "\n", "**Corollario** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$. Se $\\displaystyle\\exists\\lim_{x\\rightarrow a^+}{f'(x)}=l\\in\\overline{\\mathbb{R}}$ allora $\\displaystyle\\exists\\ f'(a)=l$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$f'(a)=\\lim_{x\\rightarrow a^+}{\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\\lim_{x\\rightarrow a^+}{f'(a)}=l$$\n", "\n", "**Definizione** Siano $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$, $I$ intervallo e $f'$ la derivata di $f$. Chiamiamo $I'$ l'insieme dei punti di $I$ in cui esiste $f'$\n", "\n", "$$I'=\\{x\\in I\\mid\\exists\\ f'(x)\\in\\mathbb{R}\\}$$\n", "\n", "Possiamo ora definire la **derivata seconda** di $f$, ovvero la derivata di $f':I'\\rightarrow\\mathbb{R}$, in $x_0$, se esiste,\n", "\n", "$$f''(x_0)=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}}$$\n", "\n", "Più in generale, se $f,f',f'',...f^{(k+1)}:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ e $x_0\\in I$ possiamo definire la derivata k-esima di $f$ in $x_0$\n", "\n", "$$f^{k}(x_0)=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(x_0)}{x-x_0}}$$\n", "\n", "**Definizione** Definiamo la **classe di una funzione** da $I\\subset\\mathbb{R}$ intervallo a $\\mathbb{R}$ di ordine k come l'insieme delle funzioni di variabile reale derivabili con continuità k volte, e scriviamo:\n", "\n", "$$\\mathcal{C}^{(k)}(I,\\mathbb{R})=\\{f:I\\rightarrow\\mathbb{R}\\mid f\\ continua\\ in\\ I\\}$$\n", "\n", "**Osservazione** $\\mathcal{C}^{(\\infty)}(I,\\mathbb{R})\\subsetneqq ... \\subsetneqq\\mathcal{C}^{(1)}(I,\\mathbb{R})\\subsetneqq\\mathcal{C}^{(0)}(I,\\mathbb{R})$\n", "\n", "# Polinomi di Taylor\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$, $I$ intervallo, derivabile $n$ volte in $x_0\\in I$. Chiamiamo **polinomio di Taylor di $\\bf f$** di ordine $n$ e punto iniziale $x_0$ il polinomio\n", "\n", "$$T_n(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=\\sum_{k=0}^{n}\\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$\n", "\n", "**Teorema** (formula di Taylor con resto di Peano) Sia $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$, $I$ intervallo, derivabile $n$ volte in $x_0\\in I$. Allora\n", "\n", "$$f(x)=\\left[\\sum_{k=0}^{n}\\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\right]+o((x-x_0)^k)\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$n=1$ $$f'(x_0)=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\\iff f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "$n=2$ Vogliamo dimostrare che\n", "\n", "$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "Quindi:\n", "\n", "$$f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2=o((x-x_0)^2)\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0\\iff$$\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}}=0\\iff$$\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\left[\\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}-\\frac{f''(x_0)}{2}\\right]}=0$$\n", "\n", "Applicando De l'Hôpital:\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}}\\overset{H}{=}\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}}=\\frac{f''(x_0)}{2}$$\n", "\n", "Analogamente, applicando De l'Hopital $n-1$ volte, si può dimostrare in generale.\n", "\n", "**Teorema** (formula di Taylor con resto di Lagrange) Siano $f\\in\\mathcal{C}^{(n+1)}(I,\\mathbb{R})$, $x,x_0\\in I$. Allora $\\exists c\\in I$ compreso tra $x_0$ e $x$ tale che:\n", "\n", "$$f(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k} + f^{(n+1)}(c)\\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$\n", "\n", "## Proprietà del polinomio di Taylor\n", "\n", "**Proposizione** Sia $f\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$.\n", "\n", "1. Il polinomio di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ e grado minore o uguale a $n$ è l'unico polinomio di grado $\\leq n$ per il quale vale\n", "\n", "$$T_{n}^{k}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$$\n", "\n", "2. Derivando il polinomio di Taylor di ordine $n$ di $f$ si ottiene il polinomio di Taylor di grado $n-1$ di $f$\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}T_n[f] (x)=T_{n-1}[f'] (x)$$\n", "\n", "**Proposizione** Se $f(x)=q_n(x)+o((x-x_0)^n),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$, ove $q_n(x)$ è un polinomio di grado al più $n$, allora necessariamente\n", "\n", "$$q_n(x)=T_{n,x_0}(x)$$\n", "\n", "ove $T_{n,x_0}(x)$ è il polinomio di Taylor di $f$ di ordine $n$ e punto iniziale $x_0$.\n", "\n", "## Formule di Taylor delle funzioni elementari\n", "\n", "**Esponenziale** La funzione esponenziale ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $n$, si scrive come\n", "\n", "$$\\mathrm{exp}(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{x^k}{k!}}+o(x^n),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}\\mathrm{exp}(x)=\\mathrm{exp}(x)$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{x^k}{k!}}$$\n", "\n", "**Coseno** La funzione coseno è pari e ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $2n$, si scrive come\n", "\n", "$$\\cos(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}}+o(x^{2n+1}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}\\cos(x)=\\left\\{\\begin{matrix}0 & se\\ k\\ dispari\\\\ (-1)^k & se\\ k\\ pari\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}}$$\n", "\n", "**Seno** La funzione seno è dispari e ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $2n+1$, si scrive come\n", "\n", "$$\\sin(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}}+o(x^{(2n+2)}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}\\sin(x)=\\left\\{\\begin{matrix}0 & se\\ k\\ pari\\\\ (-1)^k & se\\ k\\ dispari\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}}$$\n", "\n", "**Coseno iperbolico** La funzione coseno iperbolico è pari e ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $2n$, si scrive come\n", "\n", "$$\\cosh(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{x^{2k}}{(2k)!}}+o(x^{2n+1}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}\\cosh(x)=\\left\\{\\begin{matrix}0 & se\\ k\\ dispari\\\\ 1 & se\\ k\\ pari\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{x^{2k}}{(2k)!}}$$\n", "\n", "**Seno iperbolico** La funzione seno iperbolico è dispari e ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $2n+1$, si scrive come\n", "\n", "$$\\sinh(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+o(x^{(2n+2)}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}\\sinh(x)=\\left\\{\\begin{matrix}0 & se\\ k\\ pari\\\\ 1 & se\\ k\\ dispari\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=0}^{n}{\\frac{x^{2k}}{(2k)!}}$$\n", "\n", "**$\\bf{\\ln(1+x)}$** La funzione $\\ln(1+x)$ ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $n$, si scrive come\n", "\n", "$$\\ln(1+x)=\\sum_{k=1}^{n}{\\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}}+o(x^{n}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}\\ln(1+x)=\\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k},\\ \\ k\\geq 1$$\n", "\n", "da cui deriva\n", "\n", "$$D^{(k)}\\ln(1+x)\\left|_{x=0}\\right.=(-1)^{k-1}(k-1)!,\\ \\ k\\geq 1$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=1}^{n}{\\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}}$$\n", "\n", "**$\\bf{(1+x)^\\alpha}$** La funzione $(1+x)^\\alpha$, $x>-1$, $\\alpha\\in\\mathbb{R}$ ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $n$, si scrive come\n", "\n", "$$(1+x)^\\alpha=\\sum_{k=0}^{n}\\binom{\\alpha}{k}x^k+o(x^{n}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "posto\n", "\n", "$$\\binom{\\alpha}{k}=\\frac{\\alpha(\\alpha-1)...(\\alpha-k+1)}{k!},\\ \\ \\binom{\\alpha}{0}=1$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$D^{(k)}(1+x)^\\alpha=\\alpha(\\alpha-1)...(\\alpha-k+1)(1+x)^{\\alpha-k}$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=1}^{n}\\binom{\\alpha}{k}x^k$$\n", "\n", "**$\\bf{(1+x)^{-1}}$** La funzione $(1+x)^{-1}$, $x\\neq -1$, ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $n$, si ottiene da quella precedente, con $\\alpha=-1$, ed è\n", "\n", "$$(1+x)^{-1}=\\sum_{k=0}^{n}(-1)^kx^k+o(x^{n}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "infatti\n", "\n", "$$\\binom{-1}{k}=\\frac{(-1)(-1-1)(-1-2)...(-1-k+1)}{k!}=\\frac{(-1)^k(1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot ... \\cdot k)}{k!}=(-1)^k$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=1}^{n}(-1)^kx^k$$\n", "\n", "**$\\bf{(1+x^2)^{-1}}$** La funzione $(1+x^2)^{-1}$ ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $2n$, si ottiene da quella precedente, sostituendo $x$ con $x^2$, ed è\n", "\n", "$$(1+x^2)^{-1}=\\sum_{k=0}^{n}(-1)^kx^{2k}+o(x^{2n}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=1}^{n}(-1)^kx^{2k}$$\n", "\n", "**$\\bf{(1-x)^{-1}}$** La funzione $(1-x)^{-1}$, $x\\neq -1$, ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $n$, si ottiene da qualle precedente, sostituendo $x$ con $-x$, ed è\n", "\n", "$$(1-x)^{-1}=\\sum_{k=0}^{n}x^k+o(x^{n}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=1}^{n}x^k$$\n", "\n", "**$\\bf{(1-x^2)^{-1}}$** La funzione $(1-x^2)^{-1}$, $x\\neq\\pm 1$, ha derivate di ordine comunque elevato; scelto come punto iniziale $x_0=0$, la sua formula di Taylor, di ordine $2n$, si ottiene da qualle precedente, sostituendo $x$ con $x^2$, ed è\n", "\n", "$$(1-x^2)^{-1}=\\sum_{k=0}^{n}x^{2k}+o(x^{2n}),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow 0)$$\n", "\n", "Quindi il polinomio di Taylor è\n", "\n", "$$T_{n,0}(x)=\\sum_{k=1}^{n}x^{2k}$$\n", "\n", "# Studio qualitativo del grafico di una funzione\n", "\n", "## Comportamento asintotico\n", "\n", "**Definizione** Siano $f,g:]a, +\\infty[\\rightarrow\\mathbb{R}$ diremo che $g(x)$ è asintotica a $f(x)$ (equivalentemente, $f(x)$ ha per asintoto $g(x)$) quando $(x\\rightarrow \\pm\\infty)$ se:\n", "\n", "$$f(x)=g(x)+o(1),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow \\pm\\infty)$$\n", "\n", "**Definizione** (asintoto obliquo) Diremo che $f(x)$ ha asintoto obliquo $g(x)=ax+b\\ (x\\rightarrow\\pm\\infty)$ se esistono $a\\neq 0$ e $b\\in\\mathbb{R}$ tali che\n", "\n", "$$f(x)=ax+b+o(1),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow\\pm\\infty)\\iff\\left\\{\\begin{matrix}\\lim_{x\\rightarrow\\pm\\infty}{[f(x)-ax]}=b\\\\\\\\\\lim_{x\\rightarrow\\pm\\infty}{\\frac{f(x)}{x}}=a\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "**Definizione** Diremo che $f(x)$ ha asintoto verticale da destra (risp. da sinistra) $(x\\rightarrow a^+)$ se\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow a^+}{f(x)}=\\pm\\infty\\ \\text{(risp.}\\ \\lim_{x\\rightarrow a^-}{f(x)}=\\pm\\infty\\text{)}$$\n", "\n", "**Definizione** Diremo che $f(x)$ ha asintoto orizzontale $y=c\\ (x\\rightarrow\\pm\\infty)$ se\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow\\pm\\infty}{f(x)}=c$$\n", "\n", "## Monotonia\n", "\n", "**Teorema** (funzioni monotone e derivata prima) Supponiamo $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $I$. Allora:\n", "\n", "1. $f$ è debolmente crescente in $I\\iff f'(x)\\geq 0\\ \\forall x\\in I$\n", "\n", "2. $f$ è debolmente decrescente in $I\\iff f'(x)\\leq 0\\ \\forall x\\in I$\n", "\n", "3. Se $f'(x)>0\\ \\forall x\\in I$ allora $f$ è strettamente crescente in $I$\n", "\n", "4. Se $f'(x)<0\\ \\forall x\\in I$ allora $f$ è strettamente decrescente in $I$\n", "\n", "**Dimostrazione** (1)\n", "\n", "($\\implies$) Scriviamo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale di $f(x)$\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x^+}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\\geq 0$$\n", "\n", "$$\\lim_{x\\rightarrow x^-}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\\geq 0$$\n", "\n", "($\\impliedby$) Per il teorema di Lagrange sappiamo che $\\exists c\\in ]x,x_0[$ tale che $f(x)-f(x_0)=f'(c)(x-x_0)$. Per ipotesi $f'(c)\\geq 0\\ \\forall x\\in ]x,x_0[$.\n", "\n", "$$x< x_0\\implies x-x_0< 0\\implies f(x)-f(x_0)\\leq 0\\implies f(x)\\leq f(x_0)$$\n", "\n", "$$x> x_0\\implies x-x_0> 0\\implies f(x)-f(x_0)\\geq 0\\implies f(x)\\geq f(x_0)$$\n", "\n", "Quindi la funzione è debolmente crescente.\n", "\n", "**Teorema** Siano $I$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $I$. Allora $f$ è strettamente crescente (risp. strettamente decrescente) se e solo se $f'(x)\\geq 0$ (risp. $f'(x)\\leq 0$) $\\forall x\\in I$ e l'insieme $E=\\{x\\in I\\mid f'(x)=0\\}\\subseteq I$ non contiene intervalli aperti.\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile $2n+1$ volte in $x_0\\in I$ e tale che $f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^{2n}(x_0)=0$. Se\n", "\n", "- $f^{2n+1}>0$ allora $x_0$ è un punto di crescenza, ovvero $f$ è strettamente crescente\n", "- $f^{2n+1}<0$ allora $x_0$ è un punto di decrescenza, ovvero $f$ è strettamente decrescente\n", "\n", "**Dimostrazione** La dimostrazione è un'applicazione della formula di Taylor di punto iniziale $x_0$ con resto di Peano. Supponiamo per semplicità che $f^{2n+1}>0$ (il caso $f^{2n+1}<0$ è analogo):\n", "\n", "$$f(x)-f(x_0)=\\frac{f^{2n+1}(x_0)}{(2n+1)!}(x-x_0)^{2n+1}(1+o(1))$$\n", "\n", "allora il membro di destra è positivo se $x>x_0$, mentre è negativo se $x0$ tale che $f$ è strettamente crescente in $\\forall x\\in ]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$\n", "\n", "## Punti di massimo e minimo locale\n", "\n", "**Definizione** Sia $A\\subseteq\\mathbb{R}$, $f:A\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diremo che $x_0\\in A$ è un punto di **minimo locale** (risp. di **massimo locale**) (o relativo) se $\\exists\\delta>0$ tale che\n", "\n", "$$f(x)\\geq f(x_0)\\ \\text{(risp.)}\\ f(x)\\geq f(x_0)\\ \\text{)}\\ \\forall x\\in A\\cap ]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$$\n", "\n", "**Teorema** (di Fermat) Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$. Se $x_0\\in ]a,b[$ è un punto di massimo (o minimo) locale e $\\exists f'(x_0)$ allora $f'(x_0)=0$\n", "\n", "**Dimostrazione** Supponiamo che $x_0$ sia un punto di minimo locale (la dimostrazione è analoga nel caso $x_0$ sia un punto di massimo locale)\n", "\n", "$$\\left.\\begin{matrix}\\lim_{x\\rightarrow x_0^+}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\\geq 0\\\\\\lim_{x\\rightarrow x_0^-}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\\end{matrix}\\right\\}\\implies f'(x_0)=0$$\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $x_0\\in I$. Diciamo che $x_0$ è un **punto stazionario o critico** se $f'(x)=0$.\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $]a,b[$. Se in $x_0\\in]a,b[\\ f'(x_0)=0$ e $\\exists\\delta>0$ tale che:\n", "\n", "1. $f'(x_0)> 0\\ \\forall x\\in ]x_0,x_0+\\delta[$\n", "\n", "2. $f'(x_0)< 0\\ \\forall x\\in ]x_0-\\delta,x_0[$\n", "\n", "Allora $x_0$ è un punto di minimo locale\n", "\n", "3. $f'(x_0)< 0\\ \\forall x\\in ]x_0,x_0+\\delta[$\n", "\n", "4. $f'(x_0)> 0\\ \\forall x\\in ]x_0-\\delta,x_0[$\n", "\n", "Allora $x_0$ è un punto di massimo locale\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$, $x_0\\in ]a,b[$ e supponiamo che $f$ sia continua in tutto $]a,b[$ e derivabile in $]a,b[\\setminus\\{x_0\\}$. Se $\\exists\\delta>0$\n", "\n", "1. $f'(x)>0\\ \\forall x\\in]x_0-\\delta,x_0[\\cap]a,b[$ e $f'(x)<0\\ \\forall x\\in]x_0,x_0+\\delta[\\cap]a,b[$ allora $x_0$ è un punto angoloso di massimo locale\n", "\n", "2. $f'(x)<0\\ \\forall x\\in]x_0-\\delta,x_0[\\cap]a,b[$ e $f'(x)>0\\ \\forall x\\in]x_0,x_0+\\delta[\\cap]a,b[$ allora $x_0$ è un punto angoloso di minimo locale\n", "\n", "3. $f'_{+}(x)=+\\infty$ e $f'_{-}(x)=-\\infty$ allora $x_0$ è una cuspide di minimo locale\n", "\n", "4. $f'_{+}(x)=-\\infty$ e $f'_{-}(x)=+\\infty$ allora $x_0$ è una cuspide di massimo locale\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile $2n$ volte in $x_0$, con $n\\geq 1$. Se $f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^{2n-1}(x_0)=0$. Allora:\n", "\n", "1. Se $f^{2n}(x_0)>0$ allora $x_0$ è un punto di minimo locale\n", "\n", "2. Se $f^{2n}(x_0)< 0$ allora $x_0$ è un punto di massimo locale\n", "\n", "**Dimostrazione** La dimostrazione è un'applicazione della formula di Taylor di punto iniziale $x_0$ con resto di Peano:\n", "\n", "$$(1)\\ \\ f(x)-f(x_0)=\\frac{f^{2n}(x_0)}{(2n)!}(x-x_0)^{2n}(1 + o(1))> 0$$\n", "\n", "$$(2)\\ \\ f(x)-f(x_0)=\\frac{f^{2n}(x_0)}{(2n)!}(x-x_0)^{2n}(1 + o(1))< 0$$\n", "\n", "**Corollario** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile 2 volte in $x_0$. Supponiamo $f'(x_0)=0$ allora:\n", "\n", "1. Se $f''(x_0)>0$ allora $x_0$ è un punto di minimo locale\n", "\n", "2. Se $f''(x_0)<0$ allora $x_0$ è un punto di massimo locale\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile 2 volte in $x_0$. ALlora:\n", "\n", "1. Se $x_0$ è un punto di minimo locale allora $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)>0$\n", "\n", "2. Se $x_0$ è un punto di massimo locale allora $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)<0$\n", "\n", "## Convessità e concavità\n", "\n", "**Definizione** Sia $I\\subset\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diciamo che $f$ è **convessa** in $I$ se:\n", "\n", "$$\\forall x_1,x_2\\in I\\ e\\ \\forall\\lambda\\in]0,1[\\ f(\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2)\\leq \\lambda f(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2)$$\n", "\n", "Diremo che $f$ è **strettamente convessa** se:\n", "\n", "$$\\forall x_1,x_2\\in I\\ e\\ \\forall\\lambda\\in]0,1[\\ f(\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2)< \\lambda f(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2)$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Una funzione è convessa se tutti i punti del grafico stanno sotto la retta che congiunge due punti qualsiasi di esso. Presi due punti $P_1(x_1,f(x_1))$ e $P_2(x_2,f(x_2))$, la retta che li congiunge è:\n", "\n", "$$y=f(x_1)+\\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)$$\n", "\n", "I punti del grafico compresi tra $P_1$ e $P_2$ sono i punti dell'intervallo $]x_1,x_2[$ e sono del tipo $x=\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2$. Andando a sostituire $x$ nell'equazione precedente\n", "\n", "$$y=f(x_1)+\\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2-x_1)$$\n", "\n", "e svolgendo i calcoli\n", "\n", "$$y=f(x_1)+[f(x_2)-f(x_1)] (1-\\lambda)=f(x_2)-\\lambda f(x_2)+\\lambda f(x_1)=\\lambda f(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2)$$\n", "\n", "Quindi i punti interni all'intervallo $]x_1,x_2[$ hanno la forma\n", "\n", "$$P(\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2,\\lambda f(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2))$$.\n", "\n", "**Definizione** Sia $I\\subset\\mathbb{R}$ intervallo e $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$. Diciamo che $f$ è **concava** in $I$ se:\n", "\n", "$$\\forall x_1,x_2\\in I\\ e\\ \\forall\\lambda\\in]0,1[\\ f(\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2)\\geq \\lambda f(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2)$$\n", "\n", "Diremo che $f$ è **strettamente concava** se:\n", "\n", "$$\\forall x_1,x_2\\in I\\ e\\ \\forall\\lambda\\in]0,1[\\ f(\\lambda x_1+(1-\\lambda)x_2)> \\lambda f(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2)$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Analoga a quella precedente\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ concava (o convessa) in $[a,b]$. Allora $f$ è continua in $]a,b[$.\n", "\n", "**Teorema** (convessità e rette tangenti) Sia $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo, $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $I$. Allora:\n", "\n", "1. $f$ è convessa in $I\\iff \\forall x,x_0\\in I\\ f(x)\\geq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$\n", "\n", "2. $f$ è concava in $I\\iff \\forall x,x_0\\in I\\ f(x)\\leq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$\n", "\n", "3. Se $\\forall x,x_0\\in I\\ f(x)>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ allora $f$ è strettamente convessa in I\n", "\n", "4. Se $\\forall x,x_0\\in I\\ f(x)0$ tale che $F(x)sign(x-x_0)$ ha segno costante in $]a,b[\\cap]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $]a,b[$ e derivabile 2 volte in $x_0\\in ]a,b[$. Se $x_0$ è un punto di flesso allora $f''(x_0)=0$.\n", "\n", "**Dimostrazione** Supponiamo per assurdo che $x_0$ sia un punto di flesso e $f''(x_0)\\neq 0$. Utilizzando la formula di Taylor di punto iniziale $x_0$ con resto di Peano:\n", "\n", "$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2}(x-x0)^2+o((x-x_0)^2),\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "$$F(x)=[f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)]=\\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2[1+o(1)],\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "Se $f''(x_0)\\neq 0$ allora $x_0$ n\n", "on può essere un punto di flesso, in quanto $F(x)$ cambierebbe di segno.\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ continua in $]a,b[$ e derivabile $2n+1$ volte in $x_0\\in]a,b[$. Se $f''(x_0)=...=f^{2n}(x_0)=0$ e $f^{2n+1}(x_0)\\neq 0$ allora $x_0$ è un punto di flesso.\n", "\n", "**Dimostrazione** La dimostrazione è un'applicazione della formula di Taylor di punto iniziale $x_0$ con resto di Peano:\n", "\n", "$$f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=\\frac{f^{2n+1}(x_0)}{(2n+1)!}(x-x_0)^{2n+1}[1+o(1)],\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "$$F(x)sign(x-x_0)=\\frac{f^{2n+1}(x_0)}{(2n+1)!}(x-x_0)^{2n+1}sign(x-x_0)[1+o(1)],\\ \\ \\ \\ (x\\rightarrow x_0)$$\n", "\n", "1. Supponiamo $f^{2n+1}(x_0)>0$, allora il membro di destra è sempre positivo\n", "\n", "2. Supponiamo $f^{2n+1}(x_0)<0$, allora il membro di destra è sempre positivo\n", "\n", "Quindi $x_0$ è un punto di flesso.\n", "\n", "**Corollario** Se $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile 3 volte e $f''(x_0)=0$ e $f'''(x_0)\\neq 0$ allora $x_0$ è un punto di flesso.\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $]a,b[$. Se $x_0$ è un punto di minimo o massimo per $f'(x_0)$ allora è un punto di flesso per $f$.\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$$\n", "\n", "$$F'(x)=f'(x)-f'(x_0)$$\n", "\n", "Supponiamo $x_0$ punto di minimo per $f'$. Allora $F'(x)\\geq 0\\ \\forall x\\in]a,b[\\cap]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$. Da qui segue che $F(x)$ è monotona crescente in $]a,b[\\cap]x_0-\\delta,x_0+\\delta[$. Essendo $F(x_0)=0$, allora $x_0$ è un punto di flesso.\n", "\n", "**Teorema** Sia $f:]a,b[\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile 2 volte in $]a,b[$. Se in $x_0\\in]a,b[\\ f''(x_0)=0$ ed $\\exists\\delta>0$ tale che $f$ è concava in $]x_0, x_0+\\delta[$ e convessa in $]x_0-\\delta,x_0[$, o viceversa, allora $x_0$ è un punto di flesso.\n", "\n", "# Integrazione\n", "\n", "## Primitive\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$, $I$ intervallo. Chiamiamo $F:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ **primitiva** di $f$ se\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d} F}{\\mathrm{d} x}(x)=f(x)\\ \\forall x\\in I$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}G(x)=\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}F(x)=f(x)$$\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x}[G(x)-F(x)]=f(x)-f(x)=0$$\n", "\n", "**Teorema** (funzioni a derivata nulla) Sia $I$ intervallo, $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ derivabile in $I$. Allora \n", "\n", "$$f'(x)=0\\ \\forall x\\in I\\iff\\exists c\\in\\mathbb{R}\\ \\text{tale che}\\ f(x)=c\\ \\forall x\\in I$$\n", "\n", "**Dimostrazione**\n", "\n", "($\\implies$) L'implicazione verso sinistra è banale. Siccome $f(x)=c$:\n", "\n", "$$f'(x)=\\lim_{x\\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=0$$\n", "\n", "($\\impliedby$) Usiamo il teorema di Lagrange:\n", "\n", "$$\\exists c\\in]x,x_0[\\ \\text{tale che}\\ f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x_0)\\ \\forall x,x_0\\in I$$\n", "\n", "Siccome $f'(c)=0$, allora necessariamente $f(x)-f(x_0)=0$ e quindi $x=x_0$. Per l'arbitrarietà di $x,x_0$ possiamo concludere che $f$ è costante su tutto $I$.\n", "\n", "**Teorema** (caratterizzazione delle primitive di $f$ su un intervallo) Sia $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo, $f:I\\rightarrow\\mathbb{R}$. Allora:\n", "\n", "1. se $F:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ è una primitiva di $f$ allora $F(x)+c$, $c\\in\\mathbb{R}$ costante, è un'altra primitiva di $f$\n", "\n", "2. se $F,G:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ sono primitive di $f$, allora $\\exists c\\in\\mathbb{R}$ costante tale che $G(x)=F(x)+c$\n", "\n", "## Integrazione secondo Riemann\n", "\n", "**Definizione** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ limitata in $[a,b]$. Definiamo **scomposizione $\\bf\\sigma$** dell'intervallo $[a,b]$ un sottoinsieme finito e ordinato di punti in $[a,b]$\n", "\n", "$$\\sigma=\\{a=x_0< x_1< x_2<...< x_n=b\\}$$\n", "\n", "**Definizione** Siano $\\sigma,\\tau$ scomposizioni di $[a,b]$. $\\sigma\\cup\\tau$ è l'**insieme unione** dei punti che stanno in $\\sigma,\\tau$. Tale scomposizione è più fine di $\\sigma$ e $\\tau$.\n", "\n", "**Definizione** Fissata la scomposizione $\\sigma$ di $[a,b]$:\n", "\n", "1. definiamo la **somma inferiore** di $f$ rispetto a $\\sigma$ come\n", "\n", "$$s(f,\\sigma)=(x_1-x_0)\\inf_{[x_0,x_1]}f+...+(x_n-x_{n-1})\\inf_{[x_{n-1},x_n]}f = \\\\\n", "= \\sum_{i=1}^{n}{(x_i-x_{i-1})\\inf_{[x_{i-1},x_i]}f}$$\n", "\n", "2. definiamo la **somma superiore** di $f$ rispetto a $\\sigma$ come\n", "\n", "$$S(f,\\sigma)=(x_1-x_0)\\sup_{[x_0,x_1]}f+...+(x_n-x_{n-1})\\sup_{[x_{n-1},x_n]}f = \\\\\n", "= \\sum_{i=1}^{n}{(x_i-x_{i-1})\\sup_{[x_{i-1},x_i]}f}$$\n", "\n", "**Proposizione** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ limitata. Sinao $\\sigma,\\tau$ scomposizioni di $[a,b]$.\n", "\n", "$$(b-a)\\inf_{[a,b]}f\\leq s(f,\\sigma)\\leq s(f,\\sigma\\cup\\tau)\\leq S(f,\\sigma\\cup\\tau)\\leq S(f,\\sigma)\\leq (b-a)\\sup_{[a,b]}f$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Siano $\\sigma$ e $\\tau=\\sigma\\cup{y}$:\n", "\n", "$$s(f,\\sigma)=(x_1-x_0)\\inf_{[x_0,x_1]}f+...+(x_k-x_{k-1})\\inf_{[x_{k-1},x_k]}f+...+(x_n-x_{n-1})\\inf_{[x_{n-1},x_n]}f$$\n", "\n", "$$s(f,\\tau)=(x_1-x_0)\\inf_{[x_0,x_1]}f+...+(y-x_{k-1})\\inf_{[x_{k-1},y]}f+(x_k-y)\\inf_{[y,x_k]}f+...+(x_n-x_{n-1})\\inf_{[x_{n-1},x_n]}f$$\n", "\n", "Sottraendo:\n", "\n", "$$s(f,\\tau)-s(f,\\sigma)=(y-x_{k-1})\\inf_{[x_{k-1},y]}f+(x_k-y)\\inf_{[y,x_k]}f-(x_k-x_{k-1})\\inf_{[x_{k-1},x_k]}f = $$\n", "\n", "$$= (y-x_{k-1})\\inf_{[x_{k-1},y]}f+(x_k-y)\\inf_{[y,x_k]}f-(x_k-y+y-x_{k-1})\\inf_{[x_{k-1},x_k]}f = $$\n", "\n", "$$= (y-x_{k-1})\\left[\\inf_{[x_{k-1},y]}f-\\inf_{[x_{k-1},x_k]}f\\right]+(x_k-y)\\left[\\inf_{[y,x_k]}f-\\inf_{[x_{k-1},x_k]}f\\right]\\geq 0$$\n", "\n", "Quindi\n", "\n", "$$s(f,\\sigma)\\leq s(f,\\tau)$$\n", "\n", "Con un ragionamento analogo si dimostra\n", "\n", "$$S(f,\\sigma)\\geq S(f,\\tau)$$\n", "\n", "**Definizione** Si definisce **integrale inferiore** di $f$ in $[a,b]$\n", "\n", "$$\\underline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}=\\sup_{\\sigma}s(f,\\sigma)$$\n", "\n", "Si definisce **integrale superiore** di $f$ in $[a,b]$\n", "\n", "$$\\overline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}=\\inf_{\\sigma}S(f,\\sigma)$$\n", "\n", "**Corollario** Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ limitata. Allora\n", "\n", "$$\\underline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}<+\\infty\\ \\text{perché ha come maggiorante}\\ (b-a)\\sup_{[a,b]}f$$\n", "\n", "$$\\overline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}>-\\infty\\ \\text{perché ha come minorante}\\ (b-a)\\inf_{[a,b]}f$$\n", "\n", "$$\\underline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}\\leq\\overline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}$$\n", "\n", "**Definizione** (funzione integrabile secondo Riemann) Sia $f:[a,b]\\rightarrow\\mathbb{R}$ limitata. Diremo che $f$ è **integrabile secondo Riemann** se\n", "\n", "$$\\underline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}=\\overline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}$$\n", "\n", "e in tal caso chiamiamo **integrale** di $f$ in $[a,b]$\n", "\n", "$$\\int_{a}^{b}{f(x)\\mathrm{d}x}=\\underline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}=\\overline{\\int_{a}^{b}}{f(x)\\mathrm{d}x}$$\n", "\n", "**Funzione di Dirichlet** La funzione di Dirichlet è così definita\n", "\n", "$$f:[0,1]\\rightarrow\\mathbb{R},\\ \\ \\ \\ f(x)=\\left\\{\\begin{matrix} 1, & x\\in[0,1]\\cap\\mathbb{Q} \\\\ 0, & x\\in[0,1]\\setminus\\mathbb{Q}\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Presa una qualunque partizione $\\sigma=\\{0=x_0 1,\\ \\beta\\in\\mathbb{R}$. Allora le soluzioni dell'equazione $z^n=w$ sono\n", "\n", "$$\\sqrt[n]{\\alpha}\\left[\\cos\\left(\\frac{\\beta+2\\pi(k-1)}{n}\\right)+i\\sin\\left(\\frac{\\beta+2\\pi(k-1)}{n}\\right)\\right],\\ \\ \\ \\ k=1,...,n$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Sia $w=\\alpha\\mathrm{exp}(i\\beta)$, $z=|z|\\mathrm{exp}(i\\theta)$ e $z^n=w$ l'equazione.\n", "\n", "$$z^n=w \\iff |z|^n\\mathrm{exp}(in\\theta)=\\alpha\\mathrm{exp}(i\\beta) \\iff $$\n", "\n", "$$\\iff |z|^n[\\cos(n\\theta) + i\\sin(n\\theta)] = \\alpha[\\cos(\\beta) + i\\sin(\\beta)] \\iff $$\n", "\n", "$$\\iff \\left\\{\\begin{matrix}\n", "|z|^n=\\alpha\\\\ \n", "\\cos(n\\theta) = \\cos(\\beta)\\\\ \n", "\\sin(n\\theta) = \\sin(\\beta)\n", "\\end{matrix}\\right.\n", "\\iff\n", "\\left\\{\\begin{matrix}\n", "|z|=\\alpha^{\\frac{1}{n}}\\\\ \n", "n\\theta = \\beta + 2k\\pi & , & k\\in\\mathbb{Z}\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Quindi si ha\n", "\n", "$$z^n=w \\iff\n", "\\left\\{\\begin{matrix}\n", "|z|=\\sqrt[n]{\\alpha}\\\\ \n", "\\theta = \\frac{\\beta + 2k\\pi}{n} & , & k\\in\\mathbb{Z}\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Si può osservare che vi sono $n$ soluzioni complesse distinte per $k=0,...,n-1$.\n", "\n", "**Osservazione** Queste radici sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza di raggio $\\sqrt[n]{\\alpha}$.\n", "\n", "# Equazioni differenziali ordinarie\n", "\n", "**Definizione** Siano $t, x_0,...,x_n$ variabili reali.\n", "\n", "$$x_n=F(t,x_0,x_1,...,x_{n-1})$$\n", "\n", "$$x_n=a_0(t)x_0+a_1(t)x_1+...+a_{n-1}(t)x_{n-1}+b(t)\\ \\text{con}\\ a_0,...,b:I\\rightarrow\\mathbb{R}\\ \\text{continue, I intervallo}$$\n", "\n", "$$x_0\\rightarrow y(t),x_1\\rightarrow\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{dt}}(t),...,x_n\\rightarrow\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}(t)$$\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}=F(t,y(t),...,\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}})\\ \\text{con}\\ t\\in I$$\n", "\n", "Chiamo **soluzione classica** dell'equazione differenziale una funzione $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I_0,\\mathbb{R})$ dove $I_0\\subseteq I$ è un intervallo tale che\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi}{\\mathrm{dt^n}}=F(t,\\varphi(t),...,\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}})\\ \\forall t\\in I_0$$\n", "\n", "**Definizione** (Problema di Cauchy o alle condizioni iniziali)\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}=F(t,y(t),...,\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}) & \\text{con}\\ t\\in I \\\\ \n", "y(t_0)=y_0 \\\\ \n", "\\vdots & y_0,...,y_{n-1}\\in\\mathbb{R}\\\\ \n", "\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}=y_{n-1} & \n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Chiamo soluzione classica di $(P)$ una funzione $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I_0,\\mathbb{R})$ con $I_0\\subseteq I$ tale che\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi}{\\mathrm{dt^n}}=F(t,\\varphi(t),...,\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}})\\ \\forall t\\in I_0$$\n", "\n", "$$\\varphi(t_0)=y_0,\\ \\frac{\\mathrm{d}\\varphi}{\\mathrm{dt}}(t_0)=y_1,...,\\ \\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t_0)=y_{n-1}$$\n", "\n", "**Teorema** (Problema di Cauchy o alle condizioni iniziali) Dato\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}=F(t,y(t),...,\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}) & \\text{con}\\ t\\in I \\\\ \n", "y(t_0)=\\overline{y_0} \\\\ \n", "\\vdots & \\overline{y_0},...,\\overline{y_{n-1}}\\in\\mathbb{R}\\\\ \n", "\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t_0)=\\overline{y_{n-1}} & \n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Allora esiste un'unica soluzione classica di $(P)$ $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ tale che\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi}{\\mathrm{dt^n}}=a_0(t)\\varphi(t)+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d}\\varphi}{\\mathrm{dt}}(t)+...+a_{n-1}(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+b(t)\\ \\forall t\\in I$$\n", "\n", "$$\\varphi(t_0)=\\overline{y_0},\\ \\frac{\\mathrm{d}\\varphi}{\\mathrm{dt}}(t_0)=\\overline{y_1},...,\\ \\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t_0)=\\overline{y_{n-1}}$$\n", "\n", "## Equazioni differenziali del I ordine lineari\n", "\n", "**Teorema** (forma esplicita della soluzione) Siano $I\\subseteq\\mathbb{R}$ un intervallo, $a,b:I\\rightarrow\\mathbb{R}$ continue, $t_0\\in I$, $y_0\\in\\mathbb{R}$.\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{dt}}=a(t)y+b(t) \\\\ \n", "y(t_0)=y_0\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Esiste un'unica soluzione $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(1)}(I,\\mathbb{R})$ e detta\n", "\n", "$$A(t)=\\int_{t_0}^{t}{a(s)\\mathrm{ds}}\\ \\text{(primitiva di}\\ a(t)\\ \\text{tale che}\\ A(t_0)=0\\text{)}$$\n", "\n", "$$\\varphi(t)=\\mathrm{exp}(A(t))\\left[y_0+\\int_{t_0}^{t}{b(s)\\mathrm{exp}(-A(s))\\mathrm{ds}}\\right]\\ \\forall t\\in I$$\n", "\n", "$$\\varphi(t_0)=y_0\\mathrm{exp}(A(t_0))=y_0$$\n", "\n", "**Dimostrazione** Supponiamo che $\\varphi(t)\\in\\mathcal{C}^{(1)}$ sia soluzione di $(P)$. Introduciamo la funzione\n", "\n", "$$w(t)=\\mathrm{exp}(-A(t))\\varphi(t)\\in\\mathcal{C}^{(1)}$$\n", "\n", "$w(t)$ e $\\varphi(t)$ sono definite entrambe nello stesso dominio e $w(t_0)=y_0$ in quanto $\\int_{t_0}^{t_0}{A(s)\\mathrm{ds}}=0$. Calcoliamo $w'(t)$\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d}w}{\\mathrm{dt}}(t)=\\mathrm{exp}(-A(t))\\frac{\\mathrm{d}\\varphi}{\\mathrm{dt}}+a(t)\\mathrm{exp}(-A(t))\\varphi=[a(t)\\varphi(t)+b(t)]\\mathrm{exp}(-A(t))+a(t)\\varphi\\mathrm{exp}(-A(t))=b(t)\\mathrm{exp}(-A(t))$$\n", "\n", "Abbiamo quindi ottenuto il problema di Cauchy\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d}w}{\\mathrm{dt}}(t)=b(t)\\mathrm{exp}(-A(t)) \\\\ \n", "w(t_0)=y_0\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Sappiamo per il teorema fondamentale del calcolo integrale che esiste un'unica funzione che soddisfa la prima equazione, ed è\n", "\n", "$$w(t)=y_0+\\int_{t_0}^{t}{b(s)\\mathrm{exp}(-A(s))\\mathrm{ds}}$$\n", "\n", "Quindi\n", "\n", "$$\\varphi(t)=\\mathrm{exp}(A(t))(y_0+\\int_{t_0}^{t}{b(s)\\mathrm{exp}(-A(s))\\mathrm{ds}})$$\n", "\n", "Svolgendo i calcoli si vede che $\\varphi(t)$ verifica l'eqauzione, qualunque sia $y_0$. Era quindi lecita la supposizione iniziale.\n", "\n", "**Osservazione** Nel caso non lineare non esistono in generale metodi per determinare la soluzione\n", "\n", "## Equazioni differenziali a variabili separabili del primo ordine\n", "\n", "**Teorema** (soluzioni in forma implicita) Siano $I,J\\subseteq\\mathbb{R}$ intervalli, $f\\in\\mathcal{C}(I,\\mathbb{R})$, $g\\in\\mathcal{C}(J,\\mathbb{R})$ tale che $g(y)\\neq 0\\ \\forall y\\in J$, $t_0\\in I$, $y_0\\in J$ e\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{dt}}=\\frac{f(t)}{g(y)} \\\\ \n", "y(t_0)=y_0\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "il problema di Cauchy.\n", "\n", "Allora $\\exists\\delta,\\epsilon > 0$ e $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(1)}(]t_0-\\delta,t_0+\\delta[\\subseteq I,]y_0-\\epsilon, y_0+\\epsilon[\\subseteq J)$, unica soluzione di $(P)$, cioè\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d}\\varphi}{\\mathrm{dt}}=\\frac{f(t)}{g(\\varphi(t))} \\\\ \n", "\\varphi(t_0)=y_0\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "La soluzione $\\varphi$ è data in forma implicita da $G(\\varphi(t))-F(t)=0$ con\n", "\n", "$$G(y)=\\int_{y_0}^{y}{g(s)\\mathrm{ds}}\\ \\text{e}\\ F(t)=\\int_{t_0}^{t}{f(\\tau)\\mathrm{\\tau}}$$\n", "\n", "## Equazioni differenziali di ordine n\n", "\n", "**Definizione** Siano $a_1,...,a_n,b\\in\\mathcal{C}(I,\\mathbb{R})$, $I,\\mathbb{R}$ intervallo. Definiamo **equazione differenziale lineare omogenea** di ordine n un'equazione differenziale del tipo\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}+...+a_n(t)y=0\\ \\ \\ \\ \\ \\text{(EDLO)}$$\n", "\n", "Definiamo **eqauzione differenziale lineare non omogenea** un'equazione differenziale del tipo\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}+...+a_n(t)y=b(t)\\ \\ \\ \\ \\ \\text{(EDLNO)}$$\n", "\n", "**Teorema** (esistenza e unicità locale della soluzione) Sia $F:I\\times A\\rightarrow\\mathbb{R}\\in\\mathcal{C}^{(1)}$ ($A\\subset\\mathbb{R}^{n}$ aperto). Allora $\\forall b_0\\in I$, $\\forall(\\overline{y_1},...,\\overline{y_n})\\in A\\ \\exists\\epsilon > 0$ tale che il problema di Cauchy\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^{n}}y}{\\mathrm{dt^{n}}}=F(t,y,y',...,y^{(n-1)}) \\\\ \n", "y(t_0)=\\overline{y_1},...,y^{(n-1)}(t_0)=\\overline{y_{n-1}}\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "ha un unica soluzione $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(]t_0-\\epsilon,t_0+\\epsilon[,\\mathbb{R})$\n", "\n", "**Teorema** (esistenza e unicità globale della soluzione di un problema di Cauchy)\n", "\n", "Siano $a_1,...,a_n,b\\in\\mathcal{C}(I,\\mathbb{R})$, $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo, e\n", "\n", "$$(P):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}+...+a_n(t)y=b(t) & \\text{con}\\ t\\in I \\\\ \n", "y(t_0)=\\overline{y_1} \\\\ \n", "\\vdots & \\overline{y_1},...,\\overline{y_{n-1}}\\in\\mathbb{R}\\\\ \n", "\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t_0)=\\overline{y_{n-1}} & \n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Allora $(P)$ ha un unica soluzione $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ tale che $\\varphi(t_0)=\\overline{y_1},...,\\varphi^{(n-1)}(t_0)=\\overline{y_{n-1}}$\n", "\n", "**Proposizione** (principio di sovrapposizione) Siano $a_1,...,a_n\\in\\mathcal{C}(I,\\mathbb{R})$, $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo. Supponiamo che $\\varphi_1,\\varphi_2\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ siano soluzioni di una (EDLO). Allora\n", "\n", "$$\\varphi_1+\\varphi_2\\ \\text{e}\\ c\\varphi_1\\ \\forall c\\in\\mathbb{R}$$\n", "\n", "sono soluzioni di (EDLO).\n", "\n", "**Dimostrazione** Poniamo $\\varphi(t)=\\varphi_1(t)+\\varphi_2(t)$\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+a_n(t)\\varphi(t)=0\\iff $$\n", "\n", "$$\\iff \\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi_1}{\\mathrm{dt^n}}+\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi_2}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi_1}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi_2}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+a_n(t)\\varphi_1(t)+a_n(t)\\varphi_2(t)=0\\iff $$\n", "\n", "$$\\iff \\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi_1}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi_1}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+a_n(t)\\varphi_1(t)+\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi_2}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi_2}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+a_n(t)\\varphi_2(t)=0$$\n", "\n", "Poniamo $\\varphi(t)=c\\varphi_1(t)$\n", "\n", "$$\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+a_n(t)\\varphi(t)=0\\iff $$\n", "\n", "$$\\iff c\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi_1}{\\mathrm{dt^n}}+ca_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi_1}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+ca_n(t)\\varphi_1(t)=0\\iff $$\n", "\n", "$$\\iff c\\left[\\frac{\\mathrm{d^n}\\varphi}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}\\varphi}{\\mathrm{dt^{n-1}}}(t)+...+a_n(t)\\varphi(t)\\right]=0$$\n", "\n", "**Teorema** (integrale generale di (EDLO)) Siano $a_1,...,1_n\\in\\mathcal{C}(I,\\mathbb{R})$, $I\\subseteq\\mathbb{R}$ intervallo e consideriamo una (EDLO). L'insieme delle soluzioni di (EDLO) forma uno spazio vettoriale di dimensione $n$.\n", "\n", "**Dimostrazione** Facciamo vedere che lo spazio vettoriale formato dalle soluzioni di (EDLO) ha dimensione $\\geq n$.. Fissiamo $t_0\\in I$ e consideriamo i problemi di Cauchy\n", "\n", "$$(P_1):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+...+a_n(t)y=0 \\\\ \n", "y(t_0)=1 \\\\ \n", "y'(t_0)=0 \\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "y^{(n-1)}(t_0)=0 \n", "\\end{matrix}\\right.\\ \\ \\ \n", "(P_2):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+...+a_n(t)y=0 \\\\ \n", "y(t_0)=0 \\\\ \n", "y'(t_0)=1 \\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "y^{(n-1)}(t_0)=0 \n", "\\end{matrix}\\right.\\ \\ \\ ... \\ \\ \\ \n", "(P_n):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+...+a_n(t)y=0 \\\\ \n", "y(t_0)=0 \\\\ \n", "y'(t_0)=0 \\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "y^{(n-1)}(t_0)=1 \n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Siano $\\varphi_1,...,\\varphi_n$ soluzioni di $(P_1),...,(P_n)$, dimostriamo che sono linearmente indipendenti. Prendiamo\n", "\n", "$$\\varphi(t)=c_1\\varphi_1(t)+...+c_n\\varphi_n(t)\\equiv 0$$\n", "$$\\varphi'(t)=c_1\\varphi_1'(t)+...+c_n\\varphi_n'(t)\\equiv 0$$\n", "$$\\vdots$$\n", "$$\\varphi^{(n-1)}(t)=c_1\\varphi^{(n-1)}_1(t)+...+c_n\\varphi^{(n-1)}_n(t)\\equiv 0$$\n", "\n", "Ciò significa\n", "\n", "$$\\varphi(t_0)=c_1=0$$\n", "$$\\varphi'(t_0)=c_2=0$$\n", "$$\\vdots$$\n", "$$\\varphi^{(n-1)}(t_0)=c_n=0$$\n", "\n", "Quindi le soluzioni sono linearmente indipendenti.\n", "\n", "Sia $w(t)\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ una soluzione di (EDLO) e verifichiamo che si può esprimere come combinazione lineare di $\\varphi_1,...,\\varphi_n$. Prendiamo quindi il generico problema di Cauchy\n", "\n", "$$(P_w):\\left\\{\\begin{matrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d^n}y}{\\mathrm{dt^n}}+a_1(t)\\frac{\\mathrm{d^{n-1}}y}{\\mathrm{dt^{n-1}}}+...+a_n(t)y=0 \\\\ \n", "y(t_0)=w(t_0) \\\\ \n", "y'(t_0)=w'(t_0) \\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "y^{(n-1)}(t_0)=w^{(n-1)}(t_0)\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "e consideriamo la funzione\n", "\n", "$$\\psi(t)=c_1\\varphi_1(t)+...+c_n\\varphi_n(t)$$\n", "\n", "e verifichiamo che per opportuni $c_1,...,c_n$ appropriati $\\psi(t)=w(t)$. Sappiamo che $\\psi(t)$ risolve l'equazione per il principio di sovrapposizione, quindi\n", "\n", "$$\\psi(t_0)=c_1=w(t_0)$$\n", "$$\\psi'(t_0)=c_2=w'(t_0)$$\n", "$$\\vdots$$\n", "$$\\psi^{(n-1)}=c_n=w^{(n-1)}(t_0)$$\n", "\n", "Quindi $\\psi(t)=w(t_0)\\varphi_1(t)+...+w^{(n-1)}(t_0)\\varphi_n(t)$ è soluzione di (EDLO) e per unicità della soluzione\n", "\n", "$$w(t)=w(t_0)\\varphi_1(t)+...+w^{(n-1)}(t_0)\\varphi_n(t)$$\n", "\n", "**Definizione** Sia $\\varphi(t)\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ una soluzione di (EDLO) e prendiamo\n", "\n", "$$\\left\\{\\begin{matrix}\n", "w_1(t)=\\varphi(t) \\\\ \n", "w_2(t)=\\varphi'(t) \\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "w^{(n-1)}(t)=\\varphi^{(n-1)}(t)\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "dove\n", "\n", "$$w'(t)=w_2(t),w''(t)=w_3(t),\\ ...,\\ w^{(n)}(t)=-a_n(t)w_1(t)+...+-a_1(t)w_n(t)$$\n", "\n", "Otteniamo così il sistema associato a (EDLO)\n", "\n", "$$\\begin{bmatrix}\n", "\\frac{\\mathrm{d}w_1}{\\mathrm{dt}}\\\\ \n", "\\frac{\\mathrm{d}w_2}{\\mathrm{dt}}\\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "\\frac{\\mathrm{d}w_n}{\\mathrm{dt}}\n", "\\end{bmatrix}=\n", "\\begin{bmatrix}\n", "0 & 1 & 0 & \\dots & 0\\\\ \n", "0 & 0 & 1 & \\dots & 0\\\\ \n", "\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \n", "-a_n(t) & -a_{n-1}(t) & -a_{n-2}(t) & \\dots & -a_1(t)\n", "\\end{bmatrix}\n", "\\begin{bmatrix}\n", "w_1(t)\\\\ \n", "w_2(t)\\\\ \n", "\\vdots \\\\ \n", "w_n(t)\n", "\\end{bmatrix}$$\n", "\n", "Definiamo così il vettore soluzione di (EDLO)\n", "\n", "$$\\begin{bmatrix}\n", "w_1(t) \\\\ w_2(t) \\\\ \\dots \\\\ w_n(t)\n", "\\end{bmatrix}=\n", "\\begin{bmatrix}\n", "\\varphi(t) \\\\ \\varphi'(t) \\\\ \\dots \\\\ \\varphi^{(n-1)}(t)\n", "\\end{bmatrix}$$\n", "\n", "**Definizione** (wronskiano delle soluzioni) Siano $\\varphi_1,...,\\varphi_n\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzioni di (EDLO). Definiamo **wronskiano**\n", "\n", "$$W(t)=\\mathrm{det}\\begin{bmatrix}\n", "\\varphi_1(t) & \\varphi_2(t) & \\dots & \\varphi_n(t) \\\\\n", "\\varphi'_1(t) & \\varphi'_2(t) & \\dots & \\varphi'_n(t) \\\\\n", "\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\n", "\\varphi^{(n-1)}_1(t) & \\varphi^{(n-1)}_2(t) & \\dots & \\varphi^{(n-1)}_n(t)\n", "\\end{bmatrix}$$\n", "\n", "**Teorema** (del wronskiano) Siano (EDLO) con $a_1,...,a_n\\in\\mathcal{C}(I,\\mathbb{R})$ e $\\varphi_1,...,\\varphi_n\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzioni di (EDLO). Allora sono equivalenti le seguenti informazioni:\n", "\n", "1. $\\varphi_1(t),...,\\varphi_n(t)$ sono soluzioni linearmente indipendenti di (EDLO)\n", "2. $W(t)\\neq 0\\ \\forall t\\in I$\n", "3. $\\exists t_0\\in I$ tale che $W(t_0)\\neq 0$\n", "\n", "**Dimostrazione** $(3\\implies2)\\ (n=2)$\n", "\n", "Prendiamo l'(EDLO)\n", "\n", "$$y''+a_1(t)y'+a_2(t)y=0$$\n", "\n", "con soluzioni $\\varphi_1,\\varphi_2$.\n", "\n", "$$W(t)=\\mathrm{det}\\begin{bmatrix}\n", "\\varphi_1 & \\varphi_2 \\\\\n", "\\varphi'_1 & \\varphi'_2\n", "\\end{bmatrix}=\n", "\\varphi_1\\varphi'_2-\\varphi_2\\varphi'_1$$\n", "\n", "Deriviamo il wronskiano\n", "\n", "$$W'(t)=\\varphi'_1\\varphi'_2+\\varphi_1\\varphi''_2-\\varphi'_2\\varphi_1-\\varphi_2\\varphi''_1= $$\n", "\n", "$$=\\varphi_1\\varphi''_2-\\varphi_2\\varphi''_1= $$\n", "\n", "$$=\\varphi_1[-a_1(t)\\varphi'_2-a_2(t)\\varphi_2]-\\varphi_2[-a_1(t)\\varphi'_1-a_2(t)\\varphi_1]= $$\n", "\n", "$$=-a_1(t)[\\varphi_1\\varphi'_2-\\varphi_2\\varphi'_1] = -a_1(t)W(t)$$\n", "\n", "Otteniamo quindi la seguente equazione differenziale lineare di primo ordine\n", "\n", "$$W'(t)=-a_1(t)W(t)$$\n", "\n", "Sappiamo che la soluzione è\n", "\n", "$$W(t)=W(t_0)\\mathrm{exp}(-\\int_{t_0}^{t}{a_1(s)\\mathrm{ds}})$$\n", "\n", "Poiché l'esponenziale non si annulla mai si ha\n", "\n", "$$W(t_0)\\neq 0 \\implies W(t)\\neq 0$$\n", "\n", "**Proposizione** Siano $a_1,...,a_n,b\\in C(I,\\mathbb{R}$. Siano $\\psi_1,\\psi_2\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzioni di (EDLNO) e $\\varphi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzione di (EDLO). Allora\n", "\n", "1. $\\psi_1-\\psi_2$ è soluzione di (EDLO)\n", "2. $\\psi_1 + \\varphi$ è soluzione di (EDLNO)\n", "\n", "**Dimostrazione** (1) Prendiamo $\\varphi_1(t)=\\psi_1(t)-\\psi_2(t)$\n", "\n", "$$\\varphi^{(n)}_1(t)+a_1(t)\\varphi^{(n-1)}_1(t)+...+a_n(t)\\varphi_1(t)= $$\n", "\n", "$$=\\psi^{(n)}_1(t)-\\psi^{(n)}_2(t)+a_1(t)[\\psi^{(n-1)}_1(t)-\\psi^{(n-1)}_2(t)]+...+a_n(t)[\\psi_1(t)-\\psi_2(t)]= $$\n", "\n", "$$=\\psi^{(n)}_1(t)+a_1(t)\\psi^{(n-1)}_1(t)+...+a_n(t)\\psi_1(t)-\\psi^{(n)}_2(t)+a_1(t)\\psi^{(n-1)}_2(t)+...+a_n(t)\\psi_2(t)=b(t)-b(t)=0$$\n", "\n", "(2) Prendiamo $\\psi(t)=\\psi_1(t)+\\varphi(t)$\n", "\n", "$$\\psi^{(n)}(t)+a_1(t)\\psi^{(n-1)}(t)+...+a_n(t)\\psi(t)= $$\n", "\n", "$$=\\psi^{(n)}_1(t)+\\varphi^{(n)}(t)+a_1(t)[\\psi^{(n-1)}_1(t)+\\varphi^{(n-1)}(t)]+...+a_n(t)[\\psi_1(t)+\\varphi(t)]= $$\n", "\n", "$$=\\psi^{(n)}_1(t)+a_1(t)\\psi^{(n-1)}_1(t)+...+a_n(t)\\psi_1(t)+\\varphi^{(n)}(t)+a_1(t)\\varphi^{(n-1)}(t)+...+a_n(t)\\varphi(t)=b(t)+0=b(t)$$\n", "\n", "**Teorema** Siano $\\varphi_1,...,\\varphi_n\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzioni linearmente indipendenti di (EDLO) e $\\psi_P\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzione particolare di (EDLNO). Allora $\\psi\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ è soluzione di (EDLNO) se e solo se\n", "\n", "$$\\exists c_1,...,c_n\\in\\mathbb{R}\\ \\text{e}\\ \\psi(t)=\\psi_P(t)+\\sum_{i=1}^n{c_i\\varphi_i(t)}$$\n", "\n", "**Dimostrazione** ($\\implies$) Siano $c_1,...,c_n\\in\\mathbb{R}$\n", "\n", "$$\\psi_P(t)+\\sum_{i=1}^n{c_i\\varphi_i(t)}\\ \\text{è soluzione di (EDLNO) per il punto (2) del teorema precedente}$$\n", "\n", "($\\impliedby$) Se $\\psi(t)$ è soluzione di (EDLNO), allora $\\psi(t)-\\psi_P(t)$ è soluzione di (EDLO) per il punto (1) del teorema precedente. Ciò significa che $\\psi(t)-\\psi_P(t)$ è una combinazione lineare di $\\varphi_1,...,\\varphi_n$.\n", "\n", "## Metodo generale per la ricerca di una soluzione particolare di (EDLNO) o metodo di variazione delle costanti o metodo di Lagrangia\n", "\n", "**Caso $n=2$** Siano\n", "\n", "$$y''+a_1(t)y'+a_2(t)y=b(t)\\ \\ \\ \\ \\text{(EDLNO)}$$\n", "\n", "\n", "$$y''+a_1(t)y'+a_2(t)y=0\\ \\ \\ \\ \\text{(EDLO)}$$\n", "\n", "\n", "$$psi(t)=c_1\\varphi_1(t)+c_2\\varphi_2(t)\\ \\ \\ \\ \\text{soluzione di (EDLO)}$$\n", "\n", "con $\\varphi_1,\\varphi_2\\in\\mathcal{C}^{(n)}(I,\\mathbb{R})$ soluzioni linearmente indipendenti di (EDLO).\n", "\n", "Dobbiamo trovare i termini $c_1(t),c_2(t)$ tali che $\\psi(t)=c_1(t)\\varphi_1(t)+c_2(t)\\varphi_2(t)$ sia soluzione di (EDLNO). Imponiamo quindi che $\\psi(t)$ sia soluzione di (EDLNO).\n", "\n", "$$\\psi'=c_1\\varphi'_1+c'_1\\varphi_1+c_2\\varphi'_2+c'_2\\varphi_2$$\n", "\n", "Impongo $c'_1\\varphi_1+c'_2\\varphi_2=0$\n", "\n", "$$\\psi'=c_1\\varphi'_1+c_2\\varphi'_2$$\n", "\n", "$$\\psi''=c'_1\\varphi'_1+c_1\\varphi''_1+c'_2\\varphi'_2+c_2\\varphi''_2$$\n", "\n", "Inseriamo $\\psi,\\psi',\\psi''$ in (EDLNO).\n", "\n", "$$c'_1\\varphi'_1+c_1\\varphi''_1+c'_2\\varphi'_2+c_2\\varphi''_2+a_1(t)[c_1\\varphi'_1+c_2\\varphi'_2]+a_2[c_1\\varphi_1+c_2\\varphi_2]=b(t) \\iff $$\n", "\n", "$$\\iff c_1(t)[\\varphi''_1+a_1(t)\\varphi'_1+a_2(t)\\varphi_1]+c_2(t)[\\varphi''_2+a_1(t)\\varphi'_2+a_2(t)\\varphi_2]+c'_1\\varphi'_1+c'_2\\varphi'_2=b(t) \\iff $$\n", "\n", "$$\\iff c'_1\\varphi'_1+c'_2\\varphi'_2=b(t)$$\n", "\n", "Abbiamo ottenuto dunque il seguente sistema con incognite $c_1,c_2$\n", "\n", "$$\\left\\{\\begin{matrix}\n", "c'_1(t)\\varphi_1(t)+c'_2(t)\\varphi_2(t)=0 \\\\\n", "\\\\\n", "c'_1(t)\\varphi'_1(t)+c'_2(t)\\varphi'_2(t)=b(t)\n", "\\end{matrix}\\right.$$\n", "\n", "Risolvibile con la regola di Cramer (il determinante è il wronskiano $W(t)\\neq 0$ delle soluzioni $\\varphi_1,\\varphi_2$ linearmente indipendenti).\n", "\n", "\n", "$$c'_1(t)=\\frac{\n", "\\begin{vmatrix}\n", "\\ 0 & \\varphi_2(t)\\ \\\\\n", "\\\\\n", "\\ b(t) & \\varphi'_2(t)\\ \n", "\\end{vmatrix}\n", "}{W(t)}=-\\frac{b(t)\\varphi_2(t)}{W(t)},\n", "\\ \\ \\ \\ \n", "c'_2(t)=\\frac{\n", "\\begin{vmatrix}\n", "\\ \\varphi_1(t) & 0\\ \\\\\n", "\\\\\n", "\\ \\varphi'_1(t) & b(t)\\ \n", "\\end{vmatrix}\n", "}{W(t)}=\\frac{b(t)\\varphi_1(t)}{W(t)}$$\n", "\n", "Quindi\n", "\n", "$$c_1(t)=-\\int_{t_0}^{t}{\\frac{b(s)\\varphi_2(s)}{W(s)}\\mathrm{ds}},\n", "\\ \\ \\ \\ \n", "c_2(t)=\\int_{t_0}^{t}{\\frac{b(s)\\varphi_1(s)}{W(s)}\\mathrm{ds}}$$\n", "\n", "Ricavati $c_1$ e $c_2$ si ottiene\n", "\n", "$$\\psi(t)=\\int_{t_0}^{t}{\\frac{b(s)[\\varphi_1(s)\\varphi_2(t)-\\varphi_2(s)\\varphi_1(t)]}{W(s)}\\mathrm{ds}}$$\n", "\n", "**Osservazione** $\\varphi_1(s)\\varphi_2(t)-\\varphi_2(s)\\varphi_1(t)$ è detto nucleo integrale.\n", "\n", "## Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine n\n", "\n", "**Definizione** Siano $a_1,...,a_n\\in\\mathbb{R}$. Definiamo **equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti** di ordine n un'equazione differenziale del tipo\n", "\n", "$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_ny=0\\ \\ \\ \\ \\text{(EDLOCC)}$$\n", "\n", "### Ricerca di soluzioni di tipo esponenziale per EDLOCC\n", "\n", "Vogliamo cercare soluzioni del tipo $y(t)=\\mathrm{exp}(\\lambda t)$ con $\\lambda$ numero complesso. Andando a sostiuire la soluzione nell'(EDLOCC) otteniamo\n", "\n", "$$\\mathrm{exp}(\\lambda t)[\\lambda^n+a_1\\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\\lambda+a_n]=0$$\n", "\n", "Posto\n", "\n", "$$P(\\lambda)=\\lambda^n+a_1\\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\\lambda+a_n$$\n", "\n", "polinomio caratteristico dell'(EDLOCC), possiamo distinguere due casi\n", "\n", "1. $P(\\lambda)$ ha $n$ radici $\\lambda_1,...\\lambda_n\\in\\mathbb{C}$ distinte. Allora le funzioni\n", "\n", "\n", "$$\\psi_1(t)=\\mathrm{exp}(\\lambda_1 t),\\ ...\\ ,\\ \\psi_n(t)=\\mathrm{exp}(\\lambda_n t)$$\n", "\n", "sono soluzioni linearmente indipendenti della (EDLOCC). L'integrale generale sarà\n", "\n", "$$y(t)=c_1\\mathrm{exp}(\\lambda_1 t)+...+c_n\\mathrm{exp}(\\lambda_n t)$$\n", "\n", "2. $P(\\lambda)$ ha $m0$ se $\\forall t\\in\\mathbb{R}$ si ha\n", "\n", "$$f(t)=f(T+t)$$\n", "\n", "**Proprietà** Se $T,S>0$ sono periodi, allora\n", "1. $T+S$ è periodo\n", "2. $nT$ è periodo (con $n\\in\\mathbb{Z}$)\n", "\n", "**Definizione** Se $f(t)$ non è costante, esiste il periodo minimo $T_f$ positivo tale che $f(t+T_f)=f(t)\\ \\forall t\\in\\mathbb{R}$ e se $S$ è periodo allora $S=nT_f,\\ n\\in\\mathbb{Z}$. Tale periodo è chiamato **periodo fondamentale**.\n", "\n", "**Teorema** Siano $f(t)$ e $g(t)$ funzioni periodiche di periodo fondamentale rispettivamente $T_f$ e $S_f$. La funzione\n", "\n", "$$h(t)=f(t)+g(t)$$\n", "\n", "è periodica di periodo fondamentale $P_f=mcm(T_f,S_f)$ se e solo se $\\frac{T_f}{S_f}\\in\\mathbb{Q}$" ] } ], "metadata": { "anaconda-cloud": {}, "kernelspec": { "display_name": "Python [Root]", "language": "python", "name": "Python [Root]" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.5.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 1 }